Медленная поверхность и медленное уравнение

Медленная поверхность и медленное уравнение. [c.168]

Бифуркационные диаграммы главных семейств (3= ).. Множество особых точек полей любого из семейства (3= ) образует гладкое подмногообразие в произведении фазового-пространства на пространство параметров. Бифуркационная диаграмма для главного семейства (3 ) (множество значений параметра, при которых особые точки семейства сливаются) — это множество коэффициентов многочленов степени р+1, имеющих кратные корни. При р=1 это множество — одна точка, при j, = 2 — полукубическая парабола, при ц = 3 — ласточкин хвост (рис. 5). Деформации векторных полей на прямой с вырожденной особой точкой возникают в теории релаксационных колебаний, как уравнения медленных движений в окрестности точки на складке медленной поверхности ( 2, гл. 4). В п. З.Г указаны только топологические нормальные формы таких деформаций. Для приложений существенны также гладкие нормальные формы они исследуются в 5 главы 2 и оказываются очень похожими на главные семейства (3= ). [c.24]

Последнее условие (одномерность ядра) выполняется автоматически для систем обш,его положения при любом числе быстрых переменных, когда число медленных переменных не больше трех. Таким образом, в типичных системах с одним, двумя и тремя медленными переменными уравнение медленной поверхности локальным расслоенным диффеоморфизмом приводится к одному из видов [c.173]

Медленное движение систем с двумя медленными переменными. В этом случае можно довольно подробно изучить семейство фазовых кривых медленного движения вопрос сводится к теории дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Для простоты мы считаем, что быстрая переменная одна. Медленное движение в системах общего положения с любым числом быстрых переменных и всего двумя медленными такое же, как в случае с одной быстрой переменной. Действительно, для систем общего положения менее чем с четырьмя медленными переменными ядро проектирования медленной поверхности одномерно. [c.175]

Ниже описаны нормальные формы, к которым приводятся интегральные кривые построенного поля направлений на медленной поверхности (а следовательно, и фазовые кривые медленного уравнения) расслоенными диффеоморфизмами. [c.176]

Теорема. (В. И. Арнольд, 1984). В окрестности точки складки проектирования медленной поверхности системы общего положения с двумя медленными и одной быстрой переменной семейство интегральных кривых уравнения медленных движений расслоенным диффеоморфизмом медленной поверхности приводится к одной из следующих нормальных форм [c.177]

Поверхность медленных движений и ее проектирование на плоскость медленных переменных вдоль оси быстрых переменных при указанном отображении в пространство 1-струй перейдет в поверхность, заданную неявным дифференциальным уравнением [c.180]

В этом параграфе исследуется асимптотика по параметру решений уравнения с быстрыми и медленными движениями при стремлении параметра к нулю. Здесь рассматриваются только такие системы, в которых особые точки уравнения быстрых движений теряют устойчивость с изменением медленной переменной в результате обращения в нуль одного (и только одного) из собственных значений линеаризации. Другими словами, уравнение быстрых движений при любом значении медленной переменной имеет не более чем одномерное центральное многообразие. Медленная поверхность в этом случае распадается на устойчивую и неустойчивую части, разделенные точками срыва — критическими точками проектирования медленной поверхности на пространство медленных переменных вдоль пространства быстрых. Такие уравнения назовем уравнениями типа 1 в знак одномерности центральных многообразий. [c.183]

В таблице х — быстрое переменное, у п z — медленные, ось Z направлена вдоль складки медленной поверхности, ось у ей перпендикулярна. Во втором и третьем столбцах приведены нормальные формы из п. 2.5 фазовые кривые медленного-уравнения заданы либо первым интегралом, либо соответствующим полем направлений. Предложение 2 доказано в п. п. 3.3,, [c.185]

Теорема. Типичное быстро-медленное уравнение с двумя медленными переменными и одной быстрой в окрестности любой точки на складке медленной поверхности при всех достаточно малых значениях е расслоенным диффеоморфизмом, гладко зависящим от е, может быть превращено в систему [c.185]

Для системы общего положения Л (0) Gi (0) =5 0. Растяжением осей и заменой времени можно добиться того, что Л(0) == = Gi (0)1 = 1. Меняя, если нужно, ориентацию оси х, добиваемся равенства Л(0) = 1. Поскольку О — точка срыва, фазовые кривые по устойчивой части медленной поверхности (л <0) выходят на линию складки. Поэтому Gi (0) <0 и, значит, Gi(0)=—1. Растяжением оси z добиваемся, чтобы коэффициент 3/2 в последнем уравнении заменился на 1. Это доказывает следствие в случае 1. [c.188]

