Компоненты Условия совместности

Условия совместности Сен-Венана обеспечивают сплошность полученного таким способом односвязного тела. Но если приближаться к разрезу с двух различных сторон, то компоненты перемещения по (1.60) будут получаться различными. Пусть й+ и М" —значения вектора и, полученные при приближении к некоторой точке разреза с той или другой стороны. Условие неразрывности деформаций для тела в целом будет выполнено только в том случае, если наряду с условиями совместности соблюдены дополнительные требования = и вдоль всех разрезов, мысленно проведенных в теле с целью сделать его односвязным. [c.14]

При рещении задач в напряжениях за неизвестные принимаются компоненты напряжений Озс, Оу, Ог, Тжу, Хуг, Хх1, вместо щести соотношений (1.9) берут три условия совместности деформаций (1.11), совместно с уравнениями равновесия ( 111.20) и системой [c.107]

При помощи формул (3.26) вычисляются компоненты тензора малой деформации, когда в декартовой прямоугольной системе координат заданы перемещения w (xi, Хг, Ха). Для вычисления последних, когда заданы компоненты тензора деформаций екп, следует решить систему шести линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (3.26). Чтобы система была совместной, заданные компоненты вьп должны удовлетворять так называемым условиям совместности, или условиям интегрируемости этой системы. Примем, что е п — заданные однозначные функции Xk, имеющие непрерывные частные производные второго порядка. [c.57]

В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора деформаций ehr не являются произвольными функциями координат точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим формулы (5,27) в условия совместности деформаций Сен-Венана тогда после ряда преобразований найдем шесть соотношений, связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения (5.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело однородное, т. е. Я и не зависят от координат. Тогда полученная система уравнений будет применима только для изотропных, однородных и линейно-упругих тел. [c.81]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПО КОМПОНЕНТАМ ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИИ. УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ [c.22]

Если задаваться компонентами тензора напряжений atj (хи), то решение обратной задачи будет несколько сложнее. В этом случае перемещения ыг (х ) находятся интегрированием уравнений (4.1), что возможно, если компоненты тензора деформации (х ), которые определяются формулой (4.5) закона Гука по принятым функциям oij (Xk), будут удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана (4.2). Следовательно, компонентами тензора напряжений oi] (Xfi) надо задаваться так, чтобы выполнялись условия совместности [c.73]

Три уравнения типа (4.52) и три уравнения типа (4.53) были получены Дж. Мичеллом в 1900 г. Поэтому уравнения, определяемые равенством (4.51), называют уравнениями Бельтрам и— М и ч е л л а. Они представляют собой условия совместности, выраженные через компоненты тензора напряжений Oij. [c.80]

Сущность полуобратного метода Сен-Венана состоит в том, что при решении конкретной задачи, например, в напряжениях задаются из соображений физического характера задачи некоторыми компонентами тензора напряжений и затем определяют остальные компоненты Oij (xti) из уравнений равновесия (4.3) при выполнении условий совместности Бельтрами—Мичелла (4.51) или (4.54) и граничных условий [c.81]

Может случаться, что сделанные предположения о значениях некоторых компонент тензора напряжений будут противоречить или уравнениям равновесия, или граничным условиям, или условиям совместности Бельтрами—Мичелла. В этих случаях следует сделать [c.81]

Остальные компоненты тензора напряжений Огз = Oj2 и Osi = 0 i8 Судем находить так, чтобы при выполнении условий совместности-Бельтрами (4.55) и граничных условий (4.6) удовлетворялись уравнения равновесия (4.3). [c.132]

Из уравнений (8.2) вытекает, что компоненты Оз и Оа2 не зависят от координаты Лд и, следовательно, во всех поперечных сечениях каждая из них является одной и той же функцией только Xj и Хг. Эти функции Оз (a i, Х2) и Оз2 (Xi, Х2) должны удовлетворять уравнению равновесия (8.3) и условиям совместности Бельтрами. При принятых значениях (8.1) для других компонент тензора напряжений первые четыре уравнения (4.55) удовлетворяются тождественно, а остальные два приводятся к виду [c.203]

В этом случае один из компонентов фазы (например, воздух) не растворим в жидкости (вода). При этом специальные условия совместности, помимо уже привычных требований [c.58]

