Траектория в конфигурационном пространстве

Рис. 82. Биения траектория в конфигурационном пространстве

Напомним, что в методе Лагранжа независимыми переменными считаются обобщенные координаты и время Производные по времени от обобщенных координат (т. е. обобщенные скорости д )тоже явно входят как в лагранжиан I, так и в уравнения Лагранжа (29.2), однако, несмотря на это, переменные считаются зависимыми. Это обстоятельство в методе Лагранжа находит свое отражение в том, что для описания движения системы вводится понятие о ее траекториях в конфигурационном пространстве. Такой способ описания движения не лишен некоторых недостатков. Действительно, задание какой-нибудь точки в таком пространстве дает только з начальных условий, и, следовательно, для того чтобы полностью определить движение системы, требуется задать еще з [c.187]

Биллиарды в областях с (гладкой) выпуклой границей. Пусть Q — область на плоскости, ограниченная гладкой выпуклой замкнутой кривой T = dQ. В простейшем случае Г — окружность. Ясно, что каждое звено ломаной, отвечающей произвольной траектории в конфигурационном пространстве биллиарда в окружности, касается некоторой концентрической с Г [c.177]

Координатную часть движения г( ) можно рассматривать как движение точки в конфигурационном пространстве Образ в будем называть траекторией движения в конфигурационном пространстве. [c.38]

Обобщенные координаты при каждом I определим не на всем многообразии М , а только на Возможна следующая ситуация. Точки траектории системы в конфигурационном пространстве принадлежат в каждый момент времени < и [c.202]

При этом функция 8, определяющая фронты волн в момент есть не что иное, как значение в момент i решения уравнения Гамильтона — Якоби, начальное условие для которого задается функцией , определяющей фронты волн в начальный момент. Амплитуда же волн в момент i в точке Q получается из их амплитуды в начальный момент в исходной точке приходящей в Q траектории умножением на некоторый множитель. Этот множитель подобран так, чтобы при движении частиц, соответствующих нашему начальному условию, интеграл квадрата модуля функции ф по заполненной частицами области конфигурационного пространства не менялся с течением времени. (Здесь предполагается, что в начальный момент выделена любая область в конфигурационном пространстве, затем- рассматриваются фазовые точки на исходном лагранжевом многообразии, чьи проекции на конфигурационное пространство лежат в этой области, далее — их [c.410]

В гл. 5 мы рассмотрели два способа описания динамических систем, возникающих в классической механике. Гамильтонов формализм приводит к рассмотрению динамических систем в пространстве четной размерности, задаваемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. При таком подходе координаты и скорости рассматриваются как равноправные координаты в фазовом пространстве. С другой стороны, лагранжев формализм работает исключительно с координатами в конфигурационном пространстве и описывает динамику с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Оказывается, что лагранжев формализм может быть введен посредством рассмотрения всех потенциально возможных траекторий системы, среди которых настоящие траектории выделяются как критические точки некоторого функционала, заданного на множестве всех кривых в конфигурационном пространстве. Описания такого рода обычно называются вариационными, поскольку необходимо варьировать потенциально возможные траектории, чтобы найти настоящие. Уравнения Эйлера — Лагранжа (5.3.2) представляют собой не что иное, как уравнения, описывающие критические в вышеописанном смысле кривые функционала действия, рассматриваемого в 4. [c.342]

СОСТОЯНИЯ во все другие моменты времени, то задание изображающей точки в некоторый момент / = /о предопределяет всю фазовую траекторию (в отличие от задания положения системы в конфигурационном пространстве, оставляющего широкий простор для возможных конфигурационных траекторий). Таким образом, через каждую точку фазового пространства проходит только одна фазовая траектория. [c.106]

Для определения состояния системы с х степенями свободы выбрано 5 обобщенных координат. Введя конфигурационное пространство 5 измерений, можно рассматривать обобщенные координаты дк как координаты точки х-мерного пространства. При движении система заменяется одной изображающей точкой, движущейся в конфигурационном пространстве. Эта точка в пространстве конфигураций описывает кривую, которую условно можно назвать траекторией движения системы. [c.207]

Следствие 8.12.4. Принцип Якоби позволяет свести задачу об определении траектории движения изображающей точки к экстремальной задаче в пространстве конфигураций с римановой метрикой. В области Г + / > 0 конфигурационного пространства зададим риманову метрику формулой [c.620]