Медленная поверхность системы типа 2 делится на две области — устойчивую и неустойчивую. Первая состоит из устойчивых положений равновесия быстрой системы, вторая — из неустойчивых их общая граница называется границей устойчивости. На устойчивой части медленной поверхности для типичной системы типа 2 открытое множество образуют точки, из которых выходят фазовые кривые медленной системы, трансверсально пересекающие границу устойчивости и такие, что при движении параметра у вдоль медленной кривой пара собственных значений особой точки уравнения быстрых движений переходит через мнимую ось трансверсально и с ненулевой скоростью. Такие точки назовем правильными ниже рассматриваются только правильные точки на устойчивой части медленной поверхности. [c.193]

В простейшем случае медленного стационарного течения пленки под действием силы тяжести без тепло- и массообмена уравнение (10-12) приобретает простой вид, так как поверхность жидкости остается параллельной поверхности пластины, а толщина пленки 6 — постоянной [c.282]

Рассматриваемый итерационный процесс использует предположение о медленной изменяемости решения в координатной поверхности S По сравнению с изменяемостью по толщине слоя. Для уравнений (1.4) на лицевых поверхностях слоя сохраняются те же граничные условия, что и для уравнений (1.1). На боковой поверхности можно задать только одно асимптотически главное условие — нормальное напряжение. Уменьшается также количество начальных условий при I = О задаются перемещения U, К и их скорости как функции переменной С- [c.242]

Температурные напряжения возникают, если температура 0л = 00 внутренней поверхности радиуса А медленно и монотонно возрастает, тогда как температура внешней поверхности радиуса В поддерживается постоянной, причем 0в s 0. Поэтому падение температуры по толщине стенки равно А0 = 00. Создается стационарное состояние распределения температуры, и решение уравнения (4.2) принимает вид [c.138]

Общеизвестно, что полированные поверхности значительно медленнее подвергаются атмосферной коррозии, чем грубо обработанные, шероховатые. На шероховатой поверхности влага может осаждаться в углублениях и трещинах вследствие капиллярной конденсации при температурах, значительно превышающих точку росы. Согласно уравнению [c.154]

Постановка и метод решения прямой задачи обтекания тела с учетом задержки воспламенения. Согласно модели, описанной в п. 1, течение за головной волной (рис. 1) состоит из двух областей индукционной области 1 и области равновесного течения продуктов сгорания 2, разделенных поверхностью разрыва - фронтом медленного горения. Задача нахождения течения состоит в решении двух связных между собой краевых задач для областей 1 и 2. Уравнения, описывающие движение газа в каждой из них, имеют вид [c.80]

Рис. 22.12. Построение отображения Пуанкаре для системы уравнений (22.11) а — траектория располагается на одной поверхности медленных движений б — траектория срывается на вторую поверхность медленных движений и возвращается обратно

Разделив это уравнение на k и решая его относительно r =kt k, нетрудно показать, что на физическом листе римановой поверхности т) оно имеет лишь один нетривиальный вещественный корень г о, причем этот корень лежит между О и 1. Последнее означает, что падающие и отраженные волны являются неоднородными, так как их следы, или проекции волнового движения на выбранную ось — ось X, распространяются медленнее продольных и поперечных волн. Углы падения и отражения оказываются при этом комплексными, а сами волны затухают в направлении нормали к поверхности. Поскольку амплитуды отраженных волн принимают бесконечные значения при конечных амплитудах падающих волн, получающееся отраженное поле можно интерпретировать как самостоятельную поверхностную волну сложной структуры, существующую в твердом теле [8]. Рассматривая потенциалы отраженных волн как потенциалы искомой поверхностной волны, в соответствии с формулами (3.6) представим их в виде (отбрасывая общие знаменатели У коэффициента отражения) [c.199]

В пределе, при j,->- -0, эти траектории медленных движений лежат на самой поверхности и их дифференциальные уравнения получаются из уравнений поверхности F и последних двух уравнений [c.851]

Эти формулы можно использовать также при расчете теплоотдачи на боковой поверхности конуса. По мере удаления от вершины конуса ширина пограничного слоя увеличивается, поэтому толщина его растет медленнее, чем на плоской поверхности. Этот фактор приводит к увеличению интенсивности теплоотдачи на поверхности конуса по сравнению с пластиной. Его влияние можно учесть введением в правую часть уравнений (10.25) и (10.26) поправки, равной / 3. При расчете теплоотдачи конуса величина скорости газа должна определяться по параметрам потока за ударной волной. [c.385]

Джордж Габриель Стокс (1819—1903 гг.)—выдающийся английский физик и математик, профессор Кембриджского университета, автор ряда исследований по математике и гидродинамике. Дал вывод уравнения движения вязкой жидкости (см. гл. 5), исследовал закон медленного движения шара в жидкости и волны на поверхности жидкости. Получил ряд важных математических результатов, в числе которых излагаемая теорема. [c.51]

