Функция Гесса

Область пространства называют выпуклой, если отрезок прямой, соединяющей две любые точки этой области, расположен целиком в ней. Так, область допустимых решений на рис. 8 образует выпуклый четырехугольник. Функция является выпуклой, если выпукло множество точек, расположенных над ее графиком. Например, U(в) на рис. 4 — выпуклая функция. В многомерных пространствах эти наглядные представления не удается применить, и понятие выпуклости без дополнительных критериев, позволяющих выразить те же особенности функции в аналитическом виде, становится не более как образным выражением. Необходимым и достаточным условием выпуклости непрерывной функции с непрерывными вторыми производными является неотрицательность определителя матрицы, составленной из этих производных (матрицы Гессе). Если же гессиан определен положительно, т. е. условие э-0 для соответствующей квадратичной формы может быть заменено условием >0, то функция называется строго выпуклой. [c.185]

Поскольку энтальпия, или внутренняя энергия чистого вещества является функцией состояния (параметров р и Г), то тепловой эффект реакции не зависит от конкретного химического пути, по которому осуществляется данная реакция, лишь бы исходные вещества и продукты реакции были одними и теми же. Это утверждение является содержанием закона Гесса, который позволяет свести к минимуму число реакций, для которых непосредственно экспериментально определяются тепло-15 219 [c.219]

Так как Uni — функции состояния, то тепловой эффект реакции Qy или Q,, определяется начальным и конечным состояниями системы. Следовательно, тепловой эффект сложной реакции, состоящей из нескольких последовательно происходящих промежуточных реакций или стадий, не зависит от того, через какие промежуточные стадии проходила реакция, и равен сумме тепловых эффектов всех составляющих реакций (закон Гесса). [c.476]

Таким образом, мы видим, что элементы гессиана Aj функции Н взаимны (т. е. равны алгебраическим дополнениям, деленным на определитель) с элементами гессиана Д функции 2, откуда, в частности, имеем тождество [c.243]

Метод Ньютона осуществляет необходимый поиск в области варьируемых параметров, где/(Х) дважды дифференцируема и где матрица, обратная матрице Гесса целевой функции, является положительно определенной. Поиск этой области осуществляется или методом дискретного перебора значений параметров, или методом ЛП-поиска. [c.134]

Закон Гесса может быть выражен также следующим образом если система путем ряда химических превращений совершает круговой процесс при неизменных температуре и объеме или неизменных температуре и давлении, то алгебраическая сумма тепловых эффектов реакций должна быть равна нулю. Эта формулировка закона Гесса не требует дополнительных разъяснений, так как хорошо известно, что в результате кругового процесса значения функций состояния остаются неизменными, в частности для кругового процесса Af/=0 и Д/=0, а значит, как показано выше, алгебраическая сумма тепловых эффектов должна быть равна нулю. [c.475]

Максимальная работа химической реакции есть функция состояния, т. е. она не зависит от пути перехода системы из одного состояния в другое. Величину А можно суммировать подобно тепловым эффектам реакции, и для нее справедлив закон постоянства сумм работ, аналогичный закону Гесса для тепловых эффектов реакции. [c.235]

Особенность сопряженных направлений для Q = Г, где Г — матрица Гессе, в задачах с квадратичной целевой функцией F(X) заключается в следующем одномерная минимизация F(X) последовательно по N сопряженным направлениям позволяет найти экстремальную точку не более чем за N шагов. [c.163]

Примечание. Матрицей Гессе называют матрицу вторых частных производных целевой функции по управляемым параметрам. [c.163]

Дважды непрерывно дифференцируемая функция / называется сильно выпуклой, если ее матрица Гессе [c.141]

Определитель Гесса для функции У теперь принимает вид [c.486]

Закон Гесса — первый закон термодинамики — утверждает, что тепловые эффекты реакций являются функциями состоянии реагентов. [c.104]

Сопряженные кинетические фокусы можно найти по выражению главной функции, приравнивая нулю обратную величину гессиана (9) [c.706]

Функция Лагранжа системы L = L q) зависит только от обобщенных скоростей. Показать, что действие но Гамильтону на прямом пути, проходящем через две точки (qW,io) и P(qW,ii) п + 1)-мерного расширенного координатного пространства, будет минимальным но сравнению с действием на любых окольных путях, проходящих через эти же точки, если матрица Гессе [c.220]

Примером матрицы М может служить матрица Гессе Я х) целевой функции. [c.154]

Большое значение с точки зрения эффективности поиска максимума функции имеет наличие гребней на ее гиперповерхности (или оврагов при поиске минимума). Гребень на поверхности функции (6.4) совпадает с направлением Ь—Ь, его отличительные признаки — в окрестностях гребня имеются направления, вдоль которых производная функции резко изменяется с переменой знака в точке гребня (направление с—с ), и направления, вдоль которых производная меняется слабо (направление Ь—Ь ). Наличие гребней или оврагов связано с плохой обусловленностью матрицы Гессе чем больше отношение максимального по модулю собственного значения матрицы Ю к модулю минимального собственного значения, тем резче выражены гребни (овраги), тем существеннее трудности в организации эффективного поиска экстремума. Характер трудностей аналогичен трудностям, возникающим при численном интегрировании дифференциальных уравнений с плохо обусловленной матрицей Якоби. [c.155]