Такое размешивание связано с тем, что в -мерном конфигурационном пространстве близкие вначале траектории расходятся очень быстро, так, что их нормальное расстояние возрастает по экспоненциальному закону. Этот метод сведения задачи механики к задаче изучения расходимости геодезических линий в соответствующем римановом пространстве вариационного принципа Якоби оказывается общим методом исследования механической неустойчивости систем. [c.169]

Анализ причин неинтегрируемости гамильтоновых систем начнем с обсуждения обнаруженных сравнительно недавно грубых препятствий топологического характера. В работе [81] доказано, что замкнутая аналитическая поверхность рода х, х 2 не может быть конфигурационным пространством аналитической интегрируемой системы причиной является наличие большого числа неустойчивых периодических траекторий, на которых первые интегралы зависимы. Этот результат (не замеченный классиками из-за пристрастия к локальному рассмотрению динамических систем) обобщен в различных направлениях. Доказательство неинтегрируемости использует вариационные методы и тонкие факты из т ории особенностей аналитических отображений. [c.133]

Таким образом, траекториям из вращательной области фазовой плоскости квазискоростей соответствуют движения в ограниченной области плоскости как проекции конфигурационного пространства, а траекториям из колебательной (финитной) области - движения, уходящие на бесконечность. [c.188]

Итак, в методе Гамильтона в качестве независимых переменных рассматриваются 5 обобщенных координат системы д , д ,...,д и 8 ее обобщенных импульсов р , р ,. .., р , определяемых равенствами (30.5). Для геометрической интерпретации движения механической системы вводится понятие о так называемом фазовом пространстве. Под фазовым пространством понимается 28-мерное пространство, по осям координат которого откладываются значения 5 обобщенных координат д я обобщенных импульсов р . Каждой точке фазового пространства (ее называют изображающей точкой) соответствует определенное состояние системы. При движении системы изображающая точка описывает в фазовом пространстве кривую, называемую фазовой траекторией механической системы. В отличие от конфигурационного пространства через каждую точку фазового пространства проходит одна-единственная фазовая траектория механической системы. [c.187]

Тор (инвариантный) Движение двух связанных осцилляторов без затухания в воображаемом конфигурационном пространстве, происходит по поверхности тора. Круговое движение по окружности меньшего радиуса (меридиану) соответствует колебаниям одного осциллятора, круговое движение по окружности большего радиуса (параллели) — колебаниям другого осциллятора. Если движение периодическое, то траектория на поверхности тора после нескольких витков замыкается. Если движение квазипериодическое, то траектория проходит сколь угодно близко от любой точки на торе. [c.274]

Одним из основных достижений Ньютона было осознание того факта, что динамика реальных систем описывается дифференциальными уравнениями второго порядка. Конечно, в этом вопросе Ньютон имел предшественников, в первую очередь Галилея, который ввел в механику понятие ускорения и получил простейшие уравнения второго порядка для описания свободного падения тел в пустоте. Для того чтобы свести уравнения движения к исследованию динамической системы (к уравнениям первого порядка), приходится удваивать размерность пространства положений и вводить вспомогательное фазовое пространство. Между тем, как правило, нас интересуют не сами фазовые траектории, а лишь их проекции на конфигурационное пространство. [c.93]

Здесь 7 — любой замкнутый контур на конфигурационном пространстве М. Этот факт обобщает наблюдение Картана ([28], п.24), что дифференциальные уравнения траекторий и дифференциальные уравнения вихревых линий в гидродинамике идеальной жидкости допускают один и тот же линейный интегральный инвариант. [c.113]

К изучению биллиардов в многоугольниках и многогранниках сводятся некоторые задачи классической механики. Пусть на отрезке движется п 2 материальных точек, упруго отражающихся друг от друга и от концов отрезка. Так как порядок точек на отрезке при их движении не меняется, то конфигурационным пространством этой системы является симплекс. Можно показать, что закон упругого столкновения частиц приводит к отражению траектории от границы этого симплекса по закону угол падения равен углу отражения . [c.177]

На рис. 5.2 условно изображено расширенное пространство состояний. Кривая Л В С —траектория изображающей точки. Кривая АВС — ее проекция на расширенное конфигурационное пространство ). [c.298]

