Кривые линии. Поверхности. Точки на поверхностях

ГЛАВА VI КРИВЫЕ ЛИНИИ и ПОВЕРХНОСТИ 21. Кривые линии. Поверхности. Точки на поверхностях [c.155]

Это заключение будет особенно наглядным в случае одной материальной точки, удерживаемой на некоторой поверхности а и движущейся без трения при отсутствии активных сил. В этом случае, как было уже отмечено в предыдущем пункте, метрическое многообразие будет тождественно с поверхностью о, на которой удерживается точка, а динамическая траектория совпадает с кривой, действительно пробегаемой точкой на поверхности о. На основании соображений п. 44 гл. II динамические траектории движения точки по инерции, названные геодезическими линиями поверхности, определяются тем дифференциальным свойством, что соприкасающаяся плоскость в каждой точке траектории нормальна к поверхности о. К тому, что было известно ранее, мы можем теперь добавить, что геодезические линии обладают интегральным свойством, характеризующим их и заключающимся в том, что всякая дуга геодезической линии имеет стационарную, а для достаточно близких концов — минимальную длину по сравнению со всеми кривыми, которые можно провести на поверхности между теми же концами. [c.414]

Построение точек пересечения прямой линии ef e f с поверхностью вращения, заданной очерками, показано на рис. 308. Здесь через данную прямую линию проведена фронтально-проецирующая плоскость Му и построена линия пересечения ею поверхности вращения. Прямая линия пересекается с построенной кривой линией в точках хх и уу, которые и являются искомыми точками входа прямой ef, e f в поверхность и выхода ее из поверхности. [c.210]

На рис. 401 показана обращенная к оси вращения часть тора, в точке сс которого построена касательная к нему плоскость. Точка сс находится во фронтальной меридиональной плоскости. Касательная плоскость Qv является фронтально-проецирую-щей и определяется касательными tit i и tit i, проведенными к фронтальному меридиану и соответствующей параллели. Касательная плоскость Qy пересекает поверхность тора по кривым линиям, которые между собой пересекаются в точке сс. Касательные tt к этим кривым линиям в точке их пересечения сс являются главными касательными поверхности тора в точке сс. [c.278]

На черт. 222 поверхность образована вращением кривой линии I вокруг оси i, лежащей в плоскости этой кривой. Каждая точка М кривой описывает окружность т. называемую параллелью. Параллель наибольшего диаметра называется экватором, наименьшего — горло м. Кривую линию, получающуюся от пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называют меридианом. На черт. 222 меридианом будет образующая кривая I. [c.61]

Если направляющей кривой цилиндрической или конической поверхности служит кривая линия 2-го порядка, поверхности являются поверхностями 2-го порядка. На черт. 227 направляющая является эллипсом, а цилиндрическая поверхность — эллиптической. На черт. 230 направляющей кривой является окружность, а поверхность — конической поверхностью второго порядка. (Кроме того — это поверхность враш,ения, поэтому точка Д на этой поверхности может быть определена с помощью параллели mi.) [c.64]

Для искомого бесконечного множества фронтальных проекций имеем две точки, которых, разумеется, недостаточно для построения лекальной кривой. Поэтому на прямой сЬ возьмем какую-нибудь третью точку j. Так как точки с[ и j оказались расположенными по разные стороны фронтальной проекции s на примерно равных расстояниях от нее, то и точку Сз следует взять на прямой s на примерно одинаковых расстояниях от точек С] и С2 с тем, чтобы фронтальная ее проекция j, если она и не будет лежать на фронтальной проекции s, лежала все же возможно ближе к ней. Выполнив для точки С3 те же построения (на рис. 56 не показаны), которые были выполнены для двух предыдущих точек, получим фронтальную проекцию с третьей точки, определяющую искомое геометрическое место. Обычно трех точек бывает достаточно, чтобы провести через них плавную лекальную кривую. Если трех точек оказалось недостаточно для построения такой линии, берем четвертую точку и т. д. Проведя через найденные точки j, с , с, ..., с плавную кривую линию, отмечаем точку с пересечения ее с фронтальной проекцией s третьего ребра поверхности. По фронтальной проекции с строим с помощью линии связи ее горизонтальную проекцию С4 на горизонтальной проекции s. [c.68]

Если учесть непрерывность перемещения образующей, а следовательно, непрерывность и самой поверхности, то можно сделать очень важный для теории кинематических поверхностей вывод через любую точку М поверхности можно провести пару кривых и принадлежащих семействам линий / и т на поверхности. В этом случае каркас называется непрерывным. [c.79]

