Изгибные Условия граничные

Первое разбиение будет использоваться для характеристики изгибных граничных условий, второе — тангенциальных. Будем различать четыре варианта изгибных условий заделки. [c.41]

Полученное уравнение позволяет определять критические нагрузки (сосредоточенные и распределенные) для наиболее общего случая, когда изгибная жесткость стержня переменна по его длине. При изгибе прямолинейного стержня в плоскости (см. систему уравнений (13.15)) при малых отклонениях точек осевой линии стержня всегда имеются четыре граничных условия (по два на каждом конце стержня). Поэтому решение уравнения равновесия стержня должно содержать четыре произвольные постоянные. [c.525]

Это линейное однородное уравнение вместе с однородными граничными условиями описывает изгибную форму равновесия стержня, смежную с исходной. [c.74]

Таким образом, определение условий существования изгибных форм равновесия первоначально прямолинейного стержня свелось к решению задач на собственные значения. Для того чтобы найти условия существования изгибных форм равновесия, смежных с исходной прямолинейной формой, необходимо найти значения параметра нагрузки Р , при которых однородное уравнение (3.4 ) при однородных граничных условиях имеет нетривиальные решения (см. приложение I). [c.81]

Необходимо подчеркнуть, что полученные формулы, а также представленный на рис. 3.27, а график справедливы для стержней переменной жесткости и при произвольных граничных условиях. При различных законах изменения изгибной жесткости EJ = = EJ (s) и разных граничных условиях изменяются критические нагрузки и вид собственных функций -fl i (s). [c.122]

Таким образом, задача определения условий существования изгибных состояний равновесия первоначально плоской пластины свелась к типичной задаче на собственные значения требуется найти те значения параметра нагрузки Р , при которых однородное уравнение имеет отличные от тождественного нуля решения, удовлетворяющие заданным однородным граничным условиям. [c.146]

Рассмотрим пластину, край которой при х = О подкреплен упругим стержнем (рис. 4.6, б). Стержень считаем ненагруженным в продольном направлении и имеющим постоянную изгибную жесткость EJ в плоскости, перпендикулярной срединной плоскости пластины жесткостью стержня на кручение пренебрегаем. Тогда первое граничное условие, как и для свободного края, будет Мх = 0. Для формулировки второго граничного условия мысленно отделим стержень от края пластины. Обозначив прогиб стержня (у), при X = о можно записать w = (у). Со стороны пластины на стержень передается контактная нагрузка q, = —QJ. Прогиб стержня под действием этой нагрузки описывается дифференциальным уравнением [c.148]

Как показывают вычисления, до достижения значения со = 1 появляются неосесимметричные формы равновесия оболочки, смежные с исходной осесимметричной изгибной формой Wq = = Wq (х). На рис. 6.21 показан график зависимости со р от относительной длины оболочки при различных значениях коэффициента Пуассона fx (при граничных условиях Гв) [231. В табл. 6.1. приведены взятые из той же работы значения со р для различных граничных условий при (х = 0,3. [c.265]

Устойчивость консольной цилиндрической оболочки с краем, подкрепленным шпангоутом. Когда край полубезмоментной оболочки подкреплен упругим шпангоутом, обладающим только изгибной жесткостью EJ в своей плоскости, то при х = I граничные условия будут [c.290]

Подставляя решения (6.49), (6..50) в граничные условия на кромках полосы = 1, можно найти неизвестные коэффициенты А, В и дисперсионные уравнения. Рассмотрим распространение изгибных волн в полосах с различными граничными условиями. [c.192]

Если геометрические граничные условия не ограничивают деформации изгибания, то оболочка с исчезающе малой изгибной жесткостью является геометрически изменяемой. Поэтому при проектировании силовых оболочек большое внимание уделяют такому закреплению их краев, при котором исключена возможность изгибания. [c.291]

Для различных случаев граничных условий уравнения частот изгибных колебаний стержня приведены ниже, на стр. 368. [c.343]

