Вектор геодезической кривизны

Сравнивая последнее соотношение с (5.52), видим, что вектор геодезической кривизны Г (t) является абсолютной производной по поверхности орта касательной [c.268]

Кроме того, так как полная кинетическая энергия при стационарном движении постоянна, то, очевидно, s = v постоянна в соответствующем римановом многообразии V. Отсюда, согласно 108, при стационарном движении вектор силы Q равен произведению вектора геодезической кривизны однопараметрической подгруппы а (h) на постоянную Следовательно, сила, действующая на твердое тело при его стационарном движении в идеальной жидкости, пропорциональна вектору геодезической кривизны соответствующей однопараметрической подгруппы евклидовой группы V при надлежащей лево-инвариантной метрике в группе V. А эта лево-инвариантная метрика определяется во всех точках уже рассмотренными в 100—102 инерциаль-ными коэффициентами Tij (0). [c.221]

И составляющие вектора геодезической кривизны кривой s = s(a), <р= ср(а) будут [c.92]

Второе из упомянутых слагаемых вектора кривизны называется вектором геодезической кривизны [c.795]

Геодезической кривизной линии на поверхности называется модуль вектора геодезической кривизны, т. е. [c.796]

Выражения в скобках — ковариантные составляющие вектора геодезической кривизны — обращаются в нуль на геодезических линиях. Приходим к другой форме записи дифференциальных уравнений этих линий [c.797]

Отметим еще, что вектор с и вектор геодезической кривизны перпендикулярны друг другу. Действительно, [c.797]

Поэтому контравариантные составляющие вектора геодезической кривизны будут [c.804]

Представим себе гироскоп, ось которого Oz (гироскопическая ось, проходящая через центр тяжести) в силу связей не может выходить из заданной неподвижной плоскости -г, проходящей через О. Если мы вспомним прибор, описанный в п. 3, то легко поймем, как (по крайней мере относительно Земли) можно осуществить такую связь. Достаточно закрепить диаметр ВВ кольца (в котором укреплены подшипники оси АА гироскопа) вдоль нормали к плоскости тг таким образом, чтобы его средняя точка совпала с той точкой плоскости т , в которой мы хотим закрепить гироскоп. В этих условиях траектория вершины сведется к окружности с центром в О и радиусом 1 в плоскости ir, так что ее геодезическая кривизна -jf будет равна нулю, единичный вектор t будет постоянно лежать в этой плоскости (в направлении, перпендикулярном к k), а единичный вектор v останется неподвижным (в направлении, перпендикулярном к тг). Если, далее, допустим, что связь является связью без трения, то реакции (внешние),, которые приложены к оси гироскопа, должны быть все нормальными к тг, а потому их результирующий момент относительно точки О будет необходимо перпендикулярным, как к k, так и к V. Мы видим, таким образом, что эти реакции ничего не добавляют к двум последним натуральным уравнениям (гг. 51) [c.160]

В формулах (6.11) коэффициенты в правых частях при векторах суть 1 = sin q (1/sin q) — нормальная кривизна tg q = = os q (1/sin q) — геодезическая кривизна сферической кривой. [c.140]

Геодезическая кривизна и нормальная кривизна. Геодезические линии. Диферен-циальные уравнения геодезических линий. В выражении вектора кривизны кривой и = = и (S), V - гцх) [c.219]

Дифференциальные уравнения (11.12) являются уравнениями параллельного переноса вектора х по траектории они выражают обращение в нуль геодезической кривизны и имеют в ковариантной записи вид [c.717]

Введенные в П. 2.8 и П. 2.9 для / 2 определения геодезической кривизны, геодезических линий и параллельного переноса вектора на поверхности в том же словесном выражении повторяются в R , [c.810]

Рассмотрим систему координат на поверхности, связанную с геодезическими линиями на поверхности. Геодезической линией на поверхности называется кривая, геодезическая кривизна которой в каждой точке равна нулю. Смысл определения геодезической линии заключается в том, что геодезическая линия, соединяющая какие-нибудь две точки, всегда является прямой линией на поверхности и кратчайшей среди всех кривых, соединяющих эти точки на плоскости, геодезическими линиями являются прямые. Для того чтобы линия на поверхности была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы проекция ее вектора кривизны на касательную плоскость равнялась нулю. Линия на поверхности — геодезическая, если ее главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности или эта линия прямая. [c.46]

