Теорема Сен-Венана

Как уже известно, при решении конкретной задачи полуобратным методом Сен-Венана задаются, например, некоторыми компонентами at) тензора напряжений из каких-либо интуитивных соображений, а затем из основных уравнений определя<от остальные компоненты at . При этом может возникать естественный вопрос об однозначности полученного решения. Этот вопрос, возникающий также при решении обратной задачи, снимается теоремой Кирхгофа [c.91]

Постановка задач теории упругости. Уравнение Клапейрона. Теорема единственности решения задач теории упругости. Принцип Сен-Венана [c.341]

Сравнительно подробно трактованы постановка задачи Сен-Вена-на, теорема о циркуляции, вопрос о центре жесткости, вариационные способы решения, тогда как рассмотрение решений для профилей частного вида сведено к минимуму. В гл. VII применение теории функций комплексного переменного ограничено рассмотрением простейших краевых задач, уделено место применениям других средств решения (преобразование Меллина в задаче о клине, операторные решения задач о полосе и брусе с круговой осью). [c.12]

На основании теоремы 3.2 принцип Сен-Венана можно сформулировать так асимптотически наибольшая по модулю собственная функция канонической сингулярной задачи (удовлетворяющая условию затухания или ограниченности напряжений) всегда представляет собой решение Сен-Венана. [c.58]

Теорема 3.3. Если суш,ествует собственная функция (удовлетворяющая условию затухания или ограниченности напряжений) более высокого порядка по сравнению с решением Сен-Венана, то соответствующая краевая задача теории упругости принадлежит классу N. Если такой собственной функции не существует, то соответствующая упругая задача относится к классу S. [c.58]

Легко убедиться непосредственной проверкой, что число Я, = О является собственным значением краевой задачи, а соответствующее ему решение зависит от четырех неопределенных действительных постоянных (при этом используется теорема существования и единственности в классических теориях плоской деформации, изгиба и кручения). Эти постоянные выражаются через величину суммарной растягивающей силы и три составляющих вектора-момента от нагрузок в поперечном сечении 5. Получается классическое решение Сен-Венана (растяжение, кручение и чистый изгиб стержня). Естественно, сюда не входит решение об изгибе поперечной силой стержня конечной длины. [c.69]

Упрощается структура статики. Многочисленные результаты, относящиеся к задачам преобразования сил, объединяются одной теоремой об эквивалентности, которая в традиционном изложении статики отсутствует. Эта теорема имеет и самостоятельное значение. Она может быть использована, например, для конкретизации понятия статической эквивалентности и принципа Сен-Венана в сопротивлении материалов и теории упругости. [c.4]

Заметим еще следующее изменяя задания на круговых границах дополнительной части кольца, мы будем получать различные решения. Это не противоречит теореме единственности, ибо мы не вполне задаемся распределением напряжений на прямолинейных границах, а задаемся только их главными векторами и моментами. Все упомянутые различные решения будут соответствовать различным распределениям внешних напряжений на концах (но дающим одни и те же главные векторы и моменты). Все эти решения в силу принципа Сен-Венана будут мало отличаться друг от друга в частях бруса, не слишком близких к концам, если ширина бруса мала по сравнению с длиной. [c.221]

Функционал Жа принимает минимальное значение. Теорема, обратная к теореме Кастильяно и гласящая, что если Па есть абсолютный минимум, то тензор напряжения должен удовлетворять заданным граничным условиям и уравнениям совместности Сен-Венана, была доказана Саусвеллом (см. список литературы). Для линейно упругих тел эта обратная теорема приводит в результате к уравнениям в напряжениях Бельтрами — Мичелла. [c.130]

Приведенные выше формулировки относятся к среде Мизеса. Легко, однако, установить соответствующие теоремы для произвольной выпуклой поверхности текучести и ассоциированного закона течения. Значение этого закона подчеркнуто В. Т. Койтером, показавшим, что для среды, образованной условием Треска — Сен-Венана и соотношениями Мизеса (3.2), экстремальные теоремы отсутствуют. [c.103]

