Задача программирования оптимального управления

Дальнейшее развитие получила в 50—60-х годах теория оптимальных систем. Алгоритмы строго оптимальных управляющих устройств могут оказаться весьма сложными. Однако для систем не очень высокого порядка п — 3 -ь- 4) можно получить вполне приемлемые по простоте и весьма близкие к оптимальным алгоритмы управления. Задача об оптимальном управлении в общем случае была решена в 1956 г. Л. С. Понтрягиным и его учениками. Ими был установлен принцип максимума, позволивший решать широкий круг задач теории оптимальных систем. В дальнейшем был получен другой оригинальный вывод принципа максимума и была доказана достаточность этого принципа для линейных систем была впервые выяснена связь между принципом максимума и динамическим программированием и был выведен принцип максимума для линейных дискретных систем. На основе принципа максимума была развита теория оптимальных систем, в которых управляемый объект характеризуется распределенными парамет- [c.271]

Другой подход в решении задач об оптимальном управлении динамических систем связан с динамическим программированием. Указанные методы также удалось использовать в теории систем с распределенными параметрами (см., например, [34, 95]). Главная проблема здесь состоит в следующем. Для конечномерных систем известен факт ( проклятие размерности ), который заключается в том, что вычислительные трудности в практическом решении задач нарастают лавинообразно с увеличением порядка системы и с некоторого уровня перерастают в принципиальные сложности. Поэтому при изучении бесконечномерных систем методами динамического программирования требуется выделить классы систем, для которых удается предложить практически приемлемую процедуру построения точных или приближенных решений. [c.7]

В качестве одного из примеров задачи выпуклого программирования, нашедшей приложение при решении задач об оптимальном управлении линейными системами, укажем следующую проблему найти минимум [c.195]

Как и в случае обычных задач об оптимальном управлении, проблема синтеза оптимальных игровых систем исследовалась исходя из двух основных позиций. Одно направление исследований связано с идеями динамического программирования, другое использует вспомогательные программные задачи. [c.224]

После того как определены две указанные характеристики процесса, решение задачи оптимального управления сводится к определению значений выходных параметров, которые оптимизируют целевую функцию. При решении этой задачи можно использовать различные методы оптимизации, применяемые для задач стационарного оптимального управления. Эти методы включают дифференциальное исчисление, линейное и динамическое программирование, вариационное исчисление [13]. Все указанные математические методы применимы к рассмотренному классу задач в стационарных системах оптимального управления. [c.441]

Применение принципа компенсации затрат и принципа декомпозиции игры АЭ [59] позволяет получать аналитические решения задач определения согласованного (побуждающего АЭ выбирать действия, совпадающие с назначаемыми центром планами) управления. Это управление параметрически зависит от планов (предпочтительных с точки зрения центра состояний АЭ), следовательно, необходимо формулировать и решать задачу согласованного планирования - определения оптимальных значений планов. На этом этапе эффективным оказывается применение методов динамического программирования, оптимального управления и др. [9- [c.1204]

Другой подход к определению оптимального управления дает метод динамического программирования. При этом используется дискретная форма вариационной задачи и функционал (6.22) заменяется суммой [c.224]

Теперь задача заключается в выборе таких управлений Цо, и которые обеспечивают минимальное значение суммы (6.27). Следует иметь в виду, что таким образом могут определяться оптимальные управления объектов, для которых предыстория не имеет значения при формировании последующих управляющих воздействий. К таким объектам относятся объекты, поведение которых описывается разностными и обыкновенными дифференциальными уравнениями. Метод динамического программирования дает вычислительную процедуру, удоб-224 [c.224]

Эти методы (в особенности методы математического программирования) позволяют решать достаточно общие задачи оптимизации и оптимального управления. Указанные методы освещены в специальной литературе. [c.555]

Решение задач оптимального управления ПР основано на использовании принципа максимума Л. С. Понтрягина и метода динамического программирования. Поиск оптимального решения многовариантной задачи производится с использованием ЭВМ. [c.521]