Условия совместности на возмущенной границе фаз включают в себя соотношения для потоков массы и нормальной компоненты импульса. Так как граница предполагается непроницаемой, то условие совместности для потока массы, рассмотренное в 1.7, имеет вид [c.132]

Условия совместности на возмущенной границе, как и в 3.2, включают в себя соотношения для потоков массы и нормальной компоненты импульса. Непроницаемость границы математически выражается условием [c.148]

Из условия совместности для нормальной компоненты импульса на границе раздела газ—жидкость (формулы Лапласа для скачка давлений) получается оценка для силы поверхностного натяжения [c.202]

В отличие от задачи Стокса об обтекании твердой сферы в анализе закономерностей обтекания жидкостью газового пузырька или капли (при Re 1) необходимо учитывать циркуляцию в дискретной фазе, возникающую под действием касательных напряжений на обтекаемой поверхности (рис. 5.9). Это приводит к определенным изменениям в математическом описании. Во-первых, уравнения сохранения массы и импульса теперь должны записываться и для сплошной, и для дискретной фаз. (Очевидно, что система (5.15) будет справедлива в нашем случае для обеих фаз.) Во-вторых, изменяется содержание условий совместности для касательной компоненты импульса. Если для твердой сферы допущение об отсутствии скольжения фаз на непроницаемой поверхности раздела означает равенство нулю касательной скорости жидкости, то для пузырька или капли условие [c.210]

Поскольку плотность газа намного меньше плотности жидкости, давление во всех точках внутри пузыря можно считать одинаковым, равным р". Используя универсальные условия совместности для нормальной компоненты импульса, получаем, что такое же давление будет и в жидкости на границе с пузырем, т.е. для характерных точек пузыря (рис. 5.11) можно записать [c.221]

Функция F называется функцией напряжений. Выражая компоненты деформации через напряжения, а следовательно, через функцию F и подставляя эти выражения в единственное теперь условие совместности из системы (7.3.5) [c.342]

Математическая формулировка условий совместности распределения напряжений с существованием непрерывных функций и, V, W, определяющих деформацию, будет получена из уравнений (2). Для двумерных задач мы рассмотрим три компоненты деформации, а именно [c.47]

Это дифференциальное уравнение, называемое условием совместности, должно удовлетворяться при подстановке компонент дефор- [c.47]

Используя закон Гука (3), можно преобразовать условия совместности (125) в зависимости между компонентами напряжения. Возьмем, например, условие [c.247]

Условия совместности содержат только вторые производные от компонент напряжения. Следовательно, если внешние силы таковы, что уравнения равновесия (123) вместе с граничными условиями (124) могут удовлетворяться, когда компоненты напряжения принимаются или постоянными, или линейными функциями координат, то уравнения совместности в таком случае удовлетворяются тождественно и такая система напряжений представляет собой корректное решение задачи. Несколько примеров таких задач будут рассмотрены в главе 9. [c.249]

Решение задачи для конкретного упругого тела с заданными поверхностными и объемными силами требует определения компонент напряжений или перемещений, которые удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям и граничным условиям. Если в качестве основных неизвестных выбраны компоненты напряжения, то следует удовлетворить 1) уравнениям равновесия (123), 2) условиям совместности (125) и 3) граничным условиям (124). Обозначим через ... напряжения, вызванные поверхностными силами X, Y, Z и массовыми силами X, Y, Z. [c.252]

Уравнение (142) справедливо, когда бК, 6А, бК вызываются малыми изменениями в компонентах напряжения, которые удовлетворяют уравнениям равновесия (а) 93 независимо от того, нарушают ли эти изменения условия совместности ( 16) или нет. В последнем случае изменения напряжений совпадают с теми, которые в действительности имеют место при изменении граничных усилий на 6Y. Справедливо ли такое утверждение [c.279]

Мы можем теперь получить распределение напрял<ений путем выбора функции ф от л и у, которая удовлетворяет уравнению (н), находя в из уравнения (м) и ф из уравнения (л). После этого напряжения определяются по формулам (б). Каждое из них, согласно (л), состоит из двух частей, из которых первая вычисляется по ф , а вторая — из члена —1/2 (v/1 + v) 0 2 . В силу уравнения (н) первая часть в точности отвечает компонентам плоского напряженного состояния, найденным в главах 3 — 6. Вторая часть, будучи пропорциональна 2 , может быть сделана сколь угодно малой по сравнению с первой, если ограничиться достаточно тонкими пластинками. Отсюда следует, что полученные нами в главах 3 — 6 решения, хотя и не удовлетворяют условиям совместности, но тем не менее служат хорошим приближением для тонких пластинок. [c.286]

