Тела Симметрия упругая—Случаи

Таким образом, в случае, когда тело имеет одну плоскость симметрии упругих свойств, число упругих постоянных уменьшается до 13. [c.67]

Рассмотренные выше примеры симметрии упругих свойств являются частными случаями наиболее общего анизотропного упругого тела, характеризуемого 21 упругой постоянной. Самое последнее упрощение можно установить еще следующим образом. Будем считать, что выражение для упругого потенциала инвариантно относительно выбора координатных осей (в этом случае среда называется изотропной). Чтобы получить при этом ограничения на коэффициенты, достаточно повернуть координатную систему, например, около оси г на малый угол со. Новые оси х, у, г будут составлять со старыми осями углы, опреде- [c.222]

Рассмотрим еще плоскую задачу теории упругости для анизотропного тела. Пусть в каждой точке пластинки имеется плоскость симметрии упругих свойств, параллельная срединной плоскости. Как и в изотропном случае (см. 4 гл. III), будем полагать, что усилия, приложенные к краям пластинки, действуют в срединной плоскости. Тогда, переходя к усредненным по толщине пластинки величинам, получаем соотношения между деформациями и напряжениями [c.664]

Плоскость упругой симметрии. Если в анизотропном теле его упругие свойства идентичны в любых двух направлениях, симмет-ричных относительно некоторой плоскости, то такая плоскость называется плоскостью упругой симметрии. В "этом случае число независимых коэффициентов, описывающих свойства материала, сокращается до тринадцати [29], а закон Гука принимает более простой вид при совмещении одной из координатных плоскостей с плоскостью упругой симметрии. Например, совместив с плоскостью [c.9]

Надлежащий выбор системы координат позволяет существенно упростить исходные матрицы податливости и жесткости, если материал обладает симметрией упругих свойств. Рассмотрим, например, композиционный материал, состоящий из упругого связующего, регулярно армированного в одном направлении упругими волокнами (рис. 1.2). Для описания деформационных свойств такого материала можно воспользоваться моделью однородного анизотропного упругого тела. В произвольно ориентированной системе координат матрица податливости (и жесткости) будет целиком заполненной, а число подлежащих определению независимых коэффициентов не ясным. В системе координат (Xi, х , х ) плоскость (х , Xs) можно считать плоскостью упругой симметрии матрица коэффициентов податливости в этом случае будет иметь структуру (1.11). Еще более полно симметрия упругих свойств рассматриваемого материала выявляется в системе координат (х1, хг, Xj) плоскость х, Хг) тоже можно считать плоскостью упругой симметрии. Следовательно, теперь все координатные плоскости — плоскости упругой симметрии, материал является ортотропным и матрица коэффициентов податливости имеет структуру (1.12). Более того, при равномерном распределении армирующих волокон допустимо считать, что упругие свойства во всех направлениях в плоскости (x l, Хз) идентичны. Теперь становится ясным, что рассматриваемый материал является трансверсально изотропным, матрицы его коэффициентов податливости имеют вид [c.13]

В этом разделе представлены основные уравнения и соотношения, которые используются в расчетах многослойных конструкций. На основе вариационных методов с использованием деформационных соотношений получены уравнения равновесия, дай анализ геометрических характеристик поверхностей и соотношений упругости анизотропного тела. Рассмотрены различные случаи упругой симметрии, показаны преобразования коэффициентов [c.65]

В предыдущих параграфах мы пользовались сингулярным решением для изотропного упругого тела, хотя в большинстве практических случаев рассматриваемые материалы обладают сильно анизотропными упругими свойствами (например, слоистые и армированные материалы, а также большинство материалов естественного происхождения). Возрастание анизотропии сказывается на уменьшении симметрии в упругих свойствах и увеличении числа упругих постоянных, связывающих напряжения и деформации в точке такого тела. В теории упругости анизотропной среды показано, что произвольный анизотропный материал, не обладающий плоскостями симметрии упругих свойств, можно охарактеризовать 21 независимой упругой постоянной [19,20]. Использованную в этом случае форму закона Гука лучше всего продемонстрировать, записав шесть независимых компонент деформаций и напряжений для трехмерного случая в виде векторов j и е и заметив, что наибо-лее общее линейное соотношение между ними представляется в виде матрицы упругих податливостей [С] размером 6x6, откуда [c.125]

