Упрощение геометрических соотношений

КЛАССИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ. УПРОЩЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ [c.137]

Дальнейшие упрощения геометрических соотношений связаны с различными предположениями относительно геометрии и характера деформирования оболочки. Однако, прежде чем перейти к их изложению, необходимо сделать следующее замечание. Понятия пологая оболочка, тонкостенная оболочка сложились в классической теории оболочек, рассматривающей однородные изотропные конструкции, и были автоматически перенесены на оболочки из конструктивно неоднородных и анизотропных (композиционных) материалов. Вопрос корректности переноса областей применимости различных приближений, установленных в классической теории, в теорию неклассических оболочек в теоретическом отношении исследован явно недостаточно и по сути остается на сегодняшний день вопросом инженерной практики. Поэтому в следующих разделах параграфа ограничимся сводкой качественных соотношений, воздерживаясь от количественных оценок областей их применения. [c.88]

Для упрощения расчетов отрезок АВ приравнивается к отрезку АС, который расположен горизонтально и может быть определен на основе уравнений Ирвина из элементарных геометрических соотношений. Отрезки ОА и ОС представляют собой величины радиусов зоны в направлениях, определяемых соответствующими полярными углами. Итак, выражения для отрезка АВ имеют следующий вид [c.435]

Таким образом, имеются две разрешающих функции — функция напряжений F я прогиб IV. Необходимо отметить, что равенства (23) позволяют удовлетворить первые два уравнения движения, записанные в упрощенной форме (22) , более общие первые уравнения (7) при этом не удовлетворяются. Одно из уравнений окончательной системы получается из второго уравнения (7) и связывает две неизвестные функции Р я IV. Второе уравнение, которое требуется для получения полной системы, является уравнением совместности деформаций и выводится из геометрических соотношений (21) [c.224]

Теперь можно ясно представить соотношения, связанные с возвратом тепла. В соответствии с уравнением (129) величина (1 + /) является зависимостью между изоэнтропным к. п. д. отдельной стадии процесса расширения и таким же к. п. д. всего многостадийного процесса. Увеличивая число стадий до бесконечности (разделяя весь процесс на бесконечно малые процессы), можно сделать изоэнтропный к. п. д. отдельной стадии равным политропному (среднему) к. п. д. т) всего процесса и уравнение (129) перейдет в форму (117). При наличии в процессе расширения 2 стадий, можно, зная /со, получить коэффициент / по формуле (127). Эта формула выведена на основании упрощенных геометрических предположений и будет лишь приближенной, но разница между (1 -f /) и (1 + / ) всегда получается столь малой, что допущенное приближение можно считать вполне удовлетворительным. [c.70]

Так как теория тонких оболочек, рассмотренная в 9.4, приводит к довольно громоздким формулировкам, то в настоящем параграфе мы будем интересоваться упрощенными формулировками. Примем упрощающее предположение, что оболочка столь тонка, что в геометрических соотношениях и в соотношениях деформации — перемещения малыми членами можно пренебречь. При этом упрощающем предположении величинами h/Ra и h/Rf можно пренебречь по сравнению с единицей. Прежде всего примем, что уравнения (9.14) и (9.16) соответственно сводятся к следующим [c.274]

Альтернативный подход к упрощению нелинейных соотношений, свободный от указанных недостатков, подробно изложен В. В. Новожиловым (1948, 1958). Его следствием явилось, в частности, принятое в настоящее время разбиение задач на четыре группы 1) линейные физически и геометрически 2) нелинейные физически, но линейные геометрически [c.75]

Структура исходных уравнений (1.55) геометрически нелинейной теории оболочек довольно сложна, получить аналитическое решение системы (1.55) при граничных условиях (1.57) чрезвычайно трудно. Усилия ученых до последнего времени были направлены на то, чтобы путем оправданных упрощений исходных соотношений построить более простые теории. [c.25]

