Система единиц с одной степенью свободы

Вернемся теперь к вопросу о том, что происходит с частотами тех нормальных колебаний, которые не исчезают при уменьшении числа степеней свободы системы. Как уже было показано при рассмотрении перехода от системы с п степенями свободы к системе с п12 степенями свободы, частоты нормальных колебаний, для которых k п/2, сохраняют примерно те же значения, какие они имели в системе с п степенями свободы. Но если после /)-кратного повторения операций переноса мы приходим к системе с п12 степенями свободы и п,/2 равно одной или нескольким единицам, то ни для каких значений k условие k п12 не выполняется. Следовательно, уже нельзя утверждать, что частоты колебаний, соответствующих малым k, остаются примерно такими же, как в системе с п степенями свободы. Однако, как будет показано, даже в том случае, когда от системы с п степенями свободы (д 1) мы путем р-кратного переноса элементов масс переходим к системе с одной степенью свободы (п/2 = 1), частота того единственного нормального колебания, которое сохранилось в этой системе при переходе от системы с п степенями свободы, испытывает лишь незначительное изменение. [c.700]

Формула (4.12) описывает равновесие двух фаз одного и того же вещества и относится к системе с одной степенью свободы. В случае я компонентов система будет обладать одной степенью свободы, если число т равновесно сосуществующих фаз равняется, как это следует из правила фаз (4.6), я + 1, т. е. на единицу превышает число компонентов. [c.144]

Применительно к консервативным системам с одной степенью свободы признаком минимума потенциальной энергии служит положительность коэффициента жесткости с. Если число степеней свободы системы больше единицы, то минимуму потенциальной энергии отвечает система неравенств (критерий Сильвестра) [c.153]

Большинство существующих машин представляет собою систему с одной степенью свободы, так как число независимых друг от друга обобщенных координат, заданием которых определяется положение этой системы, равно единице. Так, например, в кривошипно-шатунном механизме, который будет предметом рассмотрения настоящего Отдела, обобщенной координатой является угол поворота главного вала, либо путь, описываемый пальцем кривошипа. [c.9]

Вторая теорема касается возмущения, производимого данной переменной силой, действующей в данном направлении и приложенной в данной точке среды. Рассматривая вновь систему с одной степенью свободы и обозначая возмущающую силу на единицу массы системы через f t), находим, что вследствие импульса f t)dt, сообщенного системе в момент времени t, произойдет приращение скорости daX=f(t)dt. В таком случае общий вид второго члена в выражении (а) дает нам право заключить, что смещение в момент времени t , вызванное приращением скорости f t)dt, сообщенным в момент времени t, равно [c.277]

Пример 1. Определить закон движения системы с одной степенью свободы без демпфирования при действии возрастающей по линейному закону силы, называемой линейной функцией (рис. 1.46, а). Скорость возрастания функции Q в единицу времени равна Щ. [c.98]

Для системы с одной степенью свободы все свойства решений уравнений движения легко могут быть пояснены путем графического изображения на плоскости. Рассмотрим, например, движение линейного гармонического осциллятора. Гамильтонова функция (для случая, когда масса равна единице) [12] имеет еле дующий вид [c.167]

П1. Задачи, относящиеся к малым колебаниям системы. Задачи каждого из этих типов можно разделить-на две группы в зависимости от того, рассматривается ли в данной задаче система с одной степенью свободы или с числом степеней свободы, большим единицы. [c.397]

В виде иллюстрации приведем простой пример системы с одной-степенью свободы — гармонический осциллятор. Полагая массу равной единице, запишем функцию Гамильтона [c.311]

При соединении (последовательном, параллельном или смешанном) и элементарных механизмов в составной ведомое звено одного механизма жестко соединяется (сливается в одно целое) с ведущим звеном другого механизма. Так, кулиса 3 на рис. 1.3, а сливается с коромыслом 3 на рис. 1.3, б. Каждое такое соединение уменьшает число степеней свободы системы на единицу, поэтому число степеней свободы составного механизма Ша равно сумме чисел степеней свободы составляющих механизмов за вычетом числа соединений к между этими механизмами [c.11]

В соответствии с этой теоремой для медленных фаз и сопряженных Им переменных при усреднении получается приведенная гамильтонова система с п—г степенями свободы. Если число быстрых фаз лишь на единицу меньше числа степеней свободы (однократное вырождение), то приведенная система имеет одну степень свободы. Следовательно, при однократном вырождении принцип усреднения позволяет приближенно проинтегрировать задачу (как и в невырожденном случае). [c.184]