В зоне упругих деформаций существует линейная зависимость между тензорами деформаций и напряжением, это закон Гука, который мы использовали в простейшем случае одноосного напряжения. Для кристаллического тела (анизотропного), упругие свойства которого различны по разным направлениям, в самом общем случае должна существовать линейная зависимость каждой компоненты тензора деформаций от всех компонент тензора напряжений. Расчет показывает, что из-за симметрии тензоров число независимых коэффициентов будет равно 21. Двадцать один параметр определяет упругие свойства анизотропного вещества. [c.306]

Далее, воспользовавшись свойством упругого тела накапливать энергию в обратимой форме и составив выражения для внутренней энергии деформированного тела, упростим выражения (25) и приведем число упругих постоянных к 21. Таким образом, для определения упругих свойств однородного тела в общем случае необходимо, чтобы была задана 21 постоянная величина. Для такого тела два одинаковых вырезанных из него элемента будут обладать одинаковыми упругими свойствами лишь в том случае, если эти элементы одинаково ориентированы. Упругие свойства в какой-либо точке,тела изменяются в зависимости от направления. В действительных телах имеется обыкновенно различного рада симметрия в строении и в упругих свойствах, что дает возможность получать дальнейшие сокращения числа постоянных, характеризующих упругие свойства тела. В дальнейшем мы будем заниматься почти исключительно такими телами, у которых упругие свойства по всем направлениям одинаковы. Такие тела называются изотропными. Для определения их упругих свойств необходимо иметь лишь две упругие постоянные. [c.41]

Соответствующие упрощения соотношений закона Гука (1.16) для цилиндрически анизотропных тел получим для случаев, когда в каждой точке тело имеет плоскость упругой симметрии, к которой перпендикулярна ось Ог, три плоскости упругой симметрии, как и в теории упругости цилиндрически анизотропных тел. В случае изотропных тел, отнесенных к цилиндрической системе координат закон Гука запишется таким образом [c.15]

Когда анизотропное тело обладает упругой симметрией, то уравнения обобщенного закона Гука упрощаются. Укажем некоторые наиболее важные случаи упругой симметрии. [c.15]

Наличие таких равенств приводит к тому, что в общем случае число независимых компонент тензоров упругих модулей сокращается с 36 до 21 — столько констант имеет твердое тело, не обладающее никакой симметрией. [c.126]

Упругие свойства анизотропного тела можно охарактеризовать некоторыми упругими константами так же, как упругие свойства изотропного тела можно характеризовать двумя константами — модулем Юнга и модулем сдвига. Однако для анизотропного тела этих констант существует не две, а больше — 21 в самом общем случае. Число констант уменьшается, если анизотропное тело обладает некоторой симметрией (в некоторых направлениях свойства тела одинаковы). [c.475]

Различные случаи упругой симметрии тела [c.66]

Симметричность структуры анизотропных тел приводит к связям между коэффициентами упругости. Мы рассмотрим некоторые частные случаи упругой симметрии. [c.66]

Структура анизотропного тела может обладать некоторой упругой симметрией, в каждой точке тела обнаруживаются симметричные в отношении упругих свойств направления. В этих случаях оказывается возможным выбрать такую ориентацию осей координат, при которой некоторые упругие постоянные оказываются равными нулю или линейно зависящими от других упругих постоянных. [c.58]

