Элементарные обобщенные функции

Элементарные обобщенные функции [c.310]

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Дельта-функция Дирака. Рассмотрим функцию (рис. П.1) [c.491]

Аналитический вид функции Ь х) может быть найден только методами статистической физики. Мы будем называть ее обобщенной функцией Ланжевена, или для краткости просто функцией Ланжевена по своему физическому смыслу она представляет собой степень ориентации элементарных магнитных моментов. Мы увидим в дальнейшем, что существует несколько различных функций Ь(х) — классическая функция Ланжевена и ряд квантовых функций Ланжевена. По этой причине мы не будем пользоваться явным видом функции Ь(х), тем более, что для получения большинства физических результатов существенны только следующие качественные свойства всех функций Ь(х) при X = МоН/КТ 1 (сильные поля и низкие температуры) имеет место эффект насыщения и Ь(х) 1 при х °о. Наоборот, при х 1 (слабые поля и высокие температуры) степень ориентации магнитных моментов мала и Ь(х) 1. Тангенс угла наклона кривой Ланжевена при X = о отличен от нуля Ь (0) 0, и разложение функции Ь(х) при [c.74]

Элементарное изложение теории обобщенных функций (распределений) можно найти в книге . [c.7]

Не пользуясь, однако, в нашем изложении теорией и аппаратом обобщенных функций, мы избрали другой, более элементарный путь, который к тому же в интересующих нас случаях приводит к цели быстрее, минуя вычисления, связанные с обратным преобразованием Фурье. [c.83]

Конечно, есть и в этом методе свои трудности, которые состоят прежде всего в том, что необходимо заранее задаваться аппроксимирующими функциями (ф, 11 , /). В качестве первого приближения эти функции можно выбирать в виде линейных соотношений. В поисках более точного решения задачи требуются другие формы задания функций ф, т) , 1, определяемые из условия равновесия на поверхности или внутри объема тела. Например, для получения уточненных решений могут быть использованы степенные или тригонометрические функции, как это было показано на примере расчета траверсы гидравлического пресса и др. Отметим также, что при выборе указанных функций нужно стремиться к тому, чтобы не получалась сложная система дифференциальных уравнений. Так, например, при расчете станины станка 7540 система уравнений (9Я) оказалась весьма простой благодаря элементарному определению функций ф, т] , I. При другом выборе этих функций можно получить более точные результаты, решив сложную систему дифференциальных уравнений. Из анализа табл. 1 основных типов корпусных деталей машин видно, что большинство из них представляет собой коробчатые пустотелые конструкции с различными перегородками, выступами, окнами, а также рамные или стержневые системы. Все они могут быть успешно рассчитаны при помощи уравнений (23) с некоторыми обобщениями, упрощениями и схематизацией. [c.126]

Г Найти матрицу преобразования обобщенных сил Qi, Q ,. ... .., Q (для системы координат qt, q. ,. .., q ) в обобщенные силы 01, 02,. .., 0 (для главных координат Qj, б ,., ., 9 ). Для этого надо приравнять выражения элементарной работы через обобщенные силы Q и 0, представить в этом равенстве q как функции 0 при помощи преобразования (45) и изменить порядок суммирования. Читатель установит тогда, что искомая матрица преобразования Q в 0 получается транспонированием амплитудной матрицы [c.249]

Решение. Система имеет две степени свободы. За обобщенные координаты примем углы поворотов барабанов и ф . Определим предварительно обобщенные силы как функции обобщенных координат. Для этого составим выражение для элементарной работы задаваемых сил на возможном перемещении [c.406]

При еще более низких температурах существуют магнитные газы в парамагнитных твердых телах. Речь идет о веществах, частицы которых имеют произвольно ориентированные в отсутствие поля магнитные моменты, так что в среднем образец такого вещества не поляризован. При включении поля происходит ориентация элементарных магнитиков и вещество приобретает суммарный магнитный момент. Адиабатическое размагничивание таких тел эквивалентно адиабатическому расширению газа, так как работа размагничивания производится за счет внутренней энергии тела и оно должно охлаждаться. Для количественной характеристики процесса, основываясь на (9.30), введем функцию состояния, обобщенную энтальпию, Н = Н—УЖЖ, дифференциал которой при постоянном давлении и химическом составе системы [c.163]