Под характерным размером машины следуег понимать не только его габаритные размеры, но и размеры тех частей ее поверхности, которые колеблются синфазно. Таким размером является, например, половина длины изгибной волны. Условие 5=1 соответствует тогда частотам / >/гр, где /гр = (с2/2я) Km/D — граничная частота, при которой длина изгибной волны равна длине волны в воздухе (т— поверхностная плотность, D — цилиндрическая жесткость). [c.224]

Уравнения собственных частот и собственных изгибных колебаний стержней для некоторых граничных условий [c.195]

Рассмотрим далее задачу устойчивости, сжатой в осевом направлении цилиндрической оболочки, на одном краю которой заданы граничные условия (8.34), а другой край полностью свободен (рис. 8.4, б). Качественное отличие этой задачи от только что рассмотренных заключается в том, что при заданных граничных условиях оболочка допускает чисто изгибные дефор мации без растяжений и сдвигов срединной поверхности. [c.230]

Резкое падение нагрузки после смены исходной невозмущенной формы равновесия свидетельствует о наличии несмежных изгибных форм равновесия при малых уровнях нагрузки и чрезвычайной чувствительности оболочки ко всякого рода возмущениям начальным прогибам, несоблюдению граничных условий, динамическим эффектам окружающей среды и пр. При наличии этих возмущений оболочка скачком переходит от исходной формы равновесия к несмежным изгибным формам. Нагрузка, соответствующая перескоку от исходного состояния к несмежному, является действительной верхней критической нагрузкой. Величина ее определяется видом и мерой возмущений и в основном несовершенствами формы срединной поверхности. [c.9]

В таблицах 3.11 - 3.13 приведены прогибы w, максимальные по толщине изгибные напряжения af в центре панели и мембранные напряжения или максимальные по толщине полные напряжения, полученные в настоящей работе МГЭ и результаты работы [156], где приведено решение для удлиненной пластины, полученное МКР, и точное решение для длинных панелей. Рассмотрены граничные условия шарнирного закрепления и жесткой заделки (3.6.2) при значениях к =0 20 50. При вычислениях принималось е = 10 - 10" , а = 0,5 - 0,8, а ,=0,05 - 0,3. Для достижения заданной точности требовалось 10 - 50 итераций. Отрезок интегрирования [о, /] разбивался на 20 - 40 равных частей. [c.99]

И, наконец, чисто изгибная деформация цилиндра для смешанных граничных условий (1.4) описывается следующими выражениями [c.199]

Характер выкладок, связанных с удовлетворением граничных условий с помощью выражений (1.8), идентичен в обоих случаях симметрии. Поэтому ниже описывается решение задачи только для симметричного случая. Антисимметричный (изгибный) случай достаточно подробно рассмотрен в работе [69]. [c.227]

Второй тон изгибных колебаний обычно имеет собственную частоту, в 2,6-=-2,8 раза превышающую частоту оборотов. По мере увеличения номера тона увеличиваются число узлов и кривизна формы. Высшие гармоники, таким образом, важны с точки зрения нагрузок на лопасть и их вычисления. Для шарнирной лопасти второй тон махового движения часто называют первым тоном изгибных колебаний, поскольку основной тон махового движения не связан с упругими деформациями. Для формы второго тона изгибных колебаний шарнирной лопасти можно использовать приближение г — 4г — Зг, если нет более точных данных. Оно ортогонально первому тону г = г, однако не удовлетворяет граничным условиям нулевых моментов на конце и у комля лопасти. Можно предложить также выражение х = г — (я/3) sin п/, удовлетворяющее всем условиям, кроме нулевой перерезывающей силы на конце лопасти. Эти приближенные формулы полезны при оценке инерционных и аэродинамических коэффициентов в процессе анализа динамики несущего винта и особенно при оценке собственной частоты второго тона с помощью энергетического соотношения. [c.361]