Величины Ху и Х - в (14.71) подобны производным Ха и Хщ-Они появляются из-за наличия дополнительных зависимых переменных в точности так же, как для обычных динамических систем (с одной независимой переменной — временем) с числом степеней свободы большим единицы могут иметь место дополнительные адиабатические инварианты. Рассматриваемые волновые системы имеют только одну существенную частоту и, таким образом, соответствуют вырожденным случаям равных частот в динамике. [c.489]

Можно сказать, что рассматриваемая система имеет только одну колебательную степень свободы второй степени свободы соответствует вращение системы как жёсткого тела. Аналогично для любой системы с п степенями свободы, когда с валом связаны п дисков, число колебательных степеней свободы на единицу меньше и равно п-1. [c.56]

Пусть малые колебания системы с п степенями свободы около устойчивого положения равновесия стеснены дополнительной связью вида = О, где I = (/ ,. .., 1 ) 0 — постоянный вектор, 4 = (9 , д ). При наложении одной дополнительной связи число степеней свободы уменьшается на единицу, и полученная таким образом система также совершает малые колебания около устойчивого положения равновесия. Другими словами, исходный квадратичный лагранжиан. . . , , [c.211]

Обобщенные координаты и обобщенные скорости. Число координат (параметров), определяющих положение механической системы, зависит от количества точек (или тел), входящих в систему, и от числа и характера наложенных связей. Буде.м в дальнейшем рассматривать только системы с геометрическими связями, т. е. со связями, налагающими ограничения на положения точек системы в пространстве, но не на их скорости. Числом степеней свободы механической системы называется, как известно, число независимых между собою возможных перемещений системы ( 170). Геометрические связи уменьшают на одно и то же количество единиц и число независимых возможных перемещений системы, и число независимых между собою координат, определяющих положение этой системы. Например, если какую-нибудь точку системы с координатами х , у , связать жестким стержнем длины I (геометрическая связь) с неподвижной точкой Л (лГд, уд, ), то число возможных перемещений системы уменьшится на единицу, так как станет невозможным перемещение точки вдоль прямой АВк- Одновременно координаты точки будут все время удовлетворять уравнению (лг — х ) ( д — укУ - -(г д — кУ= Л выражающему эту связь математически следовательно, число независимых между собою координат системы тоже уменьшится на единицу. В результате оказывается, что число независимых координат, определяющих положение системы с геометрическими связями, равно числу степеней свободы этой системы. В качестве таких координат можно выбирать параметры, имеющие любую [c.453]

В этих координатах х,у функция Н не зависит от Xi. Таким образом, если зафиксировать значение F = у = с, система уравнений Xk = дН/ду) , ук = —dH/dxk к 2) будет гамильтоновой с п — 1 степенью свободы. Итак, один интеграл позволяет понизить размерность фазового пространства на две единицы (а не на одну, как в общем случае). Одна единица пропадает при фиксировании значения F = с, а. вторая — за счет исключения сопряженной циклической переменной Xj. Однако эффективное использование интеграла F для понижения порядка упирается в задачу явного интегрирования гамильтоновой системы i = vp z). [c.63]