Какими выражениями определяются энергии магнитного и электрического полей электрической цепи, а также функция рассеивания, обобщенная сила, соответствующая омическим сопротивлениям и элементарная работа напряжений [c.229]

Чтобы сделать более очевидной аналогию с элементарными случаями, приведенными выше, условимся истолковывать обобщенные координаты q в пространстве Г как прямоугольные декартовы координаты заметим, что при этом направление, исходящее из какой-нибудь точки, характеризуется отношениями дифференциалов dq от q, и любую кривую в пространстве Г можно определить, выражая п—1 координат произвольной ее точки как функции от л-й координаты. [c.338]

Обращаясь далее к формулам (16.25 ), убеждаемся после элементарного анализа (с использованием обобщенной теоремы о среднем значении интеграла), что все коэффициенты системы 16.25), кроме Pii, Раг. Pss. обращаются в нуль. Последние же не равны нулю, являясь интегралами от положительных функций. Таким образом bi = bi =Ьз = О, т. е. формулы (16.31) обеспечивают однозначность смещений и углов поворота. [c.598]

Вспомним сначала некоторые элементарные понятия функционального анализа ). Функционал F [i ) (у)] является функцией от функции г] (у). Другими словами, каждой функции г] (у) (внутри определенной области, например, всем непрерывным функциям от I/ в интервале О у функционал ставит в соответствие вещественное (или комплексное) число. Правила вычислений с функционалами представляют собой обобщение правил обычного анализа. Чтобы понять зто обобщение, можно предста- [c.274]

В главе 5 было показано, что линейная реакция многочастичных систем на механические и термические возмущения описывается обобщенными восприимчивостями и кинетическими коэффициентами, которые связаны с равновесными временными корреляционными функциями и запаздывающими функциями Грина. В общем случае кинетические коэффициенты выражаются через корреляционные функции в квази-равновесном ансамбле (см. главу 2). Для слабо неидеальных газов интересующие нас величины можно вычислить элементарными методами, используя теорию возмущений по слабому взаимодействию или плотности. Однако во многих задачах корреляционные эффекты и взаимодействие отнюдь не малы, поэтому приходится суммировать бесконечные последовательности членов в рядах теории возмущений. В таких случаях необходимы более мощные методы, позволяющие, в принципе, производить подобное суммирование. [c.8]

Теорема II не менее (а может быть, и более) важна, поскольку она позволяет решать граничные задачи. Эта теорема показывает, что обобщенные собственные функции ортогональны на (О, к) с весом wZo(w)P(w). Такое свойство ортогональности является более стандартным, чем ортогональность на всем интервале, так как весовая функция положительна. Единственное, в чем теперь состоит трудность, заключается в сложном виде функции Р ш) однако следует заметить, что, хотя Р т) отнюдь не является элементарной функцией, она удовлетворяет двум важным тождествам, которые позволяют преобразовать интегралы, содержащие Р ш), гораздо легче, чем можно было бы ожидать. Эти тождества таковы (см. [4—6]) [c.327]

Синтез индивидуальных технологических маршрутов осуществляется путем их вьщеле-ния из обобщенного маршрута. Исходными данными для такого выделения являются условия Л , характерные для конкретной детали класса (группы). Обобщенный маршрут содержит элементарные логические функции, соответствующие каждой операции [c.432]