Безразмерная величина продольной компоненты вектора трения на поверхности тела определяется продольным градиентом скорости, геодезической кривизной линии тока, толщиной вытеснения пограничного слоя и параметром вдува. [c.157]

Самый известный пример системы Аносова с непрерывным временем — геодезич. поток на компактной поверхности М постоянной отрицат. кривизны. Фазовое пространство этой ДС образовано всеми касательными к М векторами длины 1, каждый из к-рых движется с единичной скоростью вдоль определяемой им геодезической линии. К геодезич. потоку приводится гамильтонова система с гамильтонианом H=T+V, если Т квадратично зависит от импульсов, а V зависит только от координат. Соответствующая риманова метрика определяется гамильтонианом, но отрицательная кривизна появляется лишь при Н спец. вида. [c.632]

Понятие единичного вектора первой нормали, вводимое формулой (11.15.1), теряет смысл на геодезической линии, так как кривизна (1) обращается в нуль. Подобно этому лишено смысла говорить [c.717]

Таким образом, поведение нормальной составляющей вектора вариации геодезической, проходимой со скоростью 1, описывается уравнением (неавтономного) линейного осциллятора, потенциальная энергия которого равна / половине произведения кривизны в направлении плоскости векторов скорости и вариации на квадрат длины нормальной составляющей вариации. [c.276]

В частности, рассмотрим случай, когда кривизна по всем двумерным направлениям, содержащим вектор скорости геодезической, отри--цательна (рис. 234). Тогда отклонение близких геодезических от данной по нормали описывается уравнением осциллятора с отрицательно определенной (и зависящей от времени) потенциальной энергией. Следовательно, нормальная составляющая отклонения близких геодезических ведет себя как отклонение от вершины горы шарика, находящегося вблизи этой вершины. Положение равновесия шарика на вершине неустойчиво. Это значит, что близкие к данной геодезические будут экспоненциально уходить от нее. [c.276]

Приведенные формулы позволяют вычислить кривизну по любому двумерному направлению. Вычисления показывают, что по большинству направлений кривизна отрицательна, но по некоторым — положительна. Рассмотрим, в частности, какое-либо течение жидкости, т. е. геодезическую нашей группы. Согласно уравнению Якоби, устойчивость этой геодезической определяется кривизнами по направлениям всевозможных двумерных плоскостей, проходящих через вектор скорости геодезической во всех ее точках. [c.305]

Предположим теперь, что рассматриваемое течение стационарное. Тогда геодезическая является однопараметрической подгруппой нашей группы. Отсюда следует, что кривизны во всех плоскостях, проходящих через вектор скорости геодезической во всех ее точках равны кривизнам в соответствующих плоскостях проведенных через вектор скорости указанной геодезической в [c.305]

Важный класс многообразий отрицательной кривизны получается с помощью алгебраической конструкции, которая обобщает алгебраическое описание поверхностей постоянной отрицательной кривизны из 5. Геометрическое свойство, которое дает нам возможность описывать геодезический поток на сфере, торе и гиперболической плоскости, — наличие группы изометрий, действующей транзитивно на единичных касательных векторах (лемма 5.4.1). Пространства, обладающие таким свойством, называются (глобально) симметрическими пространствами. Сначала дадим традиционное определение, а затем докажем транзитивность группы изометрий в случае ненулевой кривизны. [c.555]

Если кривизна равна нулю и вектор ег параллелен плоскости Г, то первый интеграл оказывается зависящим только от скорости V. т, е. все куски Г оказываются вырожденными. Если ег не параллелен Е, то аналога геодезической I не существует в силу необратимости матрицы Л. Теорема доказана. [c.145]

Как обычно, 7(ж, гг, Ь) = y t) = 7 обозначает геодезическую, исходящую из X с вектором начальной скорости и и длиной дуги 1. Точка на 7, соответствующая , также записывается через у Ь). Риманово расстояние между двумя точками а и Ь обозначается через а, Ь. Через V обозначим полное, односвязное риманово многообразие отрицательной кривизны. [c.177]

