Симметрия упругая — Случаи

В качестве второго примера рассмотрим упругий элемент регулятора угловой скорости вращения (рис. 5.3,а). В этом случае можно воспользоваться симметрией упругого элемента и рассмотреть только его половину (рис. 5.3,6) —от точки закрепления А до точки В, где находится сосредоточенная масса М в сечении В запрещен угол поворота упругого элемента. На упругий элемент действуют распределенная нагрузка [c.190]

Таким образом, в случае, когда тело имеет одну плоскость симметрии упругих свойств, число упругих постоянных уменьшается до 13. [c.67]

В данном случае постоянную С можно определить несколько иным способом, чем в предыдущих задачах, воспользовавшись тем, что в силу симметрии упругой линии касательная к ней посередине пролета горизонтальна (см. рис. 6-30), 1-, . е [c.135]

Рассмотренные выше примеры симметрии упругих свойств являются частными случаями наиболее общего анизотропного упругого тела, характеризуемого 21 упругой постоянной. Самое последнее упрощение можно установить еще следующим образом. Будем считать, что выражение для упругого потенциала инвариантно относительно выбора координатных осей (в этом случае среда называется изотропной). Чтобы получить при этом ограничения на коэффициенты, достаточно повернуть координатную систему, например, около оси г на малый угол со. Новые оси х, у, г будут составлять со старыми осями углы, опреде- [c.222]

Рассмотрим еще плоскую задачу теории упругости для анизотропного тела. Пусть в каждой точке пластинки имеется плоскость симметрии упругих свойств, параллельная срединной плоскости. Как и в изотропном случае (см. 4 гл. III), будем полагать, что усилия, приложенные к краям пластинки, действуют в срединной плоскости. Тогда, переходя к усредненным по толщине пластинки величинам, получаем соотношения между деформациями и напряжениями [c.664]

В случае нелинейного участка деформирования структура матрицы (6.4) будет характеризовать симметрию упругих свойств материала на малых приращениях Ае . [c.198]

Плоскость упругой симметрии. Если в анизотропном теле его упругие свойства идентичны в любых двух направлениях, симмет-ричных относительно некоторой плоскости, то такая плоскость называется плоскостью упругой симметрии. В "этом случае число независимых коэффициентов, описывающих свойства материала, сокращается до тринадцати [29], а закон Гука принимает более простой вид при совмещении одной из координатных плоскостей с плоскостью упругой симметрии. Например, совместив с плоскостью [c.9]

Надлежащий выбор системы координат позволяет существенно упростить исходные матрицы податливости и жесткости, если материал обладает симметрией упругих свойств. Рассмотрим, например, композиционный материал, состоящий из упругого связующего, регулярно армированного в одном направлении упругими волокнами (рис. 1.2). Для описания деформационных свойств такого материала можно воспользоваться моделью однородного анизотропного упругого тела. В произвольно ориентированной системе координат матрица податливости (и жесткости) будет целиком заполненной, а число подлежащих определению независимых коэффициентов не ясным. В системе координат (Xi, х , х ) плоскость (х , Xs) можно считать плоскостью упругой симметрии матрица коэффициентов податливости в этом случае будет иметь структуру (1.11). Еще более полно симметрия упругих свойств рассматриваемого материала выявляется в системе координат (х1, хг, Xj) плоскость х, Хг) тоже можно считать плоскостью упругой симметрии. Следовательно, теперь все координатные плоскости — плоскости упругой симметрии, материал является ортотропным и матрица коэффициентов податливости имеет структуру (1.12). Более того, при равномерном распределении армирующих волокон допустимо считать, что упругие свойства во всех направлениях в плоскости (x l, Хз) идентичны. Теперь становится ясным, что рассматриваемый материал является трансверсально изотропным, матрицы его коэффициентов податливости имеют вид [c.13]

