Скорость как векторная производная

СКОРОСТЬ КАК ВЕКТОРНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ от РАДИУСА-ВЕКТОРА 157 [c.157]

Скорость как векторная производная от радиуса-вектора [c.157]

Ускорение точки А найдем как векторную производную по времени от скорости этой точки согласно (70.1) [c.250]

Определим скорость точки М как векторную производную по времени от радиуса-вектора р по формуле (66.4) [c.289]

Переходя к пределу при А/ —> О, получим истинное ускорение точки как векторную производную от скорости [c.133]

С угловой скоростью (o.j. Поэтому скорость конца вектора АСЬ-равная, как всегда, производной от вектора Ко по времени, представится векторным произведением <й хКо таким образом, [c.204]

При изучении курса физики установлены основные понятия кинематики точки и твердых тел. При движении точки по траектории скорость и ускорение точки рассматриваются как векторные величины. При этом вектор скорости V направлен по касательной к траектории, и его модуль (числовое значение) равен первой производной от пути по времени v = ds вектора скорости по времени а = с1 и/с1/. Он может быть разложен на две составляющие вектор касательного ускорения а , направленный по касательной к траектории и равный по модулю а = dv di и вектор нормального ускорения направленный по главной нормали к траектории в данной точке в сторону вогнутости кривой и имеющий модуль а, == у-/р, где р — радиус кривизны траектории. Модуль вектора ускорения а = ] а + я- [c.28]

Глава 2 (Векторы). Эта глава также нетрудна для преподавания. В йее введены формулы для производных синуса и косинуса, так как они применяются в гл. 3. Преподавателю следует или договориться с кафедрой математики, чтобы эти формулы своевременно были объяснены студентам, или же дать это объяснение самому. Очень полезны лекционные демонстрации, иллюстрирующие, что силы и скорости складываются векторно, а также показывающие, что такое момент силы. [c.14]

Как всякая векторная производная, вектор v = r направлен по касательной к годографу вектора г, т. е. скорость направлена по касательной к траектории и притом в ту сторону, в которую происходит движе-1ше. Согласно формуле (4.15) на стр. 35 мы "имеем следующее выражение скорости через длину дуги траектории и единичный вектор касательной [c.51]

То обстоятельство, что циркуляция даже вокруг одного вихря является конечной, представляет очевидное нарушение одной из основных характеристик безвихревого потока, развитых ранее, вызванное тем, что линии тока окружают особую точку в точке г —О скорость бесконечна, в то время как все производные гармонического потенциала должны быть конечны. Следует обратить особое внимание на то, что этот поток в отличие от источника или диполя является по существу двухмерным, так что его можно рассматривать или как поток плоского типа, который будет подробно обсуждаться в главе IV, или как неразрывный прямолинейный вихрь в трех измерениях. В последнем случае мы имеем вихрь более общего типа, для которого потенциал представляет векторную функцию. [c.84]

Дадим теперь выражение для скорости v в виде векторной производной. Возьмем какую-нибудь неподвижную точку О (начало координат) и соединим точку М с О (рис. 181). Радиус-вектор г = ОМ движущейся точки М, изменяясь с течением времени, является векторной функцией от t, т. е. [c.254]

Перейдем теперь к определению ускорений точек тела, движущегося вокруг неподвижной точки О. Так как ускорение ис точки М тела равно векторной производной от скорости V этой точки по времени, то, дифференцируя по I равенство (77), получим [c.338]

Как известно из кинематики, ускорение точки равно векторной производной от ее скорости цр времени, т. е. [c.381]

Покажем, что установленное нами в конце 81 понятие скорости движущейся точки как векторной величины самым тесным образом связано с понятием векторной производной. [c.157]

Скорость V мы можем рассматривать как векторную функцию от времени. Вспоминая определение векторной производной, данное в 82, мы заключаем, что [c.170]

Здесь проекции вектора мгновенных скоростей, как и признаки существования компонентов, не обязательно должны быть непрерывными функциями пространственных координат и времени. Дифференциальное уравнение переноса массы можно получить из интегрального равенства (63). При этом для обеспечения непрерывности входящих в равенство скалярных и векторных величин и их производных по пространственным координатам и времени произведем операцию осреднения, а затем совершим переход к бесконечно малому объему. [c.410]

Возвратимся к равенству (1.69), которым определяется теорема об изменении кинетического момента системы. В левой части этого равенства находится производная по времени от вектора момента количества движения системы. Как известно из основ векторного исчисления ( 25 т. I), эта производная является скоростью точки, вычерчивающей годограф вектора Ьо [c.63]

Так как в методе Эйлера векторные и скалярные величины зависят от текущих координат частицы, то полная производная по времени, например скорости v, равна [c.232]

Заметим, что индивидуальная производная по времени может быть взята не только от скорости или других векторных величин, но и от скалярных величин, таких, как температура, плотность, концентрация и др. Тогда в общем случае индивидуальную производную можно представить в виде [c.38]