Как следует из схемы, представленной на рис. В.1, информация о НДС является ключевой для анализа прочности и долговечности элементов конструкций. Поэтому правильность оценки работоспособности той или иной конструкции в первую очередь зависит от полноты информации о ее НДС. Аналитические методы позволяют определить НДС в основном только для тел простой формы и с несложным характером нагружения. При этом реологические уравнения деформирования материала используются в упрощенном виде [124, 195, 229]. Анализ НДС реальных конструкций со сложной геометрической формой, механической разнородностью, нагружаемых по сложному термо-силовому закону, возможен только при использовании численных методов, ориентированных на современные ЭВМ. Наибольшее распространение по решению задач о НДС элементов конструкций получили следующие численные методы метод конечных разностей (МКР) [136, 138], метод граничных элементов (МГЭ) [14, 297, 406, 407] и МКЭ [32, 34, 39, 55, 142, 154, 159, 160, 186, 187, 245]. МКР позволяет анализировать НДС конструкции при сложных нагружениях. Трудности применения МКР возникают при составлении конечно-разностных соотношений в многосвязных областях при произвольном расположении аппроксимирующих узлов. Поэтому для расчета НДС в конструкциях со сложной геометрией МКР малоприменим. В отличие от МКР МГЭ позволяет проводить анализ НДС в телах сложной формы, но, к сожалению, возможности МГЭ ограничиваются простой реологией деформирования материала (в основном упругостью) [14]. При решении МГЭ упругопластических задач вычисления становятся очень громоздкими и преимущество метода — снижение мерности задачи на единицу, — практически полностью нивелируется [14]. МКЭ лишен недостатков, присущих МКР и МГЭ он универсален по отношению к геометрии исследуемой области и реологии деформирования материала. Поэтому при создании универсальных методов расчета НДС, не ориентированных на конкретный класс конструкций или вид нагружения, МКЭ обладает несомненным преимуществом по отношению как к аналитическим, так и к альтернативным численным методам. [c.11]

Принимаем для упрощения примера расчета равное деление подогрева в первых двух ступенях Tl r2. Согласно рекомендациям (см. 5.8 и 11.5) оптимальное соотношение подогревов воды между холодной ступенью, обогреваемой паром за ЦВД при разделительном давлении, и следующей горячей ступенью, обогреваемой паром после парового промежуточного перегрева (из ЦНД турбины), Рз,4 = Тз/т4=1,20-г-1,30, Остальной подогрев распределяем по геометрической прогрессии [c.170]

Существующие классификации нелинейных задач тесно связаны с характером геометрических допущений, принимаемых при формулировке приближенных нелинейных теорий оболочек. В зависимости от порядка величин деформаций и углов поворота, а также соотношения между ними, уравнения нелинейной теории могут допускать существенные упрощения, вплоть до их полной линеаризации. Различные варианты подобных упрощений при изучении деформаций гибких тел предложены В.В. Новожиловым [26]. [c.137]

Эффективный коэффициент может существенно отличаться от теоретического а , определяемого по соотношениям теории упругости. Если теоретический коэффициент зависит только от геометрических параметров детали, концентратора, нагрузок и напряженного состояния, то эффективный коэффициент зависит от долговечности. Отличие от определяется влиянием пластичности, неравномерности напряжений, масштабным фактором и чувствительностью материала к концентрации напряжений. Часто величина п (или te) не известна заранее. В этом случае может быть рекомендовано несколько упрощенных процедур [130], позволяющих получить приближенное решение. Если имеются данные испытаний образцов из материала, из которого изготовлен диск с концентрацией напряжений при том же виде нагрузки и равенстве теоретических коэффициентов концентрации образца и диска, долговечность можно определить с помощью приближенной процедуры (рис. 4.24). На рис. 4.24, б построена линейная зависимость амплитуды от среднего напряжения [аналогично(4.43)] на рис. 4.24, а приведена зависимость — Nf для образца с концентрацией напряжений при симметричном цикле (кривая / точка А соответствует значению долговечности). Коэффициент концентрации учитывают при амплитуде напряжений, а среднее напряжение принимают по номинальному значению. При использовании результатов следует иметь в виду влияние масштабного фактора при несовпадении размеров концентратора образца и диска. Очевидным преимуществом является учет чувствительности к концентрации напряжений. Если а известен из опыта испытаний аналогичных конструкций, то следует пользоваться кривой 2 для гладких образцов (точка В соответствует значению = [c.142]

Теория пологих оболочек является результатом упрощений общей моментной теории [22], связанных с характером изменяемости напряженного состояния ( 4.2). Если последнее меняется вдоль срединной поверхности достаточно быстро, в уравнениях общей теории оболочек можно пренебречь рядом малых членов в геометрических и статических соотношениях. Получаемые при этом упрощения, как показано в книге [8], оказываются такими же, как при введении предположения о близости метрики поверхности к метрике плоскости. [c.113]

