Группа отражений

Итак, группа подстановок (п. 1) эквивалентна группе отражений относительно биссекторных плоскостей. Это значит, что при подстановках (п. 1) каждая из точек предельной поверхности в 0-пространстве переходит в свое зеркальное отражение относительно соответствующей биссекторной плоскости, а предельная поверхность в целом остается неизменной. [c.236]

Всякое лагранжево отображение локально эквивалентно градиентному (нормальному, гауссовому). Особенности градиентных (нормальных, гауссовых) отображений общего положения — те же, что у общих лагранжевых отображений. Простейшие из них классифицируются по группам отражений 4 , Е,., Е , Е [c.449]

Теорема (1972). Ростки лагранжевых отображений общего положения многообразий размерности 5 в каждой точке просты не имеют модулей) и устойчивы. Простые устойчивые ростки лагранжевых отображений классифицируются группами отражений [c.450]

Замечание. Вещественные формы простых особенностей фронтов также допускают описание в терминах групп отражений. [c.452]

Эта поверхность (рис. 265), вместе с поверхностью с = О приложенных на кривой элементов, образуют многообразие нерегулярных орбит группы отражений В . Это наблюдение привело к теории краевых особенностей (1978). [c.462]

Теорема. Типичные эквидистанты типичных гиперповерхностей в пространстве п б измерений локально диффеоморфны дискриминантам евклидовых групп отражений Ап, Оп, Еп- Эти особенности эквидистант устойчивы близкие эквидистанты близких поверхностей имеют такие же особенности. [c.97]

Теорема. Гиперповерхности, проективно двойственные типичным гладким гиперповерхностям в пространстве измерений, локально диффеоморфны дискриминантам евклидовых групп отражений Ап, Оп, Еп- Эти особенности устойчивы. - "Пример. Особенности кривы х и поверхностей -двойственных типичным гладким, устойчивы и те же, что и для эквидистант кривых на плоскости и поверхностей в пространстве (рис. 44 и 45). [c.98]

Теорема. График преобразования Лежандра типичной гладкой функции п 5 переменных локально диффеоморфен дискриминанту евклидовой группы отражений О или Е Ц/ п+1. Эти особенности устойчивы. [c.98]

Теорема. Первообразная типичной гладкой гиперповерхности в пространстве п б измерений локально диффеоморфна дискриминанту евклидовой группы отражений А , Dn или Еп, ее особенности устойчивы. [c.100]

Проекция ребра возврата дискриминанта группы отражений является гиперповерхностью в С . Мы будем называть эту гиперповерхность каустикой группы отражений. Каустики групп отражений встречаются в качестве ответов во многих задачах геометрии особенностей. [c.101]

Этот общий принцип ведёт ко многим интересным формулам, давая значения топологических и других дискретных инвариантов особенностей (числа Ходжа, спектры,...) в терминах геометрии целочисленных выпуклых многогранников — многогранников Ньютона. Много интересных формул такого типа содержится в [33]-[35]. Интересно отметить, что эта связь топологии особенностей с геометрией выпуклых тел полезна в обоих направлениях, так как она даёт возможность использовать связи между инвариантами особенностей (известными из топологии, алгебраической геометрии и т. д.) для получения чрезвычайно нетривиальных теорем комбинаторики выпуклых многогранников. (Доказательство Хованским и Прохоровым отсутствия групп отражений с фундаментальной областью конечного объема в пространствах Лобачевского размерности, превышающей 995, — один из примеров использования этой связи.) [c.33]

Связь между фронтами и группами отражений будет важна в дальнейшем, поэтому мы остановимся на ней подробнее. [c.70]

Группа отражений — конечная группа, порождённая некоторым множеством отражений. [c.71]

Пример 1. Плоские группы отражений являются группами симметрий h n) правильных п-угольников (рис. 40). [c.71]

Число точек орбиты типичной точки под действием группы отражений равно числу элементов группы. Однако, некоторые орбиты меньше. Такие орбиты называются нерегулярными. [c.72]