УЗ-вые волны затухают значительно быстрее, чем волны более низкочастотного диапазона, т. к. коэфф. классического поглощения звука (на единицу расстояния) пропорционален квадрату частоты. В низкочастотной области коэфф. релаксационного поглощения также растёт пропорционально квадрату частоты, однако при повышении частоты этот рост замедляется и коэфф. поглощения стремится к постоянной величине. Область, где наблюдается такое изменение хода коэфф. поглощения, наз. релаксационной, а средняя её частота — частотой релаксации. Величина, обратная частоте релаксации,— время релаксации — характеризует процесс перераспределения энергии внутри вещества. Помимо характерного хода коэфф. поглощения УЗ, в релаксационной области наблюдается рост скорости звука с частотой — дисперсия, обусловленная физич. процессами в веществе и отличающаяся от дисперсии скорости звука, характерной для любых частот и связанной с геометрич. условиями распространения волны. Дисперсия УЗ в релаксационных областях обычно не превышает нескольких процентов. В многоатомных газах релаксация связана с обменом энергии между поступательными и внутренними степенями свободы, и характерные частоты лежат в среднем и даже низкочастотном диапазонах. В жидкостях к основным релаксационным процессам относятся, напр., внутримолекулярные превращения, структурная и химич. релаксации соответствующие частоты лежат чаще всего в области частот 10 —10 Гц. В твёрдых телах имеются релаксационные процессы различной природы, обусловленные, напр., взаимодействием ультразвука с электронами проводимости, со спиновой системой (см. Спин-фононное взаимодействие), С колебаниями кристаллической решётки. Влияние этих процессов проявляется в частотной зависимости поглощения УЗ. Резонансные явления типа акустического парамагнитного резонанса (область частот 10 —11 Гц) и акустического ядерного магнитного резонанса (10 —10 Гц) дают соответствующие пики поглощения. Резонансный характер может иметь также и дислокационное поглощение в кристаллах. Все эти особенности поглощения УЗ в твёрдых телах обусловлены взаимодействием УЗ-вых и гиперзвуковых волн с внутренними возбуждениями в твёрдых телах. Возникновение же такого взаимодействия связано с тем, что средние и высокие УЗ-вые частоты становятся сравнимы с характерными частотами процессов в веществе на молекулярном и атомном уровне, а длины волн сравнимы с параметрами внутренней структуры вещества. Последнее обстоятельство объясняет также увеличение рассеяния упругих волн на УЗ-вых частотах, наблюдаемое в микронеоднородных средах, в поликристаллич. телах сечение рассеяния на неоднородностях возрастает, если их размеры становятся порядка длины волны.. Связь характера распространения УЗ и, в частности, его высокочастотной области — гиперзвука — со структурой вещества и элементарными возбуждениями в нём является одной из важнейших особенностей УЗ-вых волн. Она позволяет судить о строении вещества на основании измерений скорости и погло- [c.11]

При = О собственные значения матрицы монодромии уравнения (5.17) при отображении за периоды 2тг и 2т равны соответственно Л12 = и /Х12 = Очевидно, что /х12 Ф 1 при о О и Л1,2 Ф если о 1/4 -Ь /гтг, к е Ъ. Из соображений непрерывности ясно, что при о 1/4 -Ь тг и малых О собственные значения /Х1,2 не являются корнями из единицы, и А1 2 ф г (это свойство, в действительности, имеет место для почти всех о и ). Следовательно, по теореме 1, уравнение (5.17) в этих случаях неинтегрируемо в комплексной области. Отметим, что в действительной области это уравнение вполне интегрируемо оно имеет аналитический интеграл Г г, г, I), 2тг-периодический по Ь. Дело в том, что линейной канонической заменой переменных, 2тг-периодической по I, уравнение (5.17) можно привести к линейной автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы тогда в качестве функции Г можно взять функцию Гамильтона автономной системы. [c.367]

Обратимся теперь к качественному описанию типичного случая таких гамильтоновых систем, которые можно рассматривать как возмущения интегрируемых систем. Мы будем называть такие системы близкими к интегрируемым. Рассмотрим сначала простой случай автономного гамильтониана с двумя степенями свободы, или, что эквивалентно, неавтономного (зависящего от времени) гамильтониана с одной степенью свободы. Как мы видели в п. 1.26, неавтономные системы можно свести к автономным путем увеличения числа степеней свободы на единицу. Отличительной чертой систем, близких к интегрируемым, является присутствие причудливо перемешанных друг с другом областей как регулярного, так и стохастического движения. При этом стохастические области отделены друг от друга областями с регулярными траекториями. Стохастические траектории естественно возникают в результате движения, задаваемого детерминированными уравнениями Гамильтона, которые не содержат никаких специальных стохастических сил. Мы проиллюстрируем это на двух примерах, широко обсуждавшихся в литературе модель Хенона—Хейлеса и ускорение Ферми. Для автономных систем с более чем двумя степенями свободы области стохастичности уже не разделяются регулярными траекториями, а образуют стохастическую паутину , что приводит к так называемой диффузии Арнольда, которая качественно описана в конце этого параграфа. [c.59]

Колебательные системы с одной степенью свободы могут изменяться двояко, в соответствии со значениями постоянных п и X. Различие по высоте достаточно понятно представляет, однако, интерес исследовать ближе результаты большей или меньшей степени затуханит Наиболее очевидный из них — это более или менее быстрое затухание свободного колебания. Эффект в этом направлении можно измерять числом колебаний, которые должны произойти, пока амплитуда не уменьшится в заданном отношении. Вначале амплитуду можно взять равной единице, по истечении же времени t пусть она будет равна 6. Таким образом, [c.71]

