Базис симплектический

А) симплектический базис переходит в симплектический [c.236]

Удобно перейти к симплектическому базису отображения д если z = х,у), X = xi,..., x i), у = (г/1,..., 2/ i)—координаты в этом базисе, то д (х,у) —у Хх,Х у). Симплектический базис существует, если все А, отличны от единицы (1 <. s < г — 1) это утверждение доказано, например, в книге [230]. [c.364]

Докажем теорему 1 для простого, но важного для приложений случая п = 1. Пусть собственное значение отображения д не является корнем из единицы, и пусть х,у — симплектический базис для д. Собственные направления д — две прямые а = О и у = 0. Выше было показано, что любой однородный интеграл д имеет вид с хуУ з е М). Пусть д —другое отображение из группы С. Функция хуУ инвариантна относительно действия д, поэтому множество ху = О остается неподвижным при отображении д. Так как д — невырожденное линейное отображение, то точка х = у = О неподвижна, и отображение д либо сохраняет собственные направления отображения д, либо переставляет их. В первом случае д, очевидно, коммутирует с 5, а во втором случае имеет вид х —у ау, у — х. Отображение д — симплектическое, поэтому его матрица Т = р удовлетворяет условию Т У JT = J, откуда а = [c.365]

Теорема 1. Всякое симплектическое пространство имеет симплектический базис, в котором первый орт - произвольный ненулевой вектор. [c.305]

Лемма. 1) Если В - симплектическое преобразование, то набор (fj, 2, 2от) - симплектический базис. [c.308]

Если ..., 2т) симплектический базис, то В - сим- [c.309]

Замечание. Определение симплектического базиса предусматривает упорядоченность базисных векторов. Это используется при доказательстве 2). [c.309]

Упражнение 2. Докажите, что - симплектическая матрица. Покажите, что применение оператора к симплектическому базису сводится к взаимной перестановке всех сопряженных базисных векторов и изменению знака одного из них. [c.311]

Упражнение. Докажите, что столбцы симплектической матрицы Ш1 определяют некоторый симплектический базис в арифметическом пространстве Покажите, что из этого факта сразу следуют соотношения (2). [c.315]

Рассмотрим линейное преобразование 1 = , 2,...,п, пространства определяемое преобразованием векторов симплектического базиса 82т по следующим формулам [c.319]

В координатном представлении относительно симплектического базиса это преобразование имеет вид [c.319]

Следствие 1. Скобка Пуассона (/"ь/г) не зависит от выбора симплектического базиса в [c.361]

Б. Симплектический базис. Евклидова структура при подходящем выборе базиса (он должен быть ортонормирован) задается скалярным произведением специального стандартного вида. Точно так же и симплектическая структура принимает стандартный вид, указанный выше, в надлежащем базисе. [c.192]

Теорема. В каждом симплектическом пространстве существует симплектический базис. Более того, за первый вектор базиса можно взять любой ненулевой вектор е. [c.192]

Теперь, если добавить к симплектическому базису в векторы е и /, мы получим симплектический базис в К ", и доказательство теоремы завершается индукцией по размерности п. [c.193]

Если принять векторы симплектического базиса за координатные орты, то мы получим систему координат рг, в которой [,] принимает стандартный вид Л + + Рп Л 9п- Такая система координат называется симплектической. [c.193]

Задача. Сосчитать матрицу оператора I в симплектическом базисе [c.195]

Предложение 5.5.2. Пусть Е —линейное пространство. Если а —симплектическая форма на Е, то dim Е = 2п для некоторого neN и существует такой базис. .., в2 пространства Е, что (е , J = = 1, если г = 1,..., п, и а(е,., е ) =0, если i-j ф п. Следовательно, если скалярное произведение в Е, относительно которого векторы е,,..., в2 [c.226]

Сделаем симплектическую замену переменных /, q с производящей функцией W=(p, / ф), где R — целочисленная унимодулярная матрица, первые г строк которой образуют базис в подгруппе Z" , порожденной векторами коэффициентов рассматриваемых резонансных соотношений матрица R существует согласно [145]. В новых переменных усреднение сводится к отбрасыванию в гамильтониане гармоник, содержащих фазы qr+u. .., <7п. Сопряженные им величины рг+ь. ... Рп являются интегралами усредненной системы. > [c.187]

Подмножество е/,// /е/ в Ж называется симплектическим базисом, если при заданной симплектической форме а [c.331]

Контактная геометрия составляет математический базис геометрической оптики в таком же смысле, в каком симплектическая геометрия является базисом классической механики. Оптико-механическая аналогия Гамильтона позволяет интерпретировать проблемы и результаты симплектической геометрии на языке контактной геометрии и наоборот. Тем не менее, прямой подход в терминах контактной геометрии во многих случаях предпочтительнее, по крайней мере с точки зрения геометрической интуиции он демонстрирует геометрическое содержание формул симплектической теории. Связь между симплектической и контактной геометриями подобна связи между геометрией линейных пространств и проективной геометрией для того чтобы получить контактный аналог симплектического утверждения, необходимо заменить функции гиперповерхностями, аффинные пространства проективными и т. д. [c.59]

Определение 5. Набор 83 называется симплектинеским базисом симплектического пространства. [c.305]

Определение. Базис fi,..., Ьп называется симплектическим (каноническим), если ll vfj, fjiSll=/. [c.236]

Из определения симплектического базиса следует, что любой базисный вектор косоортогонален всем остальным векторам этого базиса, кроме одного, который называется ему сопряженным. Сопряженными являются векторы и (/ т). В частности, любой вектор косоортогонален самому себе. [c.306]

Тем самым любое арифметическое пространство с заданным на нем кососкалярным произведением является симплек-тическим пространством и его можно рассматривать, как координатное пространство некоторого абстрактного симплектического пространства относительно симплектического базиса Е2т- Путем фиксирования симплектического базиса в абстрактном векторном пространстве устанавливается изоморфизм этого пространства с симплектическим арифметическим пространством [c.308]

Лемма 2. Преобразование - симплектическое. Доказательство легко получается проверкой симплектичности базиса [c.320]

Задача 2. Вычислить скобки Пуассона базисных функций р,, д . Решение. Градиенты базисных функций образуют симплектический базис их кососкалярные произведения суть [c.188]

Определение. Симплектическим базисом называются 2п векторов вщ, рд. ( = 1,. . ., п), кососкалярные произведения которых имеют вид (1). [c.192]

Симплектический базис вр, вд в этой евклидовой структуре ортонормирован. Кососкалярное произведение, как всякая билинейная форма, выражается через скалярное в виде [c.195]

Б. Нормальная форма канонвческого преобразования вблизи неподвижной точки. Рассмотрим каноническое (т. е. просто сохраняющее площади) отображение двумерной плоскости на себя. Предположим, что это преобразование оставляет на месте начало координат, а его линейная часть имеет собственные числа Я = = (т. е. является поворотом на угол а в подходящем симплектическом базисе с координатами р, д). Такое преобразование будем называть эллиптическим. [c.354]

Возможны различные обобщения этой теоремы. В частности, если задано любое пространство пробных функций и любой симплектический базис ) е/,// е 7 , то, повторяя проведенное выше построение, мы придем к аналогичному результату (см., например, работу Манусо [269]). Впрочем, даже приведенной формулировки теоремы И достаточно для анализа, проводимого в п. 6. [c.331]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...