Таким образом, предыдущая теорема утверждает, что фронты, определённые производящими семействами А, О, Е, диффеоморфны обобщенным ласточкиным хвостам, ассоциированным с соответствующими неприводимыми группами отражений. [c.72]

Связь между особенностями фронтов и теорией групп отражений оказалась мощным инструментом при изучении геометрии фронтов, предоставляя возможность использовать теорию инвариантов, групп и алгебр Ли, алгебраическую геометрию и т. д. [c.75]

Время t, рассматриваемое как функция на пространстве-времени, не имеет критических точек. Следовательно, изучение перестроек типичных движущихся волновых фронтов ведёт к изучению функций, не имеющих критических точек, на пространстве, содержащем большой фронт (особенности которого известны). А именно, мы приведём функцию времени к нормальной форме диффеоморфизмами, сохраняющими большой фронт. Это достаточно просто в случае, когда большой фронт диффеоморфен дискриминанту группы отражений [c.76]

Функции на В называются инвариантами (так как для а В —> С функция аож С> —> С инвариантна относительно группы отражений, и любая инвариантная функция допускает представление аож). [c.82]

Явные формулы для компонент базисных полей, касающихся дискриминантов групп отражений, имеются в [1], [98], [100]. Так как эти [c.84]

Размерность алгебры Ли векторных полей, касающихся фронта лежандрова отображения (или дискриминанта группы отражений), бесконечна. Однако, мы можем построить конечномерную алгебру Ли, заменяя каждое векторное поле его линейной частью в нуле. В большинстве вычислений, использующих касающиеся фронтов векторные поля, достаточно знание этих конечномерных алгебр. В отличие от сворачивания полных инвариантов, алгебра линеаризованных сворачиваний допускает простое явное описание в терминах умножения в локальной градуированной алгебре соответствующей особенности. [c.87]

Будем обозначать касательное пространство в нуле к многообразию орбит группы отражений через Т, двойственное ему пространство — через Т. [c.87]

Связь между этими функциями и соответствующими группами отражений объяснена ниже. Рассмотрим версальную деформацию крае- [c.88]

Отображение периодов сопоставляет точке базы элемент пространства когомологий слоя над этой точкой элемент определён с точностью до действия группы монодромии. В случае простой особенности мы получим отображение многообразия Л Е (дополнения к бифуркационному множеству в базе версальной деформации) в многообразие орбит соответствующей группы отражений. [c.110]

Теорема 10. Главное отображение периодов для простой особенности может быть продолжено до изоморфизма, отправляющего базу А в пространство орбит соответствующей группы отражений, и [c.110]

Бифуркационные диаграммы нулей простых краевых особенностей совпадают с дискриминантами (пространствами нерегулярных орбит) соответствующих групп отражений ( 4.2). Эти алгебраические многообразия имеют однозначно определённые касательные гиперплоскости в начале координат ( Л = О в введённых обозначениях). [c.184]

Для дискриминантов групп отражений ответ был найден О.В.Ляшко [159], [160] [c.189]

Теорема 4. Группа совпадает с фактором группы автоморфизмов группы отражений, сохраняющих множество отражений, по инвариантной подгруппе внутренних автоморфизмов. Эта группа состоит из 2-х элементов для случаев >2Ь, В2, Г4, /г(2А ) и изоморфна группе перестановок З-х элементов для случая Оц. В остальных случаях эта группа тривиальна. [c.189]

Горюнов обнаружил, что простые линейные особенности классифицируются группами отражений. Иерархия неизолированных особенностей отражает иерархию серий особенностей. Например, в обозначениях [28], [c.193]

На рисунке 5 можно также увидеть форму 0-графика функции времени. Каждая эвольвента должна быть рассмотрена как плоская кривая, принадлежащая расположенной на высоте t горизонтальной плоскости (эта горизонтальная плоскость является изохроной пространства-времени). Поверхность в пространстве-времени, заметённая эвольвентами, имеет два ребра возврата (порядков 3/2 и 5/2) и линию самопересечения. Порядок касания рёбер возврата равен 3. Эта поверхность (рис. 102) диффеоморфна многообразию нерегулярных орбит группы отражений Яз (то есть группы симметрий икосаэдра). [c.215]

