Зоны Бриллюэна и их построение

Рассмотрим в качестве примера простую кубическую решетку с параметром ячейки, равным а. В гл. 1 было показано, что для нее обратная решетка — также простая кубическая, причем а = =1/й. Ячейка Вигнера — Зейтца в к-пространстве, т. е. первая зона Бриллюэна, представляет собой в этом случае куб объемом 8л ,1а . Действительно, куб, построенный на трех взаимно перпендикулярных векторах длиной 2п.1а, содержит все неэквивалентные точки, поскольку они не могут быть получены одна из другой с помощью какого-либо вектора Н. Все точки, лежащие вне этого куба, можно получить из точек, расположенных внутри куба. Для построения первой зоны Бриллюэна нужно сместить все точки на вектор (—я/а, —я/а, —я/а). При этом центр куба совместится С началом отсчета к=0. Таким образом, все неэквивалентные значения компонентов вектора к лежат в интервалах [c.219]

Простейший способ построения этих зон состоит в том, что в к-пространстве строят совокупность точек gi, к каждой из которых из начала координат проводят вектора gi и через их середины — перпендикулярные к ним плоскости. Область, ограниченная этими плоскостями, являющимися геометрическим местом точек, равноудаленных от начала координат и ближайших к нему узлов обратной решетки — это первая зона Бриллюэна, а указанные плоскости — ее границы. В векторной форме уравнение границы зоны Бриллюэна записывается в виде [c.62]

ДлЯ построения ферми-поверхности в схеме приведенной зоны проводят радиусом kp несколько сфер Ферми с центрами в нескольких соседних узлах обратной решетки. Легко видеть, что первая зона Бриллюэна действительно будет заполнена полностью, а заключенные внутри сферы Ферми участки второй, третьей, четвертой зон Бриллюэна будут находиться соответственно между двумя, тремя, четырьмя пересекающимися сферами (рис. 4.11). [c.84]

Способы нахождения дисперсионных соотношений для линейных цепочек и общие правила построения зон Бриллюэна для различных решеток описаны в стандартных книгах по физике твердого тела, например в книге Киттеля [119]. [c.36]

В последние несколько лет для определения поверхности Ферми стали использоваться магнитоакустические явления, в частности геометрический резонанс ), Такие измерения особенно полезны потому, что они дают значение к/ для данного направления в к-пространстве, тогда как другими методами этот параметр непосредственно определить нельзя. Вместе с эффектом де Гааза — ван Альфена эти эффекты могут быть использованы для построения поверхности Ферми. Магнитоакустические методы используют тот факт, что при возмущении решетки звуковой волной происходит деформация зоны Бриллюэна, а также поверхности Ферми. Поэтому изменяется также и распределение заполненных электронных состояний. Однако, когда решетка возвраш,ается обратно в невозмущенное состояние, электроны могут прийти в равновесие с этим состоянием только в результате столкновений. Если время релаксации велико (длина свободного пробега I сравнима с длиной звуковой волны), то электроны не успевают прийти в равновесие раньше, чем произойдет следующее смещение решетки в данной точке. Таким образом, электроны смещаются относительно ионов решетки, нарушается зарядовая нейтральность и возникают градиенты электрического поля. [c.115]

Если же смотреть на построение по модели свободных электронов как на количественный метод, то, как уже отмечалось, ее точность для ферми-поверхности порядка 10 % (вблизи граней зоны Бриллюэна это будет так лишь после внесения необходимой поправки, как было указано выше). Хуже обстоит дело с эффективными массами. При сравнении данных, полученных из циклотронного резонанса, с моделью свободных электронов надо учесть, что циклотронный период вдоль определенной орбиты—это лишь часть того периода, который имел бы свободный электрон, перемещаясь по сечению полной ферми-сферы. Лишь этот последний период должен быть связан со свободной массой соотношением [c.268]

Наша первая задача — выделить набор всех волновых векторов внутри и на поверхности первой зоны Бриллюэна, необходимых для построения звезды волнового вектора, а затем — полных неприводимых представлений. Первая зона Бриллюэна для группы показана на фиг. 3. [c.105]

Построим плоскость, перпендикулярную к вектору С и проходящую через его середину тогда (рис. 2.21) произвольный вектор к, проведенный до этой плоскости из точки, выбранной за начало координат, будет удовлетворять условию дифракции. Построенная таким образом плоскость образует часть границы зоны Бриллюэна. [c.84]

