Разложение отображения в ряд

Здесь /(х) = Ах+ / х" —разложение отображения / в ряд Тейлора [c.72]

Ускорение Ферми. Как уже было отмечено в 1.2, существует тесная связь между гамильтоновыми системами с двумя степенями свободы и сохраняющими площадь отображениями двумерной поверхности на себя. Преобразование, задающее последовательные пересечения траектории с некоторой поверхностью, является именно таким отображением. И обратно, динамическую систему, заданную отображением, можно описать и гамильтонианом, который получается разложением отображения в ряд Фурье ). [c.68]

Применение конформного отображения и преобразования краевых условий к виду (8.189) и (8.190), которые выражают эти условия на окружности круга, позволяет применить для отыскания неизвестных функций <р (С) и ф (С) разложение их в степенные ряды. Эти функции суть аналитические внутри [c.228]

Будем рассматривать задачу о напряжениях в бесконечной плоскости, ослабленной отверстием в форме прямолинейного многоугольника. Отобразим данную область посредством интеграла Кристофеля — Шварца на единичный круг вспомогательной плоскости и представим отображение в виде разложения в ряд по степеням С- Удержав в этом ряду конечное число первых его членов, мы получим приближенное отображение, переводящее окружность в близкую к исходному контуру кривую, при помощи рациональной функции вида [c.585]

Таким образом, момент М для произвольного профиля зависит только от трех первых коэффициентов а -, к разложения в ряд функции С=/(2), осуществляющей конформное отображение профиля на круг радиуса i . Подсчитаем момент М для профиля Жуковского—Чаплыгина. [c.176]

Квадратичные отображения. Как уже упоминалось, переход к хаосу для одномерного отображения с одним максимумом определяется поведением отображения вблизи его экстремума. Для типичного случая, когда / = 0, но Ф О, отображение локально квадратично. Разложение в ряд Тейлора вблизи экстремума приводит к квадратичному отображению общего вида [c.427]

Обратимся снова к системе дифференциальных уравнений (1.1). Предположим, что правые части аналитичны по пространственным переменным в окрестности периодического решения X (г) системы (1.1). Тогда решения систему (1.1) тоже будут аналитическими относительно начальных данных, достаточно близких к X (0) = (х (0), х (0),.. ., X (0)). Из непрерывной зависимости решений от начальных данных следует, что решения системы (1.1) с начальными условиями, близкими к х (0), определены при О i <Г, 2п. Поэтому оператор Т точечного отображения определен при начальных условиях, достаточно близких к х (0). Будем считать для простоты, что неподвижная точка М = х (0) оператора Т совпадает с началом координат, и найдем разложение оператора Т в ряд по степеням начальных данных. [c.109]

Мы интересуемся точечными отображениями, задаваемыми гамильтоновой системой дифференциальных уравнений. Пусть эта система имеет периодическое решение, совпадающее с началом координат, а функция Гамильтона аналитична по координатам и импульсам и 2л-периодична по t. Использование гамильтонова характера системы (1.1) существенно упрощает нахождение разложения оператора Т в ряд. [c.110]

Сначала рассмотрим неподвижную точку = /( о) с мультипликатором А. Если А > 1, то никакая последовательность итераций отображения f не может сходиться равномерно в окрестности о, поскольку первая производная итерации /°" в точке равна А", что стремится к бесконечности при п оо. (Ср. теорему Вейерштрасса 1.4 о равномерной сходимости.) С другой стороны, если А < 1, то, выбирая А < с < 1, из разложения в ряд Тейлора следует, что /(г) — [c.62]

Аналогичным образом определяются Уфг, Vфз и т. д, Затем правые части уравнений связываются с последовательными приближениями распределения источников и стоков. Используя конформное отображение контура обтекаемого тела на круг и известную систему образцов внешних источников в пределах круга, можно выразить все скорости через интегралы по контуру. Если интегрирование осуществляется аналитически, то точность расчета течения сжимаемого газа ограничивается лишь количеством членов в разложении в ряд. [c.172]

Проблема перехода от пространственного образа к машиностроительному чертежу включает разработку ряда сложных алгоритмов, с помощью, которых выполняются выбор оптимального количества плоских изображений, разложение пространственного образа детали на проекции, сечения, вспомогательные виды, размещение размерной сетки, переработка полученной информации в программы, управляющие работой устройств отображения. Большинство из перечисленных задач еще не решено окончательно, в настоящее время ведутся интенсивные исследования и экспериментально проверяются разрабатываемые методы. Отметим ряд работ 96—101], в которых предлагаются пути решения отдельных задач, способствующих решению этой большой и важной проблемы. [c.301]

В методе Л. А. Симонова основную роль играет преобразование внешней по отношению к контуру крыла К части плоскости г на часть плоскости ш вне круга , аналогичное (ИЗ), с той лишь разницей, что при ш в первой степени сохраняется комплексный коэффициент. Замечая, что из первых членов разложения (ИЗ) можно выделить группу, представляющую отображение некоторой эквивалентной пластинки, имеющей одинаковую с рассматриваемым крыловым контуром подъемную силу, Л. А. Симонов интерпретирует указанный комплексный коэффициент, как одну четверть комплексного вектора, совпадающего по величине и направлению с эквивалентной пластинкой. Ряд (113) может быть представлен при этом в виде (1 и 1у — проекции эквивалентной пластинки) [c.315]