Если зафиксировать положение точки на поверхности прямого кругового цилиндра острием хорошо заточенного карандаша, а затем начать вращать цилиндр вокруг его оси и равномерно перемещать карандаш вдоль оси цилиндра, то острие карандаша опишет на цилиндрической поверхности пространственную кривую, называемую цилиндрической винтовой линией . Ось цилиндрической поверхности будет [c.79]

Если через нормаль провести плоскость, то, пересекаясь с поверхностью, она дает кривую I. Пусть У —радиус кривизны этой кривой в точке М. Если поворачивать плоскость вокруг нормали и каждый раз определять кривизну X-—IIR кривой пересечения, то окажется, что существуют такие две взаимно перпендикулярные кривые 1 п 2, кривизны которых имеют экстремальные значения по отношению ко всем другим. Направления, характеризуемые единичными векторами pi и р2. называются главными в данной точке М, соответствующие кривизны — г л а в н ы м и кривизнами поверхности. Если на поверхности провести линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с главными направлениями, то получим так называемые линии главных кривизн. Эти линии образуют на поверхности ортогональную [c.217]

Гаусс, однако, стал на путь исследования поверхности при параметрическом ее задании и тем положил начало современной ди-ференциальной геометрии. Каждая пара значений параметров и V таким образом определяет точки на поверхности в этом смысле параметры и можно рассматривать как своеобразные координаты точки поверхности это и есть гауссовы координаты . Если возьмем плоскость в трехмерном пространстве и в ней установим систему декартовых координат, то таковые, конечно, можно будет рассматривать как гауссовы координаты этой плоскости. Координатными линиями при этом будут служить параллельные прямые. Но вообще координаты линии (т. е. линии, на которых тот или иной параметр сохранит постоянное значение) будут кривыми гауссовы координаты суть криволинейные координаты на поверхности. [c.380]

Кроме того недостатка, что при обычном способе выражения принципа наименьшего действия теорема живых сил не вводится в интеграл, выражающий этот принцип, плохо еще то, что обычно говорят интеграл должен быть наибольшим или наименьшим между тем надо сказать его первая вариация должна обращаться в нуль. Смешение этих никоим образом не тождественных требований так вошло в обычай, что его едва можно поставить в упрек авторам. На этой почве между Лагранжем и Пуассоном произошло замечательное qui pro quo, которое относится к кратчайшей линии. Лагранж говорит совершенно справедливо, что в этом случае интеграл никогда не может сделаться максимумом, потому что как ни длинна будет кривая, соединяющая две точки на данной поверхности, всегда можно найти еще более длинную, а отсюда он заключает, что интеграл всегда должен быть минимумом. Напротив, Пуассон, который знал, что интеграл в известных случаях, в частности для замкнутой поверхности, за известными границами перестает быть минимумом, заключил отсюда, что в этих случаях интеграл должен быть максимумом. Оба заключения неправильны в случае кратчайших линий интеграл во всяком случае никогда не будет максимумом, а будет либо минимумом, либо ни тем, ни другим, — ни максимумом, ни минимумом. [c.303]

В устройствах ЦПУ интерполяторы представляют наиболее сложную и дорогую часть оборудования (порядка 40—70 тысяч рублей). Именно поэтому нередко появлялись предложения о создании систем программного управления без интерполятора. Попытка пойти по пути создания в самом станке необходимых кинематических связей и задания с помощью программы только некоторых точек на поверхности детали и параметров кривых или прямых линий, соединяющих эти точки, успехом не увенчалась из-за больших усложнений конструкции станка и значительного снижения его жесткости. [c.384]

Равенством (1.1.2) не только определяются геометрические свойства поверхности, но и дается способ задавать точки на ней, так как каждой паре численных значений параметров (а , соответствует определенная точка (или точки) на поверхности. Допустим, что параметр сохраняет постоянное значение = аю> а изменяется. Тогда уравнение (. 1.2) определит пространственную кривую, лежащую на рассматриваемой поверхности. Такие линии называются аа-линиями, так как они характеризуются тем, что на них изменяется только параметр Совокупности всех значений а , заключенных в определенном интервале, будет соответствовать семейство аа-линий. Так же можно ввести и понятие о семействе а -линий (примеры поверхностей, отнесенных к криволинейной системе координат, приведены в 10.21, 11.28, 13.6, 13.7, 14.9). [c.12]