При исследовании уравнений равновесия (123) и граничных условий (124) было установлено, что корректное решение задачи должно удовлетворять не только уравнениям (123) и (124), но и условиям совместности ( 85). Эти последние условия при отсутствии объемных сил или при их постоянстве содержат лишь вторые производные от компонент напряжения. Таким образом, если уравнения (123) и граничные условия (124) можно удовлетворить, принимая компоненты напряжения постоянными или линейными функциями координат, то условия совместности удовлетворяются тождественно и эти напряжения представляют корректное решение задачи. [c.288]

Допустим, что эти компоненты деформации малы и представляются непрерывными функциями координат. Если они удовлетворяют также условиям совместности (125), то элементы, на которые разделено тело, после деформаций (а) будут плотно прилегать друг к другу и не возникнет никаких начальных напряжений. [c.469]

Рассмотрим теперь общий случай,когда компоненты деформации (а) не удовлетворяют условиям совместности, так что элементы, на которые разделяется тело, не будут прилегать друг к другу тогда, чтобы удовлетворялись условия совместности, к этим элементам нужно приложить некоторые усилия. Предполагая, что после приобретения остаточных деформаций (а) материал остается идеально упругим, и, применяя закон Гука, из уравнений (И) и (6) находим, что систему деформаций (а) можно устранить, если приложить к каждому элементу поверхностные усилия [c.469]

Эти компоненты деформации физически возможны лишь в том случае, если они удовлетворяют условиям совместности (125). Поскольку 2 = 0, а остальные компоненты деформации не зависят от Z, все условия (125), за исключением первого, удовлетворяются. Первое условие приводится к уравнению [c.473]

Компоненты деформации связаны условиями совместности или неразрывности деформации [c.14]

Т. е. в них входят только вторые производные компонент тензора деформаций. Так как найденные компоненты тензора деформаций (3.6) имеют постоянные значения, то уравнения (3.9) автоматически удовлетворяются. Очевидно, что условия совместности (3.9) всегда удовлетворяются и в том случае, когда компоненты тензора деформаций являются линейными функциями декартовых координат. [c.324]

При плоском деформированном состоянии таких ограничений на перемещения и соа нет. В самом деле, по любым заданным (О1, (О2 можно определить, согласно (1.8), компоненты 12> 22. а далее, используя (1.16), найти р х, Р ц, Рх2- Найденные таким образом компоненты рц будут удовлетворять условию совместности (1.12). Из уравнений равновесия (1.13) можно затем найти соответствующие массовые силы Ру, а из граничных условий (1.14) определить соответствующие усилия Рп на боковой поверхности тела. [c.487]

Мы установили, что в случае первоначально параллельных волокон существует состояние чистого натяжения, при котором все компоненты тензора напряжений равны нулю, за исключением осевой компоненты 5з(0, Я). Угол наклона волокна 0о для данной частицы в состоянии чистого натяжения связан с начальным углом наклона 0i равенством 0о = A,0i. Следовательно, если в условиях совместности (97) и (98) величину A0i заменить на 00, то эти условия примут точно такой же вид, как и для случая плоской деформации при отсутствии осевого растяжения, Таким образом, теория плоских деформаций, наложенных на состояние чистого натяжения, полностью идентична построенной ранее теории плоских деформаций без осевого растяжения, за исключением того, что величины 5 и 5з параметрически зависят от К. [c.335]

Если имеют место уравнения несовместности (IV. 186), то поле вектора смещений нельзя определить по полю тензора деформаций, так как условиями интегрируемости равенств (IV. 69) относительно компонент вектора смещений является выполнение условий совместности. Это физически объясняется также тем, что инородная материя, характеризуемая тензором г),й, определяет дополнительное поле некоторого тензора деформаций. В этом случае увеличивается количество функциональных степенен свободы сплошной среды. Вместо трех степеней, определяемых компонентами вектора смещений, среда получает шесть степеней свободы, определяемых кохмпонентами тензора деформаций в трехмерном пространстве. Введение четвертого измерения также подлежит отдельному рассмотрению. [c.535]

