Аффинное отображение

Всякое дифференцируемое отображение является локально аффинным , т. е. в бесконечно малой области обладает теми же свойствами, что и аффинное отображение во всей плоскости. Рассмотрим в качестве частного случая такие отображения при которых бесконечно малые окружности снова преобразуются в бесконечно малые окружности, при сохранении направления обхода контура. [c.71]

Всякое дифференцируемое отображение является локально аффинным, поэтому, в.бесконечно малой области обладает теми же свойствами, что и аффинное отображение во всей области. [c.74]

Осуществим аффинное отображение отрезка АВ, заданного координатами = О, -АЬ= Рь-Р. на прямолинейный отрезок А. Для этого по аналогии с (22.20) положим [c.117]

Другими словами, каждое вещественно аналитическое сжатие сохраняет определенную единственным образом аффинную структуру. Для отображения (р, которое мы рассматриваем, две структуры, определенные вблизи концов отрезка, встречаются в середине. Функции перехода между двумя структурами в любой фундаментальной области / = [а, < (а)] порождают бесконечномерное пространство модулей <р. Уточним последнее утверждение. Используя предложение 2.1.3, можно найти такие замены координат, что станет аффинным отображением из [О, ( (а)] в [О, а] и из [( (а), 1] в [< (а), 1]. Координаты, существование которых устанавливает следствие 2.1.5, определяются единственным образом с точностью до двух [c.74]

Пусть L е SL(m, Z) — целочисленная матрица с определителем, равным единице, которая не имеет единицы в качестве собственного значения, и пусть оеК . Рассмотрим аффинное отображение т-тора [c.76]

Вычислите топологическую энтропию следующего аффинного отображения А двумерного тора [c.138]

Докажите, что аффинное отображение двумерного тора, [c.169]

Докажите строгую эргодичность следующего аффинного отображения А тора [c.169]

Наконец, существует естественный алгебраический класс динамических систем, включающий в себя и сдвиги на однородных пространствах, и автоморфизмы, а именно аффинные системы, которые представляют собой проекции аффинных отображений группы С на однородное пространство с конечным объемом. Аффинное преобразование группы — это композиция эндоморфизма и сдвига. Самые простые нетривиальные примеры аффинных преобразований, которые обладают свойствами, отличными от свойств сдвигов и автоморфизмов, — это преобразования на двумерном торе, встречающиеся в упражнениях 1.4.4, 3.2.6 и 4.2.3. Последующие упражнения из 4.2 показывают тесную связь между динамическими свойствами этих отображений и их естественных многомерных обобщений и равномерным распределением дробных долей значений полиномов. Это первое проявление исключительно плодотворной взаимосвязи между динамикой алгебраических систем (сдвигов и аффинных преобразований) и теорией чисел. [c.241]

Теперь рассмотрим произвольное отображение / гомотопное Выберем любое поднятие Р отображения /. Оно имеет вид Ау + тп + д ддя некоторого 2 -периодического отображения д К" Как и выше, поднятия неподвижных точек характеризуются целочисленным вектором т, хотя неподвижная точка Р уже не обязана быть единственной, н различные тn задают один и тот же класс, если тп —тщ (Ы —А)к. Мы покажем, что для каждого класса эквивалентности т существует поднятие, у которого есть по крайней мере одна неподвижная точка. Рассмотрим такой шар В в М" с центром в неподвижной точке аффинного отображения Av + тn, [c.339]

Рассмотрим, например, непрерывное аффинное отображение [c.42]

Замечание (по поводу полиномов степени 3 типа I). Пусть ф —аффинное отображение плоскости ху в плоскость gT), переводящее треугольник Ti в Д и такое, что <3 = Ф(ЛК г = 1, 2,. .., 10 (рис. 14). Через Ai, Ла,. .., Лю обозначим полиномы степени 3, определенные на Д и такие, что Af Q ) = 8ij, i, /=1, 2,. .., 10. Пусть, с другой стороны, 1, U2,. .. — базис Лагранжа для U, отвечающий функционалам Fi f) = f (P ), а Li, —сужения [c.41]

