Кривые линии и их проекции

Плоские кривые линии и их проекции [c.162]

Числовые величины площадей вспомогательных графиков (измеренные в единицах принятого масштаба), ограниченных кривыми линиями, ординатами начальных их точек, осями абсцисс и текущими их ординатами, соответствуют величинам расстояний от проекций точек кривой линии D до проекций ее начальной точки. [c.292]

Поверхности Ф, Д имеют общую профильную плоскость симметрии 2. Поэтому их распавшаяся линия пересечения будет проецироваться на профильную плоскость проекций П3 в распавшуюся кривую второго порядка 03 п 3 (см. п. 4.9), проходящую через точки /3, 23, 3 , 4 пересечения их очерковых линий и профильные проекции 3 точек соприкосновения. Сечения эллиптического конуса профильно проецирующими плоскостями, параллельными плоскостям окружностей а, Ь, являются его круговыми сечениями. [c.139]

КРИВЫЕ ЛИНИИ И ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА ИХ ПРОЕКЦИЙ [c.117]

На основании свойств параллельного проецирования можно установить, какие свойства кривых сохраняются у их проекций. Так, секущая и касательная к кривой линии проецируется, в общем случае, соответственно в секущую и касательную к ее проекции, при этом сохраняется число точек пересечения секущей с кривой . Бесконечно удаленные точки кривой проецируются в бесконечно удаленные точки ее проекции. [c.118]

Градуировать кривую линию можно лишь приближенно. Если кривая с переменным уклоном задана конечным числом точек, дуги между ними условно заменяются дугами кривой равного уклона. Градуировать их можно, разделив расстояние между проекциями точек на соответствующее число частей (см. Градуирование прямой ). Более точное решение может быть получено, если построить развертку кривой линии и отметить точки пересечения развертки с прямыми сетки горизонталей. [c.280]

Прямые и их проекции в тех случаях, когда они заданы точками — АВ, СО, ЕР. .., или 12, 34, 56. .., в остальных случаях прямые линии, а также и кривые линии обозначаются строчными буквами латинского алфавита — а, Ъ, с. .. [c.4]

Определим сначала точки, отделяющие видимую часть кривой от невидимой. Когда мы смотрим на обе поверхности сверху, т. е. рассматриваем их горизонтальную проекцию, то конус не заслоняет от наблюдателя точек кривой сечения. Но при этом мы видим только верхнюю половину цилиндра. Горизонтальная плоскость ш делит цилиндр пополам, иа видимую часть и невидимую, и помогает определить две точки с пометкой 3, принадлежащие искомой линии пересечения. Их проекции 3, являются границами видимости на горизонтальной проекции. [c.315]

Повторяя приведенные рассуждения для стороны d, d, получим, что она имеет отрицательный винтовой параметр. Стороны сЬ, с Ь и d, d в точке сс, как это показывают горизонтальные их проекции, имеют общую соприкасающуюся плоскость и располагаются обе по одну ее сторону. Отсюда следует, что точка сс является вершиной петли кривой линии bed, b d, точ- [c.357]

На рис. дан усеченный цилиндр, верхнее основание которого представлено фронтально-проецирующей (перпендикулярной фронтальной плоскости проекций IIj) плоскостью - прямой линией которая является одновременно фронтальной проекцией линии пересечения. Так как цилиндр проецирующий, то горизонтальная проекция линии пересечения есть окружность, совпадающая с проекцией цилиндра - все, что находится на поверхности цилиндра, проецируется на его горизонтальную проекцию, в том числе и линия пересечения. Отметим проекции By Су Dj опорных точек А, В, С, D, лежащих на контурных образующих цилиндра. Чтобы получить проекции промежуточных точек, зададимся фронтальными проекциями, например, точек М, N. Отметив их горизонтальные проекции М,, N , лежащие на проекции линии пересечения - окружности, строим профильные проекции Му Nj по координатам и у . Профильная проекция кривой - эллипс [c.101]