Добавление 1.4. Для нелинейных тензоров деформации е - и efj аналога формулы Чезаро не установлено Условия совместности в случае конечных деформаций представляют собой условия сохранения евклидовости пространства как известно из геометрии, для того чтобы область Q пространства после деформации также была областью евклидова пространства, необходимо и достаточно, чтобы тензор кривизны деформированного пространства был нулем. Тензор кривизны — тензор четвертого ранга компоненты которого в произвольной криволинейной системе имеют вид [c.15]

Остальные две компоненты тензора напряжений огз = 032 и ffsi = 1з должны удовлетворять уравнениям равновесия (2.27), граничным условиям (2.29) и, имея в виду (7.305), условиям совместности Сен-Венана (1.93) [c.199]

Остальные две искомые компоненты тензора напряжений 02з и а должны удовлетворять уравнениям равновесия (4.3), условиям совместности Бельхрами (4.55) и граничным условиям (4.6). [c.203]

Первая глава дает теоретическую основу для всего последующего изложения — общие принципы составления математического описания многофазных систем. При выводе уравнений сохранения массы, импульса, энергии и массы компонента в бинарной смеси, выражающих соответствующие фундаментальные законы сохранения, используется универсальность содержания и формы этих законов при эйлеровом методе описания. Тот же подход использован при формулировке условий на межфазных границах (поверхностях сильных разрывов) универсальные условия совместности в общей форме выводятся из интегрального уравнения сохранения произвольного свойства сплощной среды, а конкретные соотнощения для потоков массы, импульса, энергии и массы компонента смеси на границах раздела получаются из общего как частные случаи. В настоящем издании, по-видимому, впервые в учебной литературе показано, что в реальных (необратимых) процессах конечной интенсивности на поверхности, разделяющей конденсированную и газовую фазы, всегда возникает неравновес-ность, приводящая к появлению конечной скорости скольжения газа относительно обтекаемой поверхности и к неравенству температур соприкасающихся фаз ( скачок температур ). При анализе неравновесности на межфазной поверхности в книге используются новые научные результаты, полученные, в частности, Д.А. Лабунцовым и А.П. Крюковым (см. [18]). [c.6]

В этом случае оба компонента взаиморастворимы в обеих фазах. Специальные условия совместности [c.59]

Шесть компонент тензора деформации выражаются но формулам (7.2.3) или (7.2.8) через три компоненты вектора перемещения. Поэтому следует ожидать, что любые шесть функций координат вц нельзя принять за компоненты деформации, они должны для этого удовлетворять некоторым соотношениям. С другой стороны, если деформации заданы как функции координат и действительно возможны в сплошном теле, нужно ожидать, что перемещения точек тела могут быть определены, конечно — с точностью до перемещения как жесткого целого. В этом параграфе мы выведем формулы Чезаро, решающие именно вторую задачу, т. е. задачу определения перемещений по данной деформации. При этом попутно мы установим те условия совместности, которым должны удовлетворять заданные компоненты деформации. [c.216]

Мы видим, что в дополнение к уравнениям равновесия (123) и граничным условиям (124) компоненты напряжений в изотропном теле должны удовлетворять шести условиям совместности (ж) и (и) или шести условиям (126). Этой системы уравнений в общем случае достаточно для однозначно1 о определения компонент напряжения (см. 96). [c.249]

Рассмотрим теперь обратную задачу, когда начальные напряжения известны и требуется определить систему деформаций (а), которая вызывает эти напряжения. Для прозрачных материалов, таких, как стекло, начальные напряжения можно исследовать фотоупругим методом (глава 5). В других случаях эти напряжения можно определять, разрезая тело на малые элементы и замеряя деформации, которые происходят в результате освобождения эти> элементов от поверхностных сил, представляющих начальные напряжения в неразрезанном теле. Из приведенных рассуждений ясно, что начальная деформация вызывает начальные напряжения лишь в том случае, когда компоненты деформации не удовлетворяют условиям совместности в других случаях эти деформации могут существовать, и не вызывая напряжений. Отсюда следует, что для определения компонент деформации (а) знания начальных напряжений недостаточно. Если решение для этих компонент получено, можно наложить на это решение любую однородную систему деформаций, удовлетворяющих условиям ссвместности, не оказав влияния на начальные напряжения ). [c.470]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...