Вектор в римановом пространстве

Вектор в римановом пространстве 809 [c.821]

Истинный вектор в римановом пространстве преобразуется в соответствии с формулой (9.15), (9.15 ) [c.254]

Понятие гиперболичности служит матем. выражением и конкретизацией свойства локальной неустойчивости траекторий. Обычно предполагается, что фазовым пространством системы служит нек-рое риманово многообразие (см. Риманово пространство) X, а динамика задаётся гладким отображением Т = Т Х- Х (случай каскада) или гладким векторным полем на X (случай потока). Наличие римановой структуры позволяет измерять длины кривых и объёмы подмножеств, принадлежащих X, а также длины векторов в касательных пространствах к X. Гиперболичность — это свойство отд. траекторий 0(х) = Т х , формулируемое в терминах касательных отображений (решений ур-ний в вариациях — в случае потока), отвечающих ДС Г . Его смысл в том, что при каждом г имеется три типа поведения точек, бесконечно близких к точке Т х при своём дальнейшем движении под действием ДС точки первого типа с экспоненциальной скоростью сближаются с траекторией точки х, точки второго типа с экспоненциальной скоростью удаляются от неё, а точки третьего (нейтрального) типа ведут себя промежуточным образом. Этим трём типам поведения отвечает представление касательного пространства к А" в точке Т х в виде прямой суммы подпространств, переходящих друг в друга вдоль траектории под действием касательных отображений. В случае каскада точек нейтрального типа может не быть совсем, а в случае потока они всегда есть — из таких точек состоит сама траектория 0(х). При изменении направления времени точки первого и второго типа меняются ролями, а точки третьего типа сохраняются. [c.631]

Вспоминая, что импульсы р являются ковариантными составляющими вектора скорости v изображающей точки в римановом пространстве с метрикой кинематического элемента можно первую группу уравнений (14) записать также в виде [c.742]

В случае устранимых гравитационных полей такое обобщение представляет собой довольно тривиальное распространение понятий вектора и тензора на общие криволинейные системы координат, сама же геометрия пространства — времени остается такой же, как и в СТО. Однако в общем случае неустранимых полей сама структура пространства — времени уже другая, и необходимо развитие тензорного исчисления уже в римановом пространстве. Формально различие между этими двумя случаями не очень велико, и, как мы увидим, большая часть тензорных соотношений, справедливых для криволинейных координат в плоском пространстве, может быть использована и в произвольном кривом пространстве. [c.214]

Эти координаты полностью аналогичны координатам, введенным в 1 гл. 8. Из формул (2.5) следует, что единичные векторы в], 2 переносятся параллельно вдоль луча, если параллельный перенос понимать как параллельный перенос в римановом пространстве, метрика в котором определена da [c.269]

Подобно тому как движение механической системы можно заменить движением одной частицы в некотором -мерном римановом пространстве, причем инерция всей системы входит в кинетическую энергию этой воображаемой частицы, так и динамическое действие всех сил может быть представлено с помощью одного вектора, действующего на эту частицу. Этот вектор имеет п компонент в соответствии с числом измерений пространства конфигураций. Компоненты вектора определяются аналитически как коэффициенты инвариантной дифференциальной формы первого порядка, которая выражает полную работу всех действующих сил при произвольном бесконечно малом изменении положения системы. [c.51]

Координаты Римана определяются как произведения единичных векторов i , касательных к геодезическим линиям данного пространства, проходящи.м через начало координат, на путь S х = S (/ = 1, 2,..., п). В этих координатах уравнение геодезических линий имеет простой вид d xi dS = О, причем ковариантные производные от тензоров сводятся к обы ным производным. Подробнее см. П. К. Р а ш е в с к и й. Введение в риманову геометрию и тензорный анализ, изд. 1-е, ОНТИ, 1935, стр. 95. [c.911]

Для описания событий, происходящих в сплошной среде, выбирается некоторая система отсчета. Чаще всего это инерциальная система отсчета х [1]. Одномерное пространство называется временным О < оо, а трехмерное евклидово пространство — координатным. В всегда можно ввести прямоугольную декартову систему координат, благодаря чему любая точка пространства описывается радиусом-вектором г = где к — векторы ортонормированного базиса. Координаты Xi называются пространственными. (В качестве пространственных координат могут быть выбраны, разумеется, и криволинейные координаты [2]). Иногда приходится вместо рассматривать риманово пространство, а иногда и более общее — пространство аффинной связности [3]. [c.636]

Вопрос о разыскании евклидова пространства Е , в котором содержится риманово пространство / , определяемое заданием квадрата линейного элемента, т. е. составляюш.их метрического тензора сводится к нахождению в Е вектора р(д , q ) по уравнениям (П. 12.6), левые части которых считаются известными [c.811]