В некоторых случаях бывает затруднительным определение опорных точек, необходимых для правильного построения линии пересечения. Так, на рис. 6.10 -пересечение конуса и сферы - линия пересечения построена вначале без определения точек Ей F неявные опорные точки) на пересечении профильного меридиана т сферы с конусом. Искать эти точки с помощью вспомогательной плоскости, проходящей через эту окружность, нецелесообразно, потому что плоскость пересечется с конусом по гиперболе. Но когда построены фронтальная и горизонтальная проекции кривой, легко отметить на них проекции указанных точек и найти их профильные проекции и F , необходимые для построения профильной проекции линии пересечения, на проекции меридиана т -окружности. [c.125]

Пересечение поверхностей, когда одна из них проецирующая (рис. 10.13). Если одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, то задача построения линии пересечения двух поверхностей упрощается и сводится к построению недостающих проекций кривой линии на одной из поверхностей по одной заданной проекции линии (см. 8.3). На рисунке 10.13 горизонтальная проекция линии пересечения прямого кругового цилиндра и сферы совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Фронтальная и профильная проекции линии построены по их принадлежности сфере с помощью проекций вспомогательных линий на сфере. Отметим характерные (опорные) точки линии пересечения, пользуясь горизонтальной проекцией. Высшая и низшая точки (их проекции 2 2, 2" м Г, 1, 1") лежат в плоскости симметрии фигуры, проходящей через центр сферы с проекциями о, о м ось цилиндра с проекциями о о , о-,. Горизонтальная проекция плоскости симметрии — прямая, проходящая через проекции о и О]. В пересечении этой прямой с проекцией цилиндра отмечаем горизонтальные проекции 2 и / высшей и низшей точек линии пересечения. Заметим, что точка 2 — ближайшая [c.140]

ПЭВМ с развитой системой машинной графики позволяют создать системы, повышающие качество обучения основам начертательной геометрии и черчению. Построение одной проекции можно сопровождать автоматическим синхронным построением второй (третьей) или второй и третьей проекций и аксонометрического изображения. Можно быстро построить большое число изображений геометрических объектов при изменении размеров элементарных пересекающихся поверхностей и исследовать выявляющиеся закономерности. Применение способа вспомогательных секущих плоскостей можно показывать на примерах построения линий пересечения любых математически заданных поверхностей с любым их взаимным расположением в пространстве. При этом будут демонстрироваться различные виды кривых линий, получающихся в сечениях. Можно вызвать на экран фрагменты наглядного аксонометрического изображения для консультации (подсказки) или изображения сечения в интересующей нас зоне детали. [c.428]

Таким образом, число точек пересечения линий m и / будет равно числу точек пересечения их проекций т и /, т.е. порядок проекции / будет равен порядку кривой I. [c.55]

Горизонтальную проекцию 2 точки 2 получаем в пересечении линии связи, проведённой из точки 2i, с линией 1 (горизонтальной проекцией образующей Г). Аналогично строим горизонтальные проекции других точек кривой Ъ. Соединив их, получим горизонтальную проекцию bi кривой Ь как линии пересечения вспомогательной цилиндрической поверхности 0 (0з) с данной конической линейчатой поверхностью. Так как и линия Ь, и данная кривая а находятся на одной и той же цилиндрической поверхности 0 ( з), то эти линии пересекаются в точке К. Сначала отмечаем горизонтальную проекцию Ki точки К в пересечении линий bi и аь Затем по свойству принадлежности точки линии определяем фронтальную проекцию Ki точки К в пересечении линии связи, проведённой из точки Ki, с линией аг (фронтальной проекцией данной кривой "а О. [c.85]

На чертеже (рис. 281) изображен такой цилиндроид Е с направляющей плоскостью Ili=2 и направляющими кривыми а и Ь E(fl, Ъ, III). Фронтальные проекции образующих I цилиндроида параллельны линии Их горизонтальные проекции строят, исходя из того условия, что образующая в любом положении пересекает направляющие кривые а и Ь. [c.228]