Проделав некоторые выкладки, найдем, что уравнения равновесия, а также механические и геометрические граничные условия в этой упрощенной линейной теории тонких оболочек имеют такую же форму, что и соответствующие уравнения в 9.4. Однако соотношения результирующие напряжения—деформации и выражение для энергии деформации оболочки принимают более простой вид (ср. приведенные ниже соотношения с (9.72) и (9.73)) [c.276]

Заметим, однако, что обоснование в теории трещин — вопрос достаточно деликатный наличие стремящихся к нулю расстояний между берегами трещин затрагивает самые основы принципа сплошности, и в связи с этим первостепенное значение приобретает сравнение и анализ результатов, полученных на основе различных реологий и при разном характере геометрических и физических упрощений. Это делает необходимым последовательное изложение основ нелинейной механики сплошных сред, включая различные варианты реологических соотношений, с нацеленностью на разрушение. Представляется целесообразным также рассмотрение математических методов и математического аппарата, приспособленного к исследованию задач теории трещин, и решение характерных типовых задач, способных дать качественное объяснение изучаемому явлению. [c.6]

Выполнив в (3.2.11) эти упрощения, приходим к соотношениям (3.2.5), связывающим между собой компоненты s - и ст тензоров напряжений и соответствующим рассматриваемой степени геометрической нелинейности. Из (3.2.5) и [c.52]

Вычисление рассеивающей способности возможно с помощью сложных математических расчетов. Например, Вагнер исходил из дифференциального уравнения Лапласа, которое для несложных условий может быть решено при помощи конформной проекции или рядов Фурье. При сложных геометрических параметрах надо иметь в виду числовые или графические методы решения. Если не принимать во внимание поляризацию, то специальный расчет на краях катода местной плотности тока дает бесконечно высокое ее значение. Если принять во внимание поляризацию, то значительно усложняется вычисление рассеивающей способности в результате различного направления поляризационных кривых. Для упрощения можно принять линейное или логарифмическое соотношение между катодным потенциалом и плотностью тока. Подобные расчеты произведены Каспером и другими исследователями. Теоретически полученные результаты значений рассеивающей способности совпадают с практическими результатами только три простых геометрических формах системы. [c.112]

Более употребительным является метод сил. Он состоит в том, что к трем уравнениям равновесия (30) присоединяют уравнения неразрывности (16), записанные с помощью соотношений (38) через усилия и моменты. Получаемая при этом для шести искомых функций (Na, Т, N , Ма, Н, М ) система шести дифференциальных уравнений имеет также восьмой порядок. Эта система довольно сложна и содержит много малых, несущественных членов. Для ее упрощения обычно используют различные соображения физического характера, основанные на имеющемся представлении о характере работы оболочки. Широко используют и так называемую статико-геометрическую аналогию [7, 28, 29], согласно которой каждому статическому соотношению (величине) отвечают соответствующие геометрические (деформационные). Проявлением этой аналогии является то обстоятельство, что однородные уравнения равновесия (30) при да = % = Яп — О переходят в уравнения [c.641]

Приведем некоторые упрощенные варианты уравнений геометрически нелинейной теории. Представленные выше соотношения содержат нелинейные члены, включающие углы поворота элемента базовой поверхности, показанного иа рис. 1.11, а также производные этих углов, характеризующие изменение кривизны этого элемента. Как правило, ограничения по жесткости, накладываемые на перемещения несущих элементов конструкций, исключают большие углы поворота и величины Ша. р можно считать малыми по сравнению с единицей. Однако производные этих величин, связанные с местным изгибом поверхности в зонах закрепления или нагружения элемента, могут оказаться значительными и должны быть учтены. Таким образом, упростим приведенные выше нелинейные уравнения, оставив из нелинейных членов только те. которые включают произ [c.326]

Обсудив основы теории оптического мониторинга системы атмосфера — подстилающая поверхность, вернемся к тем исходным предположениям, которые делались при выводе основных функциональных соотношений (3.4), (3.67), а также последнего интегрального уравнения (3.72). Дело в том, что при их построении не учитывались возможные эффекты многократного рассеяния и, следовательно, процесс формирования оптического сигнала во всех без исключения геометрических схемах зондирования существенно упрощен. В частности, при расчете функций источника нами учитывались лучи двух типов (соответственно / и 2 на рис. 3.16) из той совокупности, которые в принципе могут достичь точек на выбранной линии визирования. Более строгий подход к выводу уравнений теории зондирования рассеивающей компоненты атмосферы, когда необходимо учесть, скажем, лучи типа 3 я 4 (см. рис. 3.16), неминуемо приводит к использованию уравнения переноса в более общей форме, каким, в частности, является его трехмерный вариант для сферически однородной атмосферы. [c.221]

