Пространство риманово

Первая картина даётся силовой механикой Ньютона, основанной на представлениях о пространстве (евклидовом), времени (математическом, непрерывном, однородном), массе (одновременно инерционной и тяжёлой) и силе как мере взаимодействия материальных тел. Вторую картину составляет энергетический подход, использующий понятия пространства (риманова), времени, массы и энергии и опирающийся на интегральные принципы. [c.85]

Задача. Доказать, что для поверхностей в обычном трехмерном евклидовом пространстве риманова кривизна в каждой точке равна произведению обратных величин главных радиусов кривизны (со знаком минус, если центры кривизны лежат по разные стороны от поверхности). [c.269]

Определим теперь на комплексном проективном пространстве риманову метрику. С этой целью рассмотрим в соответствующем линейном пространстве С"+1 единичную сферу [c.309]

Взаимодействие материи. Материальные объекты, расположенные в разных частях пространства, взаимодействуют, т. е. движение одних материальных объектов зависит от наличия других материальных объектов и их движения таковы, скажем, гравитационные, электрические, магнитные и иные взаимодействия. Физическая природа этих взаимодействий связана с понятием о физических полях, которое не укладывается в исходные представления классической механики. Так, например, с точки зрения общей теории относительности гравитационные взаимодействия материи являются следствием того, что время и пространство взаимосвязаны в единый четырехмерный континуум пространство-время , что этот континуум подчиняется законам не евклидовой, а римановой геометрии, т. е. что он искривлен , и что локальная кривизна в каждой его точке зависит от распределения материальных объектов и их движения. Таким образом, физические причины гравитационного взаимодействия материи тесно связаны с такими свойствами пространства и времени, которые не учитываются в исходных предположениях классической механики. [c.41]

Следствие 8.12.4. Принцип Якоби позволяет свести задачу об определении траектории движения изображающей точки к экстремальной задаче в пространстве конфигураций с римановой метрикой. В области Г + / > 0 конфигурационного пространства зададим риманову метрику формулой [c.620]

Э. К а р т а н, Геометрия римановых пространств, ОНТИ, 1936. [c.64]

Э. Карта н. Геометрия римановых пространств, ОНТИ, 1938, стр. 24. [c.126]

Как известно, всегда можно выбрать компоненты метрического тензора так, что в фиксированной точке все символы Кристоффеля обратятся в нуль. Такая голономная система координат называется римановой, или нормальной, системой координат. В этой системе координат метрика пространства в ок- [c.156]

При построении теории тяготения, названной Эйнштейном общей теорией относительности (ОТО), он всецело исходил из принципа эквивалентности гравитационного поля нужным образом ускоренных систем отсчета. А так как разным системам отсчета соответствует разная метрика пространства-времени, то Эйнштейн принял за гравитационное поле метрический тензор gpv риманова пространства-времени. Так принцип эквивалентности привел к отождествлению метрики и гравитации компоненты метрического тензора в ОТО являются в то же время потенциалами тяготения. [c.158]

Кинетическая энергия и риманова геометрия Использование произвольных обобщенных координат для описания движения механической системы является одной. из существенных черт аналитической механики. Структура уравнений аналитической механики такова, что они могут быть записаны в виде, не зависящем от применяемых координат. Это свойство общих уравнений движения связывает аналитическую механику с одним из крупнейших достижений математики девятнадцатого века — теорией инвариантов и ковариантов. Эта теория окончательно созрела в наши дни, когда теория относительности Эйнштейна показала, как законы природы связаны с проблемами инвариантности. В основе теории относительности лежит требование, чтобы формулировки законов природы не зависели от какой-либо специальной системы координат. Математическое решение этой проблемы показало, что между законами, управляющими материей, и римановым основанием геометрии, существует глубокая внутренняя связь. Согласно общей теории относительности Эйнштейна, истинная геометрия природы не евклидова, а более общая— риманова эта геометрия связывает пространство и время в единое четырехмерное многообразие. [c.39]

Когда специальная теория относительности Эйнштейна и Минковского, объединив время и пространство, показала, что геометрия природы имеет скорее четыре, а не три измерения, то это была еще геометрия евклидова типа. Лишь общая теория относительности Эйнштейна продемонстрировала, что линейный элемент с постоянными коэффициентами должен быть заменен римановым линейным элементом, содержащим десять функций gik четырех координат j , у, z, t. [c.43]

Геометрически каждое из этих уравнений представляет собой гиперповерхность в пространстве 3jV измерений. С-точка должна находиться в области пересечения всех этих гиперповерхностей, т. е. в подпространстве с числом измерений, равным = 3jV — т. Это подпространство является уже не плоским евклидовым, а искривленным римановым пространством. [c.45]