При выполнении автоматических высокопроизводительных измерений их погрешности АХ (t), описываемые формулой (10), естественно, зависят одновременно от всех упомянутых выше факторов, которые проявляются совместно. В качестве простейшей иллюстрации этого на рис. 2, в показана поверхность У (X, t), характеризующая изменение во времени свойств характеристики У (Z) при экспоненциальном переходном процессе У (t). Поверхность построена на основании известных фронтальных и профильных проекций У (X) и У (<), представленных на рис. 2, а и б. Эту поверхность пересекают фронтальные плоскости Q я К, соответствующие моментам времени и t , когда проводилась динамическая и статическая градуировка прибора. Линии, образованные пересечением этих плоскостей с поверхностью, определяют кривые У (X) для отмеченных значений времени. В результате оказывается возможным получить картину взаимного расположения этих кривых и прямых ММ идеальных характеристик преобразователя, а также оценить погрешности измерений (рис. 2, г, д). [c.102]

Определение критической продолжительности охлаждения стали при закалке. Установлено, что результаты закалки практически определяются продолжительностью охлаждения стали в интервале 800—500° С [9, 142]. Тогда, очевидно, что проекции точек пересечения кривых охлаждения с линией температуры 500° С термокинетической диаграммы на ось времени покажут соответствующие продолжительности охлаждения от 800 до 500° С. Образующиеся при той или иной скорости охлаждения структуры и их количественные соотношения будут определяться диаграммой превращения и скоростью охлаждения, т. е. взаимным [c.154]

Если задана винтовая канавка сверла с определенными параметрами (D, со, ф, d , а также ширина канавки), то для каждого значения угла перекрещивания осей сверла и фрезы будем иметь вполне определенные кривые сечения канавки сверла (проекции D и Е на фиг. 200). Однако для каждого такого случая, несмотря, на то, что конфигурация кривых не изменяется, можно построить большое количество профилей фрезы. Конфигурация их будет зависеть от вполне определенного диаметра фрезы и определенного положения оси оправки, т. е. точки S (соотношения. г у согласно фиг. 197). При заданном диаметре фрезы нельзя произвольно назначать положение точки S, так как оно зависит от условия одновременного касания каждой кривой сечения канавки сверла с определенной окружностью фрезы в каждой плоскости, перпендикулярной к оси оправки, причем одновременное касание осуществляется по пространственной линии контакта. Однако не всегда заданный диаметр фрезы сможет обеспечить это одновременное и непрерывное соприкосновение профилей. Поэтому при профилировании приходится отыскивать оптимальное положение точки S, что обычно связано с большой затратой времени. [c.403]

Если надо будет развернуть боковую поверхность данного цилиндра, то, имея нормальное сечение, развертывают ограничивающую его кривую в прямую линию и в соответствующих точках этой прямой, перпендикулярно к ней, откладывают отрезки образующих, беря их с фронтальной проекции. Для разметки образующих делят окружность основания на равные части. При этом и эллипс (нормальное сечение) разделится на такое же число частей, но не все эти части получаются равной длины. Развертывание эллипса в прямую можно произвести путем последовательного откладывания на прямой достаточно малых частей эллипса. [c.237]

В начертательной геометрии кривые линии изучаются по их проекциям. Построение проекций линий существенно зависит, прежде всего, от того, принадлежат ли все точки данной кривой одной плоскости или нет. Если все точки кривой расположены в одной плоскости, то такая кривая называется плоской. Примером плоских кривых являются окружность, эллипс, парабола, гипербола, циклоида и др. [c.131]

Работа Монжа Geometrie Des riptive , изданная в 1798 г., представляет собой первое систематическое изложение общего метода изображения пространственных фигур на плоскости, поднявшее начертательную геометрию на уровень научной дисциплины. Чисто геометрические методы Монжа были не противоположностью анализу, а его естественным дополнением, тесно связанным с практическими потребностями инженерного дела. К вопросам, впервые затронутым в работах Монжа по начертательной геометрии, относятся следующие 1) применение теории геометрических преобразований (при обосновании перехода от пространственных фигур к их плоскостным изображениям, а также в части использования алгебраического метода решения задач) 2) рассмотрение некоторых вопросов теории проекций с числовыми отметками 3) подробное исследование кривых линий и поверхностей, в частности, вопросов, связанных с поверхностями с ребром возврата и с поверхностями одинакового ската. В частности, при построении линии пересечения поверхностей Монж применял как способ вспомогательных плоскостей, так и способ вспомогательных сфер, а для определения истинной длины линий и вида плоских фигур Монж широко пользовался методом вращения, а также методом перемены плоскостей проекций, применявшимися еще Дезаргом в работах, относящихся к 1643 г. [c.168]