Мы попросту назвали некоторую совокупность величин импульсами с целью упростить форму записи уравнений Лагранжа. Однако введение pi привело к замене первоначальной системы из п дифференциальных уравнений второго порядка системой из 2п дифференциальных уравнений первого порядка, а именно из уравнений (6.3.1) и (6.3.2). Введение р,- привело к тому, что для записи уравнений не требуются производные выше первого порядка. Эта процедура аналогична тому, как в векторной механике, определив импульс как произведение массы на скорость , мы заменяем произведение массы на ускорение на скорость изменения импульса . [c.195]

Это значит если угловая скорость т сохраняет постоянное (векторное) значение (как обнаружено в предыдущей рубрике, безразлично, является ли она постоянной относительно подвижного или неподвижного триэдра), производные вектора относительно подвижных осей и вектора х относительно неподвижных осей совпадают таким образом, если один из этих векторов обращается в нуль, то уничтожается и другой вектор. [c.205]

Так же, как в случае трехгранника Френе, производная каждого из единичных векторов по дуге кривой равна векторному произведению соответствующей угловой скорости на этот вектор. Таким образом, для частных производных в направлении получаются следующие формулы [c.226]

Таким образом, если задана векторная функция r t), указывающая положение точки в пространстве для каждого момента времени, то скорость и ускорение движущейся точки определяется соответственно как первая и вторая производные от этой функции по времени. [c.39]

Количеством движения массы, как известно из общей механики, называется произведение массы на скорость (количество движения есть векторная величина и имеет, как и всякий вектор, три составляющих). Согласно теореме о количестве движения изменение количества движения во времени, т. е. его производная по времени равна результирующей всех сил, приложенных к массе. Согласно теореме о моменте количества движения производная по времени от момента количества движения относительно какой-либо точки равна главному моменту относительно той же точки всех внешних сил, приложенных к массе. Применяя эти теоремы к системе материальных точек, необходимо иметь в виду ( 2 гл. I), что внутренние силы, действующие внутри механической системы, при суммировании по всем массам системы на основании закона о равенстве действия и противодействия взаимно уничтожаются и что остаются только силы, обусловленные массами, не принадлежащими к системе, т.е. внешние силы. [c.113]

Если какая-нибудь скалярная, векторная или тензорная функция Т определена для физической частицы, т. е. известна как функция лагранжевых координат х и времени /, (х, /), то скорость ее изменения во времени для этой частицы определяется частной производной Э (х, 1) д1. Разность же этой величины у двух соседних частиц (частицы х + х и частицы х) в момент I равна [c.64]

Предположим, что твердое тело с неподвижной точкой вращается в силовом поле с потенциалом V. Пусть а,р, — векторы неподвижного ортонормированного репера, рассматриваемые как векторы связанного с телом подвижного пространства. Поскольку они однозначно определяют положение тела в неподвижном пространстве, то потенциал V можно считать функцией от а,/9,7. Запишем уравнения Пуанкаре, приняв в качестве пространства положений группу 50(3). Пусть снова (как и в п. 3 2) Щ,и2, щ обозначают левоинвариантные векторные поля на группе 50(3), порождаемые постоянными вращениями тела вокруг главных осей инерции с единичной скоростью. Вычислим щ[У) — производные от потенциала вдоль П . Пусть — вектор угловой скорости с координатами (относительно осей инерции) 1,0,0. При вращении со скоростью О) векторы а,/9,7 изменяются в соответствии с геометрическими уравнениями Пуассона а = ахи), 3 = /9 хо , 7 = 7х о . Следовательно, [c.33]

Скорость. Скорость криволинейного движения точки определяется как производная (векторная) от радиуса-вектора этой точки по времени, т. е. у = [c.369]

Пусть I — вектор, касательный к риманову многообразию М в точке X, V — векторное поле, заданное на Л/ в окрестности точки X. Ковариантная производная поля V по направлению вектора I определяется с помощью какой-либо кривой, выходящей из точки X со скоростью . [c.273]

Гладкие потоки. Пусть на многообразии Лi задано гладкое векторное поле V (т. е. каждой точке х М сопоставлен вектор у(.х)еГ И, в понятном смысле гладко зависящий от х). Рассмотрим дифференциальное уравнение (3). Для гладкой функции х(0 скалярного аргумента 1 со значениями в М определена производная х( )еГ ,)Л1. Такая функция является решением (3), если x(t) =v(x(t)) при всех t из интервала определения x t). Как и в случае Л1=К , с этим связывается наглядное представление о фазовой точке, движущейся в М (как бы среди неподвижных фазовых точек). Движение происходит таким образом, что в каждый момент времени t вектор скорости х () равен вектору у(х( )), который в нашем поле сопоставлен той точке фазового пространства, где в этот момент находится дви- [c.167]