О, 1). На Д раз и навсегда определим функции Л1, Лз,. .., Лда. Элемент е является образом Д при аффинном отображении т]) плоскости т] в плоскость ху, обратном к ф. Сужение L есть линейная комбинация функций Лх ф, Л2 ф,. .., Л г ф, коэффициенты которой зависят от 1]). [c.46]

Аффинное отображение 200 Базис 84 [c.415]

Проективная структура слоёв лежандрова расслоения имеет даже большее геометрическое содержание, так как любое отображение лежандровых расслоений (сохраняющее контактную структуру и слои) автоматически индуцирует единственное проективное отображение слоёв (определённое действием диффеоморфизма баз на контактных элементах к базам). В симплектическом случае аффинные отображения слоёв определены только с точностью до сдвигов. [c.63]

Для произвольного заданного в семействе конечного элемента К (рис. 2.3.1) существует единственное такое обратимое аффинное отображение [c.89]

Другими словами, вместо описания такого семейства дан-ными К, Рк к достаточно задать один исходный конечный элемент К, Яд-, Е .) и аффинные отображения Тогда общий в семействе конечный элемент К, 2, Р) определяется соотношениями [c.89]

Имея этот пример, можно дать общее определение Два конечных элемента К, Р, t) и (К, Р, Е) со степенями свободы РИда (2.3.4) называются аффинно-эквивалентными, если существует такое обратимое аффинное отображение [c.89]

Теорема 3.1.3. Пусть Q и Q = F ф) —два аффинно-эквивалентных открытых подмножества в R", где F R —> Вх + Ь) R" — обратимое аффинное отображение. Тогда имеют место оценки сверху [c.124]

Прежде всего требуется обобщить понятия аффинной эквивалентности и аффинных семейств, обсуждавшиеся в разд. 2.3. Мы уже видели, как можно получать конечные элементы с помощью аффинных отображений. Это построение будет обобщено в теореме 4.3.1 ниже. Для простоты в этом разделе мы ограничимся лагранжевыми конечными элементами, оставляя случай эрмитовых конечных элементов в качестве задачи (упр. 4.3.1). [c.222]

Заметим, что если имеет место случай, когда точки а1) — в точности средние точки (а,- + ау)/2, то в силу единственности отображения Р оно становится вырожденным и переходит в аффинное отображение. [c.226]

Провести анализ, аналогичный данному в тексте, для изопараметрического л-симплекса типа (3) (см. рис. 4.3.2 для л = 2). Вводя единственное аффинное отображение Рудо- [c.242]

Пример. Простейшим примером отображений являются так называемые аффинные отображения, определяемые линейными фуйкциями [c.70]

Аффинные отображения обладают рядом замечательных свойств в частности, эллипсы и прямые они отображают снова на эллипсы и прямые отношение площади образа к площади прообраза (кoэффици ент искажения) при аффинном отображении есть величина постоянная. Коэффициент искажения суперпозиции аффинных отображений равен произведению коэффициентов искажений промежуточных аффинных отображений. [c.70]

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ. В процессе деформаций, как это следует из локальной аффинности отображения, элементарная сфера превращается.в эллипсоид с полуосями dri, di 2, dr , известный как материальный эллипсоид деформации (рис. 18). Пусть йгх йг йг . Вычислим логарифм [c.96]

Известно [ I ], что только в однш случае всякое равномерно распределенное множество точек на оси ОХ преобразуется в равномерно же распределенное множество точек на оси 0U., а именно, только в случае аффинного отображения ( а, Ь -не-KOTopie постоянные) [c.105]

Дашшм свойством аффинных отображений, очевидно, можно пользоваться при построении функций, Рг., представляя их в виде некоторых разложений, аналогичных (22.20). [c.106]

Пусть А — прямоугольник в и пусть / А — — такой диффеоморфизм Д на его образ, что пересечение Д П /(Д) состоит из двух горизонтальных прямоугольников Д<, и Д) и ограничение отображения / на компоненты Д С/" (Д), i =0, 1, множества / (А) есть гиперболическое аффинное отображение, сжимающее в вертикальном направлении и растягивающее в горизонтальном направлении. Это означает, что множества Д и Д являются вертикальными прямоугольниками. Один из самых простых способов достичь такого эффекта состоит в том, чтобы согнуть Д в подкову , или, если угодно, придать ему форму постоетного магнита (рис. 2.5.2), хотя при этом возникают некоторые неудобства, связанные с ориентацией. [c.94]