Соотношения (2.25) — (2.27) разъясняют геометрический смысл величин Из этих формул видно, что pu есть приближенное зпачение проекции угла поворота оси ер на ось е . Это соображение подсказывает путь дальнейших упрощений. [c.23]

Упрощение геометрических соотношений. Соотношения (2.11) могут быть суш,ественно упрош,ены в результате лннеариза-пии их по г, что обеспечивается условиями вида [c.88]

Предположение (11) является ограничением на рассматриваемый ниже класс задач устойчивости. Это предположение фактически уже было использоъано в 1.1, 1.2 при упрощении геометрических соотношений и уравнений равновесия. [c.26]

Связь между размерами сильфона и его весом была установлена на основе геометрических соотношений, учета различных типов сильфонов и особенностей их изготовления (сильфопы с бортиками по наружному диаметру, по внутреннему диаметру, сильфоны с подкаткой и др.). Были сделаны некоторые упрощения, мало влияющие на точность результатов, но существенно облегчающие вычислительные операции. [c.56]

С помощью основной точки i23 из простого условия из полюса отрезок q j виден под углом, равным углу 21 полюсного треугольника, а из полюса тот же отрезок виден под углом, равным углу 31 полюсного треугольника. Если в качестве неподвижных шарниров выбирать различные точки Со, Do, -f o. > то соответствующие точки j, Dj, Ey,. .. определятся посредством проведения нескольких прямых. Принятые неподвижные точки Со, Do, Е ,. . . соединим некоторой кривой т (кривой центров). В то время как при задании четырех положений звена кривая центров определяется однозначно, при задании трех положений эта кривая может иметь любую форму и может занимать произвольное положение. Ради упрощения последующих соотношений следует в качестве кривой центров выбирать простую геометрическую форму. [c.121]

В качестве геометрических соотношений воспользуемся уравнениями (10.30), добавив к ним выражение (10.29), представляющее собой изменение угла наклона касательной к меридиану после де рмнро-вания. Значение удобно использовать для упрощения решения, так как через него могут быть выражены изменения кривизны [c.205]

В. В. Новожилов (1948, 1958) высказал ряд критических замечаний о квадратичной теории. Вкратце они сводятся к следующему. Возможность полной или частичной линеаризации геометрических и статических (динамических) соотношений нелинейной теории упругости определяется чисто геометрическими факторами величиной удлинений, сдвигов и углов поворота как по сравнению с единицей, так и между собой. Поэтому используемый в квадратичной теории недифференцированный (указанным выше образом) подход к упрощению статико-геометрических соотношений носит формальный характер. Далее, для упрощения соотношений, связывающих напряжения и деформации, недостаточна малость компонент деформации по сравнению с единицей. Требуется сравнивать их с физическими константами материала (пределами пропорциональности) — величинами, как правило, весьма малыми по сравнению с единицей. К тому же для квадратичной теории характерно сохранение в выражении для потенциала напряжений, наряду с квадратичными, и кубических членов (пятиконстантная теория Фойхта — Мурнагаца). Для большинства же реальных материалов отклонение от закона Гука обусловливается четными степенями компонент деформации. [c.75]

Аналогия между статическими и геометрическими соотношениями теории оболочек привела В. В. Новожилова (1946) к установлению уравнения в комплексной форме, где неизвестными являются комплексные перемещения. Этот способ применим только для линейных задач равновесия но при их решении он имеет явные достоинства. Уже в первой стадии разработки соответствующей теории были определены несущественные члены в разрешающих уравнениях. Введение комплексных функций позволило понизить вдвое порядок дифференциальных уравнений, что сделало систему уравнений более обозримой. Это имеет большое значение при решении задач с переменными коэффициентами. Например, при рассмотрении осесимметричной или обратносимметричной нагрузки для оболочек вращения задача сводится к уравнению второго порядка, где легко разобраться в осложнениях, вызванных наличием точек поворота. Типичным представителем такого случая является тороидальная оболочка (Е. Ф. Зе-нова, В. В. Новожилов, 1951 В. С. Чернина, 1955), Это замечание относится, однако, к любой оболочке неположительной кривизны в других случаях метод приводит просто к упрощению качественного анализа и нужных при решении выкладок (Р. Л. Малкина, 1954). Любопытно отметить, что существуют задачи, для которых краевые условия могут быть сформулированы в терминах комплексных усилий или перемещений,— в этом случае отпадает необходимость отделения вещественных и мнимых частей до получения решения (в аналитической форме). Задачи этого типа указаны в монографии К. Ф. Черных (1962, 1964), где излон ены все основные результаты, связанные с представлением соотношений теории оболочек в комплексной форме. Отметим из них следующие. [c.242]