Г. Вассерман и И. Гревен [5] различают в металлах волокнистые текстуры, возникающие при протяжке проволоки, и текстуры прокатных листов металла, лент или фольги, которые характеризуются приближенно тремя плоскостями упругой симметрии. В идеальном случае [c.132]

В предыдущих параграфах мы пользовались сингулярным решением для изотропного упругого тела, хотя в большинстве практических случаев рассматриваемые материалы обладают сильно анизотропными упругими свойствами (например, слоистые и армированные материалы, а также большинство материалов естественного происхождения). Возрастание анизотропии сказывается на уменьшении симметрии в упругих свойствах и увеличении числа упругих постоянных, связывающих напряжения и деформации в точке такого тела. В теории упругости анизотропной среды показано, что произвольный анизотропный материал, не обладающий плоскостями симметрии упругих свойств, можно охарактеризовать 21 независимой упругой постоянной [19,20]. Использованную в этом случае форму закона Гука лучше всего продемонстрировать, записав шесть независимых компонент деформаций и напряжений для трехмерного случая в виде векторов j и е и заметив, что наибо-лее общее линейное соотношение между ними представляется в виде матрицы упругих податливостей [С] размером 6x6, откуда [c.125]

Будем считать, что высота балки А незначительна по сравнению с длиной пролета (А < /, 5) в случае, если Л > //5, получаем так называемую балку-стенку, анализ напряженного состояния которой производится лишь методами теории упругости. Вместе с тем считаем, что сечение балки не очень мало (Л > 1/50/) для создания достаточно жесткого элемента конструкции. Нагрузку Я полагаем действующей в плоскости симметрии в противном случае будем иметь более сложный вид деформации при изгибе. [c.146]

В анизотропных упругих средах закономерности волновых движений в общем случае для любого направления выявить весьма сложно. Поэтому рассматриваются некоторые направления связанные с симметрией упругих свойств кристаллов. Характеристическое уравнение для направления (1,0,0), как и для [c.54]

Говорят, что в некоторой точке существует ось симметрии упругих свойств порядка М, если существует набор направлений эквивалентных упругих свойств, которые могут быть совмещены поворотом около оси на угол 2я/Л . Некоторые случаи осевой и плоской симметрии эквивалентны. [c.203]

Симметрия упругая — Случаи 23—25 Системы кольцевые — см Кольцевые системы [c.825]

Симметрия упругая — Случаи 23—25 [c.828]

Пусть цилиндрическая оболочка, изготовленная из слоистого пластика, подвергается действию равномерного осевого сжатия (рис. 89). Исследуем и в этом случае вопрос о выборе оптимальной структуры слоистого пластика, которая реализует наибольшую несущую способность оболочки при заданном весе. Здесь также следует рассмотреть два возможных вида симметрии упругих свойств слоистого пластика, которые соответствуют косой однозаходной и косой перекрестной намоткам. [c.227]

Здесь р - функция в общем случае произвольного вида. Однако, для многих моделей сред, обладающих разными формами симметрий упругих свойств, ее вид может быть конкретизирован. В частности, такая конкретизация проводится в следующем параграфе для сред с малыми деформациями и анизотропией. Параметр д всюду в дальнейшем считается настолько малым, что членами порядка д" пренебрегается. При рассмотрении волн с малой (порядка е) амплитудой членами де также будем пренебрегать по сравнению с единицей. Таким образом, эффекты анизотропии будут считаться малыми и будут учитываться только в главном порядке. [c.133]

Уц , У(/ > У/к , Уц , Уу , У 1к связаны между собой неявным образом. Поэтому задача определения 21 значения компонент матрицы Сцд дпя триклинной системы упругой симметрии чрезвычайно сложна. Такая задача практически неразрешима в случае, если пространственное положение осей и плоскостей симметрии упругой среды заранее неизвестно [ 28,33,34]. [c.21]

