Релятивистская функция Лагранж

Полагая далее параметр X = I, получим (опуская при этом индекс времени 1) релятивистскую функцию Лагранжа [c.240]

Отсюда заключаем постоянную а надо положить равной тс, где т — масса материальной точки, иначе принцип соответствия классической механике будет нарушаться. Таким образом, имеем хорошо знакомую релятивистскую функцию Лагранжа [c.241]

Возвращаясь к случаю, когда внешнее силовое поле потенциально, а именно = Qa = -ди/дха, получим уравнения Лагранжа (8.49) с функцией Ь = — 17. Запишем далее релятивистскую функцию Гамильтона с помощью релятивистской функции Лагранжа [c.261]

Уравнение движения (16.1) может быть получено при помощи релятивистской функции Лагранжа [c.87]

Покажем теперь, что эта релятивистская функция Лагранжа приводит к правильным уравнениям движения. Дифференцируя, находим [c.88]

Релятивистская функция Лагранжа [c.154]

Пример 4.3. Нахождение связи релятивистской функции Лагранжа с классической. [c.269]

Эйлерова производная этого выражения приводит прямо к релятивистскому импульсу G в форме (2.19), а, следовательно, также и к закону зависимости массы электрона от его скорости. Вообще говоря, нахождение функции Лагранжа L, приводящей через посредство вариационного принципа к заданным дифференциальным законам, является (в особенности вне пределов механики) трудной задачей, для решения которой не существует общих правил. Для указанного выше случая движения электрона в магнитном поле эта задача была весьма простым способом разрешена Лармором и Шварцшильдом. В этом случае разложение L на кинетическую и потенциальную части по схеме L = Т — V, вообще говоря, уже невозможно. [c.277]

Существование функции Лагранжа сильно облегчает эту задачу. Если функция Лагранжа L является истинным скаляром четырехмерного мира (т. е. величиной, инвариантной относительно произвольного преобразования Лоренца, или, иначе говоря, лоренц-инвариантом ), то и полученные из этой функции уравнения будут корректными с релятивистской точки зрения—тоже будут лоренц-инвариантами . [c.356]

Элемент действия в релятивистской динамике. Вопрос о физическом смысле функции Лагранжа в виде разности кинетической и потенциальной энергий получил разъяснение после создания специальной теории относительности. [c.58]

Понятие натуральная система по своему смысловому содержанию является более широким, чем приведённое выше. К натуральным системам естественно относить любые динамические системы, аксиоматика которых имеет научные физические основания. Тогда, например, релятивистская частица, описываемая функцией Лагранжа (коэффициент при сИ в формуле (38.15)), не будет считаться ненатуральной на том лишь основании, что выражение функции Ь не является полиномом второй степени относительно скорости. Системы с функцией Лагранжа вида (5) далее будем называть системами с евклидовым действием. [c.130]

Отметим также некоторые другие обстоятельства изучения движения релятивистских частиц методами теоретической механики. Ограничение скорости релятивистской частицы не позволяет считать её свободной по определению ограничение величины скорости представляет собой неголономную связь в пространстве-времени (другое дело, что пока не вполне ясно, как она реализуется). Известно, что при выводе уравнений движения условие неголономной связи не должно быть использовано в функции Лагранжа, как это было сделано в (15). Эта связь неидеальная в уравнении движения релятивистской частицы [78] в составе сил имеется слагаемое, противоположное скорости. [c.263]

Функция Лагранжа релятивистской частицы с массой по- [c.115]

Функция Лагранжа свободной релятивистской частицы с массой покоя шо имеет вид [c.116]

Таким образом, мы пришли к интересному результату. В релятивистской механике кинетической энергии соответствует величина тс . Однако в функцию Лагранжа не входит это выражение, т. е. в релятивистской механике уже не имеет места соотношение [c.90]

Плотность лагранжиана зависит от полевых функций и их производных, а также, может быть, явным образом от координат и времени. Аналогия с функцией Лагранжа (4.24) очевидна. В релятивистской записи плотность лагранжиана имеет вид [c.93]

Плотность лагранжиана играет в теории поля такую же важную роль, как функция Лагранжа в механике. Для того чтобы основанная на этом теория согласовывалась со специальной теорией относительности, плотность лагранжиана должна быть релятивистским инвариантом. Связанный с этим круг вопросов мы будем подробно обсуждать ниже. [c.94]