Чтобы выяснить, является ли эта точка минимумом, максимумом или седлом, приходится исследовать вторые производные функции. Для этого удобно воспользоваться матрицей Гессе д-р дЧ П [c.193]

А] есть определитель Гессе от функции Ро по отношению к величинам Хз- [c.177]

Функция Гамильтона Н вырождена по импульсам ранг гессиана падает на т единиц. В натуральном случае [c.47]

К сожалению, в геометрической оптике теорема 1 непосредственно не применима, поскольку лагранжиан (4.1) является параметрическим и поэтому матрица Гессе (4.9) вырождена. Действительно, по формуле Эйлера для однородных функций [c.47]

Ш) матрица Гесса для функции U (х, у) в пяти точках (х, у), удовлетворяющих условиям Ux — О = Uy, равна [c.447]

Вектор обобщенных деформаций (включает нормальные и сдвиговые деформации) е , 8 , 8 Нормальные деформации I, т), С Безразмерные пространственные переменные 0 Угловое смещение (угол измерения в гл. 12) и,к ,ку,к у Вектор кривизн при изгибе пластин и его компоненты [х] Матрица Гессе Я Вектор множителей Лагранжа Коэффициент Пуассона [ Х,-J Вектор функции формы поля напряжений П Обобщенный функционал П 7. Пр ,Щ Функционал энергии (нижние и верхние индексы обозначают специальный вид функционала) л 3.1416... [c.14]

Будем считать, что функция Лагранжа L q, q, t) соответствует динамической системе (не релятивистской), если га-матрич-ная функция Гесса ) (см. 15) не содержит д и являет- [c.137]

Метод сопряженных градиентов. В градиентных методах для поиска экстремума использовались свойства ортогональности векторов. В методе сопряженных градиентов оптимум целевой функции ищется на ос-fiOBe свойств орготональности приращений вектора градиентов. Для этой цели наряду с градиентом используют матрицу Гессе Г критерия оптимальности. С помощью матрицы Г удается выбрать направление поиска, наиболее полно учитывающее особенности критерия оптимальности. Напомним, что векторы А и В называют сопряженными относительно симметричной и положительно определенной матрицы Г, если скалярное произведение векторов А и ГБ равно нулю, т. е. <А, ГВ > =0. Направление поиска Р +1 на й+1-м шаге определяется как [c.287]

Алгебраические первые интегралы. Случай Гесса. В случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской последний из первых интегралов, приводящий к интегрированию посредством квадратур уравнений движения тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой (п. 24), является, как и интегралы живых сил и моментов, алгебраическим относительно неизвестных функций. Поэтому естественно, что предпринимались общие исследования вопроса о том, допускают ли и в каких случаях динамические уравнения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, помимо двух классических интегралов, какой-нибудь новый алгебраический интеграл, относительно переменных р, 1 f, Yu Тэ> Ifs Однако глубокое исследование Гюссона ), выполненное в более изящной форме Бургаттив), привело к заключению, что, помимо рассмотренных ранее случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, не существует других алгебраических интегралов, кроме интегралов живых сил и моментов. [c.168]

V — onst или Р = onst величины SQy и bQp являются полными дифференциалами, что и утверждает закон Гесса. Закон Гесса широко используется при термохимических расчетах. Он позволяет определять тепловые эффекты реакций вычислительным путем. Тепловые эффекты химической реакции зависят от температуры, при которой протекает реакция. Поэтому табличные данные для тепловых эффектов и других термодинамических функций принято относить к температуре 25° С. Специальные стандартные таблицы позволяют легко подсчитать тепловой эффект химической реакции, если известны теплоты образования всех участвующих в ней веществ. [c.45]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Применим теорему 2 к гамильтоновым уравнениям Янга — Миллса для однородного двухкомпонентного поля (см, 8 гл, I), Функция Гамильтона имеет вид (5,19), где V = х х2. Уравнения (5,21) допускают решение с = (1/ /2,1/ /2) -, собственные значения матрицы Гессе Г равны —1 и 3, Следовательно, Др1 = —7 и Др2 = 5, Эти числа рационально несоизмеримы, поэтому по теореме 2 уравнения Янга— Миллса не допускают нового голоморфного интеграла. Этот результат получил впервые С, Л, Зиглин в [64], Аналогичный результат имеет место и для трехкомпонентной модели Янга — Миллса, где V = х х -Ь х х -Ь х х. Здесь с = = (l/V ,l/V ,0)T, а числа Др равны соответственно /17, 5, В силу их рациональной несоизмеримости гамильтонова система неинтегрируема. [c.369]