Рис. 2.23. Построение первой зоны Бриллюэна для двухмерной косоугольной решетки Кристаллическая решетка имеет вид, показанный на рис 2.19 Вначале проводим векторы, соединяюш,ие точку О с ближайшими узлами обратной решетки. Затем проводим линии, перпендикулярные к этим векторам и делящие их пополам. Получаемый при этом многоугольник с наименьшей площадью является первой зоной Бриллюэна

Рис. 10.7. Построение Харрисона поверхности Ферми для свободных электронов во второй, третьей и четвертой зонах Бриллюэна в случае квадратной решетки. Поверхность Ферми не пересекается с первой зоной Бриллюэна, которая, следовательно, заполнена электронами. Чем плотнее штриховка, тем выше номер зоны.

На рис. 20 проведено такое построение для двухмерной гексагональной плоской решетки рис. 17. Видно, что плоскости брэгговского отражения лежат все гуще прн возрастающем к. Все отражения появляются при значениях к, лежащих на ограничивающих плоскостях только что определенной зоны Бриллюэна или дальше. [c.80]

ЗОННОЙ схемы. Конечная эквивалентная точка (первой) зоны Бриллюэна будет к, так что к к- -д надо прибавить соответствующее Кт (рис. 58). Это построение показывает также, что для каждой пары к, д величина определена и, следовательно, сумма по Кт В (49.7) сводится к одному члену. Если это К = 0, то к + д лежит вблизи /г и в той же зоне Бриллюэна. Такой переход называется нормальным процессом. [c.197]

Геометрическое построение первой зоны Бриллюэна производится аналогично построению зоны Вигнера — Зейтца для прямой решетки ). Из точки к=0 в обратной решетке проводим прямые во все ближайшие узлы решетки. Затем перпендикулярно этим прямым проводим плоскости, равноотстоящие от начала координат и от [c.43]

На первый взгляд может показаться, что каждой паре векторов р и р соответствует большое число векторов обратной решетки Кп, при которых условие (5.14) выполняется. На самом деле, однако, вектор Кп является единственным. Чтобы показать это, разобьем пространство квазиимпульсов на многогранники, имеющие форму первой зоны Бриллюэна, точно так, как это делается при разбиении решетки по методу Вигнера — Зейтца. Различные векторы обратной решетки Кп будут представлять собой векторы, идущие из центра первой зоны Бриллюэна к центрам многогранников. Построим теперь вектор р — р. В сумме (5.13) будут отличны от нуля лишь те слагаемые, для которых волновой вектор фонона к, построенный из конца вектора р — р, попадет в центр одного из указанных многогранников. Ввиду того что величины вектора к ограничены первой зоной Бриллюэна, имеется только один вектор к и один вектор Кп, для которых выполняется соотношение [c.297]

Закончив такое построение, мы получим внутри зоны Бриллюэна пересечение нескольких сс рических поверхностей. Естественно теперь попытаться найти, к каким энергетическим зонам они относятся. Это также довольно нетрудно сделать. Заметим, что [c.129]

Иногда используется еще и третье представление зон. Оно состоит в том, что полная картина, построенная в первой зоне Бриллюэна, периодически повторяется в соответствии с симметрией обратной решетки во всем обратном пространстве. Такое представление для [c.132]

Построение ферми-поверхностей в трех измерениях представляет собой непосредственное обобщение той процедуры, которую мы проиллюстрировали с помощью фиг. 37 на примере двух измерений. Для данной валентности мы точно знаем число электронов на атом, а следовательно, и радиус ферми-сферы. Объем ферми-сферы равен половине произведения валентности на объем первой зоны Бриллюэна. Таким образом, все построения сводятся просто к упражнениям в геометрии и приводят к поверхностям типа показанных на фиг. 39 для гранецентрированной кубической структуры ). Сечения таких поверхностей очень похожи на двумерные картинки, изображенные на фиг. 37, за исключением, разумеется, того, что окружности, отвечающие сферам с центрами в узлах обратной решетки, не лежащих в плоскости сечения, меньше. Отметим, что ферми-поверхности трех- и четырехвалентных металлов с гранецентрированной кубической решеткой совершенно аналогичны тем, которые показаны на примере двух измерений. [c.133]

Хотя термины ячейка Вигнера — Зейтца и первая вона Бриллюэна относятся к идентичным геометрическим построениям, тем не менее последний из них фактически используется лишь для обозначения ячейки в Лг-пространст-ве. В частности, когда говорят о первой зоне Бриллюэна некоторой решетки Бравэ в г-пространстве (связанной с какой-то кристаллической. структурой). [c.99]

