Кривые линии на сфере

КРИВЫЕ ЛИНИИ НА СФЕРЕ [c.162]

Плоские кривые линии на сфере (шаре) имеют только одну геометрическую форму— окружность. При неизменной ориентации сферы в пространстве различают линии, занимающие частное положение относительно плоскостей проекций. [c.162]

Из пространственных кривых линий на сфере рассмотрим линию одинакового ската и локсодромию. [c.162]

Кривые линии на сфере [c.163]

Расскажите о кривых линиях на сфере. [c.164]

Какие кривые линии называют эквидистантными 13. Какие пространственные кривые называют гелисами и как их задают на эпюре Монжа 14. Как определяют на чертеже направление (ход) цилиндрической винтовой линии 15. Расскажите о конических винтовых линиях. 16. Расскажите о кривых линиях на сфере, [c.28]

Пересечение поверхностей, когда одна из них проецирующая (рис. 10.13). Если одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, то задача построения линии пересечения двух поверхностей упрощается и сводится к построению недостающих проекций кривой линии на одной из поверхностей по одной заданной проекции линии (см. 8.3). На рисунке 10.13 горизонтальная проекция линии пересечения прямого кругового цилиндра и сферы совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Фронтальная и профильная проекции линии построены по их принадлежности сфере с помощью проекций вспомогательных линий на сфере. Отметим характерные (опорные) точки линии пересечения, пользуясь горизонтальной проекцией. Высшая и низшая точки (их проекции 2 2, 2" м Г, 1, 1") лежат в плоскости симметрии фигуры, проходящей через центр сферы с проекциями о, о м ось цилиндра с проекциями о о , о-,. Горизонтальная проекция плоскости симметрии — прямая, проходящая через проекции о и О]. В пересечении этой прямой с проекцией цилиндра отмечаем горизонтальные проекции 2 и / высшей и низшей точек линии пересечения. Заметим, что точка 2 — ближайшая [c.140]

Напомним теперь, что кривые, лежащие на поверхности и имеющие то свойство, что во всякой их точке соприкасающаяся плоскость нормальна к поверхности, называются геодезическими линиями. Полезно обратить внимание на то, что определенные таким образом кривые характеризуются также и тем свойством, что каждая из них представляет собой кратчайшую линию на поверхности между любыми двумя точками кривой (не слишком удаленными друг от друга). Например, на сфере геодезические линии представляют собой окружность больших кругов каждая дуга такой окружности, меньшая полуокружности, представляет собой кратчайшую линию на сфере между соответствующими концами. В более общем случае поверхности вращения всякий меридиан является геодезической линией (но, конечно, нельзя сделать обратного заключения) действительно, на поверхности вращения нормаль к по- [c.218]

Рассмотрим теперь равномерно светящуюся поверхность 5 (рис. 5-9), имеющую произвольную форму. Построим конус прямых линий, соединяющих точку А, в которой надо определить вектор О), с каждой точкой контура I поверхности 5. Из точки А как из центра опишем сферу с радиусом, равным единице. Эта С( ра пересечется с конусом по некоторой замкнутой кривой /, выделяющей на сфере участок, площадь которого равна скалярной величине телесного угла со. Для того чтобы определить интересующий нас вектор м, воспользуемся доказанной выше вспомогательной теоремой о том, что для замкнутой поверхности 5 = 0. [c.189]

Как видно из изложенного выше, имеется полное соответствие между геометрией кривой, лежащей на сфере единичного радиуса, и линейчатой поверхностью. Это соответствие вытекает из принципа перенесения, согласно которому при переходе к линейчатой поверхности точка кривой должна быть заменена прямой линией — образующей этой поверхности, а единичный радиус вектор кривой — винтом, лежащим на образующей, с наложенным на этот [c.124]

На рис. 141 показаны построения стереографической проекции ah кривой линии АВ, расположенной на сфере радиусом R. Рассматривая касательную к кривой линии как предельное положение секущей, можно легко [c.101]

Точки пространственной кривой линии, у которой полярным торсом является конус вращения, располагаются на сфере, радиус [c.351]

На рис. 482 показана пространственная кривая линия, которая получается при пересечении сферы радиусом R с цилиндром [c.357]