Перейдем теперь от переменных д, к переменным д, р, т. е. от пространства состояний к фазовому пространству ). Условно изобразим расширенное фазовое пространство (рис. 5.3). Траектория изображающей точки в расширенном конфигурационном [c.300]

Траектории в конфигурационном пространстве уже могут пересекаться (рис. 9). Однако исследование характеристик траектории только в конфигурационном пространстве представляет часто самостоятельный интерес при изучении различных явле- [c.38]

Для неголономных связей подобная геометрическая интерпретация виртуальных перемещений не будет справедливой. В частности, наличие неголономных линейных связей не накладывает никаких ограничений на начальное и конечное положения точки в конфигурационном пространстве, стесняя лищь множество траекторий, которыми эти точки допускается соединять. Отметим еще, что для [c.336]

Если возмущения отсутствуют (e = 0), то ж = onst и в конфигурационном пространстве (qi,q2) уравнения (13) определяют эллипс. То есть каждая точка фазового пространства ж определяет единственную эллиптическую траекторию в пространстве q, и наоборот, каждой эллиптической траектории в пространстве q соответствует единственная неподвижная точка в пространстве ж. Среди эллиптических траекторий есть вырожденные. Как уже выше было отмечено, стоячим волнам соответствуют отрезки прямых в пространстве q, а бегущим волнам — окружности. В первом случае х в (13) должен удовлетворять условию [c.373]

Из анализа эллиптических движений (/г < О или е < 1) в задаче двух тел ( 7(р) 1/р) следует, что независимо от начальных данных, когда ф изменяется на 2т1, радиус р совершает полное колебание, например от р1 до р2 и обратно до р1, т.е. значение р(фо) совпадает с р(фо + 2к). Можно показать, что такой периодический характер движения сугцествует только при С/(р) 1/р и С/(р) р . Во всех остальных случаях Щр) для почти всех начальных данных, при которых движение остается ограниченным, период полного колебания по р не будет рационально соизмерим с 2к. Например, для потенциала С/(р) = - х/р + е/р , где е - малое число, в общем случае движение в конфигурационном пространстве (р, ф) происходит уже по незамкнутой кривой, типа представленной на рис. 107. Если е достаточно мало, то движение на каждом обороте близко к движению по эллипсу, однако угол со, который определяет положение перицентра эллипса, медленно, со скоростью, пропорциональной 8, изменяется с течением времени. К такому эффекту приводит учет, например, в задаче двух тел песферичности одного из тел или эффектов общей теории относительности. При этом так же, как для задачи о движении точки по поверхности (см. 4.10), для специальных начальных данных траектория движения в плоскости (р, ф) может замкнуться через п оборотов, число которых будет велико при малом 8. [c.281]

Если возмущение отсутствует (е = 0), то любая траектория рассматриваемой системы в конфигурационном пространстве является всюду плотной в многомерном параллелепинеде, если собственные частоты несоизмеримы (нерезонансный случай). Если же какой-либо резонанс имеет место, то существует нодиространство, в котором любая траектория представляет собой замкнутую кривую. Такие кривые называются фигурами Лиссажу. Они неустойчивы но отногиению к исчезающе малым возмущениям либо исчезают совсем, либо переходят в фигуры иной формы. [c.162]

Если = О, то в системе х = еХ[х) решениями являются х = onst и в конфигурационном пространстве исходной системы траектория q = [Е ost, Е sin t)x является эллипсом. Таким образом, каждая точка фазового пространства х определяет конкретную эллиптическую траекторию в пространстве q. [c.164]

Изложение применения метода Монте-Карло для исследования жидкостей будет неполным, если хотя бы кратко не коснуться его соотношения с методом молекулярной динамики, рассмотренным в гл. 4 первого тома. Объединяет оба эти метода то, что они применяются к малым конечным системам, используют одинаковые периодические граничные условия, оба дают для подобных систем точные решения, но для различных задач. В методе молекулярной динамики асимптотически точные результаты в принципе получаются путем усреднения по времени функций фазового пространства вдоль одной или нескольких характерных фазовых траекторий системы с помощью интегрирования элементарных уравнений движения Ньютона для системы. Равновесные свойства получаются в результате усреднения по времени, проводимого после затухания переходного процесса, обусловленного выбором начального состояния. В методе Монте-Карло асимптотически точные результаты для средних по различным конфигурациям, определяемых в том или ином статистическом ансамбле, получаются путем усреднения по случайным блужданияль в этом конфигурационном пространстве. (Различие двух методов, заключающееся в том, что в методе молекулярной динамики траектория определена в фазовом пространстве координат и импульсов системы, а в методе Монте-Карло — в конфигурационном пространстве, являющемся проекцией фазового пространства на координаты [c.316]