Медленное уравнение общего положения на двумерной поверхности в может иметь особенности трех типов сложенные узлы, седла и фокусы (см. 2). Вырожденные утки существуют только для сложенных седел и для некоторых сложенных узлов (рис. 83). В случае сложенного седла (при дополнительных условиях невырожденности, которые мы здесь явно не формулируем) справедлив аналог теоремы 1 [126] для любой простой вырожденной утки, проходящей через сложенное седло, уравнение (13е) имеет решение, фазовая кривая которого стремится к вырожденной утке при е- 0. [c.206]

F(z. у, р) = 0, p=dyjdz, и ее проектирование в пространство 0-струй вдоль оси р. Интегральные кривые нашего поля на медленной поверхности превращаются в интегральные кривые неявного уравнения. [c.180]

Будем считать, что в обеих системах медленная переменная одна. Пусть г/(т)—решение первого медленного уравнения, переходящее при т=0 из устойчивой части медленной кривой в неустойчивую. Существуют такие положительные то и т, что решение первой системы с начальным условием (хо, у —То)), близким к у(—То), при малом е сорвется на предельный цикл вблизи точки /(т ). Этот цикл уже имеет радиус порядка 1. Решение второй системы с начальным условием, близким к этому циклу, будет дрейфовать вдоль циклов быстрых систем, соответствующих параметру у —т) и выйдет на медленную поверхность вблизи точки /(0). Тем саьшм, эволюция фазовой точки второй системы не сводится к эволюции фазовой точки первой с помощью обращения времени, в отличие от эволюции аттракторов соответствующих быстрых систем (наблюдается гистерезис). [c.195]

Вместо того чтобы решать уравнения медленного движения при граничных условиях прилипания на поверхности каждой частицы, Хасимото ограничил свой анализ исследованием разбавленных суспензий, заменив каждую частицу точечной силой, затормаживаюш ей движение жидкости. Уравнения медленнога движения были затем модифицированы так, чтобы ввести в них разрывное внешнее силовое поле, состоящее из точечных сил, приложенных в каждом углу ячеек. Хасимото предпочел рассматривать силу реакции, с которой жидкость действует на каждуку частицу, и переписал уравнения медленного движения в следую- [c.435]

Это деГитвительно можно сделать на основании того соображения, что напряжения з,. и т в среднем, очевидно, значительно меньше обоих других напряжений и Именно, на внутренней и наружной поверхностях трубы 3,. и т должны обращаться в нуль, и потому они должны изменяться с увеличением или уменьшением г быстро, в то время как изменение при изменении х, очевидно, должно происходить много медленнее. Из рассмотрения диференциальиых уравнений (27) можно уоедиться в том, что и должны принимать значительно большие значения, чем з,. и т. Кроме того, это подтверждается также и принятыми нами формулами для напряжений, так как можно [c.277]

Здесь штрихи относятся к отраженным волнам. Подставив выражения (21) и (31) для скачков на каждом из фронтов, получим два векторных уравнения (соответствующих четырем скалярным уравнениям в плоскости Q относительно восьми неизвестных четырех амплитуд Л (или — А) отраженных и преломленных быстрых и медленных волн и четырех углов наклона 6 фронтов этих волн (см. рис. 2). Необходимые дополнительные соотношения получаются из условий синхронизации проекций скоростей волновых фронтов S на поверхность раздела 5 (закон Снелла) [c.174]

Углубление получали путем вдавливания в медь иглы с углом при вершине, равном 18°. Пластина с одним углублением погружалась в воду. Вода нагревалась медленно, так чтобы температуры воды и пластины постоянно были одинаковы. Нагревание производилось до тех пор, пока не начинался стабильный процесс образования пузырьков в углублении, их отрыв от поверхности и всплывание. В этот момент измерялась величина перегрева воды. Результаты опытов представлены на рис. ХП-4 в виде точек. Сплопшые линии построены по уравнению (ХП-ЗБ), при расчете в него подставлялся радиус углубления. Из рисунка видно, что величины перегрева, полученные путем расчета и путем измерения, удовлетворительно сов> падают. [c.307]

В действительности, уравнение (4.8) является только простейшим уравнением макроскопической теории котла и применимо, (.если пространственные колебания плотности нейтронов не зави-,сят от энергии нейтронов. Это только частный случай, не всегда имеющий место. Например, регулирующие стержни большей Частью поглощают только медленные, тепловые нейтроны. Поверхность регулирующего стержня, следовательно, является поверхностью, на которой плотность тепловых нейтронов обращается в нуль. Однако плотность быстрых нейтронов на поверхности регулирующего стержня не исчезает, и, следовательно, плотности быстрых и медленных нейтронов в этом случае не пропорционал .-ны друг другу. Проблемы такого типа требуют более сложных уравнений, чем уравнение (4.8). [c.96]