В анизотропных телах положение осложняется в тех случаях, когда анизотропия криволинейна. Например, цилиндр, изготовленный из стеклопластика или углепластика путем намотки, ортотропен, но упругие свойства его обладают цилиндрической симметрией, в цилиндрических координатах модули упругости и коэффициенты температурного расширения постоянны. Но при переходе к декартовым координатам тензоры Ei и а будут уже не постоянными, а функциями координат Ха, поэтому даже равномерное температурное ноле вызовет напряжения. Эта задача легко решается методом, совершенно подобным тому, который был применен в 8.12 для трубы из изотропного материала. Присваивая радиальному направлению индекс единицы, мы запишем уравнение упругости в форме (10.6.4). Теперь уравнение для функции напряжений оказывается следующим [c.385]

В обоих случаях волокна считались абсолютно упругими, а материал матрицы — изотропным и вязкоупругим. Поэтому выполнение равенств (31) не явилось проверкой полол ений термодинамики необратимых процессов, в частности принципа Онзагера, ибо, как указано в разд. II. Б, полная симметрия свойств композита следует из геометрической симметрии его фаз. Только если хотя бы одна фаза была бы вязкоупругой и анизотропной, экспериментальная проверка свойств симметрии композита подтвердила бы справедливость термодинамики для вязкоупругих тел. [c.112]

Наиболее важными частными случаями анизотропии в целом для армированных волокнами композитов представляются случаи ортотропии, квадратной симметрии и трансверсальной изотропии. В ортотропном упругом теле существует три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии. В качестве примера таких материалов можно привести композит, [c.359]

Для тела, расположенного в плоскости симметрии, так же, как и в предыдущем случае, инерционные свойства для поступательного и поворотного перемещений принимаются равными соответственно nii/2, /zj/2. Жесткостные свойства упругого элемента, расположенного в плоскости симметрии, также принимаются в половинном размере. Соответствующая матрица, например для узла [c.10]

Рассмотрим второй возможный случай, когда плоскость симметрии не проходит через узлы системы, т. е. нет твердых тел, расположенных в этой плоскости, и в то же время плоскость делит пополам ряд упругих элементов системы (рис. 2). В этом случае [c.11]

Следует подчеркнуть, что вид ( заполненность ) матриц податливости и жесткости определяется не только типом упругой симметрии материала, но и выбором системы координат. Тип симметрии материала однозначно определяет число независимых коэффициентов в этих матрицах, однако для любого анизотропного тела матрицы податливости и жесткости в произвольной системе координат, никак не согласованной с упругой симметрией материала, будут в общем случае целиком заполненными. [c.13]

В частных случаях анизотропии число независимых постоянных Яу сокращается. Так, например, если в каждой точке тела имеется одна плоскость упругой симметрии, обладающая тем свойством, что любые два направления, симметричные относительно этой плоскости, эквивалентны в отношении упругих свойств, то можно показать, что в этом случае число независимых постоянных сокращается до 13. Направления, нормальные к плоскостям упругой симметрии, называются главными направлениями упругости. [c.113]

Определение числа степеней свободы т деформируемого сплош-него тела связано с существенными затруднениями. В ферме это число легко определяется как количество возможных (и независимых) перемещений ее узлов (см. рис. 7.4). Нетрудно его определить и в некоторых других случаях. Например, однородный изотропный брус постоянного поперечного сечения при чистом изгибе от носительно оси симметрии сечения имеет только одну степень свободы соображения симметрии приводят к тому, что поперечные сечения должны оставаться плоскими (края не учитываются), а нейтральная ось независимо от характера деформации (упругая, пластическая) — совпадать с центральной. Обобщенным перемещением здесь служит кривизна. Брус при чистом косом изгибе, если сечение имеет не более одной оси симметрии, имеет три степени свободы (две кривизны и деформация осевой линии представляют три обобщенных перемещения). При поперечном изгибе брус имеет уже, строго говоря, бесконечное число степеней свободы для определе-, ния деформаций нужно задать кривизны и положения нейтральных осей во всех сечениях (сдвиг во внимание не принимается). Но для получения приближенного решения, более простого и в то же время [c.161]