Если в к-пространстве (или в Р-пространстве) построить обратную решетку, растянутую в 2л раз, т. е. решетку с векторами 2ла, 2лЬ, 2яс (или 2я Йа, 2лЙЬ, 2яйс ), то все к (или Р-1-про-странство можно разделить на области, в которых имеются физически эквивалентные состояния. Эти области называют зонами Бриллюэна. Многогранник минимального объема, построенный вокруг начала координат в к (или Р-)-пространстве, содержащий все возможные различные состояния, называют первой, или основной, зоной Бриллюэна. С помощью векторов обратной решетки любую точку к (или Р )-пространства можно перевести в первую зону Бриллюэна. [c.219]

В пространстве волновых векторов (в пространстве обратной решетки) определяется так называемая зона Брил-люэна. Ее объем равен объему ячейки обратной решетки, умноженному на (2 л) . Для построения зоны Бриллюэна удобно сначала умножить все линейные размеры обрат- [c.131]

Зона Бриллюэна представляет собой ячейку Вигнера-Зейтца в обратной решетке (ячейка Вигнера—Зейтца прямой решетки и ее построение указаны на рис. 18). При таком определении зона Бриллюэна становится наглядной геометрической интерпретацией условия дифракции 2kG-fiGp=0. [c.63]

Кристаллические структуры твердых тел обусловлены межатомными связями, возникающими в результате взаимодействия электронов с атомными остовами. Вывод металлических структур — ОЦК, ГЦК и ПГ — из электронного строения атомов представляет кардинальную проблему физики металлов [1, 21. В основе квантовой теории металлов лежит теория энергетических зон [3 —11]. Она рассматривает поведение электронов в периодическом поле решетки. Кристаллическая структура определяется дифракционными методами и вводится в зонную модель априори как экспериментальный факт, без объяснения ее происхождения. Разрывы непрерывности энергий электронов приводят к образованию зон Бриллюэна, ограниченных многогранниками, форма которых зависит от симметрии кристалла. Характер заполнения зон и вид поверхности Ферми различны для металлов, полупроводников и изоляторов. Расчеты позволяют получить з нергетическую модель, количественно описывающую энергетическое состояние электронов и физические свойства твердых тел. Однако из зонной модели нельзя вывести кристаллическую структуру, поскольку она вводится в основу построения зон как экспериментальный факт. Расчеты зонных структур и физических свойств металлов получили широкое развитие благодаря теории псевдопотенциала 112—19]. Они позволяют оценить стабильность структур металлов, но не вскрывают физическую природу конкретной геометрии решетки. [c.7]

Рис. 2.2. Построение собственной области узла обратной решетки — зоны Бриллюэна (а) к выводу формулы брегговских отражений электронов на гранях зоны Бриллюэиа (б)

Хотя предельной растворимости в твердом состоянии и не соответствует какое-либо особое значение электронной концентрации ela, тем не менее указанная выше корреляция между этими пара-ме-Грами кажется поистине поразительной по сравнению с аналогичными графиками, построенными в функции состава. Уже-давно было высказацо предположение, что между предельной растворимостью в твердом состоянии и электронной структурой должна быть тесная связь. В 30-х годах Джонсоном была сделана попытка рассчитать величину ограниченной растворимости в твердом состоянии в сплавах на основе меди, используя для этой цели теорию зон Бриллюэна и метод функций Блоха [62]. Концепция Джонса и ее последующее развитие часто цитируются в литературе и поэтому будут кратко рассмотрены ниже. [c.158]

Для того чтобы объяснить основную идею метода свободных электронов, начнем с одномерного случая. При отсутствии потенциала задача сводится к тому, чтобы разбить параболу е(р) = = / / 2т) на участки, соответствующие 1) —л/С/2 <р< й/С/2, 2) —Ы<р<—йК12 и ПК12<р<йК, 3). .., где К = 2л/а (см. рис. 1.4) и привести эти участки путем переноса на пйК к зоне Бриллюэна —йК12<р<ПК/2. Это может быть сделано путем следующего графического построения. Изобразим на плоскости (е, р) много парабол с вершинами в точках О, Д/С, 2пК,... (рис. 14.1). Выделим зону Бриллюэна. Будем считать, что кусок какой-либо параболы относится не только к ней, но и ко всем параболам, для которых он является внутренним , т. е. лежит выше них. Теперь будем рассматривать куски, которые входят в зону Бриллюэна. Самый нижний кусок относится только к одной параболе. Его мы будем считать 1-й зоной. Следующие по высоте куски относятся к двум параболам. В целом они образуют 2-ю зону. Далее идет 3-я зона, состоящая из кусков, относящихся к трем параболам и т. д. Нетрудно увидеть, что эта процедура автоматически дает нам картину зон в пределе, когда потенциал стремится к нулю (ср. с рис. 1.4 и рис. 1.3). [c.266]

