Действие гамильтоново

Об однородности гамильтонова действия. Гамильтоново действие вдоль кривой в расширенном конфигурационном пространстве определяется интегралом, в котором подынтегральное выражение имеет вид [c.233]

Вариация функции ( координаты, интеграла, кинетической энергии, переменной, гамильтонова действия, действия по Мопертюи...). [c.11]

Эго уравнение представляет частный случай уравнения Гамильтона (21) 110. Эти уравнения имеют важное значение в гамильтоновом изложении геометрической оптики. Конечно, физический смысл функции U в волновой теории света другой, там она измеряет время распространения, а не. действие". В соответствии с этим основанием формулы служит тогда вместо принципа наименьшего действия" принцип. наименьшего времени", который сформулировал Ферма ( 111). [c.274]

Применяя прямо равенство (45), мы увидим, что А будет зависеть от /q, и от 2 произвольных постоянных, которые входят в общий интеграл лагранжевой системы (31) или эквивалентной ей гамильтоновой системы (31 ) и которые мы можем отождествить с начальными значениями величин и р. Наоборот, аргументы входят в А только в виде бинома действительно, так как дифференциальные уравнения не зависят от t, то это переменное появится в решении а и, следовательно, в функции под знаком А только в виде бинома t — отсюда следует, что после выполнения интегрирования действие А будет зависеть только от ty — (но не от или /ц в отдельности). [c.442]

Отсюда легко видеть, что действие A(q l [ ) в рассматриваемом здесь случае, когда кинетический потенциал и, следовательно, функция Гамильтона не зависят от t (предыдущая глава, п. 38), приводит к интегрированию лагранжевой системы или, точнее, соответствующей гамильтоновой системы по методу Гамильтона — Якоби. [c.445]

Здесь уместно следующее замечание, аналогичное сделанному в конце предыдущего пункта. Уравнения (56 ), (56"), которым удовлетворяет действие А ( ( ), в зависимости от того, рассматриваются ли в качестве независимых переменных q или были найдены Гамильтоном, который показал также, какую пользу можно извлечь из действия А как для интегрирования соответствующей системы Гамильтона, так и для обнаружения ее важных свойств. Якоби принадлежит также и в этом частном случае кинетического потенциала, не зависящего от t, более легкий метод интегрирования гамильтоновой системы, полностью развитый в п. 39 предыдущей главы и основанный на знании какого-нибудь полного интеграла только одного уравнения (56 ). [c.447]

Таким образом, алгоритм введения переменных действие-угол в гамильтоновой системе с одной степенью свободы выглядит так. Из уравнения H q, р) = h находим функцию р = p q, /г), а затем вычисляем переменную I как функцию h [c.372]

Определенное таким образом действие есть минимум. Это — гамильтонова форма принципа наименьшего действия. Предположим теперь, что [c.499]

ЯВЛЯЮТСЯ функциями линейными, но не однородными относительно х Гамильтоново действие сохраняет тот же вид [c.501]

Установив это, возьмем гамильтоново действие ] в виде [c.502]

Для своих расчетов Гельмгольц избрал гамильтонову форму принципа как наиболее удобную, снабдив ее некоторыми дополнениями, скорее формального характера. Величину, интеграл по времени которой представляет действие Гамильтона, он назвал кинетическим потенциалом . При этом, однако, он еще сохранил предпосылку, что принцип наименьшего действия по существу является механическим но это ограничение в его анализе уже несколько отступило на задний план, так как при рассмотрении многих систем, например гальванических токов, магнитов, ему не надо было входить в рассмотрение их специальных механических свойств. Зато Гельмгольц уже тогда предпринял решительный шаг, заключающийся в том, что кинетический потенциал он не стал выводить из энергии как разность кинетической и потенциальной энергий, что делалось до него, а, наоборот, взял за основу кинетический потенциал в качестве первичной величины и из него определил как все другие законы движения, так и величину энергии. [c.586]

Если взять гамильтоново действие, то поверхности равного действия в консервативном поле для частицы, движущейся из точки О в точку А, МЫ получим, определив значение интеграла от Т+ и = Т — I/) по времени движения между этими точками допустив, что на поверхности 2 гамиль- [c.874]

В таком случае, если обозначить лагранжево действие в точке А через V, то гамильтоново действие для той же точки будет [c.875]

Таким образом, гамильтоново действие связано с движущейся частицей, или, иначе говоря, оно имеет значение только в точках, через которые проходит частица. Однако гамильтоново действие имеет и более общий характер и может быть определено для каждой точки траектории и в каждый момент времени. Пусть в момент времени t частица проходит через точку А, тогда (98) определит гамильтоново действие частицы в этой точке. Однако и после того, как частица пройдет А (или раньше, чем она достигнет точки А), формула (98) определяет гамильтоново действие в этой точке для каждого момента времени I. Из формулы (98) видно, что с течением времени гамильтоново действие в точке А убывает по величине, а в данный момент времени оно возрастает вдоль траектории. [c.875]