В последнее десятилетие получило широкое развитие и применение новое направление в вычислительной математике—метод конечных элементов. Отметим сразу, что, хотя на эту тему уже опубликовано большое число статей, общая математическая теория метода конечных элементов развита в основном в последние годы. Успех в обосновании этой методики был обеспечен прежде всего достижениями в области теории сплайнов. Существует глубокая взаимосвязь между теорией обобщенных функций, теорией сплайнов и методом конечных элементов. Как известно, обобщенные функции могут быть полученй как предельные элементы последовательностей традиционных элементарных функций (полиномы, тригонометрические полиномы, собственные функции краевых задач математической физики). В современном численном анализе в систему элементарных функций были включены сплайны, которые кратко можно определить как кусочные полиномы . Систематическое изучение свойств последних породило теорию сплайн-функций. Отметим, что дифференцируя сплайн-функции необходимое число раз, мы получим обобщенные функции, т. е. сплайн-функции являются интегралами от распределений. [c.5]

В этом разделе будет показано, что элементарные волновые функции бозе-газа на прямой (4.5), (4.8) или на прлупрямой (5.11) являются частными случаями волновых функций более общего вида, которые могут быть названы волновыми функциями обобщенного калейдоскопа. Такой калейдоскоп представляет собой попросту систему бесконечно тонких пластин в многомерном пространстве, которая порождает конечную группу отражений. Это обобщение есть не что иное, как оптическая модель Макгайра. К сожалению, новые волновые функции в Рлг не совпадают более с волновой функцией системы N частиц с парным взаимодействием. Возникающие при этом многочастичные (3,4,6, 8) потенциалы б оказываются в высшей степени не реалистичны. Тем не менее это обобщение проясняет природу волновой функции Бете, демонстрирует ее жесткую структуру, выявляя в полной мере ограниченность рассматриваемых моделей. [c.96]

Случай потенциальных сил. Если все действующие на систему силы являются потенциальными, то для системы, как известно, существует такая силовая функция U, зависящая от координат Xh, Ук, 2,1 точек системы, что сумма элементарных работ действующих сил равна полному дифференциалу этой функции, т. е. LbAfi -bU [см. 126, формула (62)]. Но при переходе к обобщенным координатам q , q ,. . q, все х , у , могут быть выражены через эти координаты и тогда U-=U(qy, q ,. . qs)- Следовательно, вычисляя 6U как полный дифференциал от функции U(Qi, q ,. , . . .., ), найдем, что [c.374]

Функции Qj обобщенных координат да и времени t нааывают обобщенными силами. Равенством (П. 14) до известной степепн разъясняется физический смысл обобщенных сил. Можно утверждать, что обобщенная сила — физическая величина, произведение которой па приращение соответствующей обобщенной координаты равно элементарной работе активных сил, приложенных к точкам материальной системы на перемещениях, которы.м соответствует указанное ириращеиие обобщенной координаты. [c.123]

Как известно, уравнение Софи Жермев — Лагранжа как раз выражает условие равновесия элемента пластизгы Ах, с1г/, что и подчеркивается записью (8.41). Следовательно, L (w) — это интенсивность неуравновешенной суммарной нагрузки, возникающей по области интегрирования А (площади пластины) при задании прогибов в виде суммы (8.35). Удержание N членов в нем означает, что действительную систему заменили системой с N степенями свободы, в которой а (i = 1, 2,. . ., Л ) — это обобщенные перемещения, каждому из которых отвечает деформированное состояние, определяемое функцией fi (х, у). Для того чтобы дискретная система находилась в равновесии но принципу Лагранжа, падо, чтобы j работа всех элементарных сил системы, т. е. [c.251]

Квантовая механика многих тел является непосредственным обобщением квантовой механики одной элементарной частицы. ) Задача по-прежнему сводится к разысканию вероятности получить в результате опыта определенное значение для измеряемой физической величины. Ограничиваясь двумя частицами, координаты которых обозначим через х , у , Zi и Xq, у . будем искать такую функцию координат и времени, которая позволяла бы найти вероятность того, что измерение, произведенное в момент времени обнаружит первую частицу в элементе объема dxi = dXidyidZi вблизи точки Xi, у , Zi, а вторую — в элементе объема dz —dx2dy2dZ2 вблизи точки - 2> У2 2 [c.147]