В свою очередь, эта задача тесно связана с теорией корневых систем, играющих важную роль в современной математике (конечные группы отражений евклидовых пространств, полупростые алгебры Ли и т. д. см., например, [35]). Неожиданная связь между вполне интегрируемыми обобщенными цепочками Тоды и корневыми системами, подмеченная впервые О. И. Еюгоявленским [180], выглядит весьма таинственной. [c.348]

Е. Лойенга показал, что вещественные компоненты дополнения к простому ростку фронта нумеруются классами инволюций (элементов порядка 2) в нормализаторе группы отражений, сопряженных по отношению к действию этой группы отражений [c.453]

Группа отражений в действует также на комплексном пространстве С . Орбиты этого комплексного действия образуют гладкое многообразие орбит В, диффеоморфное (это следует из обобщения теоремы о симметричных функциях). Отображение В, отправляющее точку в её орбиту, называется отображением Виета. [c.71]

Успех достигается с помощью результатов теории инвариантов групп евклидовых отражений. В конце этой главы излагается теория отображений периодов, развитая А.Н.Варченко и А.Б.Гивенталем. Эта теория может рассматриваться как обобщение на случай непростых квазиоднородных особенностей геометрии векторных полей, касающихся дискриминантов групп отражений. [c.81]

Напомним некоторые обозначения. Группа отражений действует на евклидовом пространстве и на его комплексификации С . Многообразие орбит В диффеоморфно С . Обозначим через тг —) В [c.81]

Биголоморфный диффеоморфизм базы версальной деформации в многообразие орбит группы отражений, отождествляющий бифуркационную диаграмму с дискриминантом, не единствен. Такие диффеоморфизмы (точнее их ростки в нуле) будут называться допустимыми отождествлениями базы с многообразием орбит. [c.89]

И Я4 (группа симметрий гиперикосаэдра — правильного многогранника, имеющего 120 вершин, в четырёхмерном евклидовом пространстве). Особенности, связанные с этими группами отражений, были открыты О.В.Ляшко, О.П.Щербаком и А.Б.Гивенталем. В главе 7 мы обсудим эти особенности. [c.91]

Для любого базиса (oi,...,a ) пространства Т векторы Wa линейно независимы в любой точке Т, не принадлежащей гиперплоскости, касающейся многообразия нерегулярных орбит (соответствующая группа отражений неприводима). [c.94]

Выбор к обоснован поведением отображения Виета на зеркалах простой особенности. Для функции Морса отображение периодов асимптотически равно аХ - - Следовательно, к-е ассоциированное отображение ведёт себя подобно Для га = 2 - - 1 первый член этой асимптотики равен Таким образом, при этом выборе к, к-е ассоциированное отображение периодов функции Морса имеет в А = О простейшее ветвление второго порядка (как у функции л/А) Этот пример показывает, что для любой функции га переменных к-е ассоциированное отображение периодов (с определённым выше к) имеет ту же особенность, что и обратное отображение Виета в типичных точках дискриминанта (многообразия нерегулярных орбит) группы отражений.] [c.110]

Эта теорема, следующая из результатов Э.Лойенги [105], показывай ет, что главное отображение периодов обобщает сворачивание инвариантов групп отражений. [c.111]

С другой стороны, график функции времени в плоской задаче об обходе препятствия локально диффеоморфен многообразию нерегулярных орбит группы симметрий икосаэдра (группы Яз в классификации Кокстера групп отражений). В пространственной (трёхмерной) задаче об обходе препятствия эта поверхность появляется как особенность фронта (в точке касания асимптотического луча поверхности препятствия). [c.197]

Группа симметрий гиперикосаэдра порождена 4 отражениями евклидова пространства. Эта группа отражений обозначается через Н . Соответствующая диаграмма Дынкина [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...