В последние годы было выяснено, что задача определения предельных и приспособляющих нагрузок в математическом отношении является проблемой математического программирования (оптимального планирования) и, следовательно, может изучаться на основе специальных методов, получивших развитие, главным образом, в связи с задачами управления и планирования и широко использующих ЭВМ [67, 187]. Методы линейного программирования были применены в работах [87, 142, 205] к анализу предельного равновесия пластин и оболочек, а в цикле статей [181, 182 и др.] —к задачам предельного равновесия, приспособляемости и оптимального проектирования стержневых систем. [c.10]

Рассмотренный в предыдущей главе статический метод, в общей постановке сводящий задачу о приспособляемости (и предельном равновесии) к проблеме математического программирования, является весьма эффективным и универсальным. Однако его использование связано со сложными вычислениями. При применении ЭВМ требования к объемам запоминающих устройств в общем случае довольно высоки и возможности получения решений пока еще далеко не безграничны. Использование методов оптимального управления приводит в общем случае к необходимости решения нелинейных дифференциальных уравнений. Поэтому заслуживают внимания другие методы, хотя и не столь универсальные, но позволяющие получать достаточно простыми средствами приемлемые по точности результаты применительно к отдельным классам задач, представляющим интерес для приложений. [c.88]

Очень важно обеспечить удобное взаимодействие транслятора графического языка с трансляторами универсальных языков, используемыми для программирования проектных задач. Это облегчает управление процессом подготовки графических данных для ЭВМ и избавляет от необходимости разработки дополнительных управляющих программ. Транслятор, кроме того, должен быть гибким и легко изменяемым, так как пользователи не имеют, как правило, опыта в создании трансляторов алгоритмических языков. Необходимость реализации изменений вытекает из характера графического языка. Оптимальный набор операторов языка не является фиксированным множеством, а зависит от специфики проектных задач, решаемых конкретным пользователем. [c.169]

В третьих, в последнее время большое развитие получает теория оптимальных процессов в управляемых динамических системах, центральным вопросом которой является стабилизация заданного движения [8, 85, 107]. Выяснилось, что квадратичные функции Ляпунова могут быть широко использованы для решения проблем синтеза оптимальных управляемых систем с обратной связью, так как они тесно переплетаются с методами динамического программирования в задачах оптимального управления [77, 107]. [c.531]

Добавляя критерий оптимальности и ограничения, можем сформулировать задачу оптимального управления найти такое управление (воздействие приводного механизма на простейшую модель), которому соответствует экспериментальное значение критерия оптимальности при заданных ограничениях. Задачу можно решать разными методами с помощью принципа максимума Понтрягина [5 [4, 8—10, 12, 25, 41, 48 и др.]) динамического программирования [5] вариационными [44] используя инженерные рассуждения [1, 7, 13, 22, 29, 32, 34, 41 и др.] численными [44] ([27]) моментов ([46]). [c.119]

Задача математического программирования однозначно может быть сформулирована как задача оптимального управления [98], в связи с чем функция цели является функцией управления, параметры напряженно-деформированного состояния — переменными состояния и т. д. [c.202]

Общим свойством таких конструкций оказалось постоянство мощности диссипации энергии в единице объема тела, во всех точках которого должно происходить пластическое течение. На основе этой теории решены некоторые задачи оптимального проектирования плит и оболочек. Если рассматривать конструкцию как некоторую большую систему, для которой надлежит найти оптимальное управление, то для задач оптимального проектирования весьма полезными оказываются такие методы технической кибернетики, как динамическое программирование и принцип максимума Л. С. Понтрягина. [c.271]