Подобно тому как движение механической системы можно заменить движением одной частицы в некотором -мерном римановом пространстве, причем инерция всей системы входит в кинетическую энергию этой воображаемой частицы, так и динамическое действие всех сил может быть представлено с помощью одного вектора, действующего на эту частицу. Этот вектор имеет п компонент в соответствии с числом измерений пространства конфигураций. Компоненты вектора определяются аналитически как коэффициенты инвариантной дифференциальной формы первого порядка, которая выражает полную работу всех действующих сил при произвольном бесконечно малом изменении положения системы. [c.51]

Эти соображения привели Герца к мысли о том, что, возможно, вся потенциальная энергия приложенных сил порождается скрытыми движениями, выражаемыми при помощи циклических переменных. Дуализм кинетической и потенциальной энергий представляет собой достойную задачу для философских размышлений. Мы имеем инертное свойство материи, с одной стороны, и силу — с другой. Инертное свойство материи есть нечто, вытекающее из самого факта существования массы. Обычная инерция заставляет материю двигаться по прямой линии то же самое происходит и в римановом пространстве, при помощи которого движение даже самых сложных механических систем изображается как движение одной точки. Создается впечатление, что инерция есть первичное свойство материи, которое вряд ли может быть сведено к чему-либо еще более простому. Поэтому с философской точки зрения можно согласиться с тем, что при помощи кинетической энергии выражаются инертные свойства материи. Однако подобного объяснения для силы предложить нельзя. Если кинетическая энергия является главной движущей силой в механике, то нельзя ли как-нибудь обойтись без потенциальной энергии и тем самым устранить необъяснимый дуализм, проникший в механику вместе с понятием о двух глубоко различных формах энергии, кинетической и потенциальной. Герц хотел показать, что потенциальная энергия имеет кинетическое происхождение, что она возникает в результате скрытых движений с циклическими координатами. Место сил в бес-силовой механике Герца занимают кинематические условия, налагаемые на движение с микроскопическими параметрами. [c.158]

В римановом пространстве как раз таким образом, как представлял себе это Герц для механических систем, свободных от потенциальной энергии. Единственная разница заключается в том, что в системе Герца риманова кривизна пространства конфигураций создается кинематическими условиями, наложенными на скрытые движения системы, а в теории Эйнштейна риманова структура физического пространственно-временного континуума является внутренним свойством геометрии мира. [c.159]

Мы имеем здесь замечательное обобщение закона инерции, открытого Леонардо да Винчи и Галилеем Под действием собственной инерции частица движется по прямой линии с постоянной скоростью . Оказывается, что этот закон справедлив для сколь угодно сложных механических систем с произвольными голономными связями Однако частица , представляющая такую систему, движется не в обычном трехмерном, а в п-мерном римановом пространстве. [c.167]

Пример. Частица вынуждена оставаться на некоторой поверхности к ней не приложены силы. Риманово пространство теперь имеет два измерения, а его геометрия идентична внутренней геометрии заданной поверхности. Движение частицы по поверхности происходит по одной из геодезических линий этой поверхности. [c.167]

Отметим тесную связь между этим геодезическим принципом и динамическим принципом теории Эйнштейна. Там также задача о движении эквивалентна нахождению геодезической линии риманова пространства. Это риманово пространство имеет четыре измерения, так как пространство и время вместе образуют единый четырехмерный континуум. Из закона инерции получается решение задачи о движении планет без введения каких бы то ни было сил гравитации. Принцип Якоби применим в релятивистской механике частицы. Единственная разница заключается в том, что риманова структура четырехмерного континуума является внутренним свойством вселенной, а не следствием наличия кинематических связей. [c.167]

Упрощения, возникающие при решении этой задачи, связаны с фактом малости колебаний. Как известно, пространство конфигураций имеет не евклидову, а риманову геометрию. Известно также, что искривленное риманово пространство по мере уменьшения размеров области все более приближается к плоскому. Это свойство риманова [c.175]

В пространстве конфигураций имело смысл введение определенного вида геометрии, приче.м эта геометрия оказалась римановой. В фазовом пространстве ситуация иная оно не имеет определенной метрики, и мы для удобства будем считать, что qi и р,- являются прямоугольными координатами 2п-мерного евклидова пространства. Поскольку нет особых оснований для введения метрики в фазовом пространстве, евклидова геометрия столь же хороша, как и всякая другая. [c.202]

Можно ли ввести что-нибудь подобное в гамильтоновом фазовом пространстве Имеются ли какие-либо инвариантные дифференциальные формы, которые могли бы в нем играть роль формы ds , как в лагранжевом пространстве конфигураций Такая дифференциальная форма, связанная с каноническими преобразованиями и инвариантная при этих преобразованиях, действительно существует, хотя она и отличается принципиально от римановой формы ds . Она также квадратична относительно дифференциалов, но связана при этом с двумя перемещениями и не имеет ничего общего с расстоянием. Геометрия фазового пространства имеет, таким образом, необычную метрику. Она похожа скорее на некую геометрию, в которой могут измеряться не расстояния, а площади. Поскольку основной дифференциальный инвариант канонических преобразований линеен по каждому из двух бесконечно малых перемещений, мы будем называть его билинейной дифференциальной формой . На основе этой инвариантной дифференциальной формы может быть построена полная теория канонических преобразований. [c.241]