Элементы теории монотонных векторных полей. Рассмотрим семейство достаточно гладких векторных полей 9 в области В двумерной ориентированной римановой поверхности. В касательном пространстве Т р каждой точки д еВ можно измерять углы между векторами рассматриваемого семейства. [c.109]

Д. Риманово многообразие. Если М — вложенное в евклидово пространство многообразие, то метрика евклидова пространства позволяет измерять на М длины кривых, углы между векторами, объемы и т. п. [c.75]

Задача. Докажите, что параллельное перенесение векторов из одной точки риманова многообразия в другую вдоль фиксированного пути является Линейным изометрическим оператором из касательного пространства в первой точке в касательное пространство во второй точке. [c.271]

В целях дальнейшего обобщения удобнее рассматривать RH как подмножество вещественного п-мерного проективного пространства RP" прямых, проходящих через начало координат в R" , при отождествлении точки р из верхней половины гиперболоида с прямой, проходящей через начало координат и содержащей V- Риманова метрика, конечно же, не совпадает с метрикой, индуцированной этим отождествлением, но касательные векторы к RH отождествляются с касательными векторами к RP . Гиперболическое расстояние определяется следующим образом. Двум точкам гиперболического пространства соответствуют две прямые в R" + . Плоскость, определяемая ими, пересекает конус Q = 0 еще по двум прямым. Гиперболическое расстояние тогда равно логарифму двойного отношения четырех точек в проективном пространстве, соответствующих этим четырем прямым. [c.557]

Следовательно, формулу (9.32) можно принять в качестве определения нормы вектора и в общем римановом пространстве. В соответствии с (9.16) и (9.17) выражение (9.32) моншо представить в различных формах [c.217]

Очевидно, дэ дц так же как и дЭ)]дц , будет вектором разложим его по э . В случае евклидова пространства и в более общем случае римановых пространств верна формула [c.82]

Рассмотрим гиперповерхность дМ в М — римановом многообразии с краем. Точки фазового пространства Т М будем называть векторами. Риманова метрика определяет гиперповерхность векторов длины 1 в фазовом пространстве. Поверхность дМ определяет в фазовом пространстве гиперповерхность векторов, приложенных в точках дМ. [c.198]

В развитой здесь теории не имеет смысла вопрос о том, ортогонально или неортогонально пересекаются лучи и поверхности. Мы не имеем римановой метрики в пространстве QT, а понятие ортогональности кривой и подпространства неинвариантно относительно преобразований координат. Однако это возражение не относится к вектору импульса— энергии у , так как это — ковариантный [c.245]

Натуральная механическая система — это тройка М,Т,У), где N—гладкое многообразие (пространство положений), Т — риманова метрика на N (кинетическая энергия), V — гладкая функция на N (потенциал силового поля). Движения такой системы — гладкие отображения К —> Л , являющиеся экстремалями функционала действия Ь[д 1),д 1)) <И, где д 1) — касательный вектор к в точке д[1), Ь — Т — V — функция Лагранжа. Изменение со временем локальных координат д на. N описывается уравнением [c.23]

В. Гамильтоновы векторные поля. Риманова структура на многообразии устанавливает изоморфизм между пространствами касательных векторов и 1-форм. Симплектическая структура также устанавливает подобный изоморфизм. [c.177]

Итак, пусть I, т] из ТМ — касательные к риманову многообразию М в точке X векторы. Построим на М малый криволинейный параллелограмм Пе- (Стороны параллелограмма Пе получаются из векторов е , ет) касательного пространства при координатном отождествлении окрестности нуля в ТМ . с окрестностью точки X на М). Рассмотрим параллельное перенесение вдоль сторон параллелограмма Пе (обход начинаем с ). [c.272]

Кинетическая энергия тела определяется вектором угловой скорости в теле и не зависит от расположения тела в пространстве. Следовательно, кинетическая энергия задает левоинвариантную риманову метрику на группе. Задающий эту метрику симметрический положительно определенный оператор Ag. TGg -V T Gg называется оператором (или тензором) инерции-, он связан с кинетической энергией формулой [c.289]

Таким образом, векторы является (1,0)-тензорами, 1-формы — (0,1)-тензорами, а римановы метрики, которые вводятся в определении П 4.4, — (О, 2)-тензорами. Базис в пространстве 1-форм на ТрМ может быть задан формами х , которые определяются производными координатных функций х , т. е. [c.707]