Пусть в конфигурационном пространстве начальная и конечная конфигурации системы изображаются точками Рх и Р соответственно (см. рис. 4.17, где условно изображена система координат в конфигурационном пространстве в виде прямоугольной декартовой системы). Сплошная линия, соединяющая точки и Рг, есть отрезок траектории изображающей точки в лействи-тельном движении штриховые линии изображают окольны > пути. Введем параметр а так, чтобы каждому положению изображающей точки отвечало некоторое значение о. В точке Р параметр а равен Ох, в точке Рг равен Ог. Пусть ОхСОг. Таким образом, параметр а, непрерывно возрастая от значения ох до значения Ог, однозначно определяет положение изображающей точки как на действительном пути, так и на любом окольном . [c.259]

Задачи динамики могут быть формулированы языком высшей геометрии, если связать каждую динамическую проблему с соответствующей формой метрической геометрии. В общем случае — это нериманова геометрия, причем конфигурационное пространство включает время в качестве координаты, равноправной с другими переменными. Тогда траектории механического движения тел будут представлены кратчайшими или геодезическими линиями такого метрического многообразия, в то время как волновые поверхности (или поверхности действия) становятся параллельными поверхностями. Геодезические же линии могут быть построены как ортогональные траектории к этим поверхностям. Тогда динамические процессы движения корпускулярных систем совпадают с задачей распространения света в оптически неоднородной среде. [c.869]

Так как число столкновений пропорционально времени, то, принимая угол, образуемый двумя исходящими из одной точки конфигурационного пространства траекториями (геодезическими линиями соответствующего риманова пространства), за меру геодезического отклонения, получим, что это отклонение возрастает со временем по экспоненциальнолху закону. Действительно, за время свободного пробега т произойдет в среднем столкновение п молекул, и телесный угол, характеризующий неопределенность направления Здг-мерного вектора скорости, / X 2п [c.175]

Для доказательства теоремы удобно сделать следующее представление для конфигурационного многообразия твердого тела. Всякий поворот по теореме Эйлера может быть задан осью конечного поворота е и углом правовинтового вращения вокруг нее (р. Образуем в трехмерном пространстве вектор <ре, где О < у < тт. Между множеством положений тела и точками введенного шара взаимнооднозначного соответствия нет, поскольку поворот вокруг е на угол тг дает то же самое положение тела, что и поворот вокруг оси —е на угол тт. Однако если мы отождествим диаметрально противоположные точки поверхности этого шара, то получим множество, находящееся с поворотами во взаимно однозначном соответствии. Все замкнутые траектории в шаре могут быть разделены на два типа внутренние траектории (рис. 15а) и траектории с выходом на поверхность и последующим продолжением из диаметрально противоположной, тождественной точки (рис. 156). [c.50]

В рамках такой концепции пластическая деформация образца представлялась как результат эргодического поведения системы дефектов, траектории которых с течением времени заполняют все фазовое пространство. С другой стороны, предполагалось отсутствие иерархической соподчиненности в поведении дефектов под действием силовых полей и термостата. В такой постановке зависимость термодинамического потенциала от конфигурационных координат имеет вид регулярного распределения минимумов, наименьший из которых отвечает устойчивому состоянию, а остальные метастабильным. В результате эволюция системы представлялась как цепочка дебаевских процессов термофлуктуаци-онного преодоления барьеров между минимумами термодинамического потенциала со временами релаксации, определяемыми аррениусовским соотношением. [c.292]

Траектории, описывающие движения механических систем в расширенном конфигурационном и фазовом пространствах, обладают замечательным свойством — они являются экстремалями некоторой вариационной задачи, дсжтавляют стационарные значения функционалу действие. [c.147]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...