При рассмотрении некоторых вопросов, связанных с краем оболочки, бывает полезно ввести так называемую систему параллельных координат. Строится она следующим образом. Пусть LM (рис. 5.11) — опорная кривая, которую мы будем называть осью абсцисс. Выберем на ней некоторую точку О начало координат). Через каждую точку опорной кривой проведем ортогональную к ней геодезическую линию геодезическую нормаль). В качестве координат, фиксирующих положение точки на поверхности, примем расстояние по оси абсцисс от начала координат до геодезической нормали х =S ) и расстояние по последней от точки до опорной кривой у = Sy). [c.276]

Полагаем, что крутизна Е характеристики разгрузочного устройства столь велика, что угол Др практически можно считать равным нулю. При этом, если ось Оу наружной рамки карданова подвеса силового гиростабилизатора (Др = 0) поворачивается вокруг неподвижной точки О, то точка 0 пересечения оси Оу со сферой с центром в точке О описывает какую-либо траекторию (Ti) на поверхности сферы (рис. 2.10). Если траектория (Ti) точки Oi представляет собой замкнутую кривую линию, описанную точкой Oi за время Г, и площадь поверхности сферы, заключенной внутри замкнутой кривой (Ti), равна Si, то за время Т гироскоп вокруг оси Оу повернется в абсолютном пространстве на угол [c.46]

При движении по негладкой поверхности или негладкой кривой линии к действующим на точку силам добавляется сила трения скольжения, равная произведению коэффициента трения на нормальное давление fN и направленная по касательной к траектории в сторону противоположную скорости. [c.53]

Цилиндрическая винтовая линия ) представляет собою пространственную кривую линию одинакового уклона. Острие резца, соприкасаясь с поверхностью равномерно вращающегося цилиндрического стержня, оставляет на нем след в виде окружности. Если же при этом сообщить резцу равномерное поступательное движение вдоль оси цилиндра, то на поверхности цилиндра получится цилиндрическая винтовая линия. [c.179]

Как известно, это есть уравнение кривых, ортогональных к линиям уровня (24.13), а такие кривые называются линиями наибольшего ската. Итак, линии тока на плоскости Оху являются линиями наибольшего ската на поверхности (24.12). Условие (24.7) выражает то обстоятельство, что цилиндр, ограничивающий жидкость, проходит через линию тока на плоскости Оху. Действительно, скорость частицы, прикасающейся к цилиндру, лежит в плоскости, касательной к цилиндру, следовательно, контур поперечного сечения цилиндра плоскостью 2 = О в каждой своей точке касается проекции скорости на плоскость Оху, т. е. является линией тока на плоскости Оху. [c.506]

Касательная плоскость Р к поверхности Ф в точке М определяется двумя касательными и 2, проведенными к двум кривым линиям /1 и 2 поверхности, проходящим через точку М (см. рис. 110). В дифференциальной геометрии доказывается, что касательные и 12 К двум Кривым, проведенным на поверхности через точку М и имеющим экстремальные значения кривизны (максимальную и минимальную), образуют между собой прямой угол и являются так называемыми главными направлениями [1]. [c.81]

Задание поверхности дискретным каркасом. При моделировании и воспроизведении кривых поверхностей необходимо задать алгоритмы вычисления координат точек, принадлежащих поверхности. Поэтому на чертеже поверхность задается дискретным каркасом, в котором линии каркаса выбраны с необходимым для практики шагом. Эти способы задания поверхностей удобны для реализации с помощью ЭВМ. Поверхность представляется в ЭВМ координатной моделью - координатами множества принадлежащих ей точек. В дальнейшем поверхность аппроксимируется множеством кусков плоскостей или аналитически простых поверхностей. После этого многие стандартные операции-построение точек на поверхности, пересечение поверхности прямой, плоскостью и другой поверхностью могут выполняться стандартными программами. [c.124]

Пусть кривая а (рис. 222) непрерывно перемещается в пространстве во всех своих положениях, пересекаясь не более чем в одной точке с каждой из непрерывного множества неподвижных кривых Ь, Ь , Ъ .....последовательно занимая положения а, а, а",. .. Очевидно, что при этом образующая а не только перемещается в пространстве, но и непрерывно меняет свою форму. Закон образования поверхности выражается непрерывным множеством неподвижных направляющих семейства кривых Ь либо непрерывным множеством образующих семейства кривых а. Если бы неподвижными линиями (направляющими) были кривые семейства а, а подвижными (образующими) — кривые семейства Ь, то мы получили бы ту же поверхность. Если на поверхности взять кривую с (на рис. не показана), пересекающуюся со всеми кривыми семейства Ь, и перемещать ее по кривым этого семейства, либо кривую й, пересекающуюся со всеми кривыми семейства а (в этом случае неподвижными), и перемещать ее по этим кривым, мы вновь получим ту же поверхность, а кривые с и (I в различных их положениях создадут новые семейства кривых. [c.140]

