Уравнения совместности линейных деформаций

Уравнения совместности линейных деформаций [c.75]

Одной из важнейших задач сопротивления материалов является оценка жесткости конструкции, т. е. степени ее искажения под действием нагрузки, смещения связей, изменения температуры. Для решения этой задачи необходимо определить перемещения (линейные и угловые) любым образом нагруженной упругой системы (балки, рамы, криволинейного стержня, фермы и т. д.). Та же задача возникает при расчете конструкций на динамические нагрузки и при раскрытии статической неопределимости системы. В последнем случае, как уже отмечалось, составляются так называемые уравнения совместности деформаций, содержащие перемещения определенных сечений. [c.359]

Рассмотрим случай малых деформаций и перемещений, когда справедливы линейные уравнения. Для вывода уравнений совместности исключим из уравнений Коши (2.14) перемещения и, и, w. [c.34]

Уравнения совместности деформаций также тождественно удовлетворяются, так как напряжения являются линейными функциями пространственных координат. [c.129]

Таким образом, решение задачи для физически нелинейной упругой среды сводится к решению уравнений равновесия (4.4) гл. III и уравнений совместности деформаций (4.6) гл. III с учетом соотношений (4). Очевидно, что рассмотрение задач плоской деформации и плоского напряженного состояния (как и для линейной среды) можно проводить единым образом, поскольку различие сказывается лишь на значениях постоянных. [c.668]

Уравнения (137) устанавливают линейную зависимость но переменным а 1 и ГС2, которая в общем случае не справедлива. В случае плоской деформации эти три уравнения совместности не учитываются. Таким образом, предположение о плоском [c.45]

Смешанная форма решения, согласно которой в качестве основных неизвестных вводятся функции прогиба и напряжений [150], предусматривает удовлетворение уравнения совместности деформаций, которое следует из равенств (75) и заменяет соответствующее линейное уравнение (44), [c.189]

Указанным условиям удовлетворяют линейные уравнения теории упругости, а именно, общее решение уравнений равновесия (совместности деформаций) выражаются при помощи оператора, являющегося формально сопряженным оператору, входящему в уравнения совместности деформаций (равновесия). [c.451]

Теперь мы кратко рассмотрим основные положения методов граничных элементов, применяемых в линейной теории упругости, которые основаны на интегральных уравнениях. Рассмотрим глобальную пробную функцию Uk (т. е. функцию, заданную для всего твердого тела) и глобальную весовую функцию о. Пусть уравнения совместности, а также зависимости между напряжениями и деформациями будут удовлетворяться априори, т. е. [c.203]

В общем случае (1.11) — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. С учетом граничных условий для функции и (г) на контурах г = Ь и г а оно легко может быть решено численным методом при использовании ЭВМ. Для диска постоянной толщины при постоянных параметрах упругости и в некоторых других случаях это уравнение имеет замкнутое решение. Дифференциальные уравнения растяжения диска в напряжениях представляют собой систему двух уравнений относительно и — уравнения совместности деформаций (1.10) и уравнения равновесия (1.3). [c.10]

Функция напряжений ф (М), соответствуюш,ая действительному распределению off (М), должна удовлетворять уравнениям совместности деформаций (1.14), которые для однородного линейно-упругого тела приводят к бигармоническому уравнению [11] [c.42]

Общие замечания. Совместное решение полученной выше нелинейной системы уравнений представляет большие трудности. Однако, как и в случае плоской деформации, часто возможно разбить систему на две группы уравнений, решаемые последовательно уравнения для напряжений и уравнения для скоростей. Если напряжения найдены, то для скоростей v г уравнения будут линейными. [c.214]

Подставляя это выражение, а также полученные выше формулы для А/з и А/4 в уравнение совместности деформаций и объединяя результат с уравнениями равновесия, после преобразований, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно усилий [c.57]

Авторы работ [146, 236, 240, 254, 265] предлагают решение контактной задачи без использования каких-либо аналогий и стыковочных элементов. В отличие от предыдущего подхода, где контактные элементы объединяют взаимодействующие тела в одну систему, для работ данного направления характерно раздельное рассмотрение контактирующих тел. При этом общая система пополняется определенным количеством уравнений совместности, кратным числу контактирующих узлов. Для решения задачи обычно применяется пошаговый процесс нагружения [240, 244] с уточнением граничных условий на каждом шаге итерационным методом. Приращения нагрузки выбираются достаточно малыми [146] для сохранения линейной связи между перемещениями и деформациями в пределах каждого шага по нагрузке. Такой подход требует многократного решения краевой задачи, а также построения сложных итерационных алгоритмов корректировки граничных условий. [c.12]

