Распространение плоской упругой волны в изотропной

Рассмотрим теперь распространение плоской упругой волны в неограниченной изотропной среде, т. е. волны, в которой перемещение го зависит только от одной из декартовых координат, например, х, и времени t. Ради простоты предположим, что массовые силы Р отсутствуют. В этом случае для компонент вектора перемещения го из (10.1) получим следующие уравнения [c.399]

Таким образом, задача о распространении упругих волн в изотропной среде в безграничном трехмерном пространстве и в случае плоской задачи сводится к интегрированию двух обособленных волновых уравнений. Отсюда видно, что в однородной, изотропной, упругой среде, заполняющей безграничное пространство, любое малое возмущение может быть представлено с помощью наложения волн расширения и волн сдвига. Если среда неоднородна или занимает ограниченную часть пространства, то могут возникать другие типы волн, например волны, распространяющиеся в окрестности границы среды. Такого рода волны будут рассмотрены ниже. [c.403]

Наиболее простой случай, который поддается теоретическому рассмотрению, это задача о распространении упругих волн в изотропном твердом диэлектрике без примесей и дефектов. Формально к вопросу о поглощении звука в таком диэлектрике можно подойти феноменологически, основываясь на методе определения потерь энергии звука за счет действия диссипативных сил — внутреннего трения (вязкости) и теплопроводности, как это было сделано для жидкости в гл. 2. Проводя подобные рассуждения, можно получить формулы для коэффициентов поглощения плоских продольных и поперечных гармонических волн такого же вида, как формула (2.2,12) [1]. О таком макроскопическом подходе для определения аи будет идти речь в 2. [c.236]

Каждая из этих функций описывает распространение плоских волн в противоположных направлениях. Первая функция дает представление о распространении продольной волны, вторые два описывают распространение поперечных волн. Следовательно, произвольная плоская волна в изотропной упругой среде состоит из продольной и поперечных волн, причем фазовая скорость продольной больше фазовой скорости поперечной волны. [c.407]

В предыдущей главе были получены уравнения движения изотропной твердой среды (2.8), (2.9) и (2.20), выраженные через перемещения. Теоретически распространение волн напряжения в ограниченном изотропном твердом теле можно изучить, решая эти уравнения при определенных граничных условиях. Из рассмотрения отражения плоской упругой волны от плоскости раздела можно видеть, что при наличии нескольких свободных поверхностей задача не является столь простой и фактически, за исключением простейших случаев, точных ее решений не найдено. [c.47]

В настоящее время рэлеевские волны в изотропных твердых телах изучены весьма основательно [7]. Очень важным моментом явилось обобщение рэлеевских волн на случай анизотропной среды. Рассмотрим здесь кратко схему расчета и основные соотношения, которые имеют место при распространении плоской гармонической рэлеевской волны вдоль свободной границы кристалла произвольной симметрии, занимающего полупространство Хз > 0. Как известно [3], для уравнения движения анизотропной однородной идеально упругой среды при отсутствии пьезоэффекта мы вместо (1.1) имеем более сложную форму [c.16]

I = 2,3 удовлетворяются прн 1 ф О, г = 0, Ыз = 0. Это можно доказать так, как это сделано в - 2.4, ил 1 другим способом, как показано ниже. Функцию можно разложить в обобщенный ряд Тейлора по т, (1 = 1, 2, 3). Для того чтобы недеформированное состояние было свободно от напряжений, разложение не должно содержать линейных членов. Единственным направлением, выделяемым при распространении плоской волны в изотропном упругом Теле, является направление распространения, в данном случае направление й1. Таким образом, W может быть связано с тг и тз только через величину компоненты вектора mi в плоскости 2-3, т. е. через т т . Отсюда = т , т + пг и разложение в ряд Тейлора по П1 содержит степени и произведения m и т -Ь т , но не содержит членов, линейных по гпх. Кроме того, а(/п -ь/п ) дw [c.57]

Перейдем теперь к рассмотрению трансверсально-изотропного сферического слоя [65, 70]. Будем считать, что каждый элемент слоя имеет ось симметрии бесконечного порядка, проходящую через центр сферы. Это означает, что скорости упругих волн в любой плоскости, проходящей через центр сферы, зависят от направления распространения волны по толщине слоя и отличаются от скоростей в касательной плоскости. Однако скорости в касательной плоскости от направления распространения не зависят. В этом случае упругие свойства среды описываются теми же модулями, что и для плоской трансверсально-изотропной среды, причем ось 3 направлена по радиусу, а оси 7 и 2 — в плоскости изотропии, расположенной касательно к поверхности. [c.269]