Заключительный 4.3 главы состоит из двух частей. В каждой из них рассматривается задача об оптимальном программировании реактивного ускорения как результата действия силы тяги реактивного двигателя. В первой части эта задача анализируется в рамках классического вариационного исчисления, когда на минимизируемый функционал качества накладываются дополнительные дифференциальные (неголономные) и краевые условия. Большое внимание уделяется изучению свойств оптимального режима движения и выявлению его особенностей в критических точках траектории. Во второй части параграфа для решения аналогичной задачи предлагается воспользоваться методами теории оптимального управления, поскольку на управление (реактивное ускорение) дополнительно накладываются ограничения в виде неравенств. В качестве универсального средства синтеза оптимального управления выбран принцип максимума Понтрягина. [c.106]

В практических задачах ограничения нередко образуют некоторое замкнутое множество допустимых значений управлений. В таких случаях решение соответствующей задачи оптимального управления на основе классических методов вариационного исчисления становится невозможным. В рамках подобных задач и были созданы принцип максимума Понтрягина и метод динамического программирования Беллмана, образовавшие ядро современной математической теории управления. [c.63]

Рахимов М. Применение метода динамического программирования и спектрального разложения в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами Дис.. .. д-ра физ.-мат. наук. — М., 1989. — 296 с. [c.169]

Важное значение имеет планирование оптимального управления движением поездов. Для этой цели производят технико-экономические тяговые расчеты с поиском оптимального варианта перевозок для разработки графика движения поездов, для составления режимных карт вождения поездов и других практических целей. Чаще всего такие задачи имеют многовариантные решения для определения экстремальных величин максимума веса или скорости поездов или минимума приведенных расходов на перевозку, или минимума расхода топлива при заданном времени хода и др. Методы классической математики для решения таких задач непригодны по трудоемкости, ненадежности отыскания экстремума, если их много, по невозможности дифференцировать функции дискретного, а не непрерывного вида. Метод перебора вариантов управления поездом при возможных режимах на каждом шаге расчета на ЭЦВМ оказывается непосильной задачей даже для быстродействующих машин. Современные методы прикладной математики по принципу целенаправленного поиска оптимальных решений открывают возможности в ближайшем времени определять режимы управления поездом оптимальные не только по критерию минимальных затрат энергии, но и по минимуму приведенных расходов. Таким образом, управление сложными тепло-электромеханическими процессами получит экономическое обоснование. Перспективными в этом отношении являются методы математической теории оптимальных процессов и методы динамического программирования. Практический интерес представляет второй метод. Сущность его состоит в рассмотрении движения поезда как многошагового процесса, при котором оптимальное управление находится на каждом шаге с учетом результатов управления в целом. [c.264]

Разработаны многочисленные методы решения задач оптимизации при различных видах целевой функции, уравнениях связи и типах ограничений (градиентные, случайного поиска, динамического программирования, принцип максимума Понтрягина и др.), позволяющие решать достаточно общие задачи оптимизации и оптимального управления. [c.624]

После определения переменной состояния входа из условия минимума функции 5 (уо), преступают к определению оптимальных управлений для всех стадий процесса, соответствующих выбранной величине = о (рис. 5.12). Вторым этапом решения задачи оптимального управления методом динамического программирования является определение оптимальных управлений для всех стадий. Здесь порядок расчета следующий. [c.57]

Эти особенности предопределяют использование самых разнообразных подходов к решению задачи оптимизации. Широкое распространение получили аналитические и численные методы оптимального управления, вариационного исчисления, математического программирования. Последний подход в некоторых отношениях оказывается наиболее общим и эффективным. Он позволяет единообразно решать оптимизационные задачи различных видов, учитывать ограничения на вектор V. К настоящему времени действенность этого подхода продемонстрирована на многих примерах [15, 25]. [c.38]

В рамках АСУ склада, как показано выше, решается комплекс оптимизационных задач математического программирования оптимальное адресование грузов, распределение порожних, груженых ТС и взаимозаменяемых ПТМ между грузовыми пунктами и др. В детерминистической постановке параметры управления а также и такие величины, как загрузка ТС, производительность ПТМ, затраты на перемещение грузов в этих задачах принимаются средними. В действительности эти величины являются случайными и значительно колеблются от их средних значений. Замена случайных моделей детерминистическими не всегда оправдана и может привести к неправильным результатам, поэтому в условиях неполной информации могут оказаться весьма полезными методы стохастического программирования [5]. [c.232]