Используя показанный на рис. 1.56 метод кусочно-постоянной интерполяции, определить и построить график для перемещения в системе с одной степенью свободы и без демпфирования, на которую действует возмуп ающая сила, представляемая функцией в задаче 1.12.7. Использовать постоянный по времени шаг Д/г — и рассмотреть отрезок времени О 1. Начальные условия суть Хо = Хо = О, величины к равны единице. Сравнить полученные результаты с точным решением этой задачи, считая, что = т/2. [c.129]

Как и в предыдущем параграфе, при помощи интеграла Н = h — = onst понизим порядок изучаемой системы на две единицы. Так как движение рассматривается в достаточно малой окрестности начала координат, то можно считать, что г , — е, где 0-<е< 1. Кроме того, считаем, что fe е (а /г), что возможно, так как функция Я не является знакоопределенной. Разрешив уравнение Н = h относительно г , введя вместо ф новый угол ф = Фх + Ф2 + 01 и обозначив еще г через г, найдем, что полученной системе с одной степенью свободы будет соответствовать функция Гамильтона [c.80]

В качестве примера рассмотрены процессы изотермического испарения рас-Maso солов, состав и физико-хи-Ер мические превращения на диаграмме (рис. 6-23) предполагают, что имеется раствор, фигуративная точка которого лежит в поле галита отношение содержания 1SO2-4 к 2С1" в растворе ниже, чем в точке Рг-Фигуративная точка m-i изображает состав рассола в тот момент, когда в результате испарения количество воды в пробе стало равным количеству воды в растворе, фигуративная точка состава которого совпадает с точкой т на поверхности поля галита. При изотермическом испарении изменение состава рассола на участке т з будет происходить по прямой GI3 в направлении к точке I3. В тот момент, когда из раствора I3 в донную фазу будет выпадать другая, кроме галита, твердая фаза (в данном случае тенардит Na2S04), система потеряет одну степень свободы и станет равным единице. Изменение состава рассола будет происходить (в изотермических условиях) только по линии 62 2 от 1з к Р2. [c.182]

Мы рассмотрим здесь несколько примеров слабо связанных осцилляторов из атомной физики и физики элементарных частиц. В каждом примере система имеет две идентичные степени свободы, которые слабо связаны, так что существуют нормальные моды колебаний с частотал и оз и 0)2. Законы механики Ньютона для микроскопических систем несправедливы, и для понимания их свойств требуется знание квантовой механики. Тем не менее в поведении микроскопических систем имеется большое математическое подобие поведению систем из слабо связанных маятников, хотя физическая интерпретация в обоих случаях различна. Для связанных маятников квадрат амплитуды маятника пропорционален энергии (кинетической плюс потенциальной) маятника. Энергия перетекает от одного маятника к другому с частотой биений. Для систем, описываемых квантовой механикой, квадрат амплитуды для определенной степени свободы (амплитуда в квантовой механике — всегда комплексная величина и под квадратом амплитуды подразумевается квадрат ее кюдуля) дает вероятность того, что степень свободы возбуждена (т. е. имеет всю энергию). Вероятность течет туда и обратно от одной степени свободы к другой с частотой биений VI—у . Сама энергия квантована, и мы не можем ввести понятие об ее потоке. В случае маятников полная энергия обоих маятников постоянна. Для микроскопических систем соответствующим фактом является то, что полная вероятность возбуждения либо одной, либо другой степени свободы постоянна. (Эта полная вероятность равна единице при условии, что система не теряет каким-либо образом энергию возбуждения.) Ниже мы приведем два замечательных примера, с которыми вы снова встретитесь при изучении квантовой механики. [c.482]

В основе правила фаз лежит известный принцип число произвольно выбираемых параметров равно общему их числу минус число уравнений, связывающих параметры между собой. Состояние каждой фазы определяется температурой, давлением и составом. В общем случае в каждую фазу входят все п компонентов, поэтому состав задается п—1 мольными концентрациями (последняя концентрация есть дополнение до единицы). Для всех г фаз системы имеем параметры г п—1), р, Т. Число уравнений определяется условием (4.37) химический потенциал любого компонента в каждой фазе должен иметь одно и то же значение. При невыполнении этого условия равновесие будет нарущено переносом массы компонента в фазу с меньшим значением химического потенциала. Число уравнений, следовательно, равно п г— ). Число степеней свободы многокомпонентной многофазной системы равно =г п—1)-1-2— —п г—1)=л—г- -2. Подчеркнем, что [ — число произвольно изменяемых параметров, при изменении которых сохраняется равновесие системы. [c.258]