Строим на поверхности сферы линию I, горизонтально конкурирующую с прямой I. Так как всякая плоская кривая на сфере является окружностью, то и линия t будет окружностью. Чтобы избежать построения эллипса, являющегося фронтальной проекцией этой окружности, производим замену плоскости проекций Пг на плоскость П4, параллельную прямой I и перпендикулярную плоскости П1. Тогда на плоскости проекций П4 линия t изобразится окружностью <4. Построив также проекцию /4 прямой I и определив точки и пересечения проекций и можно найти ос- [c.167]

Кроме больших кругов на сфере, к геодезическим относятся прямолинейные образующие поверхностей, меридианы поверхностей вращения, винтовые линии на круговом цилиндре и все плоские кривые, которые лежат в плоскостях симметрии поверхности. [c.327]

В теории поверхностей доказывается, что всякую поверхность можно отнести к линиям кривизны. Координатные линии при этом, вообще говоря, определятся единственным образом. Исключением является случай, когда поверхность имеет области с постоянной кривизной. Такие области всегда представляют собой части сферы, а на сфере любая кривая может рассматриваться как линия кривизны. [c.20]

Приступим к преобразованию статических безмоментных уравнений (7.4.2). На сфере любая кривая есть линия кривизны ( 1.5), и следовательно, в этих уравнениях можно положить Rn — R , = R2, Ru = со- Кроме того, мы имеем Ri = R = г vi = А2 — А. Поэтому (7.4.2) можно переписать так [c.179]

Поверхность, отнесенная к линиям кривизны, характеризуется тем, что для нее %=л/2 Р=0) и М = 0, так как главные направления поверхности сопряжены и одновременно ортогональны. В теории поверхностей доказывается, что всякую поверхность можно отнести к линиям кривизны. При этом координатные линии а, р определяются единственным образом. Исключением является случай, когда поверхность имеет области с постоянной кривизной (1.1). Такие области всегда представляют собой части сферы, и на сфере любая кривая может рассматриваться как линия кривизны. [c.158]

Фронтальные проекции линии среза, образованные плоскостями 7 и 8, совпадают. При этом они ограничиваются на сфере — дугой окружности /а. 82, 2, на поверхности кругового кольца — кривой четвертого порядка—/а, 2z< З2, 2> > 2- [c.95]

Рассмотрим произвольную точку M ui u2 ), лежащую на кривой L Кривая I будет линией пересечения сферы (1.7) и поверхности щ = ( 1,1x2), на которую в пространстве годографа отображается область течения за поверхностью разрыва. За фронтом нормальной детонационной волны давление и модуль скорости убывают, поэтому достаточно рассматривать часть поверхности из = Ф [щ, 1x2), лежащую внутри сферы (1.7), и исследовать знак R внутри этой сферы. [c.76]

Полагаем, что крутизна Е характеристики разгрузочного устройства столь велика, что угол Др практически можно считать равным нулю. При этом, если ось Оу наружной рамки карданова подвеса силового гиростабилизатора (Др = 0) поворачивается вокруг неподвижной точки О, то точка 0 пересечения оси Оу со сферой с центром в точке О описывает какую-либо траекторию (Ti) на поверхности сферы (рис. 2.10). Если траектория (Ti) точки Oi представляет собой замкнутую кривую линию, описанную точкой Oi за время Г, и площадь поверхности сферы, заключенной внутри замкнутой кривой (Ti), равна Si, то за время Т гироскоп вокруг оси Оу повернется в абсолютном пространстве на угол [c.46]

У прямых конических зубьев образующие боковой поверхности сходятся в одной точке О, поэтому нормальной к ним поверхностью будет уже пе плоскость, а любая сфера с центром в вершине О. Отсюда сопряженным профилем конического зуба будет являться линия пересечения сферы с конической боковой поверхностью зуба. Так, при эвольвентном профиле зуба сопряженными кривыми будут сферические эвольвенты (например, эвольвента d, расположенная на части DBE сферы радиуса О В = Ос = Od). [c.108]

В инженерной практике весьма часто встречаются случаи, когда пересекаются две поверхности вращения, описанные (или вписанные) вокруг одной и той же сферы. Линиями пересечения таких поверхностей вращения являются не пространственные, а плоские кривые линии, которые при параллельности осей пересекающихся поверхностей одной из плоскостей проекций проецируются на нее в виде отрезков прямых (рис. 42, 43). [c.133]

На рис. 139 изображены фронтальные проекции сферы и эллиптического конуса, которые пересекаются по параллели аЪ. Эта окружность расположена во фронтально проецирующей плоскости Pv. Она является первой плоской кривой. Вторая плоская кривая линии пересечения, расположенная во фронтально проецирующей плоскости Qv, спроецируется на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка прямой d. [c.104]