Если мы отбросим предположение о том, что 5, т), С ие зависят от 5, то придем к следующему приближению. При этом мы должны будем уже считать деформацию вдоль малого участка стержня не постоянной, а изменяющейся равномерно. Если массовых сил нет и первоначально цилиндрическая поверхность была свободна от напряжения, то, как показывает теорема 238, единственно возможным будет решение Сен-Венана. Упругие моменты и растягивающее усилие выразятся теми же формулами, но перерезывающие усилия уже не будут равны нулю. [c.411]

Такие отображения ф называются деформациями. Геометрические свойства деформаций и составляют предмет исследования настоящей главы, где, в частности, показано, что изменения объёмов, площадей и длин, вызванные деформацией ф, определяются соответственно скалярной величиной det Тф ( 1.5), матрицей of Тф ( 1.7, теорема 1.7-1) и правым тензором деформации Коши—Грина С = Тф Тф ( 1.8). Кроме того, как установлено в теоремах 1.8-1 и 1.8-2, тензор деформации Грина—Сен-Венана Е — С — I), отвечающий деформации ф, определяет меру отклонения ф от жёсткой деформации (для которой С = 1). Тензоры деформации С и Е принадлежат к числу основных понятий, на которые опирается изложение в последующих главах. [c.38]

Функцию построенную в теореме 4.2-1, мы также будем называть функцией запасённой энергии. Теперь, по аналогии с равенством, выражающим первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа через градиент первой функции запасенной энергии мы установим соотношение между вторым тензором напряжений Пиолы—Кирхгофа и второй функцией запасённой энергии а именно покажем, что этот тензор является удвоенным градиентом функции Таким образом мы получим ещё один удобный метод распознавания гиперупругих материалов (см. теорему 4.4-3, где он применяется в случае материалов Сен-Венана—Кирхгофа). [c.179]

Теорема 4.4-3. Материал Сен-Венана — Кирхгофа, обладающий функцией реакции [c.185]

Как следует из теоремы 4.4-3, материал Сен-Венана—Кирхгофа является гиперупругим и его функция запасенной энергии имеет вид [c.212]

В стационарных задачах мы встречаемся с системами второго порядка как с постоянными, так и с переменными коэффициентами (однородные и неоднородные тела), со скалярными уравнениями второго порядка (например, в задачах Сен-Венана о кручении или в теории мембран), уравнениями четвертого порядка (равновесие тонких пластин), уравнениями восьмого порядка (равновесие оболочек). Для каждого из этих случаев надо рассматривать несколько краевых условий, соответствующих различным возможным физическим ситуациям. Далее, каждой стационарной задаче теории упругости отвечает динамическая задача, связанная с изучением колебаний в рассматриваемой упругой системе. Сверх того, в термодинамике сплошных сред требуется изучать некоторые задачи параболического типа, связанные с диффузией. Кроме всего этого, при исследовании материалов с памятью нужны теоремы существования для определенных [c.7]

Ряд результатов представляет общий интерес для математической теории упругости. Это — неравенства Корна в конечных и перфорированных областях, обоснование принципа Сен-Венана, асимптотика решений системы теории упругости на бесконечности и ряд других вопросов. Много места уделено теоремам существования и единственности обобщенных решений краевых задач теории упругости в конечных и бесконечных областях. Эти задачи исследуются единым функциональным методом на основе теоремы Рисса о представлении функционала в гильбертовом пространстве. [c.8]

Еще один вариант принципа Сен-Венана устанавливает Теорема 7.3. Пусть т х)—обобщенное -периодическое по решение системы [c.59]

Теорема 7.7 (обобщенный принцип Сен-Венана). Пусть и х) является обобщенным Апериодическим по х решением системы [c.65]

Оценки решений типа Сен-Венана (см. теоремы 7.2, 7.3, 7.7) позволяют доказать существование и единственность решений для задачи (8.11) в классах растущих при х ->оо вектор-функций. Теорема 8.3. Пусть [c.70]

Разделы, касающиеся метода фотоупругости, двумерных задач в криволинейных координатах и температурных напряжений, расширены и выделены в отдельные новые главы, содержащие многие методы и решения, которых не было в прежнем издании. Добавлено приложение, относящееся к методу конечных разностей, в том числе к методу релаксации. Новые параграфы, включенные в другие главы, относятся к теории розетки датчиков деформаций, гравитационным напряжениям, принципу Сен-Венана, компонентам вращения, теореме взаимности, общим решениям, приближенному характеру решений при плоском напряженном состоянии, центру кручения и центру изгиба, концентрации напряжений при кручении вблизи закруглений, приближенному исследованию тонкостенных сечений (например, авиационных) при кручении и изгибе, а также к круговому цилиндру при действии пояскового давления. [c.14]