М. И. Найман (см., например, [1]) в случае отверстия в форме правильного прямолинейного многоугольника с закругленными углами рассматривал, наряду с отрезками рядов, получаемых разложением интеграла Кристофеля — Шварца, аналогичные им полиномы с неопределенными коэффициентами. Эти коэффициенты он определял из условия равенства нулю кривизны в отдельных точках границы и таким путем достигал при равных количествах удержанных в отображающей функции членов заметного выпрямления сторон многоугольника по сравнению с разложением интеграла Кристофеля — Шварца. Тем же автором были рассмотрены и некоторые другие формы отверстий и найденные отображения с успехом применены к решению задач кручения круговых цилиндров, ослабленных теми или иными продольными выточками. Подобные отображения использовались впоследствии и в случае плоской деформации для некоторых простейших профилей. [c.587]

Для ф( )е О уравнение (2) есть уравнение Эйлера движения обобщенного твердого тела (см. [8, 5]). Уравнения Эйлера —Лагранжа (для лагранжиана (1)) можно записать в виде (2). Траектория g t) о. т. в. задается кривой a t) в g (0 = ехр(а(/)) (где ехр —экспоненциальное отображение из g в G, задаваемое в случае матричных групп G обычным рядом для экспоненты ехр а = -fa/1 + + а /2 -f. .. ). Для а —О справедливо разложение (см. [5]) [c.315]

Доказательство существования очень похоже на доказательство теоремы 8.2. Пусть / имеет вид (9 1), выберем некоторое решение с уравнения = а . Тогда у отображения f z/ ), сопряженного с / относительно линейной замены переменных, начальный коэффициент разложения в степенной ряд будет равен +1, и мы можем без ограничения общности считать, что f z) = z"(l + biZ + +. ..), или, более коротко, [c.114]

Для параксиальных лучей условия отображения без искажений соблюдены с большой точностью, однако не абсолютно. Другими словами, параксиальное приближение описывает параксиальные лучи приближенно, хотя и с большой точностью. Поэтому полученная в параксиальном приближении идеальная картина изображений в действительности не осуществляется на практике.Отклонения фактически получаемого изображения от идеального называются аберрациями. Для параксиальных лучей аберрации малы и ими пренебрегают. Если же лучи не параксиальны, то аберрации становятся значительными и сильно искажают изображение. Поэтому первый источник аберраций состоит в том, что линзы, ограниченные сферическими поверхностями, преломляют лучи не совсем так, как это принимается в параксиальном приближении. Например, фокусы для лучей, падающих на линзу на разных расстояниях от оси линзы, различны и т. д. Такие аберрации наг ывают геометрическими. Их можно классифицировать по определенным признакам, например, параксиальное приближение основывается на том, что точнь1е формулы разложения синуса в ряд (22.1) обрываются на первом члене, пропорциональном а. Не учтенный в параксиальном приближении член а -приводит к аберрациям третьего порядка. [c.134]

Полученные в последнем параграфе результаты показывают, что мы находимся на правильном пути. Теорема о релаксации напряжений — вот что мы ожидаем получить при определенных ограничениях на свойства материала, или на предыстории деформации, или и на то и на другое. Если бы мы не получили этого на основе нашего определения затухающей памяти, то наш подход был бы неудачен. Удостоверившись в правильности пути, мы можем обратиться к вопросу о том, как вычислить второе приближение для определяющего уравнения, если мы не удовлетворены первым, или упругим, приближением, выражаемым с помощью (XIII. 3-5). Более высокие приближения получаются способом, сводящимся к разложению реакции в ряд Тейлора в окрестности предыстории, соответствующей состоянию покоя. Однако классическая теорема Тейлора относится к функциям, а мы здесь> имеем дело с более общими отображениями. Я приведу некоторые результаты, не входя в подробности. [c.386]

Рассматривается движение цилиндрического тела в ограниченной вязкой жидкости в приближении Стокса. Задача решается методом конформного отображения области течения на кольцо с последуюгцим использованием разложений искомых функций в ряд Лорана. Для частных случаев движения кругового цилиндра в жидкости, ограниченной концентрическим неподвижным цилиндром, получены точные аналитические решения. В случае эксцентрических окружностей для определения коэффициентов предложен численный алгоритм, основанный на методе коллокации. Путем предельного перехода к бесконечно большому радиусу внешнего цилиндра исследуется движение цилиндра перпендикулярно к плоскости. [c.330]

Дальнейшие примеры. Приложение к некоторым другим граничным задачам. 1. Изложенный в 84—87 метод решения применим, в частности, ко всем односвязным областям, конформные отображения которых на круг указаны в качестве примеров в 48. Из числа этих примеров случай бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием подробно рассмотрен нами в 82, 83. Случай конечной области, ограниченной улиткой Паскаля, рассмотрен в 63, где мы применили метод разложения в ряды применение метода 84 гораздо быстрее приводит к цели. Мы предоставляем читателю решение основных задач для этого случая только что указанным способом. Случай бесконечной плоскости с гипотрохоидальным отверстием ( 48, п. 4) подробно изучен при помощи метода 84 Г. С. Шапиро [1] в применении к некоторым практически важным задачам (см. еще в следующем параграфе о работах Г. Н. Савина). [c.333]