На практике нет необходимости проводить кривые линии для изображения горизонталей поверхности дороги их условно заменяют ломаными. Проведем прямую АР (нормаль к проекции оси дороги) и отметим точку В ее пересечения с проекцией оси от точки 18 оси дороги по оси отложим отрезок 18)0, равный отрезку 19)В, и проведем через точку О нормаль к проекции оси дороги она пересечется с проекциями бровок дороги в точках С н Е, [c.294]

Цилиндрическая поверхность задана своей проекцией 1 (рис. 436). Отметим точки, в которых она пересекается с проекциями горизонталей участка местности, и построим развертку кривой, которая называется криволинейным профилем (рис. 437). Вообще говоря, криволинейный профиль — это развертка кривой линии, инцидентной поверхности. С помощью такого профиля можно определить отметки точек кривой линии (например, точки А на рис. 436), угол наклона кривой в данной точке (А) и др. [c.168]

В винтовую И наоборот. Действительно, дислокации образуют замкнутые контуры, что следует из их определения. Поскольку дислокация определяется как линия границы между смещенной частью атомной решетки и остальной частью решетки в данной кристаллографической плоскости, находящейся в исходном положении, то такая граница обязательно должна образовывать замкнутую кривую или должна заканчиваться на поверхности кристалла. [c.72]

Способ изогипс (линий равных абсолютных высот поверхности пласта) заключается в следующем. На плане на основании данных разведочных выработок проводится ряд кривых линий через точки пласта, имеющие равные абсолютные отметки (высоты). Последние проводятся через равные интервалы, как [c.413]

При построении линии пересечения поверхности проецирующей плоскостью используется собирательное свойство следа проецирующей плоскости искомая линия есть лежащая на поверхности плоская кривая, проекция которой совпадает со следом плоскости. Другие проекции кривой находятся использованием свойства инцидентности точка кривой принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на поверхности. [c.19]

В ряде задач для поиска пересекающихся линий использовались вспомогательные плоскости. При этом смысл рассуждений сводился к следующему если какие-то линии (прямые, кривые), принадлежащие различным геометрическим фигурам, лежат в одной плоскости, то на проекциях этих линий видим непосредственно проекции точек их пересечения. Если какие-то кривые двух поверхностей лежат на одной поверхности, например на поверхности сферы, и пересекаются, то эти точки пересечения будут точками линии пересечения поверхностей. [c.99]

Фиг. 85. Тепловое воздействие резки на разрезаемый металл а — термические циклы в точках на поверхности металла в зависимости от их расстояния (у) до отрезанной кромки б —темпе-рат) рное поле (в плане) при разделительной кислородной резке, отнесенное к центральным слоям разрезаемого металла (условия резки те же, что и для фиг. 84 пунктирной линией обозначена кривая максимальных температур).

На рис. 408 построен горизонтальный очерк детали, ось которой параллельна плоскости проекций V и наклонена к плоскости проекций Я. Поверхность детали состоит из цилиндра вращения и поверхности вращения, производящей линией которой является дуга окружности радиусом R с центром в точке /с/с. Для построения кривой линии горизонтального очерка заданной поверхности применяем метод вспомогательных сфер. Вспомогательные сферы выбирают касающимися заданной повмхности вращения вдоль ее параллелей. Плоскости, перпендикулярные к плоскости проекций Я и касательные к заданной поверхности, являются касательными плоскостями и вспомогательных сфер. Эти плоскости касаются сфер в точках пересечения экваторов сфер параллелями их соприкасания. [c.284]

На чс п. 277 построение линии пересечения двух цилиндрических новерхностей осуществл( но с помощью плоскостей о) , (1)2, u) i и т. д., параллельных их образующим. В чтом случа( предварительно задают некоторую плоскость О), называемую плоскостью параллелизма. Линии а и Ь этой плоскости проводят параллельно соответственно образующим первого и второго цилиндров. Все плоскости семейства со параллельны между собой и пересекаются с Плоскостью оснований цилиндров по параллельным прямым /i /, /зЦ/ И т, д.), а обе цилиндрические поверхности по образующим. Точки искЬмой кривой линии являются точками пересечения соответствующих образующих. [c.88]