Примеры 4.7 и 4.8 позволяют увидеть общие свойства разрешающих уравнений для статически неопределимых систем, состоящих из уравнений равновесия и уравнений совместности деформаций. Как видно, уравнения равновесия (4.6.8) или (4.6.16), (4.6.17) являются линейными и однородными алгебраическими уравнениями. По их недостаточно для определения неизвестных [c.97]

УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ [c.133]

Уравнения совместности иногда называют условиями сплошности непрерывного поля смещений. При их невыполнении нельзя говорить о непрерывности вектора и (г ), т. е. о сплошности среды. Если ограничиваться линейными деформациями, то восстановление вектора и (г ) по компонентам тензора деформаций можно провести при помощи криволинейного интеграла, получая при этом необходимые условия для суш,ествования непрерывного поля и (г), т. е. условия совместности компонент тензора деформации. [c.81]

Рассмотрим классическую линейную трехмерную среду (гл. 4). Как показано в 4.7, уравнение совместности деформаций (4.7.8) является [c.266]

Это уравнение совместности деформаций. Упростим его, полагая равной нулю деформацию сдвига 12 и линейную относительную окружную деформацию 22- Имеем [c.101]

Уравнения совместности (5.63Ь) в случае бесконечно малых деформаций представляют собой шесть независимых линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка относительно е . [c.92]

Отличие построения геометрически нелинейной теории пологих оболочек от линейной состоит в том, что, во-первых, используются уточненные (нелинейные) геометрические соотношения между составляющими перемещения и параметрами тангенциальной деформации, во-вторых, вместо третьего уравнения равновесия используется уточненное, составленное для элемента оболочки, вырезанного из деформированной оболочки. Наконец, изменяется и уравнение совместности деформаций. [c.188]

В общем случае указанные вычислительные задачи решаются методами математической теории оптимальных процессов, а при замене дифференциальных уравнений равновесия (или совместности деформаций) системой линейных алгебраических уравнений — методами линейного программирования с использованием соответствующих стандартных или специальных подпрограмм для ЭВМ. [c.330]

Рассмотрим теперь совершенно произвольную стержневую систему самого общего вида пусть степень ее статической неопределимости равна р при числе стержней п. Занумеруем стержни цифрами от единицы до п, пусть длина стержня номер I есть напряжение в нем а,., удлинение А/,, относительная деформация Уравнения совместности деформаций в случае малых перемещений связывают удлинения стержней линейными соотношениями. Эти соотношения однородны, если не вводятся в рассмотрение натяги или зазоры, то есть не принимаются во внимание монтажные напряжения. Удлинения всегда можно заменить относительными деформациями, поэтому [c.55]

Подчеркнем, что полученное уравнение есть следствие предположения, что именно разность осредненных напряжений в фазах, определяющая фиктивные напряжения, формирует по линейному закону Гука деформации скелета из-за смещений зерен друг относительно друга. Таким образом, это уравнение задает совместное деформирование фаз с учетом несовпадения давлений в фазах из-за прочности скелета. В газожидкостных смесях давления в фазах могли различаться только из-за поверхностного натяжения и радиальных инерционных эффектов, описываемых уравнениями типа Рэлея — Ламба для размера пузырьков, а следовательно, и для объемного содержания фаз, когда разница между осредненными давлениями в фазах воспринималась поверхностным натяжением и радиальной мелкомасштабной инерцией и вязкостью жидкости. В насыщенной пористой среде разница между осредненными напряжениями воспринимается прочностью межзеренных связей. [c.237]