Пусть V — точка на римановом многообразии У, TVv — касательное пространство в точке V. Два неколлинеарных вектора ех и б2 пространства ТУу задают 2-плоскость. Исходящие из точки V геодезические и касательная к ним 2-плоскость порождают поверхность Е — риманово подмногообразие многообразия V. [c.63]

КРИВИЗНЙ ТЕНЗОР (Римана тензор) — локальная характеристика кривизны в римановой геометрии. К. т. определяют с помощью процедуры параллельного переноса вектора вдоль замкнутой кривой в римановом пространстве. Параллельным (ковариантно постоянным) вдоль кривой t) наз. векторное поле F (ж), для к-рою обращается в пуль коварианткая прои.- вод-пая Vf по направлению скорости кривой x =dx jdt. [c.491]

Таким образом, в римановом пространстве вектор р ) всегда является градиентным вектородг. В соответствии с этим мы можем положить [c.37]

В плоском пространстве вектор а совпадает с вектором, полученным путем параллельного переноса вектора из точки (х ) в точку х + йх ), поскольку при введении псевдодекартовых координат символы Кристоффеля, а с ними и велич.ины йр а исчезают, и вектор а становится равным вектору ак При использовании криволинейных координат в плоском пространстве контравариантные компоненты векторов а и будут отличаться на величину йр а определяемую формулой (9.118). Поэтому в римановом пространстве естественно определить параллельный перенос вектора также формулой (9.118). [c.230]

Так как число столкновений пропорционально времени, то, принимая угол, образуемый двумя исходящими из одной точки конфигурационного пространства траекториями (геодезическими линиями соответствующего риманова пространства), за меру геодезического отклонения, получим, что это отклонение возрастает со временем по экспоненциальнолху закону. Действительно, за время свободного пробега т произойдет в среднем столкновение п молекул, и телесный угол, характеризующий неопределенность направления Здг-мерного вектора скорости, / X 2п [c.175]

Получив далее некоторую равномерность распределения вероятностей в новой координатной системе, мы сможем сразу распространить эту вероятность на старую координатную систему, так как величина элемента объема фазовой области есть инвариант канонического преобразования. Будем считать, поэтому, что ds =, A zq — С/) S dx , где А = onst. Легко видеть, что пространство, состоящее из направленных элементов линий полученного риманова пространства, будет эквивалентно фазовому пространству. Действительно, точка фазового пространства р ) может быть определена как соответствующая точка конфигурационного пространства (х ) вместе с заданным вектором скоростей (х ). Некоторому интервалу координат и импульсов фазового пространства будет соответствовать в пространстве F некоторый интервал объема dm , некоторый интервал угла d

полной энергии мы получим, что в силу размешивающегося характера геодезического движения в О, доля этих точек, попадающая в некоторый интервал dm d p, будет зависеть лишь от величины рассматриваемого интервала и будет ему пропорциональна. Все рассматриваемые точки фазового пространства, т. е. точки с добавочной характеристикой — длиной направляющегося вектора, соответствующие каждому данному Zq, принадлежащему интервалу попадут внутрь интервала dr. Поэтому, определяя во всех точках допускаемую в них начальной неопределенностью полной энергии системы dz величину dr, одинаковую для всех точек (так как dz == получим, что все точки начальной области равномерно распределятся внутри слоя заданного dr, т. е. равномерно распределятся внутри слоя заданной неопределенности однозначных интегралов движения. (Распределение будет равномерным при данном dr, т. е. сделается равномерным по всем параметрам, кроме г, по которому оно будет определяться начальным распределением, так как очевидно, что по параметру г размешивания не будет, поскольку области фазового пространства, соответствующие неперекрывающимся dz, бесспорно не будут переходить друг в друга.) [c.186]

Аналогичные формулы справедливы во всяком римановом пространстве V. В частности, Q преобразуется как (контравари-антный) вектор, а ее нормальная составляющая равна произведению вектора геодезической кривизны на v . Следовательно, задачи динамики инерциальных лагранжевых систем эквивалентны геометрическим задачам. [c.216]

Леви-Чивита (Ьеи1 СгиНа) Туллио (1873-1941) — известный итальянский математик и механик. Окончил Падуанский университет, профессор рациональной механики этого университета 1898-1938 гг.). Основные направления исследований теория чисел, тензорный анализ, риманова геометрия, аналитическая и небесная механика, гидромеханика, теория упругости. Основополагающие работы в области абсолютного дифференциального исчисления. Совместная с Г. Риччи-Курбастро монография Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения сделала, по словам А. Эйнштейна, возможной математическую формализацию общей теории относительности. Ему принадлежит идея параллельного переноса векторов, идея искривленного пространства, теорема об аналитических функциях комплексного переменного, фундаментальные работы по теории потенциала, по теории поверхностных волн от движения твердого тела, по теории трехмерного пограничного слоя. [c.56]