Учебник соответствует программе, утвержденной Министерством высшего и среднего специального образования СССР для машиностроительных, приборостроительных и механико-технологических специальностей высших технических учебных заведений. Согласно этой программе в книге изложены разделы Система ортогональных проекций и Аксонометрические проекции из всего материала, составляющего содержанве начертательной геометрии. Учебник включает в себя сведения по образованию проекций, о точке и прямой линии, о плоскости и их взаимном положении, о преобразовании чертежа способами перемены плоскостей проекций и вращения с примерами решения задач с применением этих способов, об изображении многогранников и пересечении их плоскостью и прямой линией и о пересечении одной многогранной поверхности другою, о кривых линиях и кривых поверхностях, о пересечении кривых поверхностей плоскостью и прямой линией, о пересечении одной кривой поверхности другою, о развертывании кривых поверхностей. [c.2]

Но горизонтальные проекции точек, в которых пересекаются обе кривые, должны находиться как на проекции первой, так и на проекции второй кривой следовательно, точки Р, С,. ..пересечения двух кривых РСШК и РСОРМ будут горизонтальными проекциями такого же числа точек искомой линии пересечения двух кривых поверхностей. Для того чтобы получить вертикальные проекции тех же точек, надо учесть, что все они находятся в горизонтальной плоскости ЕЕ, и их проекции должны лежать на прямой ЕЕ. Следовательно, [c.94]

Заданные поверхности имеют одинаковый шаг, а производящие их линии лежат в одной плоскости. В соответствии с этим горизонтальные проекции точек пересечения ходов находят на биссектрисах углов, вершины которых расположены в точке о, а стороны проходят через горизонтальные проекции 3 и 4, Ь к d указанных выше точек. Точка Зв, например, является горизонтальной проекцией точки пересечения хода точки 33 производящей кривой линии с ходом точки ЬЬ производящей линии abed, a b e d. Фронтальная проекция З в точки пересечения этих ходов находится на пересечении фронтальных проекций ходов точек ЬЬ и 33. Эту проекцию можно построить, используя угловое смещение точки ЪЪ или 33. Определив соответствующее ему осевое перемещение зд, строим фронтальную проекцию З в точки пересечения рассматриваемых ходов. [c.255]

На рис. 408 построен горизонтальный очерк детали, ось которой параллельна плоскости проекций V и наклонена к плоскости проекций Я. Поверхность детали состоит из цилиндра вращения и поверхности вращения, производящей линией которой является дуга окружности радиусом R с центром в точке /с/с. Для построения кривой линии горизонтального очерка заданной поверхности применяем метод вспомогательных сфер. Вспомогательные сферы выбирают касающимися заданной повмхности вращения вдоль ее параллелей. Плоскости, перпендикулярные к плоскости проекций Я и касательные к заданной поверхности, являются касательными плоскостями и вспомогательных сфер. Эти плоскости касаются сфер в точках пересечения экваторов сфер параллелями их соприкасания. [c.284]

Рассматривая поверхноспи с направляющей плоскостью при известных проекциях их линий сужения, можно выбирать проекции ходов точек произвольно, а также в виде эвольвент проекции линии сужения и в виде эквитангенциальных кривых линий к проекции линии сужения. [c.371]

Для построения центральной проекции кривой линии необ-хсдммо взять на этой линии некоторое количество точек, найти их проекции и соединить соответствующей линией (рис. 2, 6). [c.8]

В основном задачи, решенные ) и предлагаемые для реиюния, относятся к взаимному сочетанию геометрических элементов и их расположению в пространстве и к применению способов преобразования черпежа вращением и введением дополнительных плоскостей проекций. Объектами рассмотрения являются точки, прямые и кривые линии, плоские и некоторые другие поверхнссти — отдельно и в их взаимном расположении. Рассматриваются задачи на определение расстояний и углов, на построение аксогюметрических проекций — прямоугольных — изо- и диметрических (с сокращением по оси у вдвое). [c.4]