Рассмотренные примеры показывают, что динамические законы и величины в релятивистской механике отличаются от классических. Для установления их используем важный для современной физики методологический прием будем отыскивать инвариантные по отношению к преобразованиям Лоренца соотношения, ибо верные соотношения должны быть лоренц-инвариантными в силу принципа относительности Эйнштейна. В классической механике изучен метод описания движения Лагранжа, уравнения Лагранжа. Замечательной особенностью уравнений Лагранжа является их инвариантность по отношению к любому (непрерывному, однозначному) преобразованию координат, в том числе и преобразованиям Лоренца. Поэтому метод Лагранжа удобен в рассматриваемом случае релятивистского движения. Для применения этого метода необходимо составить функцию Лагранжа, которая заведомо была бы инвариантом преобразований Лоренца. Тогда получаемые с ее помощью дифференциальные уравнения движения будут иметь инвариантную форму. [c.267]

Энергия и импульс свободной частицы. Рассмотрим свободную от связей и изолированную от внешних полей частицу. (Так как механические связи в релятивистской динамике не рассматривают, терминологию часто упрощают и называют свободную изолированную частицу просто свободной частицей.) Найдем для нее функцию Лагранжа. [c.267]

Независимость функций Лагранжа от времени, обусловленная однородностью времени, приводит, как это показано в 22 части 1, к сохранению релятивистской энергии системы невзаимодействующих частиц [c.269]

Функция Лагранжа. Функция Лагранжа для релятивистской частицы [c.220]

В качестве примера неклассической системы рассмотрим частицу, скорость которой сравнима со скоростью света — релятивистскую частицу. Положение частицы определим декартовыми координатами, полагая qj = x, q2 = y, q = z. Функция Лагранжа ) будет иметь вид [c.222]

Обратимся к примеру, рассмотренному в 10. Функция Лагранжа для релятивистской частицы имела вид [c.228]

Релятивистский электрон в поле кулоновских сил. Рассмотрим плоскую задачу, определяя положение электрона полярными координатами. Функцию Лагранжа берем в виде [c.343]

Тогда задачу получения лагранжиана можно будет рассматривать как задачу об отыскании такой функции L, для которой уравнения Эйлера — Лагранжа совпадают с известными релятивистскими уравнениями движения. [c.231]

Функцию, удовлетворяющую этим требованиям, обычно найти нетрудно. Пусть, например, имеется одна материальная точка, находящаяся в поле консервативной силы, не зависящей от скорости. В этом случае в качестве релятивистского лагранжиана L можно взять функцию [c.231]

В главе 6 указывалось, что первый член ковариантного релятивистского лагранжиана (6.57) является в некоторой степени произвольным. Другая возможная форма лагранжиана получается, если преобразовать принцип Гамильтона (6.48) (перейдя от времени i к местному времени т, являющемуся инвариантом Лоренца) и использовать. новую подынтегральную функцию в качестве L. Получить таким путем выражение для ковариантного гамильтониана частицы, находящейся в электромагнитном поле. Показать, что значение этого гамильтониана равно нулю. (При получении уравнений движения значение гамильтониана, конечно, не существенно, так как нас интересует только его функциональная зависимость от координат и импульсов.) [c.261]

Иногда оказывается чрезвычайно выгодным превратить время t в механическую переменную. Вместо того чтобы считать позиционные координаты qi функциями времени t, координаты qi и время t рассматриваются как функции некоторого произвольного параметра т. Лагранж в подобных случаях считал, что пространство конфигураций для одной частицы превращается из пространства трех в пространство четырех измерений. В релятивистской механике этот переход абсолютно необходим, так как пространство и время объединяются там в один четырехмерный континуум Эйнштейна—Минковского. [c.216]

Таким образом, оба формализма имеют в настоящее время свои преимущества, что и делает необходимым пользоваться и тем и другим. Оба формализма тесно связаны друг с другом. Исходя из лагранжиана и вводя импульсы, можно в случае, если импульсы—независимые функции от скоростей, получить гамильтониан. В настоящей работе построена более общая теория, применимая к случаю, когда импульсы не являются независимыми функциями от скоростей. Получена обобщенная формулировка гамильтонова принципа, которую по-прежнему можно использовать для квантования и которая оказывается особенно удобной для релятивистского описания динамических процессов. [c.705]

В механике под преобразованием симметрии мы понимали преобразование, определяемое бесконечно малой производящей функцией, не зависящей от времени в силу определения (14.7), и гарантирующее инвариантность формы функции Гамильтона. В теории поля на первый план вместо формализма Гамильтона выдвигается формализм Лагранжа, поскольку именно он обеспечивает релятивистскую ковариантность. Поэтому здесь при определении преобразования симметрии исходят из плотности лагранжиана и сообразно этому требуют [c.116]