Оптимальный выбор параметров оптимизации tu , tk возможен лишь с помощью метода динамического программирования, для чего необходимо преобразовать вспомогательную задачу к функциональному уравнению Беллмана. Для этого вместо моментов переключений рассмотрим интервалы постоянства управлений Ti. Тогда условие (7.38) заменяется соотношением [c.216]

После того как принцип максимума и его доказательство были опубликованы, появилось много работ, где были даны различные трактовки этого необходимого критерия оптимальности. Кроме того, появилась также большая серия работ, где принцип максимума прилагался к решению той или иной конкретной задачи. Полный обзор этих исследований в настоящем кратком очерке невозможен. Некоторые из результатов, относящихся к данным вопросам, будут обсуждены ниже при изложении развития классических вариационных методов исследования и в связи с обобщениями задач об оптимальном управлении и соответствующими обобщениями критериев оптимальности. Здесь отметим два важных результата, дополнивших первоначальную теорию принципа максимума. Был дан вывод принципа максимума, базирующийся на непосредственном вычислении первой вариации минимизируемого функционала. Была обсуждена связь этого принципа с теми соотношениями, которые следуют для аналогичных задач, если их исследовать исходя из теории динамического программирования, разработанной в США Р. Беллманом (см. 13). Эти вопросы были разработаны в серии статей Л. И. Розоноэра (1959). [c.189]

Большое место среди вычислительных методов занимают процедуры, связанные с постепенным уменьшением минимизируемой величины / за счет направленной деформации допустимых траекторий х ( ), вызванных подходяш,им изменением допустимых управлений и 1). Эти методы обычно так или иначе связаны с известными прямыми методами вариационного исчисления, а также с новыми методами нелинейного программирования. В частности, к числу таких методов относится процедура, связанная с последовательностью элементарных операций, позволяющих определять эффективно отрезки оптимальных траекторий, связывающих близкие точки, и таким путем строить из этих отрезков последовательность траекторий, сходящихся к оптимальному движению. Наконец, эффективным методом численного решения задач об оптимальном управлении являются градиентные методы, опирающиеся на непосредственное вычисление и оценку вариации Ы и восходящие, таким образом, к работе Д. Е. Охоцимского (см. 3, стр. 183). Этот метод оказывается работоспособным в тех, например, случаях, когда удается эффективно выразить зариацию Ы минимизируемой величины I в виде [c.200]

Сопоставление расчетов с экспериментальными результатами разных авторов, относящихся к диффузорам с прямоугольными и криволинейными образующими, показывает удовлетворительную корреляцию, поэтому в одиннадцатой главе на основе описанного метода исследуются конкретные вопросы оптимизации диффузоров. Для поиска оптимальных конфигураций используется оптимальное управление заданного вида (ОУЗВ), в результате чего задача оптимизации сводится к задаче нелинейного математического программирования. Показаны индивидуальные особенности рассматриваемой задачи, а также новые улучшения ОУЗВ. Приводятся характерные формы оптимальных диффузоров и физическая картина движения в них. Показано влияние различных факторов (профиля скорости, габаритов и т.п.) на изменение формы оптимальных диффузоров. Даны конкретные примеры существенного улучшения гидро- и аэродинамического качества диффузоров за счет оптимизации. [c.9]

Любой из распространенных способов применения линейного программирования является целевой функцией в виде суммы дохода, экономии или затрат, решаемой математическим методом, с помощью которого отыскивается такая оптимальная комбинация использования ресурсов, при которой целевая функция достигает наиболее выгодного (максимального или минимального) значения. После того, как найден оптимальный план использования ресурсов — будь то единицы разнообразного оборудования на фанерном заводе, давшие повод Л. В. Канторовичу впервые в мире предложить и обосновать метод [11 ], будь-то маршруты перевозок в транспортной задаче или дефицитные материалы, оптимальное использование которых составляет вопрос народнохозяйственного значения — во всех случаях можно однозначно (детермини-рованно) предсказать материальный и экономический результат оптимального плана, а его осуществление, с другой стороны, не требует никаких дополнительных математических исследований. Примерно так же обстоит дело с методом оптимального управления Л, С. Понтрягина [21 ], когда с помощью вариационного исчисления выбирается оптимальная в заданном отношении программа последовательных изменений материальной системы — будь-то прокатный стан, выполняющий заданную операцию, агрегат на химическом заводе, метеорологическая ракета, самолет при посадке и пр. [c.8]