Однородная жидкость, целиком заполняющая замкнутую полость, совершающую колебательное поступательное движение, может находиться в покое относительно полости. Более того, нетрудно убедиться, что такое состояние устойчиво в системе отсчета, связанной с границами полости, все возмущения затухают. Иначе обстоит дело в случае неоднородной жидкости эта неоднородность может быть различной природы — как следствие наличия примеси, неоднородного нагрева, границы раздела между жидкостями с различными свойствами, наконец, просто наличия свободной поверхности. Вообще говоря, в этом случае покой жидкости невозможен, а в тех специальных ситуациях, когда равновесие возможно, оно может оказаться неустойчивым. Решение точных неавтономных уравнений гидродинамики сопряжено с большими техническими трудностями. Однако если вибрации имеют высокую частоту и малую амплитуду, часто для приближенного описания движения возможно эффективное разделение переменных на быстроосциллирующие и медленные средние части, для которых методами осреднения можно получить сравнительно простые уравнения. В данной главе реализован такой подход как для объемно неоднородных (стратифицированных) сред, так и для систем с границей раздела. Изложенные здесь результаты основаны на работах [1-7. [c.72]

В работе [121] подробно рассмотрен механизм вытеснения воды с поверхности металла. Было показано, что полярные маслорастворимые ингибиторы коррозии вытесняют воду с поверхности металла в результате избирательной сорбции на наиболее активных его участках с постепенным распространением по всей поверхности и одновременным закреплением на металле в виде хемосорбционных соединений. Вытеснение воды в этом случае происходит достаточно медленно. Ингибиторы коррозии адсорбционного типа быстрее вытесняют воду с поверхности металла в результате образования с нею водородных связей, солюбилизации, эмульгирования и т. д. Вытеснение воды с поверхности металла связано с избирательным смачиванием, адгезией и когезией продукта, его поверхностным натяжением на границе с воздухом и водой, краевыми углами смачивания и другими показателями, характеризующими физико-химическое состояние рассматриваемой системы [14—16, 19]. Так, равновесие системы нерастекающаяся капля масла (жидкости Ж) —металл (Ме) описывается уравнением Юнга [c.149]

Чтобы получить интересующее нас описание макроскопического состояния вещества, мы должны из микроскопических уравнений вывести уравнения, которые содержат физические величины, меняющиеся в пространстве и времени намного медленнее, чем микроскопические поля е и Ь. Таким образом, мы должны сгладить решения уравнений для точечных зарядов при помощи некоторой процедуры осреднения. Макроскопические величины следует определить как статистические средние по большому ансамблю систем частиц, содержащихся в микроэлементе объема АУ. Полученные таким образом макроскопические величины могут рассматриваться как достаточно гладкие функции пространственных координат и времени, за исключением, быть может, некоторых сингулярных поверхностей и линий, как это имеет место и в других разделах физики сплошных сред. Принятую процедуру осреднения можно обрисовать следующим образом [Mazur, Nijboer, 1953]. Статистическое осреднение символически записывается в виде [c.166]

В системе общего положения медленная поверхность является гладкой. Однако, если система зависит от одного параметра, то при некоторых значениях параметра эта медленная поверхность приобретает морсовскую особенность (квадратичный конус). Как и в случае неявных обыкновенных дифференциальных уравнений, естественной задачей является изучение полных перестроек. Приведённая выше нормальная форма конуса составляет ядро решения этой задачи. [c.290]

Система уравнений (6.9.50), (6.9.51) решалась так ж , как и предыдущие. Расчеты показали, что существуют д)щ режима протекания гетерогенной химической реакции При малых значениях разогрев поверхности невелик и те1 лера-тура поверхности растет довольно медленно, в то вре1уя как концентрация активного газообразного компонента падает до значений, близких к нулю. На рис. 6.9.5 приведе](ы зависимости 0, (т) и Сц, (т) при 02 = о, а = о, /Се = 1000, а = 10- , р = 0,01 для значений А = 300, 250, 50 (кривые 1, 2, 3 соответственно). Из графиков следует, что существует такое А, , что при А < А реализуется первый режим (кривые 2, 3) и воспламенение системы не имеет ме та, а при А > А,., реализуется второй режим протекания гетерогенной реакции, соответствующий воспламенению системы. [c.316]

Условия равновесия сил в мениске обеспечивают такое его расположение в магнитном поле, при котором в каждой точке его свободной поверхности удовлетворяется уравнение (5). Увеличение тока в индукторе и соответственно увеличение значений В в пространстве, окружающем мениск, приводит к дополнительной деформации мениска, уводящей его из области чрезмерно сильного поля. При этом уменьща-ется диаметр мениска, а в силу неизменности объема металла возрастает высота hf . Суммарная мощность, поглощаемая отжатой поверхностью металлаРо. возрастает существенно медленнее, чем Л [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...