Аналогичные формулы справедливы во всяком римановом пространстве V. В частности, Q преобразуется как (контравари-антный) вектор, а ее нормальная составляющая равна произведению вектора геодезической кривизны на v . Следовательно, задачи динамики инерциальных лагранжевых систем эквивалентны геометрическим задачам. [c.216]

Уравнения (IV.208а) можно представить в иной форме. Пусть О — центр кривизны траектории, тогда отрезок МО равен р. Через точку О в общей нормальной плоскости кривых аа и ЬЬ проведем перпендикуляр к вектору V. Пусть он пересечет главную нормаль и бинормаль геодезической кривой в точках L и Л. Отрезок МР называется радиусом нормальной кривизны траектории точки М, отрезок МК — радиус геодезической кривизны траектории [c.426]

Единичные векторы е и m параллельны этим приращениям и входят в них следующим образом dr edsn dk — —ш ф. Вектор Ь — геодезическая кривизна кривой на поверхности тела Ьк — геодезическая кривизна кривой на единичной сфере Ь и Ък исследуют соответственно Dr я Dr. При применении этих соотнощений особенно важны два следующих частных случая. Для первого случая, если движемся вдоль интерференционной полосы, которая возникает на поверхности предмета или на единичной сфере, имеем [c.165]

Знание элемента дуги любой линии на поверхности, которое дои стигается измерениями, производимыми на самой поверхности т доступными двумерным суш.ествам, на ней обитаюш.им , определяе-первую квадратичную форму поверхности и с нею внутреннюю геометрию поверхности к внутренней геометрии принадлежат составляю-ш,ие метрического тензора и все величины, определяемые по ним, т. е. элемент площади, символы Кристоффеля первого и второго рода, геодезическая кривизна линии на поверхности. Задачи разыскания геодезических линий, определения операций ковариантного дифференцирования и параллельного переноса вектора на поверхности также относятся к внутренней геометрии. При изгибании поверхности, не сопровождаемом изменением длин линий на ней, перечисленные величины остаются неизменными — они представляют инварианты изгибания. Нормальная кривизна не является, конечно, инвариантом изгибания. Этим объясняется, что коэффициенты второй квадратичной формы принципиально не могут быть вычислены при задании только метрического тензора. Их определение было связано с введением вектора нормали т поверхности. [c.799]

Перейдем теперь к отысканию кинематических связей с углом верчения 6в. Пусть z и Zi — единичные векторы, касательныё к кривым L И 1, а dr И dx — проекции их изменений на общую касательную плоскость при перенесении на величину ds вдоль кривых L VL соответственно. Геометрически очевидно, что dx — dx представляет собою угол dQ верчения катящейся поверхности S. Поэтому угловая скорость верчения непосредственно связана с геодезическими кривизнами кривых качения L и L , именно, [c.26]

Перенос связанных с конечномерным о. т. т. формул на гидродинамический случай иногда дает полезную информацию. Например, из формул для гауссовой кривизны группы С с односторонне инвариантной метрикой Арнольд получил оценки степени непредсказуемости переноса масс некоторыми периодическими по пространству двумерными течениями (см. [5] [8], Добавление 2). С уравнениями гидродинамики естественно связаны бесконечномерные группы. Но не все свойства конечномерных о. т. т. автоматически применимы к гидродинамическим уравнениям. Например, на конечномерных группах Ли с односторонне инвариантной метрикой геодезические этой метрики неограниченно продолжимы в обе стороны (по времени). Решения уравнения Эйлера движения идеальной однородной жидкости в трехмерной области О можно рассматривать как зависимость от времени касательного вектора к геодезической правоинвариантной римановой метрики (задаваемой кинетической энергией жидкости) на группе 50 О сохраняющих объемы взаимно однозначных преобразований 0- 0, гладких вместе с обратным преобразованием. Имеются основания предполагать, [c.312]

Мы приведем теперь достаточные условия, обеспечивающие выполнение (7.33) вдоль некоторой геодезической, задаваемой вектором v M. Пусть аубМ ортогонально V и Yw t) —положительное предельное решение уравнения (7.31), определяемое вектором НУ (т. е. Уы (0) =Д+(0)ву, Уш (0) =Ь+(0)ау). Обозначим Kw t) кривизну Q в точке Уv(t) в двумерном направлении, задаваемом векторами УюЦ), Уv(t). Наше условие состоит в. следующем для любого ад [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...