Однако далеко не всегда удается определить и обосновать весовые коэффициенты. Существует принципиально иной подход к поставленной проблеме — векторная оптимизация, который наиболее детально разработан М. Е. Салуквадзе для широкого круга задач оптимального управления (программирования оптимальных траекторий, аналитического конструирования оптимальных регуляторов, исследования операций и др.) [5.47]. Указанный подход был применен для оптимизации параметров теплообменных аппаратов по нескольким критериям качества [5.48]. Сущность метода заключается в определении идеальной (утопической) точки в пространстве критериев качества и введении нормы в этом пространстве, с помощью которой находится реальная точка в пространстве оптимизируемых параметров, характеризующаяся наибольщей близостью критериев качества к своим наилучщим значениям. [c.218]

Решение задач оптимального управления строится при помощи-принципа максимума Л. С. Понтрягина, метода динамического программирования и других методов теории оптимальных процессов [6, 14, 16, 23, 24]. Для колебательных систем со многими степенями свободы задачи оптимального управления представляют, как правило, значительные математиче ки е и вычислительные трудности. Применение вычислительных методов, эффективных для построения программных управлений, затруднено в случае построения синтеза оптимального управления. [c.370]

Целью оптимизации является отыскание внутри этой области изображающей точки, обращающей в максимум критерий качества (отыскание оптимального управления). Очевидно, при наличии ограничений точка оптимального управления может лежать на границе области работоспособности. Таким образом, задача оптимизации струйных элементов является задачей на условный экстремум. Задача отыскания условного экстремума может быть решена методами вариационного исчисления, либо методами линейного или нелинейного программирования и т. д. в зависимости от математического выражения целевой функцип и наложенных ограничений. [c.27]

Задачи настоящего параграфа составлены в расчете на читателя, владеющего аппаратом оптимального управления, в частности, процедурой и идеями принципа максимума Л. С. Понтрягина и методом динамического программирования Р. Веллмана. Помимо решения задач механики методами оптимального управления, цель раздела состоит и в том, чтобы продемонстрировать роль методов аналитической механики в теории оптимального управления. [c.273]

Вторую группу работ, относящихся к теории динамического программирования, составляют исследования конкретных классов задач. При этом речь идет прежде всего о выделении таких классов этих задач, для которых метод динамического программирования позволяет находить оптимальное управление [t, х в замкнутой форме или по крайней мере позволяет указать эффективно реализуемую вычислительную процедуру. Важный круг таких задач определился в результате исследований, начатых А. М. Летовым (1960), где была сформулирована задача об аналитическом конструировании оптимальных регуляторов. Первоначально эта задача была сформулирована как проблема стабилизации невозмущенного программного движения х (t) О за счет управляющего воздействия и [д ], которое обеспечивает асимптотическую устойчивость движения д (г) = О относительно возмущений х (i), описываемых в линейном приближении уравнениями [c.206]

Трудно указать те теоретические работы, в которых на деле было начато исследование проблем оптимального преследования. Основные публикации появились в конце пятидесятых годов, а большая часть литературы по дифференциальным играм относится к шестидесятым годам. Следует заметить также, что по крайней мере в теории синтеза игровых оптимальных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, советские публикации занимают пока в мировой литературе, пожалуй, сравнительно меньший объем, нежели в других основных разделах теории оптимального управления. Условия минимакса, характерные для игровых задач, фигурируют во многих проблемах, разрабатываемых в рамках теории динамического программирования. Широкому кругу конкретных задач из теории дифференциальных игр посвящена специальная монография Р. Айзекса Дифференциальные игры (1965 русский перевод М., 1967). [c.221]

