Нормальные моды колебаний

Теперь найдем нормальные моды колебаний, т. е. такие типы. движения, при которых все атомы колеблются во времени с одной и той же частотой (о по закону ехр(— i). Будем искать решение уравнения (5.20) в виде бегущей волны [c.146]

МЫ свели к совокупности слабо связанных волн с волновым вектором к и частотой аз (к, s), распространяющихся во всем объеме кристалла. Каждой такой волне (или нормальной, моде колебаний) мы сопоставили гармонический осциллятор, колеблющийся с частотой со (к, s), в движении которого принимают участие все атомы твердого тела. В соответствии с формулой Планка средняя энергия каждого такого осциллятора. [c.169]

Напряжение механическое 115 Нееля температура 341, 343 Непрямые переходы 309 Нормальные моды колебаний 146, [c.383]

Собственная частота системы — частота колебаний системы. В случае системы со многими степенями свободы собственные частоты — это частоты нормальных мод колебаний. [c.157]

Предположим равновесие устойчивым так, что каждая нормальная координата изменяется синусоидально как в нервом случае в (101.20). Тогда нормальная мода колебания есть та, в которой колеблется только одна нормальная координата, а другие равны нулю, а нормальные частоты Vp и нормальные круговые частоты Шр равны соответственно [c.362]

II нормальные моды колебаний. Потенциальная энергия, записанная через q,-, имеет вид [c.84]

Рис. 2.25. Нормальные моды колебании октаэдрической молекулы (например, SFe). Атом серы занимает центр октаэдра, а шесть атомов фтора расположены по его вершинам. (Согласно Г. Герцбергу [20].)

Глава 1. Свободные колебания простых систем. Мы начинаем со свободных колебаний одномерного гармонического осциллятора, обращая особое внимание на физические проявления таких свойств системы как инерция и возвращающая сила, на физический смысл величины со и на условия гармоничности колебаний реальной системы. Затем мы переходим к свободным колебаниям двух связанных осцилляторов и вводим понятие нормальной моды колебаний, рассматривая моду как простой протяженный гармонический осциллятор, все части которого колеблются с одинаковой частотой и фазой. Величина со для определенной моды имеет тот же физический смысл, что и для одномерного осциллятора. [c.11]

Мы, однако, покажем, что для двух степеней свободы и при линейных уравнениях движения наиболее общее движение является суперпозицией двух независимых простых гармонических движений, происходящих одновременно. Эти два простых гармонических движения (описаны ниже) называются нормальными или собственными колебаниями или гармониками, а также нормальными модами колебаний или просто модами ). [c.31]

Из этих уравнений следует, что движения в направлениях х а у не связаны между собой и что каждое движение представляет собой гармоническое колебание с собственной частотой. Движение вдоль оси X соответствует одной нормальной моде колебаний, а вдоль оси у — другой моде. Колебания вдоль оси х (первая мода) имеют амплитуду Л1 и фазу Ф1, которые зависят только от начальных условий х(0) и X (0), т. е. от смещения и скорости в момент =0. Аналогично для колебаний вдоль оси у (вторая мода) амплитуда [c.34]

Пример 13. Биения между двумя нормальными модами колебаний двух слабо связанных одинаковых осцилляторов. Рассмотрим систему из двух одинаковых маятников, соединенных пружиной (рис. 1.14). Нормальные моды колебаний такой системы угадываются по аналогии со случаем продольных колебаний двух масс, рассмотренным в п. 1.4. Для моды 1 имеем В этом случае пружину можно не учитывать, так как возвращающая сила образуется [c.46]

Колебания в двух связанных ЬС-цепях. Найдите две нормальные моды колебаний для связанных цепей, показанных на рис. 1.12, когда уравнения движения имеют вид (77) и (78). [c.55]