В этом случае плоскость х/охз также будет плоскостью упругой симметрии. Такое тело называют ортотропным и для него число независимых коэффициентов упругости равно девяти. [c.84]

Следует иметь в виду, что при наличии у тела нлоскостей упругой симметрии число упругих постоянных сокращается только при совмещении координатных плоскостей о плоскостями упругой еимметрии. Если координатные плоскости не совпадают, например, о ортогональными плоскостями упругой симметрии ортотропного тела, то число упругих постоянных будет равно 21, т. е, как и в общем случае анизотропного тела. [c.59]

Если тело обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии упругих свойств, то такое тело называют ортогоналъно-ортотропным или просто ортотропным. Для ортотропного тела число упругих постоянных снижается до 9. В случае ортотропного тела линейные деформации тела (б ,, е , вг) зависят только от нормальных напряжений (о. Су, Сг) и не зависят от касательных напряжений (V, т , Хху). При этом угловые деформации ( , гх, ху) пропорциональны соответствующим касательным напряжениям (туг, Тг Тц,) и не зависят от величины нормальных напряжений. [c.39]

Равенства (34) показывают, что прямоугольный параллелепипед, изготовленный из материала с общей анизотропией, при одноосном однородном напряженном состоянии превращается в не-прямаугольный параллелепипед (на рис. 1, а показано тело, для которого плоскость является плоскостью симметрии). В случае изотропного материала прямоугольный параллелепипед остается прямоугольным (рис. 1, б). Эти различия в поведении анизотропных и изотропных материалов при одноосном напряженном состоянии вызывают некоторые трудности при определении механических характеристик композиционных материалов в направлении, не совпадающем с осью симметрии. Образец, обычно используемый при таких испытаниях, представляет собой длинную полоску (отношение длины к ширине равно - 5—10), вырезанную под некоторым углом к оси симметрии из элементарного армированного слоя или слоистого материала. При одноосном нагружении в продольном направлении образец ведет себя как анизотропное тело с плоскостью упругой симметрии, совпадающей с плоскостью образца, т. е. стремится принять в этой плоскости форму параллелограмма. Захваты, в которых закрепляют образец, препятствуют его свободной деформации, сохраняя пер-воннчальное. направление закрепленных кромок. Как показано в работе Пагано и Халпина [45], в плоскости образца при этом возникает изгибающий момент и при деформировании образец принимает 1У-образную форму (рис. 2). [c.24]

Отметим, что выше были рассмотрены некоторые случаи упругой симметрии анизотропных тел в декартовой системе координат. В такой системе координат удобно рассматривать тела, обладающие так называемой прямолинейной анизотропией. Аналогично может быть описана локальная симметрия упругих свойств тел, обладающих криволинейной анизотропией в этом случае вместо декартовых используют триортогональную криволинейную систему координат [291. [c.13]

Полученные выше решения плос1снх задач теории упругости для гладких и кусочно-гладких криволинейных треш.ин могут быть использованы для определения траектории квазистатического роста треш.ины в хрупком теле. В общем случае предельное состояние может достигаться в вершинах трещины неодновременно. В дальнейшем будем предполагать, что исходная внутренняя треи1,ина антисимметрична относительно ее центра (или имеется ось симметрии), а приложенная нагрузка такова, что оба конца трещины растут одинаково. При этом достаточно описать продвижение одной из вершин трещины. В случае краевых или полубесконечных трещин их форма и приложенная к телу нагрузка могут быть произвольными. [c.67]

Мы можем получить дальнейшее упрощение, если допустим, что по отношению к каждой из плоскостей симметрии упругие свойства тела одинаковы. В таком случае выражение (с) для потенциальной энергии не должно изменяться при перемене оси хяау,у на z, или х на г. Этому условию мы удовлетворим, если положим си = саа = сзз с = g — ge саз == сга = = IS. Тогда [c.44]