Наконец, рассмотрим отражение и преломление плоской монохроматической упругой волны на границе раздела между двумя различными упругими средами. При этом надо иметь в виду, что при отражении и преломлении характер волны, вообще говоря, меняется. Если на границу раздела падает чисто поперечная или чисто продольная волна, то в результате получаются смешанные волны, содержащие как поперечные, так и продольные части. Характер волны не меняется (как это явствует из соображений симметрии) только в случае перпендикулярного падения волны на поверхность раздела и в случае падения под произвольным углом поперечной волны с параллельными плоскости раздела колебаниями. [c.753]

Наличие таких равенств приводит к тому, что в общем случае число независимых компонент тензоров упругих модулей сокращается с 36 до 21 — столько констант имеет твердое тело, не обладающее никакой симметрией. [c.126]

Упругие свойства анизотропного тела можно охарактеризовать некоторыми упругими константами так же, как упругие свойства изотропного тела можно характеризовать двумя константами — модулем Юнга и модулем сдвига. Однако для анизотропного тела этих констант существует не две, а больше — 21 в самом общем случае. Число констант уменьшается, если анизотропное тело обладает некоторой симметрией (в некоторых направлениях свойства тела одинаковы). [c.475]

Различные случаи упругой симметрии тела [c.66]

Симметричность структуры анизотропных тел приводит к связям между коэффициентами упругости. Мы рассмотрим некоторые частные случаи упругой симметрии. [c.66]

Структура анизотропного тела может обладать некоторой упругой симметрией, в каждой точке тела обнаруживаются симметричные в отношении упругих свойств направления. В этих случаях оказывается возможным выбрать такую ориентацию осей координат, при которой некоторые упругие постоянные оказываются равными нулю или линейно зависящими от других упругих постоянных. [c.58]

Заканчивая изложение вопроса о специальных представлениях статических задач теории упругости, остановимся на частном случае наличия осевой симметрии. Напомним представление Папковича—Нейбера [c.293]

Из соображений симметрии следует, что формулы (1.17), (1.19) дают рещение задачи для слоя толщины /г, на нижней стороне которого г = О касательные напряжения и нормальная компонента смещений равны нулю (иными словами, упругий слой покоится на гладком жестком основании). Остановимся на случае, когда граничные значения касательных напряжений обращаются в нуль [31]. Приведем выражение для компоненты смещения т [c.459]

Мы рассмотрим здесь простейший случай кручения ортотропного стержня, для которого координатные плоскости служат плоскостями упругой симметрии. Согласно 8.2 в этом случае [c.308]

В анизотропных телах положение осложняется в тех случаях, когда анизотропия криволинейна. Например, цилиндр, изготовленный из стеклопластика или углепластика путем намотки, ортотропен, но упругие свойства его обладают цилиндрической симметрией, в цилиндрических координатах модули упругости и коэффициенты температурного расширения постоянны. Но при переходе к декартовым координатам тензоры Ei и а будут уже не постоянными, а функциями координат Ха, поэтому даже равномерное температурное ноле вызовет напряжения. Эта задача легко решается методом, совершенно подобным тому, который был применен в 8.12 для трубы из изотропного материала. Присваивая радиальному направлению индекс единицы, мы запишем уравнение упругости в форме (10.6.4). Теперь уравнение для функции напряжений оказывается следующим [c.385]

Если тело обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии упругих свойств, то такое тело называют ортогоналъно-ортотропным или просто ортотропным. Для ортотропного тела число упругих постоянных снижается до 9. В случае ортотропного тела линейные деформации тела (б ,, е , вг) зависят только от нормальных напряжений (о. Су, Сг) и не зависят от касательных напряжений (V, т , Хху). При этом угловые деформации ( , гх, ху) пропорциональны соответствующим касательным напряжениям (туг, Тг Тц,) и не зависят от величины нормальных напряжений. [c.39]