Очень часто источник звука обусловливается не какими-либо внешними колебаниями в потоке, а неустойчивостью самого потока, связанной с обтеканием разнообразных препятствий телефонных проводов, ветвей деревьев и т. п. Пульсирующие силы Р, действующие между таким препятствием и потоком, являются следствием этой неустойчивости потока и генерируют звуковое поле диполя. Такая сила почти не зависит от того, в какой мере препятствию дозволяется колебаться под действием этой силы даже если бы оно двигалось совершенно свободно, то напряженность диполя, вычисленная по формуле (117), была бы практически равна Р, но обычно препятствие не свободно, а соединено со столбом, стволом дерева и т. д. Резонанс с нормальной модой колебаний натянутого провода может, однако, оказывать влияние на генерируемый звук, сохраняя аэродинамические силы в фазе вдоль всего провода и создавая так называемые эоловы тона. [c.59]

При аналитическом исследовании этой модели естественно использовать нормальные моды колебаний линейной системы (Р = 0), что было сделано в ряде работ (см., например, [135, 208]). С помощью преобразования [c.406]

Особенно удобны обобщенные координаты, называемые нормальными координатами и соответствующие нормальным модам колебаний системы (или собственным колебаниям). Нормальные координаты изменяются со временем по синусоидальному закону с частотами, равными частотам соответствующих нормальных мод (или собственным частотам системы). Если возбуждена только одна нормальная мода, то все смещения Xf изменяются по синусоидальному закону с одинаковыми частотами. Они определяются выражением [c.48]

Физическая природа найденных мод совершенно ясна и схематически проиллюстрирована на фиг. 19, а. Нормальным модам колебаний соответствует распространение вдоль линейной цепочки волн сжатия. Следует ожидать, что при больших длинах волн скорость распространения нормальных колебаний постоянна и равна скорости распространения продольных звуковых колебаний по цепочке. Мы полагаем, следовательно, что в этом случае частота пропорциональна волновому числу к. Однако число нормальных мод ограничено тем, что волновое число должно лежать в зоне Бриллюэна, и поэтому существует лишь конечное число нормаль- [c.64]

Так, задача о свободном электроне в ящике постоянных конечных размеров имеет множество дискретных энергетических уровней нормальные моды колебаний конечной мембраны имеют множество дискретных частот и т. п. [c.147]

Гармонический кристалл описывается аналогичным образом. В этом случае гамильтониан задается формулой (23.2) ). Пусть со (к) и е (к) представляют собой соответственно частоту и вектор поляризации классической нормальной моды колебаний с поляризацией 5 и волновым вектором к (см. стр. 67). По аналогии с (М.2) определим теперь ) оператор уничтожения фононов [c.372]

Чтобы убедиться, что оператор Ж, определяемый формулой (И.8), действительно осуществляет преобразование (Н.7), нужно воспользоваться соотношением (М.14), выражающим операторы и (К) и Р (К) через операторы рождения и уничтожения для каждой нормальной моды колебаний [c.377]

Ангармонический член п-го порядка по смещениям ионов и, согласно (М.14), можно выразить через операторы рождения и уничтожения а и для нормальной моды колебаний. Такой член записывается через линейные комбинации произведений, включающих в себя т операторов уничтожения к , [c.387]

Нормальные моды колебаний [c.94]

Допустимые стационарные состояния называются нормальными модами колебаний для канала глубиной L и заданными граничными условиями. Для /-й моды с давлением, определяемым по формуле pj (i, z) = А 2 os [(2лг)/>. ] sin со/, зависимая от2 часть выражения называется характеристической функцией. [c.94]

Нормальные моды колебаний. —Мы можем сказать, что хотя общее движение системы непериодическое, тем не менее, если массы и приводятся в движение так, что их амплитуды движения относятся, как В = — = А ] / —у ), то тогда (и только тогда) система будет совершать простое гармоническое колебание с частотой это отношение между амплитудами А ж В остаётся постоянным во всё время движения. Точно так же, если массы и приводятся в движение таким образам, что их амплитуды удовлетворяют уравнению (v — — v , то тогда (и только тогда) [c.73]