В уравнениях (4-1)—(4-11) Л1, т], бф — давление, молекулярный вес, обобщенные коэффициенты теплопроводности, вязкости и толщина теплового пограничного слоя топочных газов г, Х з, у з — радиус, коэффициент теплопроводности и удельный вес золовых (сажистых) частиц Гд — град ент температуры внутри частицы Тф, Гз — температуры факела и поверхности отложений q — падающий на экран тепловой поток Е, 63, П — напряженность электрического поля, толщина слоя и пористость отложений р — доля частиц, заряды которых нескомпенсированы противоположными зарядами других таких же частиц бд, R, с, е, g, В, — диэлектрическая и универсальная газовая постоянная, скорость света, заряд электрона, ускорение тяжести, индукция земного магнитного поля, постоянная Больцмана v — число элементарных зарядов (зарядов электрона е), приходящихся на одну частицу / (v) — функция распределения числа элементарных зарядов по размерам частиц г tp — время релаксации частиц при турбулентных пульсациях топочных газов, определяющее длину пробега частиц V, (о,Ч — частота и период турбулентных пульсаций v , Уф — скорость распространения турбулентных пульсаций перпендикулярно стене и скорость топочных газов v — степень турбулентности. [c.117]

Рассмотрим элементарный макрообьем композиционного материала со случайный расположением плоских изотропных слоев (обобщение на случай анизотропных слоев дано в [137]), ортогональных оси х . Описываемое с помощью эффективных материальных функций поведение представительного объема определяется процессами деформирования и разрушения коллективно взаимодействующих элементов [c.157]

На основании этих фактов часто утверждают [44—46], что метод решения, опирающийся на использование обобщенных аналитических функций, является излишне сложным и приводит к громоздким результатам. Эта критика сопровождается рекомендацией использовать для полупространственных задач метод Винера — Хопфа [1—3]. Пока нет сомнений, что любую задачу, которая решается методом Винера — Хопфа, можно решить методом элементарных решений и обратно, выбор того или иного метода определяется личным вкусом исследователя. [c.371]

Всякой (произвольной) системе значений параметров д , дг,. .., д в определенной области их изменения соответствует определенное положение данной механической систем 1. При бесконечно малых изменениях этих параметров данная система получает соответствующие возможные перемещения. Если элементарные изменения (вариации) обобщенных йоординат обозначим через Ьд , Ьдг,..., бд, то вариации декартовых координат точек М , определяющие возможные перемещения этих точек, находятся из предыдущих равенств как полные дифференциалы функций x , у , от к независимых переменных д , дг, , д ., т. е. [c.538]

Аппарат, развитый в первых двух гла.вах книги, иллюстрируется в первой половине параграфа (пп. 1—6) на примере элементарной одномерной задачи. Задача эта имеет явное решение, и применение к ней различных вариантов обобщенного метода собственных колебаний позволяет получить разложения этого решения в беско-вечные ряды по различным функциям. Сравнение этих решений позволит, в частности, проиллюстрировать соотношения между резонансными кривыми, описывающими для одной и той же задачи амплитуду резонансного слагаемого в различных разложениях. В пп. 7—9 стационарные функционалы главы III используются для нахождения собственных значений двух — тоже одномерных— однородных задач. Так как эти собственные значения легко находятся непосредственно, то на этих примерах удается установить практическую скорость сходимости метода Ритца в применении к комплекснозначным функционалам. [c.202]

В обгцем случае решение (3) не удается выразить через элементарные функции или даже через интегралы от элементарных функций. Поэтому обгцим методом приближенного решения уравнений (2) на ограниченных интервалах времени являются различные варианты метода численного интегрирования. Этот метод успешно используется в большинстве практических задач. Однако во многих задачах механики представляют интерес исследования всех возможных траекторий движения системы в обобщенных координатах. Методами численного интегрирования это сделать не удается. [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...