В главах 2—7 и 9 излагается теория пространственных групп. В гл. 2 дается описание структуры кристаллических пространственных групп как групп симметрии трехмерного пространства кристалла. Особое внимание уделяется математической структуре кристаллических пространственных групп. Мы не приводим полного описания 230 пространственных групп, так как оно вместе с иллюстрациями имеется в литературе. В гл. 3 дается обзор стандартного материала по теории представлений конечных групп. Хотя этот материал широко известен, он необходим нам как основа для изложения теории представлений пространственных групп. В гл. 4 излагается теория представлений группы трансляций Неприводимые представления групп трансляций кристалла играют центральную роль в теории, поэтому важно рассмотреть их надлежащим образом, а также правильно ввести понятие первой зоны Бриллюэна. Далее в гл. 5 дается детальный вывод построения и свойств неприводимых предста влений и векторных пространств кристаллической пространственной группы . Этот материал оказывается центральным для характеристики собственных функций и собственных значений при их классификации по симметрии. Рассмотрение в главах 6 и 7 посвящено определению коэффициентов приведения для пространственных групп. Эти коэффициенты приведения являются основными входящими в рассмотрение величинами при определении правил отбора. С математической точки зрения они являются коэффициентами рядов Клебша — Гордана в разложении прямого произведения неприводимых представлений двух пространственных групп. [c.19]

Отметим, что для построения зоны Бриллюэна или ячейки обратного пространства методом Шенфлиса следует прежде всего видоизменить обратную решетку, построенную на векторах обратной решетки (21.3). Рассмотрим пространственную решетку, определенную векторами [c.74]

Видоизменение тривиальным образом сводится к умножению всех векторов обратной решетки на 2я. Следуя Эвальду, будем называть решетку, заданную конечными точками векторов 2пВн, решеткой Фурье. Тогда первая зона Бриллюэна получается путем построения Шенфлиса в решетке Фурье. [c.74]

Главы 1 и 2 об анализе структуры кристаллов относятся к числу фундаментальных. Каждое понятие или положение, изложенное в главе 2, существенно используется в главах о зонной энергетической структуре и полупроводни-ка,. Особенно это относится к понятию обратной решетки и зонам Бриллюэна. Общий метод, развитый в [ риложении А для дифракции рентгеновских лучей, также излол<ен в главе 9 в качестве основы для построения теории злектронных энергетических зон. Главу 4 при первом чтении можно опустить. В главах 4 и 5 рассмотрены скорость, квантование и взаимодействие упругих волн в кристаллах к числу вопросов, затронутых в этих главах и используемых позднее, относится определение числа состояний в зоне Бриллюэна и числа состояний на единичный энергетический интервал. [c.13]

Исторически сложилось так, что зоны Бриллюэна практически не используются в дифракционном рентгеноструктурном анализе, однако в теории электронных энергетических зон в кристаллах (гл. 9 и 10) их применение совершенно необходи.мо. Особая важность первой зоны становится очевидной в гл. 10. Построение Бриллюэна показывает волновые векторы к всех падающих лучей, которые могут быть отражены кристаллом посредством брэгговской дифракции. [c.87]

Рис. 9.6. Зависимость энергии от волнового вектора е = h k l2m для свободных электронов, изображенная в схеме приведенной зоны. Такое построение позволяет пояснить общим образом возникновение зонной энергетической структуры кристалла. Ветвь АС представляет собой зеркальное отражение относительно вертикали k — я/а отрезка кривой е(А) для свободных электронов в интервале положительных значений к от к = - -л/а до к = 2л1а. Ветвь А С — соот-ветствующее отражение относительно вертикали к = —л/а отрезка кривой для oTpis-цательных значений к (от k = —я/а до k = —2я/а). Внутрнкристаллический потенциал и(х) будет создавать энергетические щели на границах зон Бриллюэна (например, в точках А я А между перво.й и второй зонами и в точке С между второй и третьей зонами). При этом ширина разрешенных зон и общие характеристики зонной структуры таковы, что в схеме приведенной зоны о них часто говорят просто как о зонах свободных электронов .