Отсюда следует, что для практической реализации граничного условия (2.162) опорный контур оболочки надо выполнить как можно более гибким в горизонтальной плоскости. Вместе с тем, он должен обладать как жесткостью на растяжение, так и жесткостью на изгиб в вертикальной плоскости, чтобы иметь возможность воспринять передаваемую на него оболочкой тангенциальную нагрузку и, кроме того, чтобы оболочка была лишена свободы чисто изгибного деформирования. [c.133]

Этот полученный выше для частного вида нагрузки и частного вида оболочки результат имеет общее значение дЛя теории цилиндрических оболочек. Именно возможность применения к ним безмоментной теории, как правило, зависит от длины оболочки. Коль скоро цилиндрическая оболочка достаточно длинна — никакая формулировка граничных условий на ее торцах не оказывает влияния на изгибное напряженное состояние, устанавливающееся в средней части оболочки (если только форма поперечного сечения цилиндра не подобрана специально под заданный тип нагрузки так, чтобы изгиб оболочки в поперечном направлении был исключен вне зависимости от того, как велика ее длина в частности, для равномерного нормального давления такой специальной формой поперечного сечения является круг). [c.152]

Граничные условия в сечении 0 = я/2 выполняются, поскольку там по симметрии задачи отсутствуют перерезывающее усилие Qp, и упругий поворот rv). Четвертое условие в (12.56) также приближенно выполняется, поскольку край более толстой трубы обладает значительно большей изгибной жесткостью, нежели край компенсатора. В защиту остающегося условия можно привести лишь следующий довод край цилиндрической трубы, работая на изгиб, не может создать значительного распора. Поэтому нарушение третьего условия, по-видимому, не очень значительно и(для не слишком малых 2k ) не вносит в решение существенной погрешности. [c.438]

Следует помнить, что под Jf понимаются дополнительные силовые факторы, которые появляются в пластине при переходе от плоской формы к изгибной. Поскольку перемещения U считаются дополнительными, то на закрепленной части контура Ги главные (или геометрические) граничные условия будут однородными, т. е. и=0 на Г . [c.203]

Вначале рассмотрим решение в классической постановке. Как показано в 3 первой главы, нахождение решения сводится к решению двух уравнений Гельмгольца (1.69). На краях пластины необходимо задать два граничных условия. Полагаем, что в направлении оси Ох распространяется плоская изгибная волна с прогибом [c.225]

Рассмотрим задачу дифракции плоской изгибной волны на ряде одинаковых круговых отверстий [95]. Пусть плоская волна распространяется нормально линии центров отверстий. Полагаем, что края отверстий свободны от напряжений. Задача для отраженного поля сводится к решению уравнений классической теории (1.69) при условиях (10.40) и уравнений теории типа Тимошенко (1.89) с граничными условиями (10.41). В результате решения получаются бесконечные системы (10.48) и (10.57), в которых [c.258]

Тонкие пластинки с большими прогибами. Первое допущение выполняется полностью лишь в том случае, если пластинка изгибается по развертывающей поверхности. В иных условиях изгиб пластинки сопровождается деформированием срединной плоскости, но вычисления показывают, что соответствующими напряжениями в срединной поверхности можно пренебречь, если прогибы пластинки малы в сравнении с ее толщиной. Если же прогибы не малы, при выводе дифференциального уравнения изгиба пластинки эти дополнительные напряжения надлежит учитывать. При этом мы приходим к нелинейным уравнениям, и решение задачи значительно осложняется (см. 96). При больших прогибах нам следует также различать случай неподвижных краев и случай, когда краям пластинки предоставлена возможность свободно перемещаться в ее плоскости — это заметно отражается на величине прогибов и напряжений пластинки (см. 99, 100). Благодаря кривизне деформированной срединной поверхности, дополнительные (имеющие преобладающее значение) растягивающие напряжения противодействуют приложенной поперечной нагрузке таким образом, действующая нагрузка воспринимается при этом частично изгибной жесткостью, а частично мембранным действием пластинки. В силу этого весьма тонкие пластинки, обладающие пренебрежимо малым сопротивлением изгибу, ведут себя как мембраны, за исключением, возможно, узких краевых зон, где изгиб может быть вызван наложенными на пластинку граничными условиями. [c.12]