Возьмем на различных траекториях те точки, для которых гамильтоново действие в момент времени i имеет то же значение 5, как в точке А. Тогда (98) показывает, что для всех этих точек лагранжево действие будет одинаково 5 -р Ш. Следовательно, точки равных значений гамильтонова действия в данный момент времени будут покрывать поверхность равного лагранжева действия. Это имеет место для всех моментов времени и для всех точек на траектории. [c.875]

Таким образом, поверхности равного гамильтонова действия 5 совпадают во всякий момент времени с поверхностями равного лагранжева действия V. [c.875]

Легко показать, исходя из (98), как поверхность равного гамильтонова действия должна двигаться для того, чтобы оставаться связанной с одним и тем же фиксированным значение.м действия. Поверхность эта должна двигаться нормально к траекториям со скоростью, определенной в каждой точке и равной Я/р, где р — величина импульса частицы в рассматриваемой точке. Эта скорость совпадает с той, которую де Бройль ввел для волновой скорости своих волн и, следовательно, для скорости их волновых фронтов, а так как волны де Бройля также перпендикулярны к их траекториям, то отсюда вытекает, что его волновые фронты движутся вдоль поверхностей равного гамильтонова действия. [c.875]

Вторая форма принципа Гамильтона. Гамильтоновы канонические уравнения движения. Пусть Г — какая-нибудь кривая в пространстве QT, соединяющая точки В и В. Мы определим гамильтоново действие вдоль кривой Г следующим интегралом [c.221]

Поле векторов уг вдоль кривой Г задано каким-нибудь образом, совместимым с уравнением энергии (67.2). Таким образом, гамильтоново действие зависит не только от одной кривой Г, но также и от задания поля вдоль Г. [c.222]

Варьируем кривую Г (как на рис. 32 65) и в то же время проварьируем у каким-либо образом, совместным с уравнением (67.2). Получаем следующее выражение для вариации гамильтонова действия [c.222]

Если принять во внимание условие (68.3), то кривая стационарного гамильтонова действия, т. ё. кривая, удовлетворяющая уравнениям [c.222]

Параметр w в уравнениях (68.7) есть специальный параметр в том смысле, что его нельзя изменить, если только задана функция Q. Так как элемент гамильтонова действия равен [c.223]

После того как это сделано, безразлично, излагать ли динамику в терминах Л или L или положить в основу уравнение Q = О или Н. Соответствие устанавливается требованием равенства лагранжева и гамильтонова действий для произвольной кривой в пространстве QT. [c.226]

Согласно определению (69.1) это — элемент гамильтонова действия dAu, соответствующий уравнению энергии [c.227]

Тогда элемент гамильтонова действия мо кно представить в виде [c.228]

Пусть Г — луч (или траектория), соединяющий точки В ж В. Определим двухточечную" ) характеристическую, или главную, функцию как лагранжево или гамильтоново действие (они равны) от точки В до В вдоль этого луча. Обозначим ее через 8 В, В). Это — функция двух точек в пространстве QT. Она может не существовать для некоторого выбора двух точек, так же как может не существовать луч, соединяющий эти точки. Она может быть однозначной (две точки соединяют один луч) или многозначной (две точки соединяют несколько лучей). Но мы не будем сейчас касаться этих тонкостей. В случае многозначности будем выделять одно значение функции. [c.235]

Волны постоянного действия (лагранжева илп гамильтонова) ). Построение Гюйгенса. Определим волны постоянного действия (лагранжева или гамильтонова в обоих случаях они одни и те же) для когерентной системы лучей или траекторий, введенной в 74, следующим условием ) [c.245]

Рис. 40. Луч или траектория Г в <3 и движущаяся волна постоянного действия — лагранжева или гамильтонова. За время dt перемещение вдоль луча равно DD, а перемещение волны — DE.

ТОЧКИ на Г В момент времени t, то гамильтоново действие от точки D до точки D согласно (68.1) равно [c.273]

Едва ли стоит упоминать о том, что левая часть равенства (53.25) отнюдь не представляет собой вариации гамильтонова действия, а также 598 [c.598]

Это утверждение связано с общей теоремой, принадлежащей Э. Нетер любому непрерывному обратимому преобразованию координат, при котором функция действия S (см. гл. С) данной гамильтоновой системы остается инвариантной, соответствует первый интеграл уравнений Лагранжа этой системы. Функция действия S = j L-di отражает, естественно, инвариантные свойства лагранжиана. См. [c.62]

Если преобразование из группы Ли — Беклунда оставляет инвариантным функционал действия гамильтонова Н. у. м. ф., то оно имеет интеграл движения — функционал, не зависящий от времени. Интегралы движения образуют алгебру Ли относительно скобок Пуассона, изоморфную нек-рой подалгебре алгебры си.мметрий. [c.316]

Принцип наименьшего действия в гамильтоновой форме выражается в классической динамике следующим образол [c.653]