В рассматриваемом случае мы имеем две собственные частоты свободных колебаний и, таким образом, имеются две резонансные частоты. Для системы из трёх масс, связанных пружинами, таких резонансных частот будет три и соответственно три нормальные моды колебаний и т. д. [c.83]

Волновое уравнение.—Чтобы получить нормальные моды колебания струны, мы должны вернуться к задаче, которую оставили в стороне в прошлом параграфе, а именно, найти уравнение (которое было уже почти выведено),связывающее форму струны и её движение. Возвращаясь назад к уравнению (8.2), мы находим путём повторного дифференцирования обеих функций Р х с1) и что [c.101]

Нормальные моды колебаний. —Пока мы отвлекались от граничных условий, можно было забыть, чго частота v может принимать любое значение. Если потребовать, чтобы было = О при ж = 0, то решение в общей форме (9.4) уже не годится любое гармоническое колебание уже не будет удовлетворять решению. Выражением для у, которым ну кно теперь пользоваться, будет уравнение стоячей волны вида (9.5) с углом Q, выбранным так, чтобы узловая точка совпадала с точкой опоры ж = 0, а именно [c.103]

Таким образом, энергия выражается рядом членов, каждый из которых зависит только от одной гармоники это выражение подобно полученному ранее выражению (6.6). Различные гармоники являются различными нормальными модами колебания струны, а величины —амплитудами колебания по п-011 нормальной координате системы. Мы можем сказать, чю энергия колебания струны равна полней энергии бесконечного числа эквивалентных гармонических осцилляторов, масса каждого из которых равна половине общей массы струны (/г/2), причём первый имеет частоту и амплитуду 4 , второй имеет частоту и амплитуду и т. д. [c.111]

Истинная нормальная мода колебаний и фонон, который является ее квантом энергии, распространяются, не меняясь, сквозь кристалл. Если, однако, в кристалле с конечной теплопроводностью имеется температурный градиент, то должны быть взаимодействия, которые приведут к уменьшению энергии колебаний движение атомов тогда уже не соответствует чисто нормальным модам. Тепловая энергия переносится волновыми пакетами, образованными из почти нормальных мод, которые локализованы и распространяются с групповой скоростью фононов urp = = d aldq. Поглощение учитывается за счет изменения числа фононов в различных местах. Величина Л (д) дает число квантов моды q, которые входят в состав 90ЛНОВОГО пакета. Пайерлс [185] рассмотрел условия [c.36]

Опыт. Ширина резонанса для картонной трубки. Прочитайте абзацы, следующие за формулой (28). Для самой низкой нормальной моды колебаний звуковых волн в трубке, открытой с обоих концов, длина трубки практически равна половине длины волны, (В действительности, благодаря краевым эффектам, длина трубки меньше половины длины волны приблизительно на один диаметр трубки,) Скорость звука около 330 м1сек. Если вы работаете с камертоном С523, то гро.мче всего будет резонировать трубка, длина которой близка к 32 см. [c.145]

Теперь вспомним, что со — это возвращающая сила, приходящаяся на единицу массы и единицу смещения. В соответствии с тем, что говорилось выше для ионосферы, возвращающая сила (на единицу массы и единицу смещения) для свободных колебаний электрона в ионосфере равна а>1=4лМд 1М. Это первая нормальная мода колебаний для электронов, которая имеет бесконечную длину волны (т. е. все электроны колеблются в фазе). Очевидно, что если теперь к каждому колеблющемуся заряду приложить связывающую силу с помощью пружины с коэффициентом жесткости МсОо, то мы про- [c.176]