Таким образом, в упругой изотропной среде возможны две плоский независимые волны продольная и поперечная. В продольной волне смещений совпадает с направлением распространения волны, в ней же происходит изменение плотности. Это следует из (3.12), поскольку дхо/дхФ 0. В поперечной волне смещение лежит в плоскости, перпендикулярной направлению распространения упругой волны. Изменения плотности в поперечной волне не происходит. [c.83]

Теория плоских воли в неограниченной изотропной упругой среде настолько сходна с теорией продольных волн в стержне, что на ней достаточно остановиться лишь вкратце. Предполагается, что в любой момент времени картина одинакова во всех плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волн (х). [c.155]

В этой главе выведены уравнения движения изотропной упругой среды в перемещениях частиц и показано, что эти уравнения движения описывают два типа волн, которые могут распространяться в неограниченном упругом теле. Эти два типа волн названы волнами расширения и волнами искажения. Движение частицы в плоской волне расширения происходит в направлении распространения, тогда как в плоской волне искажения оно происходит в направлении, перпендикулярном направлению распространения. [c.13]

Рассмотрим распространение плоской гармонической поперечной поверхностной волны вдоль границы двух однородных изотропных идеально упругих сред — твердого полупространства и твердого слоя толщины h (см. рис. 1.7). И в слое (индекс 1), и в полупространстве 2 0 (индекс 2) единственная отличная от нуля компонента смещения в волне f/y должна удовлетворять уравнению движения (1.27) (с соответствующими значениями р, ц). Будем искать решения для f/y в виде следующей совокупности плоских волн, синфазно распространяющихся [c.23]

Рассмотрим распространение плоских волн в бесконечной изотропной упругой среде, тензорный коэффициент упругости которой имеет вид (2.11.24) (первое соотношение). Предполагается, что соответствующий термоупругий процесс адиабатический. Для простоты отбросим источник Ро в уравнении [c.138]

Рассмотрим вначале задачу о распространении плоских гармонических поверхностных волн на границе двух полупространств — твердого и жидкого. Будем считать направлением распространения ось лг, а ось г направим перпендикулярно границе в глубь твердого полупространства (см. рис. 1). Твердое полупространство будем считать однородным изотропным абсолютно упругим, а жидкость идеальной. Выражения для потенциалов ф, продольных и поперечных волн в твердом полупространстве должны (как и для рэлеевских волн) удовлетворять волновым уравнениям (1.2), а выражения для потенциа- [c.55]

Рассмотрим распространение гармонической (зависимость от времени согласно множителю е" ) рэлеевской волны с частотой ш вдоль плоской границы однородного изотропного идеально упругого полупространства с вакуумом. Пусть полупространство занимает область > О (рис. 1.1). Как известно [2], в обш,ем случае уравнение движения изотропной однородной идеально упругой среды записывается в следующей форме [c.6]

Рассмотрим плоскую гармоническую рэлеевскую волну на границе твердого изотропного идеально упругого полупространства с вакуумом. Пусть полупространство занимает область z>0 (см. рис. 1, а), а направление распространения волны совпадает с осью х. Введем для области, занятой полупространством, скалярный ф и векторный потенциалы смещений, так что вектор смещения частиц V запишется в виде [c.5]

Лучший имеющийся пример поверхностных волн —это волны Рэлея (открытые лордом Рэлеем (Дж. Страттом) в 1885 г.), которые представляют собой гармонические по времени волны смешанного продольно-по-перечного типа без дисперсии, распространяющиеся на плоской свободной поверхности изотропного линейно упругого материала, занимающего полупространство, причем скорость распространения поверхностных волн (сд) меньше скорости распространения сдвиговых упругих волн в объеме (ст). Амплитуда волны, поляризованной в сагиттальной плоскости (т. е. плоскости, проходящей че- [c.145]