Пространственная кривая линии пересечения конуса и цилиндра проецируется на плоскость, параллельную их плоскости симметрии, в виде гиперболы. На рис. 141 приведено построение пересечения конуса и сферы. Проекция линии пересечения представляет собой параболу. [c.105]

Теперь построим аксонометрию полуокружности (круговой оси тора), которая проходит через точки Л и В. Так как построение аксонометрии окружности нами было подробно рассмотрено ранее, здесь мы не будем приводить описания проделанных построений. Взяв на аксонометрии круговой оси некоторое число точек и использовав их как центры, проведем круги радиуса Я, представляющие собой аксонометрии сфер, которые огибают тор. Проведем огибающие кривые линии, касательные к окружностям. Они являются линиями очерка изображаемой поверхности или ее частей. Нижняя линия очерка в месте сгущения окружностей переходит внутрь проекции тора это говорит о том, что ближайшая к зрителю часть тора закрывает сзади расположенную. [c.338]

При эвольвентном зацеплении профили зубьев конических зубчатых колес представляют собой сферические эвольвенты. Сферическая эвольвента образуется точками дуги аЬ (рис. 20, а) круга при качении ее без скольжения по окружности, лежаш,ей на сфере. Сферическую эвольвенту можно представить следующим образом. Если на конус с радиусом основания (рис. 20, б) намотать ленту 1, а на ленте провести линию аЬ, продолжение которой проходит через вершину конуса О, то при сматывании этой ленты линия аЬ опишет в пространстве эвольвентную коническую поверхность, представляющую собой боковую поверхность зубьев конического колеса. Кривая ас, лежащая на поверхности сферы, есть сферическая эвольвента. Однако при изготовлении конических зубчатых колес наиболее распространенным методом — методом обкатки—профиль получаемых зубьев не является сферической эвольвентой. [c.39]

Теорема о двойном прикосновении позволяет весьма просто строить кругоЬые сечения тех поверхностей второго порядка, которые их имеют. Для этого следует провести сферу, имеющую двойное прикосновение с данной поверхностью. Тогда линия их пересечения распадается на пару плоских кривых. Но так как плоские кривые, расположенные на сфере, окружности, то этим самым будут найдены круговые сечения поверхности второго порядка. Итак, для построения круговых сечений поверхностей второго порядка следует провести сферу, имеющую двойное прикосновение с данной поверхностью, тогда линия их пересечения даст пару круговых сечений данной поверхности. [c.196]

Габариты корпуса 120X86X72. Деталь составлена из следующих геометрических форм по наружным и внутренним поверхностям плоскость, цилиндр, конус, поверхность вращения, сфера, призма. Деталь изготовляется из бронзы способом отливки. Пропускную способность (производительность) вентиля характеризует диаметр 0 40 отверстия седла. По величине площади отверстия рассчитываются все остальные проходы в корпусе вентиля. Середина диафрагмы (по толщине) в целях обеспечения равновеликого сечения верхней и нижней полости находится на уровне горизонтальной осевой линии корпуса. Фаска отверстия 0 40 седла обрабатывается по 8-му классу чистоты поверхности, чтобы обеспечить плотное прилегание корпуса клапана для перекрытия потока в трубах. Кривые линии на шестиграннике (в плане) являются результатом пересечения конуса с его гранями. На трех видах чертежа применены следующие [c.78]

Согласно теореме, линия пересечения цилиндра сферой распадается на пару плоских кривых, лежащих во фронтально-проецн-рующих плоскостях Mv. Такими кривыми линиями являются окружности. Любая плоскость, параллельная плоскости Му, пересекает цилиндр по окружности. [c.260]

На рис. 408 построен горизонтальный очерк детали, ось которой параллельна плоскости проекций V и наклонена к плоскости проекций Я. Поверхность детали состоит из цилиндра вращения и поверхности вращения, производящей линией которой является дуга окружности радиусом R с центром в точке /с/с. Для построения кривой линии горизонтального очерка заданной поверхности применяем метод вспомогательных сфер. Вспомогательные сферы выбирают касающимися заданной повмхности вращения вдоль ее параллелей. Плоскости, перпендикулярные к плоскости проекций Я и касательные к заданной поверхности, являются касательными плоскостями и вспомогательных сфер. Эти плоскости касаются сфер в точках пересечения экваторов сфер параллелями их соприкасания. [c.284]