В случае уменьшения числа фаз на одну против максимально возможного число степеней свободы возрастает на единицу (С = 1). Такую систему называют моновариантной (одновариантной). Когда С = 2, система бивариантна (двухвариантна). [c.49]

С данной задачей тесно связана еще одна. Как известно, глобальная матрица жесткости является вырожденной чтобы устранить ее особенность, необходимо учесть кинематические граничные условия, которые физически означают невозможность перемещения исследуемой сонечно-элементной системы как жесткого целого. При наличии связей, совпадающих по направлению с глобальными осями, общепринятым приемом является обнуление строк и столбцов матрицы, которые соответствуют степеням свободы с наложенными связями. При этом диагональному элементу матрицы присваивается значение любого положительного числа (например, единицы), а в вектор правых частей вносится ноль [4, 9]. Таким образом, стоит задача удалить из связного списка элементы строк и столбцов, которые соответствуют однородным кинематическим граничным условиям. [c.44]

На основе правила фаз для тройных систем = 3 + 2—ф. Система нонвариантна при наличии пяти фаз пар+жидкость+ +три твердые фазы. Область ненасыщенных растворов будет характеризоваться тремя степенями свободы и изображаться в виде объема пересечение объемов по плоскости соответствует дивариантному равновесию при наличии, наряду с паром и жидкостью, одной твердой фазы, и наконец, моновариантное равновесие изображается линией пересечения соответствующих плоскостей и характеризует равновесие между двумя твердыми фазами с насыщенным раствором и паром. При условии постоянства одного из параметров (например, температуры в случае изображения изотермы) вариантность каждой системы уменьшится на единицу при этом плоскость будет соответствовать области ненасыщенных растворов, линия — выделению одной твердой фазы, а точка — наличию одновременно в системе двух твердых фаз. Следовательно, максимально возможное число фаз в изотермическом процессе равно четырем, что соответствует нонвариантному равновесию. [c.82]

Минимальные размеры демпфера определяются допускаемой амплитудой перемещения его массы и прочностью его упругого элемента. Подобный динамический демпфер может устранить вибрации лишь при какой-либо одной заданной частоте возбуждения. При других частотах возбуждения будут происходить колебания системы, причем ирисоединение динамического демпфера прибавляет еще одну резонансную частоту, увеличивая число степеней свободы системы на единицу. Если вибрирующая конструкция имеет постоянную частоту, то при установке демпфера появляется опасность совпадения частоты ее с одной из резонансных частот системы конструкция — демпфер. В этом случае произойдет резкое увеличение амплитуд колебаний конструкции и присоединенная к конструкции масса /Пд будет работать не как гаситель, а как усилитель колебаний. Это очень усложняет и затрудняет применение динамических гасителей без затухания даже для конструкций и механизмов со стабильной частотой возбуждения. [c.281]

Под числом степеней свободы системы подразумевается число факторов равновесия—внешних (температура, давление) и внутренних (концентрация), которые могут быть изменены без изменения числа фаз в системе. При применении правила фаз к металлическим системам принимается во внимание только один из внешних факторов— температура, так как в атмосферных условиях давление остается постоянным. В этом случае записанное выше уравнение принимает следующий вид С = К — Ф+ 1. Если число степеней свободы системы равно нулю (безвариаптная или нонвариантная система), то нельзя изменять внешний фактор (температуру) или внутренний фактор (концентрацию) без того, чтобы это не вызвало изменения числа фаз. Если число степеней свободы равно единице (одновариантная или моновариантная система), то изменение одного из этих факторов равновесия не вызовет изменения числа фаз. Если число степеней свободы равно двум (двухвариантная или бивариантная система), то возможно изменение обоих факторов равновесия, при этом число фаз не изменится. Применение правила фаз будет изложено ниже, при рассмотрении конкретных диаграмм состояния металлических сплавов. [c.116]

Число компонентов равно С = 4 (вода, СН3СООН, СН3СОО и Н+). Число фаз равно Р = 1. В системе происходит одна равновесная химическая реакция, поэтому Д = 1. Но поскольку концентрации СН3СОО и Н+ равны, число степеней свободы уменьшается на единицу. Следовательно, f = — R — Р + 2-1= 4-1-1 + 2-1 = 3. [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...