Плоскость Pj пересекает (рис. 246, в) коническую поверхность по гиперболе S- J—4—9, цилиндрическую — по образующим, проходящим через точки 5 и Р, поверхность кругового кольца — по кривой 3—7—8 и сферу — по окружности ра-дйуса R=0 I. Линии, образуемые на поверхности тела секущей плоскостью Pi, такие же, как от плоскости Р , и на рис. 246, в их проекции совпадают с построенными, так как плоскости Я] и Р, параллельны и отстоят на равные расстояния от плоскости симметрии заданного тела. [c.200]

Как было показано выше (п. 1.6), изображения геометрических фигур на чертеже Монжа и аксонометрическом чертеже принципиешьно ничем не отличаются. Сказанное полностью относится и к изображениям кривых линий. В общем случае пространственная кривая на аксонометрическом чертеже задается двумя проекциями аксонометрической и вторичной. Для построения ее проекций необходимо построить проекции множества ее точек по их известным координатам, измеренным с чертежа Монжа или вычисленным из уравнения данной кривой. На рис. 2.36 в качестве примера показано построение аксонометрического изображения кривой т. Она построена по точкам 1, 2,. .., координаты которых взяты с чертежа Монжа. [c.48]

Выполнив описанные построения с участием каждой плосксхли Г, получаем. множество точек. Через их горизен тальные и фронтальные проекции про водим лекальные кривые — проекции / , 2 искомого сечения /. При построении проекций /], 2 необходимо помнить, что в точках видимости они изменяют свою видимость и касаются здесь очерковой линии >п поверхности Ф. [c.121]

Для определения натуральной величины фигуры сечения используют, например, способ замены плоскостей проекций (см. п. 9.1.). Для этого удобно ось X старой системы выбрать совпадающей с осью симметрии горизонтальной проекции сечения, а в новой системе Х Рг- В этом случае секущая плоскость изображается разомкнутой линией (см. п. 2.1.) со стрелками, которые ставятся на расстоянии 2...3 мм от внешних концов этой линии и указывают напраштение взгляда, а обозначается плоскость буквами кириллицы (русского алфавита) в алфавитно.м порядке без обозначения Рг. Буквы пишут по горизонтальной строке с внешних сторон стрелок (по отношению к изображению) (см. рис.157, а). Новая горизонтальная проекция на П5 сечения не обозначается, если она построена в проекционной связи. Строят новые проекции Ь, 2з - 2 з, З5 - 3 опорных точек по линиям связи Ь -> Ь, 2г -> 2з, З2 -> З5, на которых симметрично оси Х) откладывают отрезки [2з - 2 з] = ]2 - 2 ], [З5 - З з] = [З1 - 3 )], а затем аналогично строят проекции выбранных случайных точек и соединяют их кривой линией. [c.155]

Через точки сопряжения очерковых линий проведены граничные, параллели а, Ь (окружности), по которым поверхности касаются друг друга, образуя плавные переходь . После среза заготовки головки двумя фронтальными плоскостями Г и Л передняя и задняя линии среза (их фронтальные проекции совпадают) составляются из дуги /—2—3 окружности (срез на сфере), дуг 1—6 и 3—4 кривой Персея (срез на торе) и дуги 5—6—4 гиперболы (срез на конусе), стыкующихся на соответственных граничных параллелях а и Ь. Промежуточные точки кривых строят с помощью вспомогательных секущих плоскостей, перпендикулярных оси вращения х, как это показано для точек А В, являющихся точками пересечения параллели с с плоскостью Г. [c.103]