Формулы (4.48) и (4.49) применимы также и в случае крутильных колебаний. Для изгибных колебаний граничные условия таковы, что выражение для скорости распространения приобретает более слолшый вид. [c.363]

Полученные в разд. 4.3 выводы можно обобщить на системы с бесконечным числом степеней свободы. На прар тике часто встречаются задачи расчета изгибных колебани балки. Масса балки распределена по ее длине, поэтому така система является системой с бесконечным числом степеней свс боды. Чтобы определить положение каждой массы, необходим задать прогиб как функцию координаты х, отсчитываемо вдоль оси балки у=Цх). Для такой системы собственные ча( ТОТЫ составляют бесконечную последовательность ри р , рз, Их значения зависят от вида законов распределения по длин балки изгибной жесткости Е1 Е — модуль упругости I — м( мент инерции сечения) и погонной массы т (массы участка ба ки единичной длины), а также от вида граничных услови Граничными называются условия на концах балки, которы должны удовлетворять прогибы, углы поворота сечений, пош речные силы или моменты. Пусть конец балки при х=0 з щемлен — консольная заделка (рис. 4.15, а). В этом случае пр [c.62]

Связанная система уравнений (50) и (51) по своей структуре аналогична системе, описывающей большие прогибы однородных пластин (см. работу Тимошенко и Войновского-Кригера [163] с. 418), включающей в отличие от системы (50), (51) нелинейные операторы, а также основным уравнениям линейной теории пологих оболочек ([163 ], с. 559). В нелинейной теории пластин й в теории пологих оболочек связь между уравнениями осуществляется через коэффициенты, зависящие от кривизны, а в рассматриваемом здесь случае слоистых анизотропных пластин эта связь вызвана неоднородностью материала (она осуществляется с помощью оператора включающего элементы матрицы 5 /, которые зависят, в свою очередь, от элементов матрицы Ац и матрицы Вц, входящих в исходные соотношения упругости). Это означает, что при постановке граничных условий на краях слоистой анизотропной пластины необходимо одновременно рассматривать силовые факторы и перемещения, соответствующие как плоскому, так и изгибному состояниям. При этом на каждом краю следует сформулировать по четыре граничных условия. [c.178]

Первые результаты, относящиеся к нелинейному анализу пластин с несимметричным расположением слоев, принадлежат Ву и Винсону [194]. Однако учет несимметричности структуры пакета осуществлялся ими приближенно с использованием приведенных изгибных жесткостей, определяемых равенствами (64). Строгий анализ несимметричных слоистых пластин был проведен Венетом [24] при определении динамической устойчивости прямоугольных пластин с шарнирно опертыми и закрепленными в плоскости пластины краями. Берт [28] рассмотрел прямоугольные пластины с произвольным расположением слоев и более реальными граничными условиями, соответствующими упругому закреплению при изгибе и плоской деформации. [c.191]

Донг [811 получил решение уравнений обобщенной теории Доннелла, определяющее собственные частоты цилиндрических оболочек с произвольным набором ортотропных слоев и с различными граничными условиями. Узловые линии, так же как и в изотропных оболочках, образуют прямоугольную сетку. Берт и др. [37] рассмотрели аналогичную задачу на основе более точной теории первого приближения Лява. Найденные ими значения частот в общем достаточно хорошо согласовались с рерчльтатами Донга, за исключением низших частот, которые у Донга оказались завышенными. В работе Берта и др . на примере двухслойной ортогонально-армированной цилиндрической оболочки из боро-пластика проиллюстрировано влияние эффекта связанности мембранных и изгибных деформаций. Рассматривались также различные ортогонально-армированные структуры, включающие три слоя одинаковой толщины. Было установлено, что поведение оболочек, армированных по схемам О—К—О и О—О—О (О соответствует слою, уложенному в осевом направлении, К — слою, уложенному в кольцевом направлении), почти не различается. Также Мало отличаются друг от друга оболочки, армированные по схемам К—К—О и К—К—К. При всех четырех схемах армирования оболочка имеет,примерно одинаковую собственную частоту, соответствующую первому тону колебаний в осевом направлении и второму (п = 2) в окружном. При п = 1 армирование по схемам О,—О—О и О—К—О приводит к более высоким значениям частоты, а при относительно более высокие значения [c.239]