Если задача статически определима, то напряжения Ох, Оу, Тху находятся независимо от скоростей Ых, Vx. Для нахождения скоростей деформации при найденных напряжениях имеем систему линейных уравнений (IX.9) и (IX.6). Решая ее для заданных граничных условий, определяют поле скоростей. Если задача статически неопределима, необходимо совместное решение уравнений для напряжений и скоростей, что связано с известными трудностями, так как при этом приходится в той или иной мере задавать контуры пластической зоны, дополнять граничные условия для напряжений и учитывать, чтобы распределение скоростей вписывалось в заданные граничные условия. В связи с этим имеет большое значение анализ системы уравнений (1Х.4) и (IX.5), остановимся на этом подробнее. [c.112]

При помощи формул (3.26) вычисляются компоненты тензора малой деформации, когда в декартовой прямоугольной системе координат заданы перемещения w (xi, Хг, Ха). Для вычисления последних, когда заданы компоненты тензора деформаций екп, следует решить систему шести линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (3.26). Чтобы система была совместной, заданные компоненты вьп должны удовлетворять так называемым условиям совместности, или условиям интегрируемости этой системы. Примем, что е п — заданные однозначные функции Xk, имеющие непрерывные частные производные второго порядка. [c.57]

Для нелинейных тензоров деформаций efjt, sfj аналога уравнений (3.77) совместности линейных деформаций не установлено. Условия совместности в случае конечных деформаций представляют собой более сложные нелинейные соотношения, [c.75]

Изучению напряжений, деформаций и перемещений в пластически деформируемых телах посвящен раздел механики деформируемого твердого тела, называемый теорией пластичности [10, 12, 13, 18, 36]. Теория пластичиости решает глав1гым обра юм те же задачи, что и линейная теория упругости, но для материалов с другими физическими свойствами. Поэтому между указанными теориями имеется много общего, в частности общими оказываьзтся уравнения равновесия, зависимости между перемещениями и деформациями, уравнения совместности деформаций. Только вместо закона Гука, используемого в линейной теории упругости, в теории пластичности применяются другие физические соотношения. [c.293]

Для расчета статически неопределимых систем, работающих на изгиб, широко используется метод сил. В нем за основные неизвестные принимают обобщенные реактивные силы в отброшенных связях системы. Простые один раз статически неопределимые балки, работающие на изгиб, можно решать, используя способ сравнения линейных и угловьк перемещений, или записывая замкнутую систему уравнений из уравнений статики и уравнений совместности деформаций. [c.8]

Если величины ссц постоянны, то распределение температуры, линейно зависящее от координат, не вызывает напряжений в теле. Действительно, уравнения совместности содержат только вторые производные от компонент деформации, следовательно, они будут удовлетворены тождественно, если ец = е] представляют собою лпнеппые функции от х Конечно, при этом предполагается, что поверхность тела не закреплена, в противном случае может оказаться, что перемещения, соответствующие данной системе деформаций и определенные по формулам Чезаро ( 7.3), окажутся недопустимыми вследствие граничных условий тогда в местах закрепления возникнут реактивные силы, которые вызовут напряжения в теле. [c.385]

Ллойд Гамильтон Доннелл — известный в США и у нас в стране специалист по теории оболочек. Он завершил в 1930 г. в Мичиганском университете докторскую диссертацию, посвященную распространению продольных, волн и удару, под руководством С. П. Тимошенко. В 1933 г. он решил задачу об устойчивости тонкой упругой круговой цилиндрической оболочки крнечной длины при кручении ее концевыми парами. Эта работа связала имя Л. Г. Доннелла с уравнениями линейной теории пологих оболочек. Л. Г. Доннелл записал для нелинейной теории пологих оболочек уравнение совместности деформации, являющееся обобщением известного уравнения Максвелла. Специальная форма дифференциальных уравнений устойчивости круговых цилиндрических оболочек в перемещениях носит название уравнений Доннелла, а уравнения устойчивости пологих оболочек общего вида именуются ныне как уравнения Доннелла — Муштари. Работы Л. Г. Доннелла по оценке влияния несовершенств формы срединной поверхности оболочек на критическую нагрузку в рамках нелинейной теории не прошли незамеченными для специалистов. [c.5]