HO геометрия, введенная этим линейным элементом, уже не будет римановой. Соединим две точки q ,. ..,q , t и qi,...,q ,t в (п+1)-мерном пространстве кратчайшей линией и измерим длину дуги [c.261]

Тесная связь между динамикой и геометрией сохраняется и при более общих предположениях. Риманова геометрия— не единственно возможная форма метрической геометрии. Для римановой геометрии характерным свойством является выпрямление пространства в окрестности произвольной точки, так что обычная евклидова геометрия остается справедливой по крайней мере в бесконечно малых областях. Но для построения геометрии, использующей прямые линии и углы, такого ограничения, вообще говоря, не требуется. В применении к общим задачам динамики заслуживает внимания более общая форма геометрии, линейный элемент которой ds определяется более общим способом по сравнению с римановым линейным элементом. [c.320]

Которое теперь является п-мерным римановым пространством с линейным элементом ds, определенным по формуле (11). [c.487]

В формализме Лагранжа рассматривается пространство конфигураций переменных q , в гамильтоновом же формализме механические движения и движения изображающей точки представляются в фазовом пространстве 2п переменных q и р,. В то время как пространство конфигураций имеет геометрию риманова типа, фазовое пространство не имеет определенной геометрической структуры и только для удобства вычислений можно предположить, что ql и р,- образуют прямоугольные координаты 2п-мерного евклидова пространства. [c.878]

Координаты Римана определяются как произведения единичных векторов i , касательных к геодезическим линиям данного пространства, проходящи.м через начало координат, на путь S х = S (/ = 1, 2,..., п). В этих координатах уравнение геодезических линий имеет простой вид d xi dS = О, причем ковариантные производные от тензоров сводятся к обы ным производным. Подробнее см. П. К. Р а ш е в с к и й. Введение в риманову геометрию и тензорный анализ, изд. 1-е, ОНТИ, 1935, стр. 95. [c.911]

В развитой здесь теории не имеет смысла вопрос о том, ортогонально или неортогонально пересекаются лучи и поверхности. Мы не имеем римановой метрики в пространстве QT, а понятие ортогональности кривой и подпространства неинвариантно относительно преобразований координат. Однако это возражение не относится к вектору импульса— энергии у , так как это — ковариантный [c.245]

В. Симплектические структуры проективных алгебраических многообразий. Мы получаем теперь симплектическую структуру на любом комплексном подмногообразии М комплексного проективного пространства. А именно, пусть / М СР — вложение комплексного лшогообразия М в комплексное проективное пространство. Риманова, эрмитова и симплектическая структуры на проективном пространстве индуцируют на М соответствующие структуры. Например, симплектическая структура на М задается формулой [c.312]

Важное качественное свойство лагранжевой динамики и гамильтоновой динамики заключается в том, что они сохраняют определенную каноническую форму объема. Действительно, во-первых, из координатного представления (5.3.6) немедленно следует, что уравнения Гамильтона являются бездивергентными, так что они сохраняют фазовый объем в х, р)-простран-стве, который на самом деле представляет собой п-ю внешнюю степень формы fi. Возвращаясь на касательное расслоение с помощью инверсии преобразования Лежандра, мы видим, что инвариантный объем является произведением формы объема на многообразии и евклидова объема, определенного в касательном пространстве римановой метрикой. Лагранжева система сохраняет гиперповерхности Н = onst, так что для каждого регулярного значения Н имеется индуцированная инвариантная форма объема на гиперповерхности Н — onst. Это особенно просто понять в случае геодезических потоков, когда инвариантные гиперповерхности являются сферическими расслоениями г) = onst и инвариантный объем потока есть [c.212]

Основное содержание СТО, как подчеркивал Г. Минковский, состоит в установлении единой абсолютной пространственно-временной формы бытия материи — пространственно-временного мира (мир Минковского), геометрия которого псевдоевклидова. В этом мире различным системам отсчета соответствует в общем случае различная метрика с коэффициентами y v (х) пространства-времени. Например, в произвольной неинерциальной системе координат S метрические коэффициенты y[ v оказываются функциями координат X этой системы, что приводит в итоге к появлению ускорения свободной материальной точки относительно S и сил инерции, выражающихся через производные первого порядка от тензора по соответствующим координатам. Кинематически силы инерции характеризуются тем, что вызываемые ими ускорения свободных материальных точек не будут зависеть от их масс. Таким же свойством обладают и гравитационные силы, поскольку, как показывает опыт, гравитационная масса тела равна его инертной массе. Этот фундаментальный факт привел Эйнштейна к мысли, что гравитационное поле должно описываться подобно полю сил инерции метрическим тензором, но уже в римановом пространстве-времени. [c.158]