Численные оценки, приведенные в табл. 6.25, позволяют установить приближенные границы предельных напряжений в компонентах материала в зависимости от вида нагружения и направления вырезки образцов. Происходит перераспределение напряжений в матрице и волокне вследствие изменения вида нагрузки, действующей на образец, вырезанный в направлении главной оси упругой симметрии 1. В случае его сжатия при максимальных напряжениях расслоение происходит в матрице, при кручении в большей степени напряжены волокна. Наиболее близкими к предельным напряжениям в вблокне 83 МПа [c.199]

На рис. 2.14 показана слоистая пластина, составленная из двух одинаковых простых пластин, обозначенных соответственно индексами 1 и 2. Направления армирования прострлх пластин пересекаются под углом 20. Выберем оси координат таким образом, чтобы ось х делила угол 20 пополам, а ось у располагалась перпендикулярно оси х. Эти оси можно рассматривать как оси симметрии упругости. Положим, что две простые пластины идеально соединены друг с другом. Контактирующие поверхности не могут скользить. В таком случае простые пластины являются взаимно связанными и находятся в одном и том же напряженном состоянии. Когда на слоистую пластину в направлении х действует растягивающее напряжение в каждом слое появляются напряжения, обусловленные тем, что направления армирования слоев отличаются от направления х. Эти напряжения [c.41]

Отметим, что выше были рассмотрены некоторые случаи упругой симметрии анизотропных тел в декартовой системе координат. В такой системе координат удобно рассматривать тела, обладающие так называемой прямолинейной анизотропией. Аналогично может быть описана локальная симметрия упругих свойств тел, обладающих криволинейной анизотропией в этом случае вместо декартовых используют триортогональную криволинейную систему координат [291. [c.13]

Рассмотрим соотношения упругости. Пусть обшивки трехслойной конструкции представляют тонкие многослойные оболочки. Будем считать, что каждый отдельный слой обшивки выполнен из ортот-ропного материала и оси упругой симметрии в общем случае не совпадают с- направлениями координатных линий. Для линейно упругого материала связь напряжений с деформациями будет подчиняться обобщенному закону Гука, который в случае плоского напряженного состояния можно представить как [c.200]

Между различными характеристиками упругости ортотропных тел существуют обязательные соотнощения, вытекающие из условия существования упругого потенциала. Соотношения могут служить для проверки корректности экспериментальных данных, если упругость материала и его ортогональная симметрия установлены. В случае надежных экспериментальных данных эти соотношения подтверждают возможность отнесения материала к упругоортотропным средам. [c.47]

Мы можем получить дальнейшее упрощение, если допустим, что по отношению к каждой из плоскостей симметрии упругие свойства тела одинаковы. В таком случае выражение (с) для потенциальной энергии не должно изменяться при перемене оси хяау,у на z, или х на г. Этому условию мы удовлетворим, если положим си = саа = сзз с = g — ge саз == сга = = IS. Тогда [c.44]

Если в каждой точке тела имеется плоскость упругой симметрии такая, что любые два направления, симметричные относительно этой плоскости, являются эквивалентными в отношении упругих свойств, то число независимых упругих постоянных сокращается до 13 [91]. Если в каадой точке тела имеются три ортогональные плоскости упругой симметрии (тело ортотропное), то число неизвестных упругих постоянных уменьшается до девяти. У трансверсально-изотропного тела существует плоскость упругой изотропии, так что все направления, перпендикулярные ей, эквивалентны, значит, число упругих постоянных равно пяти. Изотропное тело характеризуется эквивалентностью всех направлений, т. е. любая плоскость есть плоскость упругой симметрии. В этом случае число неизвестных независимых упругих постоянных равно двум, поскольку а .у= [c.70]