Приведенное выше решение описывает потерю устойчивости трехслойного стержня, связанную с общим искривлением его оси. Потерю устойчивости такого типа обычно называют общей потерей устойчивости. Но для трехслойных элементов конструкции, в том числе и для трехслойного стержня, возможна потеря устойчивости ( сморщивание ) несущих слоев потерю устойчивости такого типа обычно называют местной потерей устойчивости (рис. 3.24, а). Критические нагрузки, соответствующие местной потери устойчивости, практически не зависят от длины стержня и граничных условий на его торцах, а определяются изгибной жесткостью несущих слоев и жесткост-ными характеристиками и конструкцией заполнителя [19, 33]. [c.115]

Приведенные граничные условия довольно своеобразны это не условия щарнирного закрепления края оболочки, поскольку = О и, следовательно, и Ф О, и не условия свободного онирания, так как и = О и, следовательно, S Ф 0. Физически эти граничные условия можно трактовать так край оболочки подкреплен тонким кольцом с нерастяжимой осью, обладающим очень больнюй изгибной жесткостью в своей плоскости, но совершенно не сопротивляющимся кручению и деформациям из плоскости. [c.228]

Второй путь построения приближенных теорий заключался в введении гипотез физической природы относительно характера распределения смещений и напряжений. Использование вариационных принципов приводило к искомым уравнениям движения и граничным условиям. Таким образом были построены уточненные уравнения продольных и поперечных колебаний, учитывающие влияние инерции поперечного движения (Рэлей (1878)), теория изгибных колебаний круглой пластины (Кирхгоф (1852)), различные варианты теории цилиндрических и сферических оболочек [123]. С. П. Тимошенко (1921) показал, что учет деформации сдвига в поперечном сечении также важен при поиске адекватных моделей поперечных колебаний стержней. Отметим, что поправки на скорость распространения волн в бесконечном цилиндре, получаемые из уточненных теорий колебаний стержней, совпадали с несколькими первыми членами разложения точных решений Похгаммера — Кри. [c.14]

Изучен также н изгиб круглой пластинки с цилиндрической аэолотро пией ). Если в дополнение к свойству упругой симметрии заданное распределение нагрузки обладает еще и симметрией относительно центра пластинки, то в обыкновенное дифференциальное уравнение изогнутой пластинки войдут лишь два значения изгибной жесткости — радиальное и тангенциальное. Формальные решения этого уравнения для любых граничных условий получить нетрудно но выбор упругих постоянных для материала потребует особой тщательности, поскольку некоторые допущения в отношении этих постоянных приводят к появлению бесконечно больших значений для изгибающих моментов в центре пластинки, даже и при сплошном распределении нагрузки. [c.419]

Особый класс составляют оболочки, у которых один размер намного превышает два других,— тонкостенные стержни. Работа таких стержней уже не согласуется с гипотезой Бернулли, их плоские сечения после деформации кручения перестают быть плоскими, депланируют . С. П. Тимошенко показал, что в полке скручиваемого двутавра возникают изгибные напряжения, которые не затухают при удалении от мест закрепления. Аналогичный факт для швеллера установил К. Вебер. Подробное рассмотрение всех особенностей кручения и изгиба тонкостенных стержней с решением ряда практических задач лишь много позже дал В. 3. Власов , который показал, что депланации сечения определяются так называемым законом сек-ториальных площадей. При этом граничные условия на концах стержней заставляют различать случаи свободного кручения, когда депланации не-ограничены, и стесненного кручения, при котором возникают дополнительные нормальные напряжения. Это накладывает особенности на рассмотрение статически неопределимых конструкций из таких стержней. [c.257]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...