Такое положение в ОТО обусловлено отождествлением в этой теории гравитационного поля со структурой (метрикой) пространства-времени, с его римановым искривлением. Первичным в ОТО является не материя, а пространство-время. Первичную роль,— говорил Эйнштейн,— играет пространство, материя же должна быть получена из пространства, так сказать, на следующем этапе . Эта методологически неверная основа ОТО и ответственна за все в теории. В самом деле, поскольку в действительности пространство-время является формой существования материи, то, исследуя структуру этой формы, мы можем получить в ряде случаев хорошо согласующиеся с опытом результаты о свойствах гравитационного поля как вида материи. Именно это и имеет место в случаях, о которых упоминалось выше. С другой стороны, в тех явлениях, в которых определяющую [c.159]

Резюме. Возможность введения произвольных координатных систем и инвариантность уравнений механики относительно преобразований координат тесно связывают аналитическую механику с идеями и методами римановой геометрии. Движение произвольной механической системы мол<ет рассматриваться как движение свободной частицы в соответствующем п-мерном пространстве с определенной римановой структурой. Кинетическая энергия системы определяет ри-манов линейный элемент пространства конфигураций. [c.46]

Резюме. Принцип Якоби связывает движение голо-номных консервативных систем и риманову геометрию. В частности, если система движется под действием собственной инерции в отсутствии приложенных сил, то изображающая эту систему С-точка описывает геодезическую (кратчайшую) линию в пространстве конфигураций, которое является п-мерным римановым пространством. Из теоремы о сохранении энергии следует к тому же, что движение происходит с ио-стояннной скоростью. Все это является естественным обобщением обычного закона инерции, который утверждает, что при наличии лишь собственной инерции частица движется по прямой линии с постоянной скоростью. [c.168]

Геометризация динамики. Неримановы геометрии. Метрическая интерпретация уравнения в частных производных Гамильтона. Снова и снова мы убеждаемся в том, сколь успешно наглядный язык геометрии помогает более глубокому пониманию проблем механики. Пространство конфигураций с его римановой метрикой дало возможность изобразить сколь угодно сложную механическую систему в виде одной точки в соответствующим образом определенном многомерном пространстве. Благодаря этому законы, определявшие движение одной частицы, удалось обобщить на произвольные механические системы. [c.319]

Таким образом, задача о движении планет под действием притяжения центрального тела становится эквивалентной вычислению геодезической линш в римановом пространстве с линейным элементом (9.11.1). Это снова предполагает решение задачи динамики с функцией Гамильтона (9.10.5), которая в этом случае имеет вид [c.374]

Это — общее условие канонического преобразования, причем любая функция и Q может быть выбрана как производящая функция канонического преобразования. В добавление к этой функции могут быть заданы некоторые условия между и Qi (число условий может изменяться от 1 до п). Формулы канонического преобразования имеют ту особенность, что они не выражают это преобразование в явном виде. Вместо определения новых переменных только через старые, или наоборот, обычно применяется смешанное представление, в котором старые обобщенные импульсы выражаются через старые и новые координаты положения. Как известно, если ввести риманово мероопределение, то гамильтонова характеристическая функция в оптике и основная функция в динамике определяют расстояние в римано-вом пространстве, выраженное в функции координат конечных точек этого расстояния. Эта функция, которая тесно связана с вариационным интегралом, является производящей функцией некоторого частного канонического преобразования. [c.877]

Нам неизвестно, как отнесся бы этот непримиримый аналитик к современной версии Аналитической механики, в которой геометрическими иллюстрациями служат не образы трехмерного пространства, которыми должен был довольствоваться Лагранж, а образы более просторного и гибкого риманова пространства N измерений. Он имел бы, я полагаю, серьезные возражения. Переход от геометрических средств к аналитическим был долгим и трудным делом. Каждый прием должен был быть тщательно проверен перед включением его в новую схему он должен был допускать непосредственное обобщение для случая N измерений и должен был быть очищен от излишних ассоциаций с понятиями эвклидовой геометрии. Нам, вполне освоившимся с понятием N-мерного пространства, кажется странным то медленное развитие этих идей, которое исторически имело место. Первые идеи были довольно неотчетливо изложены Р и м а н о м (Rie-тапп) [1] )в 1854 г. В 1869 г. Бельтрами (Beltrami) [1] ii в 1872 г. Л и п ши ц (Lips hilz) [1] воспользовались геометрическим [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...