Через точки сопряжения очерковых линий проведены граничные, параллели а, Ь (окружности), по которым поверхности касаются друг друга, образуя плавные переходь . После среза заготовки головки двумя фронтальными плоскостями Г и Л передняя и задняя линии среза (их фронтальные проекции совпадают) составляются из дуги /—2—3 окружности (срез на сфере), дуг 1—6 и 3—4 кривой Персея (срез на торе) и дуги 5—6—4 гиперболы (срез на конусе), стыкующихся на соответственных граничных параллелях а и Ь. Промежуточные точки кривых строят с помощью вспомогательных секущих плоскостей, перпендикулярных оси вращения х, как это показано для точек А В, являющихся точками пересечения параллели с с плоскостью Г. [c.103]

Не вся построенная кривая видна на фронтальной проекции половина ее находится на задней стороне данных поверхностей. Но невидимая ее часть закрывается видимой. На горизонтальной проекции видна часть Ki — К — К кривой, расположенная выше экватора сферы (видимость меняется в точках К и Ки -ле-.жащих на экваторе). Очерковая образующая фронтальной проекции конуса между точками К и К2 находится внутри сферы и изображена поэтому сплошной тонкой линией. Точно так. же изображена часть линии очеркй сферы, находящаяся внутри конуса. На горизонтальной проекции тон кой линией показана часть окружности экватора, находягцаяся внутри конуса. [c.89]

Работа Монжа Geometrie Des riptive , изданная в 1798 г., представляет собой первое систематическое изложение общего метода изображения пространственных фигур на плоскости, поднявшее начертательную геометрию на уровень научной дисциплины. Чисто геометрические методы Монжа были не противоположностью анализу, а его естественным дополнением, тесно связанным с практическими потребностями инженерного дела. К вопросам, впервые затронутым в работах Монжа по начертательной геометрии, относятся следующие 1) применение теории геометрических преобразований (при обосновании перехода от пространственных фигур к их плоскостным изображениям, а также в части использования алгебраического метода решения задач) 2) рассмотрение некоторых вопросов теории проекций с числовыми отметками 3) подробное исследование кривых линий и поверхностей, в частности, вопросов, связанных с поверхностями с ребром возврата и с поверхностями одинакового ската. В частности, при построении линии пересечения поверхностей Монж применял как способ вспомогательных плоскостей, так и способ вспомогательных сфер, а для определения истинной длины линий и вида плоских фигур Монж широко пользовался методом вращения, а также методом перемены плоскостей проекций, применявшимися еще Дезаргом в работах, относящихся к 1643 г. [c.168]

На рис. 89 показано решение задачи по определению точек встречи плоской кривой I с произвольной поверхностью вращения а. Топологическим преобразованием фигура Ф, ограниченная произвольной по-верхност1,ю вращения а, преобразована в шар i. Указанными преобразованиями задача сведена к простейшей — определению точек встречи плоской кривой с поверхностью сферы. Зная положение точек Afi и Ni, с помощью линий связи (прямых, параллельных оси х) определяем М и N. [c.68]

Пересечение отрезков f 1"2"] и 3 4 ] укажет фронтальные проекции двух точек L l и L iiL" = L 2), принадлежащих линии пересечения поверхностей О и (3. Величина радиуса вспомогательных сфер для определения линии /j изменяется в пределах от min = 0"М" яо Ktnax == 0"В" (точка М" определяется как точка касания окружности, проведенной к главному меридиану поверхности 3 из центра О"). Для определения точек линии /2 тах 0"С", /Jrnin - 0"М". На рие. 228 показано определение точек N" и Nj., принадлежащих линии. Г ори-зонтальная проекция линии пересечения может быть найдена из условия ее принадлежности поверхности fi. Для ее построения необходимо через фронтальные проекции точек кривых I" и /j провести горизонтальные прямые — фронтальные проекции параллелей поверхности 3, а из точки О — окружности - горизонтальные проекции параллелей, на которых с помощью линий св зи можно определить горизонтальные проекции точек, принадлежащих кривым и Особые точки Л, В, С, D определяются пересечением главных меридианов поверхностей а и р. Они же являются высшими (точки А и С) и низшими (точки в и D) точками линии пересечения поверхностей. Границы видимости линии на горизонтальной плоскости проекции определяются точками, принадлежащими го- [c.159]

Размеченные на рис. 428 проекции а, й, с и др. определяют точки, характерные для фронтальной проекции кривой и для профильной проекщш в случае ее построения. Так, точки й и т — наинизшая и наивысшая в точках Ъ и е прерывается главный меридиан на сфере, а в точках а и / линия пересечения разделяется на видимую и невидимую точки с, Л для фронтальной про- [c.300]