Уравнения (10.1) упростятся, если тело обладает упругой симметрией и эти упрощения будут такими же, как и в случае прямолинейной анизотропии. Так, можно говорить о криволинейно-ортотропном теле, о теле, тран-сверсально-изотронном относительно какого-нибудь из направлений г], и т. д. С другой стороны, понятие криволинейной анизотропии можно обобщить и рассматривать криволинейно-анизотропные неоднородные тела, у которых коэффициенты у из уравнений (10.1) будут зависеть от координат точки. [c.66]

Рассмотрим более подробно плоскую задачу (которая, как было ранее указано, имеет два варианта) для ортотропного тела. В случае плоской деформации мы имеем упругое полупространство, нагруженное усилиями, распределенными равномерно по бесконечной прямой на ограничивающей плоскости. Предполагается, что в каждой точке имеются три плоскости упругой симметрии, параллельные координатным, из которых одна параллельна ограничивающей плоскости линия, по которой распределена нагрузка (ось z), нормальна ко второй плоскости упругой симметрии. В случае обобщенного плоского напряженного состояния рассматривается полубесконечная ортотроп-ная пластинка, нагруженная по краю. В том и в другом случае область тела (на плоскости ху) есть полуплоскость. В соответствии с этим мы будем называть исследуемое тело упругой полуплоскостью , как это делается в случае изотропной среды (см., например, [26]). [c.149]

Пусть тело обладает плоскостью упругой симметрии, с которой совместим координатную плоскость х х . Это означает, что если направление оси Ха изменить на противоположное, т. е. сделать замену координат ж = Xi, д = Xj, х з = —Хз, то упругий потенциал W (ец), не изменится. Поскольку при данной замене координат компоненты Ml и 2 вектора перемещения не меняются, а компонента з изменяет знак, т. е. u[ = ui, = и = —и , то в этом случае у компонент 8f/тензора деформации, для которых индекс 3 фигурйрует один раз, изменится знак, а остальные компоненты тензора деформации останутся неизменными [c.58]

Следовательно, в данном случае число упругих постоянных будет равно 9. Из рассмотрения матрицы (3.38) лe кo заметить, что при наличии у тела двух взаимно перпендикулярных плоскостей упругой симметрии (ZiX H х х обращаются в нуль также упругие постоянные ijhi, среди индексов которых встречается один или три раза индекв 1 . Отсюда следует, что если в теле имеют место две ортогональные плоскости упругой симметрии, то и ортогональная к ним третья плоскость также будет плоскостью упругой симметрии. [c.59]

Равенства (3.19) являются в теории трещин основными соотношениями, добавочными к уравнениям и условиям теории упругости. Эти соотношения, тесно связанные с идеей Гриффитса, были установлены и применены к решению многочисленных задач о равновесии и распространении трепщн Ирвином (1957 г.) и затем рядом других авторов. Полезно подчеркнуть, что для каждой отдельной трещины будет, вообще говоря, не одно, а два соотношения типа (3.19). В частных случаях, например, при наличии симметрии число существенных соотношений (3.19) сокращается. В общем случае соотношения (3.19) определяют не только длины трещин, но и их расположение в теле. [c.550]

Здесь Gij] l и К1щ — тензоры четвертого ранга. Величины Gijkl образуют тензор упругих податливостей, а функции Кцх1 представляют собой ядра ползучести. Б общем случае число независимых компонент тензора упругих модулей и тензора ядер ползучести] не превосходит 21. При наличии в теле плоскостей симметрии и осей симметрии различного порядка число независимых компонент тензоров и Gij l сокращается. В случае изотропной среды тензоры и не изменяются при преобразованиях симметрии и поворота системы координат. Из общего вида изотропного тензора четвертого ранга вытекает, что [c.18]