Если термодинамическую поверхность рассечь плоскостями, параллельными осям координат, то на поверхности получатся следуюш,ие кривые сечение плоскостью v = onst дает линию, характеризующую процесс изменения давления в зависимости от температуры в координатах р, Т процесс, описываемый этой линией, протекает при постоянном объеме и называется изохорным, сечение плоскостью р = onst дает линию изменения удельного объема в зависимости от температуры в координатах v, Т процесс, который описывает эта линия, протекает при постоянном давлении и называется изобарным] сечение плоскостью Т = onst дает линию изменения давления в зависимости от удельного объема в координатах р, v описываемый этой линией процесс протекает при постоянной температуре и называется изотермическим. [c.17]

Вычислим производную от радиуса-вектора г по дуговой координате S, введенной на некоторой линии I, расположенной на поверхности So, и обозначим ее г, = dr/ds. Очевидно, что Т/ — орт касательной к этой линии, направленный в сторону роста дуговой координаты s. Если ds = = dsj = a dai, то т = е , а если ds = dsj = fl2da2. то Xi = е . Пусть выбранная линия / есть сечение поверхности So плоскостью, содержащей нормаль т. Такое сечение называется нормальным. В этом случае выбранная линия I есть плоская кривая, для которой [c.420]

Из этого вытекагт, например, что если гибкая нигь натянута на гладкой поверхности так, что единственными приложенными силами являются нормальные реакции поверхности, то соприкасающаяся плоскость той кривой, по которой нить изогнется, будет всегда заключать в себе нормаль к поверхности. Такое условие определяет геодезическую линию, т. е. линию кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности, не слишком удаленными друг от друга. Например, нить, натянутая на круглый цилиндр, принимает форму винтовой линии. Далее, так как F—0, то сила натяжения будет одна и та же во всех точках кривой. [c.57]

Аналогично мы поступаем в геометрии — средством определения объекта может явиться задание его дифференциальных свойств, описываемых соответствующими дифференциальными уравнениями, а может служить и некоторое вариационное требование. Так, геодезическая линия определяется как кривая на поверхности, главная нормаль в точках которой сонаправлена с нормалью поверхности и это немедленно приводит к записи дифференциальных уравнений геодезических линий но последнюю можно полностью определить как кривую, дающую кратчайшее расстояние между двумя достаточно близкими точками на поверхности. Требование, чтобы интеграл, определяющий длину линии на поверхности, имел стационарное значение, является гариационной формулировкой задачи о геодезических. [c.642]

Для получения проекции пространственной кривой DEF нужно через все ее точки провести проектирующие прямые до пересечения с плоскостью проекций. В совокупности они образуют проектирующую поверхность, пересекающуюся с плоскостью К по кривой линии dej. Основываясь на предыдущем выводе, можно сказать, что любая линия или фигура, например кривая линия GNM, лежащая в проектирующей новерхиости, как и сама поверхность, проектируется на линию ее пересечения с плоскостью проекций. Однако проекция фигуры при заданном направлении проектирования не определяет положения в прост-рангтве самой фигуры. [c.58]

Процессы изучения явления протекания тока в недрах м. б. сведены к сравнительна небольшой группе основных способов. Вен нер указал метод измерения среднего значения сопротивления свиты пород, пронизываемых током, путем определения разности потенциалов между точками, равноотстоящими друг от друга и от обоих точечных задающих электродов. Этот метод был развит Шлюмберже. Несколько отличные модификации способа были разработаны Кениге-бергером. Наиболее распространенным и наиболее простым способом является способ эквипотенциальных линий. Измерительная цепь в этом методе состоит из электродов-зондов, замкнутых на гальванометр при работе с постоянным током или телефон при переменном токе. Установив неподвижно один из электродов измерительной цепи, вторым электродом ищут такую точку на поверхности земли, чтобы индикатор тока не обнаружил его присутствия. Отметив эту точку колышком, таким же порядком находим следующую и т. д. Затем все отмеченные пункты снимают на планшет и по ним проводят кривую, к-рая и будет искомой эквипо- тенциальной линией. Для построения дру-- [c.418]

Для обеспечения обратимости чертежа, т. е. однозначного определения положения точки в пространстве по ее проекции, нужны дополнительные условия, например можно задать второй центр проецирования. Центральньв проецированием может быть построена проекция любой линии или поверхности как множество проекций всех ее точек. При этом проецирующие прямые в своей совокупности, проведенные через все точки кривой линии, образуют проецирующую коническую поверхность (рис. 1.2) или могут оказаться в одной плоскости как, например, в случае, показанном на рис. 1.4. [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...