Теорема 3.1 доказывается в следующих параграфах для наиболее типичных канонических задач. В число однородных решений, естественно, входят решения Сен-Венана, которыми мы будем в общем случае называть однородные решения, дающие конечные главный вектор и главный момент. Эти решения получаются из обычной теории изгиба, растяжения и кручения стержней, а также отвечают решениям задач о сосредоточенной силе и сосредоточенном моменте в вершине клина и в вершине конуса (в случае слоя рехиение Сен-Венана соответствует чистому изгибу и однородному растяжению). Однородные реще-ния, не являющиеся решениями Сен-Венана, по определению дают главный вектор и главный момент, равные или нулю, или бесконечности. [c.55]

Для доказательства второй половины теоремы 3.3 йужно быть уверенным в том, что, если некоторая собственная функция имеет тот же порядок, что и решение Сен-Венана, то эта собственная функция с точностью до множителя есть решение Сен-Венана. Это утверждение доказывается ниже для наиболее типичных случаев. [c.58]

Свая под действием горизонтальной циклической нагрузки 362, 363 Сен-Венана принцип 38 Собственные значения 294, 299 Сравнение МКЭ и МГЭ 16—19 Стокса —Гельмгольца теорема 288 Стокса теорема 473 Схемы численного йнтегрирования для ячеек тетраэдральных 483 -----треугольных 482 [c.488]

ТЕЛА С НАЧАЛЬНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ . ВТОРАЯ ТЕОРЕМА КАСТЙЛИАНО И ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА [c.101]

Наибольшее развитие, в связи с задачами, вставшими перед создателями паровых турбин, получила газовая гидравлика, предметом изз чения которой явились одномерные течения сжимаемого газа с большими до- и сверхзвуковыми скоростями по трубам и соплам, вопросы истечения газа из резервуаров и тому подобные явления. Это направление механики сжимаемого газа нашло опору в общих теоремах количеств движения, теореме Бернулли, баланса энергии, а также в основных закономерностях термодинамики газа. Наиболее популяр-цым и важным результатом этого направления следует признать классическую формулу Сен-Венана и Ванцеля (1839), связывающую скорость адиабатического истечения газа с давлением и плотностью газа в резервуаре и с противодавлением. [c.29]

Если решать задачи упругого равновесия по методу Сен-Венана, задаваясь из механических соображений значениями компонентов напряжённого состояния и применяя уравнения упругого равновесия Коши (4.24) и статические граничные условия (11.43), то главная трудность будет состоять в удовлетворении шести тождественных соотношений Бельтрами (4.48) и (4.50). Но из теоремы Саутуэлла ( 122) вытекает, что тождественные соотношения Сен-Венана являются следствием вариационного уравнения Кастилиано (11.70) [c.445]

Итак, обе системы сил, распределённые по произвольно взятому участку края плиты, дают один и тот же главный вектор и главный момент, т. е. статически экзивалентны друг другу. Этот результат, состазляющий содержание теоремы В. Томпсона, совместно с принципом Сен-Венана даёт основание при формулировании силовых краевых условий считать заданными по краю плиты изгибающий момент и величину [c.211]