Ряд работ был посвяш,ен задаче о водосливе. Здесь прежде всего следует отметить работу Н. Е. Кочина (1938) о течении через уступ (рис. 20). Хотя метод, примененный Кочиным, и отличается от методов теории струй (задача полностью линеаризуется), но его анализ различных режимов течения послужил отправным пунктом дальнейших исследований. Следующий шаг в исследовании несколько более общей задачи (рис. 21) был сделан Э. Дуйшеевым (1958—1962). Используя конформное отображение области на верхнюю полуплоскость, он получил из граничного условия (12.1) интегральное уравнение, которое решал путем разложения в ряд функции Жуковского. Уравнение при этом удовлетворялось в отдельных точках. Тот же метод удовлетворения интегрального уравнения в отдельных точках был употреблен Л. М. Котляром (1953—1964), исследовавшим влияние силы тяжести на кавитационное обтекание пластинки и на обтекание глиссирующей пластинки. [c.27]

Изгиб и кручение анизотропного стержня с поперечным сечением в виде параллелограмма исследовались Р. С. Минасяном (1938). Ряд задач об изгибе анизотропных стержней рассмотрел В. С. Саркисян (1961, 1962), употребляя метод разложения в ряд по степеням малого параметра. Решая задачу изгиба анизотропного стержня при помощи конформного-отображения, Е. Е. Антонов (1964) выразил координаты центра изгиба через коэффициенты отображающей функции. А. С. Космодамианский [c.30]

Локальная асимптотика волнового поля в окрестиости точки возвра та каустики была корректно построена и исследована в работах [156, 157], где использовался отличный от примененного нами, ио эквивалентный ему прием. Вместо разложения и <7(5) в ряды, в [157] уравнение замены переменной (17.37) дифференцировали по набору параметров от которых зависит значение интеграла (17.1), и вычисляли производные ЪХ1Ъ<Хк и д У/да/1 в точке возврата каустики. В качестве параметров можно взять коэффициенты Ог и или координаты точки наблюдения. Рассмотренные выше простая каустика и каустика с острием, где в точке могут сливаться два или три луча, представляют собой два простейших типа особенностей лучевых структур. Людвиг [442] свел к решению алгебраических уравнений построение равномерной асимптотики волнового поля в весьма общем с гучае каустик, где сливается произвольное число лучей. Полная классификация каустических поверхностей, порождаемых бесконечно-дифференцируемыми функциями >р (д), была дана теорией особенностей дифференцируемых отображений (теорией катастроф) [c.383]

Каждому рациональному отображению /, удовлетворяющему условиям теоремы 19.6, сопоставим следующим образом канонический ор-бифолд (S, v). В качестве римановой поверхности S возьмем риманову сферу С, из которой удалены все притягивающие периодические орбиты. В качестве точек разветвления aj возьмем все (строго) посткри-тические точки, то есть все точки, которые имеют вид aj = для некоторого m > О, где с — критическая точка отображения /. Так как каждая критическая орбита либо конечна, либо сходится к периодическому аттрактору, легко видеть, что этот набор точек aj локально конечен на S (хотя, возможно, на всей сфере С это уже не так). Чтобы задать соответствующие индексы разветвления vj = i/(oj), потребуется еще одно понятие. Пусть f zi) = Z2 с локальным разложением в ряд [c.249]

Сторонники этого подхода утверждают, что в этом случае оператор обеспечивается сигналом, который содержит больше полезной информации, чем произвольно ускоренный сигнал. Ряды Тэйлора могут также быть вычислены по сигналу ошибки, и в этом случае использование первых двух членов разложения в ряд Тейлора точно соответствует простой опережающей (1 -1-05) компенсации. Читатель может видеть, что эти методы, имеющие разные названия, эквивалентны в первом приближении. Дей [24] систематически исследовал влияние предсказывающего отображения пер-вых трех членов ряда Тейлора на результаты отслеживания для нескольких систем. Как и ожидалось, он обнаружил общее увеличение коэффициента усиления человека-оператора, уменьшение его эквивалентного запаздывания и уменьшение остатка по сравнению с непредсказывающим отображением. Оптимальный интервал предсказания 0 увеличивался по мере того, как Ус изменялось от к (1 + Тз) и к /С/з [c.245]

Используя ряды (3.8) и (3.9), Г. С. Самойлович дал в 1949 г. простое точное решение задач обтекания решетки кругов и решетки из произвольных профилей в виде разложения функции, отображаюш ей эквивалентную решетку кругов на заданную решетку, в постановке Н. Е. Кочина, т. е, считая известным отображение одиночного круга на ее профиль. Это решение в наиболее совершенной форме отвечает на вопрос о роли угла установки фиксированного профиля в решетке и ее густоты, а также цостроения теоретических решеток с любым числом параметров. [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...