В качестве геометрических уравнений возьмем уравнения (10.37), добавив к ним выражение для ф, представляющее собой изменение угла наклона касательной к меридиану после деформации. Значение ф удобно использовать для упрощения решения, так как изгиенения кривизны могут быть выражены через ф, аналогично соотношениям (10.37), следующим образом [c.242]

Диапазоны применимости эмпирических формул для расчета коэффициентов теплоотдачи и гидравлического сопротивления рассматриваемого трубного пучка, приведенных в предыдущем параграфе, заданы посредством безразмерных режимно-геометрических параметров Re /Re , Re , V p> V p- T.JDp, bptd (за исключением температуры наружной поверхности труб н)-Аналогично формируются условия применимости большинства эмпирических соотношений для теплогидравлических расчетов теплообменного оборудования. Для упрощения системы ограничений, задающей область допустимых значений независимых переменных, варьируемых в процессе оптимизации, в качестве последних следует использовать минимальное число абсолютных параметров, а остальные переменные выбирать из указанных выше безразмерных режимно-геометрических параметров. Такой подход дает возможность сократить в системе ограничений число функциональных неравенств [29]. [c.121]

Первые крупные исследования по общей теории упругих оболочек созревают к началу сороковых годов. Освоению и анализу теории оболочек способствовало применение ведущими учеными страны тензорной символики для записи основных соотношений теории. Уравнения совместности деформации впервые вывел А, Л. Гольденвейзер (1939) А, И. Лурье (1940) и А. Л. Гольденвейзер (1940) ввели в теорию оболочек функции напряжения, через которые определяются усилия и моменты, тождественно удовлетворяющие уравнениям равновесия. А, Н. Кильчевский (1940) указал способы построения теории оболочек и решения ее задач на основе теоремы о взаимности. Уравнения в перемещениях геометрически нелинейной теории были опубликованы X. М. Муштари (1939) — изложенный им вариант теории является обобщением упрощенной нелинейной теории пластинок Кармана на оболочки произвольного очертания. [c.229]

Термоупругое тело относится к системам с мгновенной обратимой реакцией. Деформации в термоупругих телах представляют собой однозначные функции Оц и Т. Таким образом, для этого случая коэффициенты Aijjnn и Сц Вц = 0) в определяющих уравнениях (2.1) представляют собой некоторые обычные функции от Oij и Т, удовлетворяющие, кроме того, условию существования полного дифференциала. К тому же выводу можно прийти, используя термодинамический метод. Дальнейшие упрощения в уравнения (2.1) привносятся при наличии свойств физической или геометрической симметрии системы (например, изотропии), малости деформаций, линейности соотношений (2.1), изотермичности процесса. В рамках таких моделей удалось найти эффективное решение многих важных задач о деформации твердых тел. Соответствующие направления в механике твердого деформируемого тела изучались в многочисленных работах советских авторов (В. В. Болотин, Л. А. Галин, Э. И. Григолюк, Н. И. Мусхелишвили, В. В. Новожилов, Г. С. Писаренко, И. М. Рабинович, А. Р. Ржаницын, Г. Н. Савин, В. И. Феодосьев и др.). Работы по этим разделам освещены в других обзорах этого тома. [c.369]

Упрощения, предложенные в работах И. И. Казакевича [25], В. Прагера [461 и др., по существу связаны с аппроксимацией действительной поверхности предельного состояния более простыми геометрическими фигурами. В частности, при использовании гипотезы максимальных касательных напряжений, когда влиянием момента, действующего в широтном направлении, можно пренебречь, И. И. Казакевичем получены следующие конечные соотношения сил и моментов [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...