Мы рассмотрим здесь несколько примеров слабо связанных осцилляторов из атомной физики и физики элементарных частиц. В каждом примере система имеет две идентичные степени свободы, которые слабо связаны, так что существуют нормальные моды колебаний с частотал и оз и 0)2. Законы механики Ньютона для микроскопических систем несправедливы, и для понимания их свойств требуется знание квантовой механики. Тем не менее в поведении микроскопических систем имеется большое математическое подобие поведению систем из слабо связанных маятников, хотя физическая интерпретация в обоих случаях различна. Для связанных маятников квадрат амплитуды маятника пропорционален энергии (кинетической плюс потенциальной) маятника. Энергия перетекает от одного маятника к другому с частотой биений. Для систем, описываемых квантовой механикой, квадрат амплитуды для определенной степени свободы (амплитуда в квантовой механике — всегда комплексная величина и под квадратом амплитуды подразумевается квадрат ее кюдуля) дает вероятность того, что степень свободы возбуждена (т. е. имеет всю энергию). Вероятность течет туда и обратно от одной степени свободы к другой с частотой биений VI—у . Сама энергия квантована, и мы не можем ввести понятие об ее потоке. В случае маятников полная энергия обоих маятников постоянна. Для микроскопических систем соответствующим фактом является то, что полная вероятность возбуждения либо одной, либо другой степени свободы постоянна. (Эта полная вероятность равна единице при условии, что система не теряет каким-либо образом энергию возбуждения.) Ниже мы приведем два замечательных примера, с которыми вы снова встретитесь при изучении квантовой механики. [c.482]

Поэтому, хотя чисто классическая теория колебаний решетки явно неадекватна, анализ классических нормальных мод колебаний решетки оказывается чрезвычайно ваншым. Необходимо сначала изучить классические нормальные моды кристалла, лишь затем мы сможем перейти к вопросу об уточнении закона Дюлонга и Пти и к описанию различных других свойств динамической решетки. Изучению классических гармонических кристаллов и посвящена вся остальная часть главы. В подходе к задаче удобно выделить следующие этапы. [c.58]

Если движение начинается каким-либо другим образом, то тогда не будет постоянного отношения между смещениями двух масс, и движение не будет периодическихм. Эти два особо простых вида движения системы называются нормальными модами колебаний ). Производя небольшое изменение [c.73]

Можно спросить, почему мы так интересуемся этими нормальными модами колебаний, югда как они характеризуют весьма специальный тип колебаний системы. Ответ состоит в том. что если нормальные моды найдены, задача определения [c.74]

Это происходит потому, 410 общее движение системы всегда можьт быть представлено как комб инация двух нормальных мод колебаний. Общее решение уравнений (6.1) имеет вид [c.75]

Резонанс и нормальные моды колебания. —Каждый из импедансов, входящих в уравнения (7.11) и (7.12), обращается в нуль при двух резонансных частотах и При этих значениях частот смещения становятся бесконечными, что видно из урарнений (7.9) и (7.10). Бесконечно большие смещения получились вследствие того, что мы прсБебрегли силами трения если имеется хотя бы небольшое трение, то смешения, хотя и будут большими, но не будут бесконечными. Отношение между у ж X при частоте вынуждающей силы, равной будет равно х7( 2 " 1) = Р-7( 2 то следует из уравнения (7.9). Согласно (7.3), эю есть как раз то самое соотношение, которое имеет место, если система совершает свободные колебания на частоте [c.82]

Задачей настоящего параграфа является нахождение возможных простых гармонических колебаний струны (нормальных мод колебания) и выяснение того соотношения между частотами этих колебаний, которое всегда приводит к периодическому движению независимо от начальных условий. Задача нахождения нормальных мод колебаний системы не является простым учебным упражнением. Для систем, более сложных, чем струна, закреплённая между двумя жёсткими опорами, мы не имеем метода графического анализа, подобного методу, развитому в последнем параграфе, и единственно возможным является метод исследования движения путём разложения его на простые гармонические компоненты. Имеется также физио- [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...