Рассмотрим одномерный (линейный) кристалл с иостояннон решетки, равной а такой кристалл построен из N элементарных ячеек длиной а. Чтобы подсчитать число возможных состояний, введе.м нериодические граничные условия для волновых функций, а именно, длину блока иериодичности будем считать равной длине цепочки. Разрешенные значения волнового вектора электрона в первой зоне Бриллюэна определяются аналогично (9.2) [c.329]

Таким образом, для построения первой зоны Бриллюэна нужны четыре вектора обратной решетки если постоянная решетки равна а, то эти четыре вектора суть 2п1а)кх и [c.336]

Параллелепипеды, построенные на являются элементарными ячейками обратной решетки. Соответственно строятся вигнер-зейтцевские ячейки обратной решетки. Они называются зонами Бриллюэна. [c.78]

Дефекты с большими энергиями связп электронов приводят к уровням, которые лежат глубже в запрещенной энергетической зоне. Электроны в таких центрах сильно локализованы. Приближение эффективной массы является невозможным. Для построения волнового пакета необходимы состояния полностью из всей зоны Бриллюэна и из несколькнх зон. Подобные дефекты называются глубокими дефектами (см. Квейссер [103.Х1] и Пантелидес [103.ХУ]). [c.75]

Вверху фермн-сферы проведены вокруг каждого узла обратной решетки. Фермн-поверх-ностн в первых четырех зонах идеитнфнцнруются путем подсчета сфер они изображены в зоне Бриллюэна (а). Те же поверхности можно построить и в зоне Бриллюэна (А) с центром в точке W. Для третьей и четвертой энергетических зон такое построение упрощает вид соответствующих электронных орбит. Заштрихованные области отвечают занятым состояниям в энергетических зонах. [c.130]

Посмотрим теперь, какова связь между построенной нами ферми-поверхностью и дифракционной картиной. Мы уже указывали, что брэгговские отражения возникают каждый раз, когда два состояния с одной и той же энергией отличаются на вектор обратной решетки. При нашем методе построения мы изображаем все состояния, отличающиеся на вектор обратной решетки, наложенными друг на друга в одной и той же зоне Бриллюэна, причем сферы отвечают состояниям с одной и той же энергией — энергией Ферми. Таким образом, пересечения сфер друг с другом соответствуют брэгговским отражениям. Волновой вектор электрона при каждом пересечении переходит на другой сегмент сферы, т. е. движется поферми-поверхности, которая отвечает данной зоне (а именно ее мы и построили). Дифракционная и зонная картины —это существенно тоже самое они просто выражают одно и то же на разных языках. [c.131]

Как мы уже указывали в начале 6, многое из того, что говорилось о зонах полупроводников, относится и к полуметаллам. Здесь также нельзя использовать приближение почти свободных электронов, так как почти вся ферми-поверхность, построенная для свободных электронов, поглощается гранями зоны Бриллюэна и для описания одного состояния необходимо несколько ортогонализованных плоских волн. [c.169]

Взять в ту часть поверхности сферы свободных электронов, которав лежит внутри ге-й зоны Бриллюэна, и подвергнуть ее трансляциям на все векторы обратной решетки. Получаюш,аяся поверхность представляет собой полость поверхности Ферми в схеме повторяющихся зон 1). (Построенную таким образом поверхность принято относить к ге-й энергетической зоне.) [c.172]

При валентности 1 вся поверхность Ферми расположена внутри первой зоны и поэтому в низшем порядке остается сферической поверхность Ферми при валентности 4 изображена на фиг. 9.9.) Показаны все полости поверхности Ферми. Выбранные элементарные ячейки имеют форму и ориентацию первой зоны Бриллюэна. Однако ячейка действительно является первой зоной Бриллюэна (т. е. ее центр находится в точке К = 0> только для поверхностей во второй зоне. На изображениях поверхностей в первой и третьей зонах точка К = О расположена в центре одной из горизонтальных граней, а на изображении поверхности в четвертой зоне она лежит в центре шестиугольной грани вверху справа (или же на параллельной ей противоположной грани, невидной на схеме). Шесть крошечных электронных карманов , составляющих поверхность в четвертой зоне при валентности 3, лежат в углах правильного щестиугольника, получаемого путем смещения этой шестиугольной грани в направлении [111] на длину, равную половине расстояния до противоположной грани. (Соответствующие построения для о. ц. к. металлов можно также найти в работе [4].) [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...