Большинство детерминированных методов носит эвристический характер. К ним относятся релаксационный метод, метод конфигураций, метод Розенброка, симплексный метод, метод деформи руемого многогранника и т. д. При минимизации функции качества по методу Пауэлла [161] направления поиска оказываются сопряженными относительно матрицы, аппроксимирующей матрицу Гессе функции Р (х). Использование информации о вторых частных производных функции приводит вблизи точки минимума к квадратичной скорости сходимости. Относительная простота и эффективность метода Пауэлла позволили принять его в качестве основного при поиске минимума функций качества. С использованием цифровой модели индукционного нагревателя непрерывного действия разработана программа оптимизации установок для градиентного нагрева заготовок [162]. Начальный вектор оптимизируемых параметров вводится в начале работы программы. В оптимизирующей процедуре используется относительное изменение параметров. Для этого начальное и конечное заглубление нормируется относительно длины заготовки, а число витков индуктора — относительно начального задания 1 и, т. е. [c.253]

В соответствии с делением экстремумов на локальные и глобальные различают методы локального и глобального поиска. Большинство известных методов относится к методам локального поиска, попытки определения глобального экстремума обычно сопровождаются резким увеличением объема вычислений. Достаточным условием того, что найденный максимум глобальный, является вогнутость целевой функции в пространстве WA, т. е. отрицательная полуопределенность матрицы Гессе. Однако в задачах схемотехнического проектирования указанные условия использовать не удается, так как отсутствуют возможности для исследования вогнутости целевых функций во всей допустимой области. [c.155]

Касательное пространство в нуле Т,Ао к базе версальной деформации канонически изоморфно Qf (скорости деформации сопоставляется ее класс в Qf). Элемент дуального пространства назовем допустимым, если линейная функция а не обращается в нуль на аннуляторе максимального идеала в Qf. Аннулягтор этот одномерен и порожден классом гессиана особенности [, так что недопустимые элементы образуют в О/ гиперплоскость. [c.138]

Перегибы, исчезающие в морсовской особой точке. Пусть / (С", 0)- (С, 0)—росток фунюц ии с морсовсюой особенностью, [—его неособое малое шевеление (например, вида /-1-е). Рассмотрим гауссово (касательное) отображение многообразия У= /=0 , действующее из У в пространство всех аффинных гиперплоскостей в С". Особое множество 2 этого отображения пусто близи точки 0. Действительно, это множество соответствует точкам, в которых гессиан ограничения функции 7 на касательную плоскость к V имеет дефект 2. Но ранг гессиана полунепрерывен, а в исходной особой точке исходной функции / он ни для какой касательной гиперплоскости не меньше п—2. Итак, все особенности гауссова отображения поверхности V вблизи О — это морэновские особенности 5й. При этом в случае общего положения коразмерность осо- [c.233]

Но как сначала обнаружил П. Некрасов [3] для случая частного интеграла Гесса, а потом я [2) и Ляпунов [12] для общего случая движения гироскопа Гесса, решение тут будет даваться в многозначных функциях, так что мероморфность будет только местной. [c.126]

Хотя, таким образом, все-таки намечается некоторая связь с задачей, Ковалевской, но полного решения, как в ее случае, здесь до сих. пор не достигнуто задача даже в случае гессова частного интеграла приводится вообще не к двум квадратурам, но только к одной и еще к интеграция одного дифференциального уравнения 1-го порядка, которое Некрасов [4, 3] весьма удачно предложил заменить-уравнением хотя и 2-го порядка, но линейным с периодическими (в эллиптических функциях) мероморфными коэффициентами. Зато, особенно благодаря предложенной Жуковским [5] интерпретации, оказалось возможным внести достаточную наглядность как в толкование условий для формы гироскопа, так и в законы его движения при существовании интеграла Гесса. [c.127]

Из соотношений (5), (6), (12) для определения Нт и констант равновесия реакции /<р кроме значений термодинамических функций 5 , Фр и —Ннеобходимы сведения о теп-лотах образования веществ из элементов в их стандартных состояниях ДЯ - и тепловые эффекты реакций ЛЯ , для которых вычисляются константы равновесия. Тепловой эффект может быть вычислен, если известны теплоты образования из элеме )-тов в стандартных состояниях всех веи еств, участвующих в данной реакции, по соотношению (закон Гесса) [c.13]

Пусть дана функция и 5 К. Критическая точка — это точка, в которой градиент д1/д1 обращается в нуль (через мы обозначили локальную систему координат на 5) очевидно, что всякая критическая точка имеет коранг 1. Если эта точка трансверсально критическая, то она является изолированной критической точкой, и мы имеем ситуацию типа 51. Условие трансверсальности в этом случае выражается необращеннем в нуль гессиана (определителя из вторых производных) функции В этом случае всегда можно выбрать координаты таким образом, чтобы < записывалась в следующем виде [c.114]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...