Должна лежать в соприкасающейся плоскости той кривой, по которой располагается изогнутая ось, и когДа Бине (В1пе1) ввел уравнение моментов относительно касательной, то Пуассон на основании этого уравнения пришел к заключению,-что крутящий момент постоянен. Лишь постепенно возникло представление о двух изгибающих пара в двух главных плоскостях, и был найден способ определения меры закручивания. Когда эти элементы теории были получены, стало ясно, что, зная соотношения, связывающие, изгибающие и крутящие моменты с кривизной и степенью кручения и пользуясь обычными условиями равновесия, можно определить форму изогнутой оси, степень кручения стержня вокруг этой оси, а также растягивающую и Перерезы вающую силу в любом данном сечении. Изгибающие и крутящие. пары, а также растягивающая и перерезывающая силы, происходят от усилий, приложенных к, элементам поперечных сечений, и правильные выражения для этих пар и сил следует искать при помощи общей теории. Но здесь возникает затруднение, состоящее в том, Что общие уравнения применимы лишь тогда, когда смещения малы между тем для таких тел, как спиральные пружины, смещения ни в коем случае нельзя считать малыми. КирхГоф (КтеЬЬоК) первый преодолел Это затруднение. Он показал, что общие уравнения применимы со всей строгостью к малой части тонкого стержня, все линейные размеры которой того же порядка малости, что и диаметры, поперечного сечения. Он считал, что уравнения равновесия или движения такой части можно в первом приближении упростить, пренебрегая силами -инерции и массовыми силами. Исследования, содержащиеся в теории Кирхгофа, носят в значительной своей части кинематический, характер. Когда тонкий стержень подвергается изгибу и скручиванию, то каждый его элемент испытывает деформацию, аналогичную тем деформациям,. которые имеют место в призмах Сен-Венана но соседние элементы должны непрерывным образом переходить один в Другой. Для того чтобы выразить непрерывность этого рода, необходимы некоторые условия. Эти условия принимают форму диференциальных уравнений, которые связывают относительные смещения точек малой части стержня с относительными координатами этих точек и с величинами, которые определяют положение данной части относительно всего стержня в целом. Из этих диференциальных уравнений Кирхгоф получил картину деформации в элементе стерл я и нашел выражение для потенциальной энергии, отнесенной к единице -длины, через относительное удлинение, компоненты кривизны и степень кручения. Он получил уравнения равновесия и колебаний, варьируя функцию, Выражающую энергию. В случае, когда тонкий стержень подвергается действию внешних сил, приложенных лишь иа его концах, уравнения, которыми определяется форма изогнутой оси, идентичны, как показал Кирхгоф, с уравнениями движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта теорема носит название кинетической аналогии Кирхгофа . [c.36]

Поскольку материалы Сен-Венана—Кирхгофа представляют собой простейшую нелинейную модель упругих материалов (в том смысле, что класс таких материалов является простейшим 1 из классов материалов, удовлетворяющих теореме 3.8-1), их ши-, роко используют в конкретных расчётах в качестве модели материала, часто в сочетании с методами конечных элементов (см., например, Oden [1972] и Washizu [1975]). [c.162]

Отметим, между прочим, что, объединяя этот результат с теоремой 4.4-1, мы получим ещё одно доказательство независимости от системы отсчёта и изотропности материала Сен-Венана—Кирхгофа. Следует также обратить внимание на то, что третий главный инвариант 13 = с1е1 С не входит в выражение для функции запасённой энергии материала Сен-Венана—Кирхгофа. [c.186]

Хотя второе выражение для напоминает функцию запасённой энергии из теоремы 4.9-2 для материала Огдена, мы сейчас покажем, что функция запасённой энергии материала Сен-Венана—Кирхгофа не является поливыпуклой, в основном за счёт того, что функция ( vf -I- - - и ) входит в неё с отрицательным коэффициентом. Однако данное наблюдение не может служить доказательством, поскольку указанное выше представление в виде функции от (Р, ofF, detf) неединственно (отсутствие ела- [c.212]

Замечания. (1) Результат, аналогичный теореме 4.10-2, можно доказать для материалов Огдена, функция запасённой энергии которых даже ещё более похожа на соответствующую функцию для материалов Сен-Венана—Кирхгофа (упражнение 4.23). [c.216]

Теорема 7.2 (принцип Сен-Венана). Пусть з, Н —целые числа, такие, что з>Ь>0, и пусть и х)—обобщенное -периодп ческое по х решение системы [c.58]

Следующая теорема представляет собой вариант теоремы типа Фрагмена—Линделефа и является следствием обобщенного принципа Сен-Венана (теорема 7 7). [c.67]

Распростраиение теорем о предельной нагрузке на общее условие текучести. Доказанные выше теоремы относились лишь к условию текучести Мизеса. Между тем неоднократно подчеркивалось значение других условий текучести, в частности условия текучести Треска — Сен-Венана. Теоремы о предельной нагрузке нетрудно доказать для общего выпуклого условия пластичности f G j) = K при ассоциированном законе течения ( 16). [c.298]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...