Пример. Выразим в явном виде сужения на е функций г 1д, -1,3 Иц и для случая т = 2. Для этого удобно перейти к отрезку [О, 1]. Пусть ф—аффинное отображение, переводящее Хг] в [О, 1]. Через Л1, [c.29]

Замечание (по поводу полиномов степени 3 типа II). Пусть Г1 — треугольник с вершинами 2, Рз и центром тяжести Хх, а ф —аффинное отображение, преобразуюш,ее Г1 в Д (рис. 15) и такое, что С, = ф(Р ), /=1, 2, 3, / = ф(51). Положим для функционалов G l(M) = g Q ) G 2 g)=дig Qi), Glз g)=дr Ql), =1,2, 3, и G g)=g R), а через Л,й и Л обозначим базис Лагранжа пространства полиномов степени 3, ассоциированный с функционалами G k и О, , =1, 2, 3. Пусть, наконец, Ьц, и — сужения на Тг функций базиса Лагранжа из и, ассоциированного с функционалами Р и г, к = , 2, 3. Обозначая через а,у элементы матрицы Якоби преобразования ф- , обратного к ф, легко проверить следующие соотношения [c.42]

Докажем 1). Пусть т] и т] —аффинные отображения, преобразующие отрезок [О, 1] соответственно в отрезки QlQз и СтСй, и пусть г и г суть образы [О, 1], полученные с помощью у = Я ) >Г1 и у =я ) оТ] при Рх = у(0)=< =т (0), Р2 = Т(0,5) = у (0,5), Рз = у(1)=7 (1). Отметим, что у и у являются отображениями отрезка [О, 1] в компоненты которых — полиномы степени 2. Остается сослаться на теорему П. 1.2. [c.48]

Следовательно, отображение 5, не являющееся неустойчивым, обладает тем свойством, что каждая окрестность содержит инвариантное точечное множество, содержащее не только точку а, в то время как для устойчивости отображения 8 каждая окрестность должна содержать даже некоторую инвариантную окрестность. Поэтому каждое устойчивое отображение необходимо является не неустойчивым, но не являющееся устойчивым отображение может и не быть неустойчивым. Отображение 5 называется смегпанным в неподвижной точке а, если оно там не будет ни устойчивым, ни неустойчивым. То, что смегпан-ные отображения действительно существуют, показывает простой пример аффинного отображения х = х + у, у = у в плоскости (ж, у), которое каждую точку оси абсцисс имеет своей неподвижной точкой. Ограниченное множество при таком отображении тогда и только тогда [c.235]

Имеются и контрпримеры. Pa ютpи.м, нанример, конечный элемент, где некоторые из степеней свободы — нормальные производные в узлах. Тогда два таких конечных элемента, вообще говоря, пе будут аффинно-эквивалентны, так как свойство ортогональности вектора гиперплоскости, вообще говоря, не сохраняется при аффинном отображении. Таким образом, два треугольника Аргириса, вообще говоря, не будут аффинно-эквивалентны, за исключением того случая, если они оба равносторонние. Случай треугольника Белла оставляем в качестве упражнения (упр. 2.3.4). [c.91]

Пусть К, Р, 2) —конечный элемент со степенями свободы вида (2.3.4), а /С, Р и S определены соотноигениями (2.3.11) — (2.3.14) при некотором обратимом аффинном отображении F. [c.106]

Дать объяснение и доказа-.ельство утверждения Барицентрические координаты инварианты при обратимом аффинном отображении . Какое отражение находит этот факт, когда в терминах барицентрических координат выражаются базисные функции таких конечных элементов, как п-симплексы типа (к) или эрмитовы треугольники типа (3 ) [c.106]

Сие—Клафа —Точера К с верпшнами а,, д-, обозначает единственное аффинное отображение, удовлетво-ряюш,ее условиям Р— ю Тогда (рис. 6.1.4) [c.335]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...