Пользуясь формализмом Лагранжа, легко удовлетворить требованию релятивистской инвариантности, выбирая действие, т. е. интеграл, от лагранжиана по времени в виде, инвариантном относительно группы Лоренца. Мы не знаем столь же простого пути релятивизации гамильтонова формализма. При создании квантовой теории приходится исходить из гамильтонова формализма. Существуют надежные правила перехода от классической гамильтоновой динамики к квантовой динамике, основанные на зал1ене координат и импульсов линейными операторами. Эти правила в простых случаях приводят к однозначным результатам и хотя в более сложных случаях их нельзя применить без известной неоднозначности, они показали себя вполне пригодными для любой практической цели. [c.705]

Канонические уравнения оказывались, по существу говоря, математическим выражением принципа Гюйгенса, рассматриваемого в его первоначальном геометрическом виде. Механическое движение с этой точки зрения рассматривается как непрерывное саморазвертывание касательного преобразования. Глубокая аналогия между идеями гамильтоновой механики, не зависящей от выбора системы координат, и геометрией многомерных пространств привела к геометризации механики. Было выяснено, что разыскание движения голономных систем со связями, независимыми от времени под действием сил, имеющих потенциал, может быть сведено к задаче геодезических линий. Механика Герца, основанная на его принципе прямейшего пути, была геометризована в н-мерном пространстве однако она, несмотря на последовательность построения, оказалась малоплодотворной в силу сложной замены сил связями со скрытыми, вообще говоря, системами. [c.841]

Однако лгежду этими поверхностями существует одно существенное и важное различие. Поверхность равного лагранжева действия есть фиксированная поверхность, которая не меняет своего положения с течением времени. Что же касается поверхности равного гамильтонова действия, то она не остается фиксированной, так как мы видели, что величина гамильтонова действия в какой-либо фиксированной точке меняется с течением времени. [c.875]

Хотя интеграл А вида (83.1), (83.3) или (83.4) принято называть одним словом действие (ср. Уиттекер [28], стр. 277 Г олдстейн [7], стр. 253, 254), кажется целесообразным иметь какое-то прилагательное, чтобы отличать этот интеграл от лагранжева или гамильтонова действия 64, 68. Обычно с интегралом А в частности в форме (83.4) или в форме гп v ds для одной частицы) связывают имя Мопертюи. Будем употреблять этот термин, хотя, может быть, исторически справедливо было бы назвать этот интеграл действием Эйлера ср. Dugas, цит. соч., 1, стр. 250-264. [c.275]

Можно также построить релятивистскую динамику на гамильтониане. Пусть ут — гамильтонов 4-вектор ), соотнесенный событию Хг. Определим в пространстве — времени гамильтоново действие вдоль какой-нибудь кривой интегралом (68.1) (изменив при этом зпак) ) [c.402]

Доказанное нами свойство интеграла (35.2) и составляет содержание принципг Гамильтона (Hamilton). Сам интеграл W обыкновенно называют действием по Гамильтону и самому принципу дают такое выражение гамильтоново действие по прямому пути из данного начального положения системы в данное конечное положение имеет ста1[ионарное значение по сравнению с действиями по окольным путям, идущими между теми же [c.361]

Видоизменение принципа Даламбера для систем е неинте-грируемыми связями. Непосредственное применение принципа Даламбера к выводу уравнений движения систем с неинтегрируемыми связями представляет то неудобство, что в состав аналитического выражения принципа входят дифференциальные выражения второго порядка, а это иногда значительно затрудняет переход от одних переменных к другим. С другой стороны, интегральные принципы, а именно, принципы Гамильтона, Лагранжа, Гельмгольца, хотя и содержат выражения первого порядка, но они несправедлявы для систем с неинтегрируемыми связями. Между тем, если равенство, выражающее принцип Даламбера, подвергнуть одному, почти очевидному, преобразованию, то мы получим формулу, весьма удобную для приложений, содержащую выражения первого порядка и по внешнему виду аналогичную формуле для вариации гамильтонова действия. [c.596]

Поскольку / , /яг =0, МОЖНО показать, что К.— де Ф. у,— интегрируемая гамильтонова система, и явно ввести переменные действие — угол. Гамильтонова структура (1) не является единственной, выбором скобок Пуассона можпо сделать ф-цией Гамильтона любой из ннтегралов [c.468]

Класснч. электродинамика не противоречит возможности существования маги, зарядов. Однако, в отличие от поля электрнч. зарядов и токов, иоле, создаваемое магн. зарядами, не может бглть описано с помощью нектор-нотенциала ((х=0, 1, 2, 3) непрерывного 110 всем пространстве. Поэтому при наличии магы. зарядов ур-иия движения заряж. частнц не выводятся из вариационного наименьшего действия принципа. В классич. электродипамике это не приводит к принципиальным трудностям (хотя п делает теорию несколько менее красивой), ио квантовую динамику невозможно сформулировать вне рамок гамильтонова формализма или лагранжева формализма, основанных на вариац. принципе. [c.687]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...