Динамическое программирование пока не нашло широкого применения при исследовании систем с распределенными параметрами. Были исследованы лишь отдельные классы задач, связанные главным образом с проблемой минимума квадратичных функционалов. При этом, в частности, были выведены соотношения, определяюш,ие оптимальное управление, которое стабилизирует рассматриваемый объект и обеспечивает при этом минимум интеграла от заданного квадратичного функционала от фазовых координат и управляюп их функций. Кроме того, методом динамического программирования были изучены некоторые задачи об управлении стохастическими объектами с распределенными параметрами. Этим вопросам посвящены исследования Э. М. Вайсборда и Т, К. Си-разетдинова. [c.240]

Динамическое программирование является одним из методов решения задач оптимизации при принятии решений. Основные преимущества этого метода прежде всего, оп позволяет найти глобальное оптимальное решение оптимизация ведется по одной переменной рекуррентная формула (уравнение) Беллмана удобна для программирования. Ограничением метода является размерность задачи, так как приходится хранить результаты оптимизации всех этапов. Но гораздо более серьезные затруднения возникают при применении метода динамического нрограммирования для оптимизации многостадийных процессов, для которых размерности векторов состояния и управления щ велики, из-за сложности отыскания оптимальных управлений на каждой стадии. Поэтому следует стремиться, чтобы размерность стадии оптимизируемого объекта была по возможности невысокой. [c.58]

Сформулированная задача обладает свойством аддитивности и отсутствия последствия, ее решение может быть пайдепо с помощью алгоритма решения задач динамического программирования, реализуемого в два этапа. На первом этапе при движении от начала 5-го года к началу 1-го года для каждого допустимого состояния оборудования находится условное оптимальное управление, а на втором этане нри движении от начала 1-го года к началу 5-го года из условных оптимальных решений составляется для каждого года оптимальный план замены оборудования. [c.62]

Математическую основу решаемых задач оптимизации составляют методы математического программирования [15, 21, 25, 96]. В последние годы развивается и другой подход к решению задач оптимизации — в его основе лежат методы оптимального управления [97]. В работах по синтезу оптических покрытий [98—100], имеющих много общего с задачами синтеза устройств на основе ЛП с Т-волнамн, продемонстрирована эффективность указанного подхода. [c.29]

Развивалась также теория детермированных дискретных оптимальных систем — как импульсных, так и релейно-импульсных. Однако для решения нелинейных задач, относящихся к замкнутым системам со случайными помехами в их цепях — как в прямом тракте системы, так и в цепи обратной связи, необходимо учитывать неполноту информации об объекте и его характеристиках и случайные шумы. Все это потребовало привлечения новых математических средств. Такими средствами явились метод динамического программирования Р. Веллмана, нашедший за последние годы успешное применение в теории оптимальных систем и теории статистических решений. В результате оказалось возможным сформулировать новый круг проблем, а также найти общий рецепт решения задач и решить некоторые из них. Значительная часть этих работ была посвящена теории дуального управления, отражающей тот факт, что в общем случае управляющее устройство в автоматической системе решает две тесно связанные, но различные по характеру задачи первая задача — это задача изучения объекта, вторая — задача приведения объекта к требуемому состоянию. Теория дуального управления дает возможность получить оптимальную стратегию управляющего устройства для систем весьма общего типа [48]. [c.272]

Если математическая модель объекта управления нестационарна, то оптимизация может быть осуществлена методом динамического программирования [55]. Этот метод обычно используют для решения задач, которые могут быть представлены в виде последовательности этапов (шагов). В соответствии с принципом оптимальности Веллмана [55] каждый временный интервал или этап оптимизируется независимо от всех других интервалов. На основе рекуррентного соотношения осуществляется пошаговая процедура оптимизации целевой функции. [c.462]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...