Понятие Л. ф. распространяется также на системы с бесконечным числом степеней свободы — классические поля физические, при этом обобщёнными координатами и импульсами явл. значения ф-ции поля и их производные по времени в каждой точке пространства-времени. Как и в классич. механике, посредством принципа наименьшего действия Л. ф. определяет для поля ур-ния движения. Важным св-вом Л. ф. явл. релятивистская инвариантность её плотности (величины Л. ф. в ед. объёма поля) и др. св-ва её симметрии. Каждой из симметрий соответствует закон сохранения нек-рой физ. хар-ки. Так, неизменности относительно калибровочной симметрии соответствует сохранение заряда и т. д. (см. Сохранения законы). ЛАГРАНЖИАН, аналог Лагранжа функции классич. физ. поля в квант, теории поля (КТП). Ф-ции, описывающие поле, в КТП заменяются соответствующими операторами, так что Л. явл. оператором. Его вид связан с ф-цией Лагранжа для классич. поля соответствия принципом. Л. полностью определяет теорию, т. е. позволяет найти ур-ние для взаимодействующих квант, полей и, в прин- [c.337]

Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом формализме основными величинами являются , р, и Н. Гамильтониан можно построить с помощью функции Лагранжа и q и р,. Отсюда непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны, именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив, в лагранжевом формализме не вводят функции р,-, Н (хотя это и возможно). В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а динамические переменные (энергия — импульс, заряд и т. п.) определяются как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой системы точек оказывается гораздо менее отчетливой. [c.878]

Будем считать, что функция Лагранжа L q, q, t) соответствует динамической системе (не релятивистской), если га-матрич-ная функция Гесса ) (см. 15) не содержит д и являет- [c.137]

ЗАМЕЧАНИЕ 2 В нерелятивистской теории функции Лагранжа и Гамильтона находились в соотпошеиии определенной симметрии друг к другу (ср. I, 16). В релятивистской теории эта симметрия нарушается ых различным тензорным характером. Действительно, функция Лагранжа является скаляром (правда, в несколько пиквикском смысле, поскольку для иеиивариантной параметризации это не так, а для инвариантной ее нельзя варьировать). Функция же Гамильтона есть, как мы теперь видим, четвертая компонента вектора. Это обстоятельство приводит к тому следствию, что гамильтонова формулировка уравнений всегда оказывается не обладаюш,ей явной релятивистской пнвариаитностью. [c.181]

Релятивистской динамике принадлежат соотношения между динамическими характеристиками свободной частицы и законы сохранения. Кроме того, здесь изучается хотя и не общий, но важный частный случай взаимодействия тел и полей, при котором индивидуальность частиц — масса покоя — сохраняется, а в результате взаимодействия при движении изменяются импульс и энергия, положение в пространстве. Этот случай называется квазирелятивист-ским и укладывается при внесении релятивистских поправок в рамки основной задачи механики. Поэтому в курсе изучается релятивистское обобщение основного уравнения динамики. Релятивистскими обобщениями определяются в данном разделе курса функции Лагранжа, Гамильтона. [c.245]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Плотность лагранжиана, являющаяся функцией координат и скоростей, есть релятивистски инвариантная функция, т. е. с ее помощью можно описывать частицы, движущиеся даже со скоростями, близкими к скорости света. Лагранжиан при заданных начальных условиях полностью определяет поведение системы во времени, т. е. динамику системы. [c.12]

Именно эта возможность и была реализована в 1911 г. Г. Герглотцем , который принял активное участие в разработке релятивистской механики сплошной среды и на этом пути впервые явно получил взаимосвязь Р-сим-метрия — сохранение . Вариационная структура уравнений механики сплошной среды была известна и широко использовалась, начиная с середины XIX в. (Гельмгольц, Кирхгоф, Рэлей, А. Вальтер и др.) . Вариационные принципы в релятивистской форме за пределами электродинамики были сформулированы и широко использованы, прежде всего, Планком, а затем Минковским и др. (механика точки и системы, термодинамика и т. д. ). Поэтому построение релятивистской механики сплошной среды естественно было начать с Р-инвариантного вариационного принципа, переходящего в нерелятивистском случае в соответствующий вариационный принцип классической механики. Герглотц начинает с описания среды в переменных Лагранжа, т. е. рассматривая координаты частиц среды и характеристики движения как функции начальных координат и времени t. Элемент мировой линии двух соседних мировых точек при таком описании выражается посредством квадратичной формы дифференциалов начальных координат и собственного времени = i x [c.243]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...