ПОПЕРЕЧНАЯ ВОЛНА — волна, у к-рой характе- ризующая её векторная величина лежит в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (для гармонии, волн — волновому вектору к). К П. в. относят, иапр., волны в струнах или упругих мембранах, когда смещения частиц в них происходят строго перпендикулярно направлению распростраие- ВИЯ волн, а также плоские однородные эл.-магн, волны в изотропном диэлектрике иля магнетике в этом слу- чае поперечные колебания совершают векторы элек-1 трич, и магн. полей. [c.86]

Из (8.43) следует, что компонейта смещения из" должна удовлетворять однородному волновому уравнению, но поскольку из"(0) t) = О, очевидно, что щ" = О, т. е. при распространении лоперечной волны в изотропном твердом теле не генерируется поперечная вторая гармоника. Этот результат физически довольно очевиден, так как при распространении поперечных волн не изменяется плотность среды и в изотропном твердом теле упругие напряжения при сдвиговых деформациях не зависят от знака деформации. Последнее, в частности, проявляется в том, что для плоских волн внутренняя энергия (8.13) является четной функцией сдвиговых компонент тензора деформации. По этой же причине две поперечные волны, распространяющиеся в одном направлении, не будут взаимодействовать. [c.316]

Эта простая интерпретация не может, однако, заменить строгое доказательство. В ее основе лежит утверждение, что расходящийся пучок, исходящий из точечного источника, ведет себя совершенно так же, как система не зависящих друг от друга плоских волн, распространение которых чисто геометрически представляется с помощью лучевой поверхности. Впервые (1852 г.) Ламе (1795—1870) указал, что здесь необходимо решить сложную математическую задачу точно представить волновой комплекс, исходящий в анизотропной среде из одного точечного центра (аналог шаровой волны в изотропной среде). Ламе решил эту задачу для упругой анизотропной среды. При этом он действительно (при исключении продольных волн) пришел к френелевой форме лучевой поверхности. В электромагнитной теории аналогичный вопрос сводится к решению задачи о поле точечного диполя Герца, помеш,енного в однородную анизотропную среду. [c.501]

W. W. Walter, G. L. Anderson (2.213] (1970) изучали распространение упругих волн в безграничной изотропной пластине, соприкасающейся верХ1ней боковой поверхностью с жидким слоем конечной толщины, а нижней — с вакуумом. Движение пластины описывается двумя волновыми уравнениями теории упругости в случае плоской деформации. Исследовано дисперсионное уравнение в случаях длинных и коротких волн. Численные результаты представлены для алюминиевой пластины, находящейся в контакте с водой и ртутью. Получено та кже решение уравнения колебаний пластин с учетом поперечных сдвигов и инерции вращения при произвольных длинах волн. [c.159]

Импульсные методы измерения скорости звука позволяют измерять число длин волн, укладывающихся на акустическом пути, а также определять фазовые сдвиги, приобретенные волной при отражении от границ разных частей звукопровода. Поскольку вводимые в образец импульсы являются высокочастотными (1—100 МГц), длина волны существенно меньше поперечных геометрических размеров образца, что можно рассматривать как случай свободного распространения волн в полубесконечной среде (случай нормальной дифракции). Это позволяет достаточно точно рассчитывать поправки на создающееся в образце дифракционное поле плоского излучателя, причем эти поправки не зависят от упругих свойств изотропного материала. Для введения з образец звукового импульса используют обычно кварцевый преобразователь который приклеивают в случае работы на о т р а ж е-н и е к одному из плоскопараллельных торцов образца, а в случае работы на прохождение импульса — к обоим торцам. Радиоимпульс от генератора, работаю1цего на основной частоте преобразователя, возбуждает в пьезопреобразователе упругую волну, передающуюся в образец. С помощью пьезопреобразователя в образце можно возбуждать продольную и поперечную волны. [c.262]