В данной главе описаны различные методы расчетов распределения напряжений вокруг острых концентраторов напряжений или трещин. Все аналитические решения включают использование в той или иной форме комплексных переменных. Функции напряжений Вестергаарда обычно позволяют получить основные параметры полей напряжений у вершины трещины, но в более сложных случаях, относящихся к реальным образцам, необходимо использовать функцию напряжений в виде полинома или конформные отображения. Для моделирования трещин могут быть использованы и ряды дислокаций. Метод конечных элементов применяется все шире, вытесняя постепенно метод уравнений в конечных разностях, тем самым широко привлекая вычислительную технику для решения большого числа совместных линейных уравнений, представленных матрицей жесткости. Для моделирования упруго-пластической деформации по типу I при плоском [c.88]

К малому провисанию / иити в точке приложения к ней силы Р удлинение нити является величиной второго порядка малости. Для определения усилий в таких системах в принципе необходимо рассматривать равновесие в де рмированном их состоянии. Задача становится геометрически нелинейной. Поэтому совершенно очевидно, что говорить о линейности зависимости перемещения / течки приложения силы или удлинения 26 нити от силы Р недопустимо. В связи с геометрической нелинейностью системы она статически неопределима и наряду с уравнением равновесия приходится использовать уравнение совместности деформаций. Зависимость Р от f имеет вид [c.573]

Согласно выражению (18.11) деформации Вц, равны и линейно связаны с давлением р. Если касательными напряжениями можно было бы пренебречь ( 12 = 0), то уравнение совместности свелось бы к уравнению Лапласа = О в плоскости пласта. Отсюда уравнения совместности деформаций выполнялись бы только в стационарных течениях, когда к уравнению Лапласа сводится и уравнение пьезопроводпости (18.16) для плоской фильтрации. Поэтому условие постоянства горного давления в теории упругого режима фильтрации следует формулировать только для нормальных компонент — касательные изменяются согласно (18.17) отбор жидкости может привести к возникновению весьма существенных касательных напряжений в скелете породы. [c.161]

Уравнения совместности можно написать и для компонент лагранжева тензора линейных деформаций вследствие очевидной аналогии с эйлеровой интерпретацией, приведенной выше. Для плоской деформации, происходящей в плоскостях, параллельных Х1Х2, шесть уравнений (3.104) сводятся к одному [c.134]

В работе i2] предложено требуемое изменение температурных коэффициентов линейного расширения осуществлять за счет легко реализуемого технологически изменения угла намотки ф (г) по радиусу наматываемого изделия. Считая и ад функциями от угла намотки ф (угла между окружной координатой и одним из направлений симметричной укладки), уравнение совместности деформаций (7.3) можно для ДГ = onst переписать в виде [c.479]

Для определения функций д (и) и Мх (и) практически пригодны два способа способ замены ступицы сложной конфигурации ступенчатой ступицей, примерно равновеликой ей по площади осевого сечения (штриховой контур на рис. 4.4), и способ использования электронной аналогии уравнения (4.3а). Первый способ для ступицы, имеющей 1 ступеней, сводится к решению системы из / линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффидиеятамч (уравнения совместности деформаций для каждого участка) при совместных граничных условиях. Эти условия выражают равенство на концах участков крутящих моментов и их первых производных, пропорциональных интенсивности нагрузки в соединении. Рекомендовать данный способ при ручном методе расчета можно лишь при небольшом количестве участков (два-три). Большее количество требует применения ЭВМ. Второй, более простой способ — определение продольной концентрации нагрузки для соединения со ступицей произвольной конфигурации с помощью использования электронных вычислительных машин непрерывного действия (ЭВМНД) [7]. С этой целью уравнение (4.3а) для машинного решения преобразуется в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка [c.144]

Уравнение совместности деформаций, полученное с помощью обобщенного закона Гука, отпадает при рассмотрении конструкции в пластической стадии. Уравнение равновесия отсеченной части трубы также недействительно, так как принятое в нем допущение = onst связано с представлением о независимости действия давления на днище и на стенки трубы между тем, принцип независимости действия сил обусловлен линейным соотношением между силами и деформациями, а потому в условиях пластических деформаций он отпадает.) [c.577]

В теории оболочек (и в линейной теории упругости вообще) заметную роль играют уравнения совместности деформаций. Компоненты сф и ар обязаны удовлетворять условиям Гаусса-Петерсона-Кодац-ци (1.15). От них можно перейти к уравнениям совместности для е и ае. Но рассмотрим иной подход, связанный с однозначностью перемещений и поворотов. [c.236]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...