Таким образом, в трехмерном случае ортотропный материал имеет 12 упругих постоянных, из которых только 9 являются независимыми вследствие симметрии матрицы коэффициентов ягесткости для анизотропного тела. [c.161]

Анизотропность кристаллов. Вследствие кристаллического строения металлы в пределах зерна или в случае монокристалла в пределах всего тела обладают свойством анизотропности, состоящим в том, что важнейшие механические и физические характеристики являются в каждой точке тела функциями параметров направления. Материал в отношении всех своих механических и физических свойств обладает симметрией, зависящей от симметрии кристаллографической формы. На рис. 4.4 показаны векторные диаграммы (поверхности) коэ(1х зициентов растяжения двух разных кристаллов. В чистом железе модуль упругости ГГодна из с й четвеГтого поряд В направлении пространственной диа- [c.230]

Очевидно, что система из шести указанных винтов характеризует структуру упругой подвески, тела т. е. системы пружин. В частных случаях система может быть симметричной относительно одной из плоскостей — в этом случае оси двух из винтов пересекаются и параметры этих винтов равны нулю при системе, имеющей две плоскости симметрии, две оси винтов пересекают третью возможна квазисимметричная система, в которой оси шести указанных винтов представляют две совпадающие взаимно перпендикулярные тройки, причем параметры этих винтов не равны нулю. В последнем случае подвеска имеет центр упругости, а оси винтов суть главные оси упругости. [c.254]

Р. с. в твёрдых тел ах существенно отличается от Р. с. в жидкостях или растворах, что связано с большим разнообразием слабозатухающих флуктуаций в виде упругих волн. В аморфном твёрдом теле могут распространяться два типа звуковых волн с разными скоростями продольные, как в жидкости, и поперечные. С ними связаны два дублета в тонкой структуре рэлеевской линии, а центр, компонента спектра рэлеев-ской ЛИВИИ, обусловленная беспорядочным расположением молекул в аморфной среде, очень узка из-за медленной (вследствие диффузии) зволюцип беспорядка. В спектрах Р. с. в кристаллах центр, компонента практически исчезает, а общее число компонент тонкой структуры определяется симметрией кристалла и условиями рассеяния углами падения и рассеяния, поляризациями падающей и рассеянной волн. В анизотропнох кристалле максимально возможное число компонент тонкой структуры 24 одна продольная и две поперечные упругие волны порождают 3 дублета, в к-рых каждая линия расщепляется в общем случае на 4 компоненты [c.282]

Основными задачами теории упругости являются конкретизация соотношений (VIII. 1) для различных случаев упругой симметрии тела установление физического смысла упругих коэффициентов с целью определения их из опытов составление замкнутой системы уравнений, описывающей напряженно-деформированное состояние тела при его упругой деформации разработка методов решения этой системы уравнений для тел различной формы (призматические тела, стержневые системы, плиты, пластинки, тонкие оболочки и др.). [c.180]

Между различными характеристиками упругости ортотропных тел существуют обязательные соотнощения, вытекающие из условия существования упругого потенциала. Соотношения могут служить для проверки корректности экспериментальных данных, если упругость материала и его ортогональная симметрия установлены. В случае надежных экспериментальных данных эти соотношения подтверждают возможность отнесения материала к упругоортотропным средам. [c.47]

Пусть структура анизотропного тела такова, что в любой его точке упругие свойства эквивалентны в любых двух направлениях, симметричных относительно некоторой плоскости. Такую плоскость называют плоскостью упругой симметрии. Совместим с плоскостью упругой симметрии систему координат ох/х2 хз так, чтобы ось 0X3 была перпендикулярна плоскости (рис. 2.7). Затем перейдем к системе координат 0х,х,хз, симметричной относительно плоскости упругой сжмгтрии. В этом случае направляющие косинусы будут /п = 22= — зз= 1> = а матрица преобразований р согласно (2.61) будет [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...