Переменные годографа. Уравнение Чаплыгина

Плоские и осесимметричные стационарные течения. Функция тока. Естественная система координат. Физический смысл функции тока. Теорема Крокко о вихрях. Образование завихренности в потоке сжимаемого газа за счет ударных волн переменной интенсивности. Потенциальные течения, уравнение для потенциала. Переменные годографа. Уравнение Чаплыгина. [c.124]

Переменные годографа. Уравнение Чаплыгина [c.130]

Оказывается, что в переменных годографа плоское потенциальное движение газа описывается линейным уравнением. Под переменными годографа обычно понимают переменные, связанные так или иначе со скоростью движения газа. Это могут быть либо компоненты и, V, либо модуль и угол скорости и>, О, либо их некоторые комбинации. Ниже приводится уравнение для описания плоского потенциального движения газа, известное в литературе как уравнение С.А.Чаплыгина. [c.130]

Рассмотренный случай плоского течения имеет методический характер. Практически важным является осесимметричное течение. В 3 гл. 4 приведено уравнение в переменных годографа, описывающее осесимметричное течение. Оно представляет собой обобщенное уравнение Чаплыгина с нелинейной правой частью, содержащей якобиан преобразования в плоскость годографа и значение расстояния от оси симметрии в физической плоскости. [c.107]

Групповое свойство. Представляет интерес рассмотрение системы (23) с групповой точки зрения. При это.м выявляется принципиальное различие в случаях г/ = О и г/ = 1. Так как при и = О система (23) становится линейной в переменных годографа, то она допускает бесконечную группу преобразований, действие которой сводится к сложению и умножению на числа любых решений уравнения (40) или (47). Именно это свойство и делает метод годографа эффективным при исследовании плоскопараллельных течений. Кроме того, в случае и = Q система (23) допускает однопараметрическую группу вращений (8.5.7°). Следствием этого является тот факт, что коэффициенты уравнений С. А. Чаплыгина (45)-(47) не содержат угловой координаты в. В случае же г/ = 1 система (23) не допускает ни бесконечной группы, ни группы вращений. Если эти группы преобразований во внимание не принимать, то при любом I/ остаются допускаемые системой (23) однопараметрические группы переносов по X (в случае и = О также и переносов по у) и растяжений с одним параметром а (здесь штрихом обозначены координаты преобразованной точки) [c.234]

Плоскость инвариантов Римана. Для анализа сверхзвуковых течений общего характера иногда целесообразно рассматривать величины ф и ф как искомые функции независимых переменных г п I. Плоскость Д (г, i) называется плоскостью инвариантов Римана (фактически она является деформированной плоскостью годографа). Ясно, что соответствующие дифференциальные уравнения могут быть выведены непосредственно из уравнений Чаплыгина (22.46) в области их гиперболичности путем перехода к характеристическим переменным (12). Однако проще всего вывести их из уравнений характеристик (14) (при и = 0) тем же приемом, каким были получены уравнения (16.46). [c.272]

Оказывается возможным свести поставленную задачу к решению всего одного линейного уравнения в частных производных (С. А. Чаплыгин, 1902). Это осуществляется путем преобразования к новым независимым переменным — компонентам скорости Vx, Vy (это преобразование часто называют преобразованием годографа плоскость переменных Vx, Vy называют при этом плоскостью годографа, а плоскость х, у — физической плоскостью). [c.607]

Фундаментальное значение для развития современной газовой динамики имело установленное С. А. Чаплыгиным ) в его докторской диссертации, защищенной в 1904 г., преобразование общих уравнений к независимым переменным в плоскости годографа. Этот переход из физической плоскости в плоскость годографа скоростей приводит к замечательному результату нелинейные уравнения газовой динамики становятся линейными. [c.251]

Чаплыгин исследовал установившееся безвихревое дозвуковое течение нетеплопроводного идеального газа, для которого плотность и давление связаны законом адиабаты. Использование интеграла Бернулли и уравнения неразрывности приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям для потенциала скоростей и функции тока в плоскости ху (физическая плоскость). Чаплыгин предложил метод линеаризации выведенных им уравнений, основанный на преобразовании годографа он вводит новые независимые переменные 0 и т = F /2p, где 0 и F — полярные координаты скоро- [c.310]

В методе годографа С. А. Чаплыгина [108] в качестве независимых переменных рассматриваются компоненты скорости. В этих переменных плоские потенциальные течения описываются линейными уравнениями, однако соответствующие краевые задачи оказываются линейными лишь для узкого класса течений с заранее известной областью определения в плоскости годографа (обтекание клина, струйные течения). И все же метод годографа продолжает использоваться в газодинамике как при качественных исследованиях, так и при решении задач численными методами. [c.28]

Полученные уравнения являются уравнениями движения в плоскости годографа скорости (в полярных координатах и и 0). Эти уравнения линейны, так как коэффициенты при производных являются функциями только независимых переменных. Таким образом, исключительная важность метода С. А. Чаплыгина заключается в том, что преобразование уравнений движения к плоскости годографа скорости точно линеаризует нелинейные уравнения движения газа в физической плоскости течения. [c.404]

Проблема исследования течений сжимаемой жидкости приобрела большую актуальность в связи с ростом скоростей в авиации в конце тридцатых — начале сороковых годов. К этому времени уже был разработан ряд методов теоретического анализа этой проблемы метод итераций, основанный на разложении решения в степенные ряды по квадрату числа Маха невозмущенного потока (Рейли — Янцен, 1913—1916) теория тон-КОГ0 тела, базирующаяся на линеаризации уравнений газовой динамики (Прандтль — Глауерт, 1926—1930) метод годографа скорости, основанный на линеаризации уравнений плоских течений газа путем преобразование их к переменным годографа (С. А. Чаплыгин, 1902). Эти методы и были положены в основу многочисленных исследований, посвященных изучению обтекания крыльев и тел при дозвуковых скоростях. [c.98]

Значительные результаты в исследовании плоских потенциальных установившихся движений газа были получены на основе обобщения метода Чаплыгина перехода к переменным годографа в качестве независимых переменных). Уже в тридцатах годах были достигнуты хорошие результаты в применении приближенного метода Чаплыгина к задачам дозвукового обтекания тел. Приближенный метод Чаплыгина для расчета адиабатических потенциальных движений газа, как известно, основан на замене истинной адиабатической связи между давлением р и плотностью р линейной связью между р и 1/р. При этом уравнение для потенциала скорости ф или функции токал ) в специальным образом преобразованных [c.162]

Метод годографа. Несмотря на относительную простоту уравнений (42.9) или (45.4), их применение приводит к серьезным затруднениям, обусловленным нелинейностью этих уравнений. Моленброк ) в 1890 г. заметил, что дифференциальные уравнения движения становятся линейными, если перейти к плоскости годографа, где роль независимых переменных играют компоненты скорости и, V (или д и ). Этот метод был использован Чаплыгиным в его знаменитой работе о газовых струях З) и стал затем классическим мето- [c.126]

Многие авторы обсуждали возможности электрического моделирования течений газа, особенно целесообразного для уравнений вида (4.6) в области годографа скорости. Примеры осуществления этой аналогии в ванне переменной глубины (обратно пропорциональной У К), выполненные в 1949 г. А. М. Люксембургом, показали, что в реальных условиях аппаратурные погрешности моделирования не ниже принципиальных погрешностей приближенного метода Чаплыгина. Поэтому практическое применение моделирование получило только для конформного отображения - [c.131]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...