В римановом субпроективном пространстве вектор р всегда является градиентом2), и если не считать исключительного слу-чш, в котором в —однородная функция первой степени, то всегда можно перейти в каноническую систему координат. Это во многих случаях значительно облегчает выкладки ). Заметим еще, что каноническая система координат задана с точностью до любого аффинного преобразования (2) при этом условие /> = 0 сохраняется. [c.167]

Общее алгебраическое описание геодезического потока на симметрическом римановом пространстве ранга один некомпактного типа таково. Пусть G — простая некомпактная группа Ли вещественного ранга один. Такими группами являются SO(n, 1), SU(n, 1), Sp(n, 1) и F.. Пусть К — максимальная компактная подгруппа группы G. Тогда G/K —глобально симметрическое пространство и его единичное касательное расслоение имеет вид G/T, где Г — компактная подгруппа группы К (а именно подгруппа изотропий касательного вектора). Соответствующие симметрические пространства суть п-мерное вещественное, комплексное и кватернионное гиперболические пространства и двумерная гиперболическая плоскость Кэли. Геодезический поток соответствует правому действию однопараметрической подгруппы, коммутирующей с Т. (Заметим, что в двумерном случае T = Id .) [c.558]

Пусть и — контравариантные компоненты вектора поля в системе координат Тогда величина gijU W инвариантная и равна величине квадрата длины диагонали параллелепипеда, чьи стороны параллельны координатным кривым и равны У цЫ (по I не суммировать). В евклидовом пространстве этот результат вьшолняется всегда, но в неевклидовом, римановом, пространстве следует ограничиться рассмотрением бесконечно малого поля и для которого существует только бесконечно малый параллелепипед. В качестве определения физических компонент и ) в произвольной криволинейной системе координат следует взять величины и ) = ]/giiW (по I не суммировать). [c.12]

Теория годографов для траекторий относительно одного притягиваюш его центра показывает (см. рис. 7), что годографы скорости и ускорения являются регулярными (т. е. не обладают вырожденностями) даже несмотря на то, что траектории в пространстве векторов положения могут становиться неопределенными из-за наличия особенностей в бесконечности . Это явление может действительно показаться странным, если рассматривать его не с математической, а с физической точки зрения. Дальнейшие размышления о наличии геометрической инверсии [27] в годографическом преобразовании и попытки применения метрических геометрий [28] дают основание предположить, что векторные пространства ньютоновой механики на самом деле являются не евклидовыми, а римановыми. В этой связи по отношению к физическому пространству, в котором мы живем , было сказано следуюш ее [29] Представление о том, что система пространство — время является евкли- [c.82]

Предполошим, что в пространстве д задана риманова метрика. Тогда мошно говорить о скорости движения волнового фронта. Рассмотрим, например, распространение света в среде, заполняющей обычное евклидово пространство. Тогда двишение волнового фронта мошно характеризовать перпендикулярным фронту вектором р, который строится следующим образом. [c.220]

Отождествление алгебры Ли 9 с дуальным к ней пространством 9 имеет более глубокое основание. Дело в том, что на группе вращений существует (и единственна с точностью до множителя) двусторонне инвариантная риманова метрика. Эта метрика задает раз и навсегда выделенный изоморфизм линейных пробтранств 9 и 9 (а также TGg и T Gg). Она позволяет, следовательно, считать векторы угловой скорости и момента лежащими в одном евклидовом пространстве. В результате отождествления операция , превращается в коммутатор алгебры, взятый со знаком минус. [c.290]

Перенос связанных с конечномерным о. т. т. формул на гидродинамический случай иногда дает полезную информацию. Например, из формул для гауссовой кривизны группы С с односторонне инвариантной метрикой Арнольд получил оценки степени непредсказуемости переноса масс некоторыми периодическими по пространству двумерными течениями (см. [5] [8], Добавление 2). С уравнениями гидродинамики естественно связаны бесконечномерные группы. Но не все свойства конечномерных о. т. т. автоматически применимы к гидродинамическим уравнениям. Например, на конечномерных группах Ли с односторонне инвариантной метрикой геодезические этой метрики неограниченно продолжимы в обе стороны (по времени). Решения уравнения Эйлера движения идеальной однородной жидкости в трехмерной области О можно рассматривать как зависимость от времени касательного вектора к геодезической правоинвариантной римановой метрики (задаваемой кинетической энергией жидкости) на группе 50 О сохраняющих объемы взаимно однозначных преобразований 0- 0, гладких вместе с обратным преобразованием. Имеются основания предполагать, [c.312]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...