Применяемые в технике слоистые пластики в большинстве случаев обладают симметрией упругих свойств, т. е. представляют собой ортотропные материалы, однако их главные направления анизотропии могут и не совпадать с направлениями осей координат, и, следовательно, возникает необходимость рассматривать соотношения упругости, соответствующие общему случаю анизотропии. Для ортотропных материалов имеются надежные методы определения необходимых механических характеристик в двух главных направлениях анизотропии. Кроме того, необходимо знать принципиально новые характеристики слоистого ортотроп-ного материала, с которыми в изотропных однородных оболочках обычно не приходится иметь дело, а именно пределы прочности при скалывании по слою и предел прочности на отрыв в поперечном направлении. Эти новые характеристики слоистых пластиков связаны с пх структурной неоднородностью и существенным различием упругих и прочностных свойств при различных видах нагружения. [c.4]

Уравнения (3.4) и (3.5) описывают изменения гармонических амплитуд сдвиговых колебаний, прошедших образец, изготовленный из среды, проявляющей поперечно-изотропную симметрию упругих свойств и эффект линейной анизотропии поглощения, соответственно в первом случае, когда векторы поляризации излучателя и приемника параллельны, а во втором, - скрещены под углом 90". При проведении экспериментальных наблюдений ЭЛАП измерения амплитуды огибающей сумарного колебания удобнее всего осуществлять на входе приемного преобразователя. При наличии эффекта амплитуда огибающей в положении ВП, уравнение (2.13), с учетом множителя (3.2) будет равна [c.45]

Разрешающие уравнения (9.17) получены в предиоложении изотропии материала пластины. Для пластин из ортотропного материала (в том случае, когда оси упругой симметрии совпадают с осями х, у) уравнения, аналогичные уравнениям (9.17), записываются следую- [c.278]

Пусть тело обладает плоскостью упругой симметрии, с которой совместим координатную плоскость х х . Это означает, что если направление оси Ха изменить на противоположное, т. е. сделать замену координат ж = Xi, д = Xj, х з = —Хз, то упругий потенциал W (ец), не изменится. Поскольку при данной замене координат компоненты Ml и 2 вектора перемещения не меняются, а компонента з изменяет знак, т. е. u[ = ui, = и = —и , то в этом случае у компонент 8f/тензора деформации, для которых индекс 3 фигурйрует один раз, изменится знак, а остальные компоненты тензора деформации останутся неизменными [c.58]

Следовательно, в данном случае число упругих постоянных будет равно 9. Из рассмотрения матрицы (3.38) лe кo заметить, что при наличии у тела двух взаимно перпендикулярных плоскостей упругой симметрии (ZiX H х х обращаются в нуль также упругие постоянные ijhi, среди индексов которых встречается один или три раза индекв 1 . Отсюда следует, что если в теле имеют место две ортогональные плоскости упругой симметрии, то и ортогональная к ним третья плоскость также будет плоскостью упругой симметрии. [c.59]

Следует иметь в виду, что при наличии у тела нлоскостей упругой симметрии число упругих постоянных сокращается только при совмещении координатных плоскостей о плоскостями упругой еимметрии. Если координатные плоскости не совпадают, например, о ортогональными плоскостями упругой симметрии ортотропного тела, то число упругих постоянных будет равно 21, т. е, как и в общем случае анизотропного тела. [c.59]

Второй способ расчета приводит к большим допустимым нагрузкам, нежелп первый (при а = 30° на 19%). Заметим, что для определения предельного состояния системы, т. е. нагрузки Р , нет необходимости прослеживать поведение системы в упругой области и последовательность перехода ее элементов в пластические состояния. В данном случае в предельном состоянии все три стержня текут, поэтому достаточно положить Ni = Ni — N3 — a F и составить уравнение равновесия, мы получим формулу (2.5.5). Так получилось вследствие симметрии системы, вообще же, для возможности общего течения достаточно, чтобы напряжения достигли предела текучести в двух стержнях. В случае, изображенном на рис. 2.3.3, заранее не известно, какой стержень потечет первым, какой вторым и который из трех остается упругим. Поэтому, казалось бы, для такой задачи необходимо повторить проделанный выше анализ, который, естественно, окажется более сложным вследствие асимметрии системы. Но в предельном состоянии могут быть только три воз-люжности [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...