Г. с. определяет скорость и направление переноса энергии волнами. В анизотропных средах (напр., кристаллах, плазме в ноет. маги, поле), где показатели преломления волн зависят от частоты и наиравлеиия распространения, Г. с. определяется как векторная производная v p=d(u/dk и обычно не совпадает по направлению с фазовой скоростью. В средах с сильным поглощением вместо Г. с. вводят величину, характеризующую скорость переноса энергии <>S>/, где < S> — ср. плотность потока энергии, а — ср. плотность энергии в волнах. В прозрачных средах величины Гэи и Vj-p совпадают. [c.545]

Скорость я мы можем найти как векторную производную ра-диуса-вектора точки А по времени, или, чю то же, как предел отношения приращения радиуса-вектора точки А за время к этому промежутку времени. Примем за радиус-вектор точки А вектор 0А в таком случае приращением этого радиуса-векгора за время М будет вектор АА. Следовательно, [c.209]

Скорость какой-либо точки можно вычислить как первую производную по времени от радиуса-вектора г этой точки. С другой стороны, скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, м.ожно вычислить по векторной формуле Эйлера (2). Следовательно, производная по времени от радиуса-вектора любой точки твердого тела, вращавещегося вокруг неподвижной точки, определится по формуле [c.171]

Переходя в (41) от проекций к векторному выражению, вновь получим (39). Выражение, стоящее в (40) справа, можно рассматривать как результат придтенения к вектору скорости оператора индивидуальной производной по времени [c.50]

Интересно также задать вопрос каким образом движется электрон в реальном пространстве В уравнении (2.9) мы можем записать скорость как производную по времени от координаты г dridt. Интегрируя тогда обе стороны уравнения по времени, мы найдем, как меняется компонента координат, перпендикулярная магнитному полю. Нетрудно видеть, что проекция реальной орбиты электрона на плоскость, перпендикулярную Н, имеет с точностью до множителя подобия Ьс/еН ту же самую форму, что и орбита в пространстве волновых векторов. Кроме того, благодаря векторному произведению она повернута на 90 . Таким образом, знание поверхностей постоянной энергии, т. е. энергетической зонной структуры, позволяет нам точно установить форму траекторий, описываемых электроном в реальном кристалле в присутствии магнитного поля. [c.80]

Формулы (8.6) и (8.10) определяют алгебраические величины угловой скорости и углового ускорения. Можно доказать, что угловая скорость и- угловое ускорение являются величинами векторными (рис. 1.104). Вращательное движение твердого тела в данный момент времени определяется вектором угловой скорости (й и вектором углового ускорения е. Вектор о направлен по оси вращения таким обррзом, что с его конца направление вращения наблюдается против движения часовой стрелки. Модуль этого вектора равен модулю производной угла поворота по времени 1 фМ I. Вектор углового ускорения е, так же как и ш, направлен по оси вращения. Если вращение ускоренное, то направления 0) и е совпадают, если замедленное — противоположны. Модуль вектора е равен модулю производной от угловой скорости по времени или модулю второй производной от угла поворота [c.112]

ТЕОРЕМА [Остроградского — Карно кинетическая энергия, теряемая системой при ударе, равна доле кинетической энергии системы, соответствующей потерянным скоростям о параллельном переносе силы силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого действия, переносить параллельно ей самой в любую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится о проекции производной вектора проекция производной от вектора на какую-нибудь неподвижную ось равна производной от проекции дифференцируемого вектора на ту же ось о проекциях скоростей двух точек тела проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны друг другу Пуансо при движении твердого тела вокруг неподвижной точки подвижный аксоид катится по неподвижному аксоиду без скольжения Ривальса ускорение точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, равно векторной сумме вращательного и осестремительного ускорений Робертса одна и та же шатунная кривая шарнирного четырехзвенника может быть воспроизведена тремя различными шарнирными четырехзвенниками [c.284]

Формула (12.1 ) встречается также в дифференциальной геометрии в теории параллельного переноса и ясно показывает различие между 8F/Si и йР1(И. Заметим, что в прямоугольной системе координат оба этих определения совпадают, ЬР Ы .йР1М другими словами, точно так же как обобщение обычной производной приводит к понятию ковариантной производной, обобщение понятия материальной производной с1Р (11 приводит к операции ЬР Ы. Заметим, наконец, что при использовании понятия материальной производной удобнее исходить из формулы (12,1 ). а не (12.1). Ниже мы будем пользоваться векторными обозначениями определения п. 2 переносятся при этом на случай произвольной криволинейной системы координат очевидным образом. Например, символ будет теперь обозначать упорядоченную тройку ковариантных или контравариантных (в зависимости от ситуации) компонент вектора скорости, а формула (12.1) запишется в виде [c.34]

Кинематика точки. Векторный способ задания движения точки. Траектория точки. Скорость точки как производная ее ращуса-вехтора по времени. Ускорение точки как производная ее вектора скорости по времени. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...