Будем считать твердое тело, на поверхности которого возбуждаются рэлеевские волны, однородным изотропным идеально упругим полупространством с плоской свободной границей. Размеры излучателей по оси у (рис. 5) будем предполагать бесконечными и будем считать, что действие излучателя рэлеевских волн на поверхность твердого тела экв ивалентно действию напряжений, приложенных к свободной поверхности твердого тела на том участке, где находится излучатель. При возбуждении кварцевыми пластинками J i- peзa (рис. 5, а) и У-среза (рис. 5, б) имеем соответственно нормальные и касательные напряжения единичной амплитуды, распределенные равномерно в 0 бласти поверхности при гребенчатой структуре (рис. 5, г)—периодическую совокупность единичных нормальных напряжений, в методе лина (рис. 5, в)—систему нормальных и касательных напряжений, приложенных к свободной поверхности твердого тела в области х а1соз = Ь, определяемой геометрическими границам и пучка продольных волн, распространяющихся в клине. Напряжения здесь будем считать равными напряжениям, возникающим при падении плоской продольной волны под углом 8 на границу двух полупространств, одно из которых состоит из материала клина, а второе — из материала твердого тела (продольная волна падает в первом полупространстве, а ее амплитуда предполагается такой, что нормальные напряжения на площадке, перпендикулярной напра влению ее распространения, равны единице). [c.16]

ШИ относительных перемещений точек при деформации можно пренебречь. Остальные гипотезы, к-рыми пользуется С. м., здесь устранены первоначально в развитии теории упругости они или подтверждаются вполне, или частью, с известным приближением, или отвергаются в связи с анализом отдельных деформаций. Элементарные теории растяжения, кручения круглых брусков, чистого изгиба вполне согласуются с теорией упругости. Изгиб в присутствии срезывающих сил, как оказывается, подчиняется закону прямой линии гипотеза Навье), но не закону плоскости (гипотеза Бернулли). Касательные напряжения при изгибе распределяются по закону параболы, но только в тех сечениях, которые имеют незначительную толщину при большой высоте (узкие прямоугольники). В других сечениях закон распределения касательных напряжений совершенно иной. Для балок переменного сечения, к к-рым в элементарной теории прилагают закон прямой линии и параболы, теория -упругости дает другие решения в этих решениях значения напряжений и деформаций гораздо выше, чем по элементарной теории следует. Общепринятый способ расчета пластин по Баху как обыкновенных балок не оправдывается теорией упругости. Ф-лы С. м. для кручения некруглых стержней не соответствуют таковым в теории упругости. Теория изгиба кривых стержней решительно не совпадает с элементарной теорией Баха-Баумана, но результаты расчета по строгой теории и на основании гипотезы плоских сечений достаточно близки. Поставлена и разрешена для ряда случаев задача о распределении местных напряжений (в местах приложения нагрузки или изменения сечения), к-рая совершенно недоступна теории С. м. Вопрос об устойчивости деформированного состояния, элементарную форму которого представляет в С.м. продольный изгиб, получил в теории упругости общее решение Бриана (Bryan), Тимошенко и Динника. Помимо многочисленных форм устойчивости стержня, сжатого сосредоточенной силой, изучены также явления устойчивости стержней переменного сечения под действием равномерно распределенных сил и другие явления устойчивости балок при изгибе, равномерно сжатой трубы, кольца, оболочек, длинного стержня при скручивании и пр. Теория упругого удара— долевого, поперечного—занимает большое место в теории упругости и включает все большее и большее чис-чо технически важных случаев. Теория колебаний получила настолько прочное положение в теории упругости и в практи-тсе, что методы расчета на ко.чебания проникают область С. м., конечно в элементарном виде. Изучены распространение волны в неограниченной упругой среде (решение Пуассона и Кирхгофа), движение волны по поверхности изотропной среды (решение Релея), волны в всесторонне ограниченных упругих системах с одной, конечно многими и бесконечно многими степенями свободы. В связи с этим находятся решения, относящиеся к колебаниям струн, мембран и оболочек, различной формы стержней, пружин и пластин. [c.208]

В теории упругости и, следовательно, в теории сейсмических волн важнейшими понятиями являются напряжение и деформация. Напряжением в какой-либо точке тела называется сила, действующая на единицу площади, тогда как деформацией называется результирующее смещение этой точки. Можно показать [555], что в идеальной упругой гомогенной и изотропной бесконечной среде могут существовать только два вида плоских волн, обозначаемых как Р (primus) и S (se undus) волны. Скорости их распространения даются выражениями [c.371]

В плоской Р. в. в однородном изотропном упругом полупространстве имеются две компоненты смещения, одна из к-рых и. нанравлсна вдоль направления распространения волны (ось х), а другая w — перпендикулярно свободной границе в глубь полупространства (ось Z с началом па границе), причем [c.455]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...