При движении точки по кривой естественный трехгранник будет поворачиваться в пространстве. Индикатрисой касательной (главной нормали или бинормали) называется годограф орта т (соответственно V или Р), т. е. линия, которую описывает конец вектора т, если его начало совмещать все время с одной и той же точкой. Из этого определения следует, что индикаторы представляют линии, лежащие на сфере единичного радиуса (так как т = VI — 1 1 =1). Почти во всех курсах дифференциальной геометрии показывается, что дифференциал дуги а индикатрисы касательной определяется равенствем йв = х/р. Отсюда непосредственно следует сделанное выше утверждение. В применении к нитям на это обстоятельство впервые обратил вниманце Д. П, Мв-11аков [16]. [c.157]

Построим линию пересечения открытого тора и конической поверхности вращения (рис. 367). Ось конической поверхности и кривая ось тора расположены в плоскости, параллельной Hj. Построим сечение тора плоскостью I2, проходящей через его прямую ось оно представляет собой окружность, которая проецируется в отрезок А 2В2- Из центра С сечения проведем перпендикуляр к его плоскости до пересечения с осью конической поверхности в точке О (докажите, что перпендикуляр и ось пересекаются). Построим сферу с центром в О радиуса АО = О В. Окружность диаметра Л В — сечение тора — расположена на сфере, следовательно, эту линию можно рассматривать как линию пересечения тора и сферы. С конической поверхностью сфера пересекается по окружности, проецирующейся в отрезок E2D2. Оба сечения имеют две общие точки, проекции которых совпадают (Fj). Взяв другое сечение тора, найдем новые точки и т. д. Линия пересечения поверхностей проходит через точки, в которых пересекаются главные меридианы. [c.138]

Постррим аксонометрию половины тора (рис. 484, о). Эта поверхность огибает множество сфер радиуса К. Аксонометрию зададим аксонометрическими осями и масштабами (рис. 484, б). Построим аксонометрии окружностей а и 6 (см. рис. 480) и полуокружности — кривой оси тора. Взяв на аксонометрии кривой оси некоторое, число точек и использовав их как центры вписанных в поверхность сфер, проведем окружности радиуса Я. (Если используются приведенные коэффициенты искажения, величину радиуса нужно умножить на коэффициент приведения.) Эти окружности представляют собой проекции контура сфер, вписанных в заданный тор. Остается провести огибающие— кривые линии, соприкасающиеся с окружностями и эллипсами а и Ь. Нижняя линия контура тора в месте сгущения окружностей переходит внутрь проекции тора, что говорит о том, что ближайшая к зрителю часть тора закрывает сзади расположенную. [c.192]

Определив вторые проекции перечисленных точек (см. черт. 228, в), перейдем к определению экстремальных точек М7 и Me, находящихся в общей плоскости симметрии поверхностей а (черт. 228, 6). Плоскость a пересечет обе поверхности по циркульным кривым, которые на горизонтальной плоскости проекций будут проецироваться эллипсами. Чтобы не строить эти лекальные линии, повернем плоскость СГ и лежащие в ней кривые е сечения сферы И к сечения тора до горизонтального положения (ст). При этом окружность е, радиус которой равен радиусу сферы, будет иметь центр в точке С и проецироваться на плоскости ni окружностью ё", а меридиан тора к совпадает с горизонтальным меридианом тз. В J)eзyльтaтe пересечения этих линий ( хк = Му, Mj) получим искомые точки М, и М,. Теперь необходимо произвести поворот этих точек [c.70]

Формирование боковых поверхностей зубьев конических зубчатых колес теоретически производится так же, как и цилиндрических, с той лишь разницей, что основные цилиндры в этом случае заменены основными конусами. В процессе обкатки плоскости зацепления Q по основным конусам / и // (рис. 171) каждая точка линии ОР описывает эвольвенту. Так как расстояние от любой точки на линии ОР до вершины конусов О при обкатке остается постоянным, то эвольвента получается расположенной на сфере ( сферическая эвольвента). Совокупность точек — линия ОР образует эвольвентную поверхность прямого зуба. Если прямую ОР на плоскости Q заменить прямой 0 P (рис. 172) или какой-либо кривой, например дугой окружности О2Р2, то при обкатке получается поверхность непрямого зуба косого (тангенциального) или кругового [c.218]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...