Промежуточные точки искомой кривой определяем также с помощью вспомогательных плоскостей. Плоскости, параллельные П , здесь не пригодны - они пересекли бы конус по гиперболам. Проведем произвольно в пределах между точками Л и 5 линию - проекцию плоскости е. Она пересекает сферу и конус вращения по окружностям. Радиус окружности - линии пересечения плоскости е с конусом - равен расстоянию от оси конуса до точки 2 , лежащей на контурной образующей конуса радиус окружности - линии пересечения плоскости е со сферой - равен расстоянию от оси сферы до точки 3 лежащей на его меридиане. На пересечении горизонтальных проекций этих окружностей находим проекции М промежуточных точек линии пересечения, проецируем на фронтальную проекцию плоскости и находим проекции М , затем - их проекции MjVi Му посредством координаты [c.124]

Пересечение конуса с плоскостью. Для построения кривой линии, получаемой при пересечении конической поверхности плоскостью, в общем случае находят точки пересечения прямолинейных или круговых образующих конической поверхности с секущей плоскостью. Соответствующий пример в случае пересечения фронтально-проецирующей плоекостью Р конуса с вершиной приведен на рисунке 9.8. Построение линии пересечения плоскости с конической поверхностью обычно выполняют в следующем порядке. Основание конуса делят на несколько равных частей (обычно 12), проводят горизонтальные проекции 5—7, —2,. .., з—12 образующих и строят их фронтальные проекции. На фронтальной проекции отмечают фронтальные проекции точек пересечения построенных образующих на видимой поверхности конуса с секущей плоскостью Р (Р у. с, ё, д, а также крайних точек а и Ь. Горизон- [c.114]

Несколько сложнее строить аксонометрические проекции кривых поверхностей, поскольку построением проекций их контурных линий не всегда можно достигнуть наглядного и обратимого изображения. Поэтому на аксонометрических изображениях кривых поверхностей часто дополнительно наносят и проекции какой-либо системы (или даже нескольких систем) линий, принадлежащих изображаемой поверхности. Например, на аксономет- [c.378]

Построим сечение винта плоскостью Б—Б. Из рассмотренного выше примера на фиг. 213, б следует, что поверхность наклонного геликоида, рассеченная плоскостью, перпендикулярной к его оси, дает на поверхности кривую—спираль Архимеда. Для построения точек спирали рассекаем виток радиальными плоскостями, например а(а ), и т. д. Строим для каждой секущей плоскости при помощи линий связи фронтальные проекции сечений витка — треугольники А1В1С, и т. д. Плоскость Б—Б пересекает стороны и A f и т. д. в точках М М ), KiKi) и т. д. Строим их горизонтальные проекции и Ki и т. д. Полученные точки соединяем плавной кривой. [c.139]

Варианты заданий приведены на рис. 78—85. В задаче 1 требуется построить три проекции кривой пересечения конуса с поверхностью вращения. Так как оси тел, вращения пересекаются между собой, задачу можно решать методом шаровых сечений. В задачах 2, 8, 28 и 29 необходимо построить кривые пересечения цил-индров и конусов. Во всех этих задачах надо построить не только профильную, но и горизонтальную проекцию линии пересечения. Причем в задачах 2 и 29 горизонтальные проекции кривых приблизительно нарисованы их надо построить точно. После этого следует построить профильную проекцию. [c.88]

Если в очерке плоской фигуры есть кривая линия (рис. 74), то ее аксонометрическую проекцию строят по точкам. Построение прямоугольной изометрической проекции показано на рис. 74 для трех положений. Положение I соответствует расположению фигуры в координатной плоскости XOZ, причем взаимно перпендикулярные отрезки А В а ВС ее очерка совмещены с осями координат ОХ и 02. Построение начинают с изображения 1АВ и ВС, измеряя их размеры на ортогональных осях и перенося на аксонометрические. Затем последовательно переносят точки кривой. Для построения прямоугольной изометрической проекции какой-либо точки О отмечают на ортогональном чертеже расстояния I и т вдоль этих осей, а затем переносят их на аксонометрическую проекцию. Последовательно построив ряд точек этой кривой, соединяют их по лекалу. Расстояния I и т равн1л координатам хм г точки О. Аксонометрические проекции фигуры в положениях II к III соответствуют ее расположению в двух других координатных плоскостях. Размеры I и т здесь определяют расстояния от точки О до [АВ] [ВС. Эти отрезки расположены параллельно соответствующим осям координат. [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...