Условие минимакса

Задача оптимального подкрепления (16.94) является обобщенной задачей нелинейного программирования [51 ] с линейными ограничениями на параметры оптимизации (см. (16.92), (16,93) . Функция максимума max kf ( ), I О N суть непрерывная, дифференцируемая по любому направлению, вообще говоря, невыпуклая функция. Ее стационарные то чки, т. е. точки, в которых выполняются необходимые условия минимакса, могут быть найдены, например, при помощи метода (е, ц)-наискорейшего спуска [51 ]. [c.622]

Задача состоит в выборе управлений м [л ], г [х], обеспечивающих минимакс I гг, г , причем Т — момент времени, когда изображающая точка,( ) впервые попадает на многообразие М. При этом, как правило, характер показателя I таков, что условия минимакса I сопровождаются стремлением первого игрока (управление и) привести движение х t) на многообразие М, а стремление второго игрока (управление г ), вытекающее из условий минимакса /, наоборот, направляется на то, чтобы избежать попадания точки х ( ) на М. Для включения рассмотренной выше задачи о преследовании в данную схему в случае ограничений (20.3) следует в качествен выбрать 2тг-мерный вектор г) = 1,. . ., у , 21,. . ., 2 , многообразие М определить равенствами угу = (/ = 1,. . ., А ) и положить в (20.10) ф = 1, 7 = 0 области Ги и Г естественно определяются условиями II и КII г II< V. В случае (20.4) в качестве х мояшо выбрать (2/г + 2)-мерный вектор у, г, [г, V) = 1,. . ., у , 21,. ... . д,, V . Все остальные условия остаются без изменения, за исклю- [c.223]

Другой подход к проблеме синтеза оптимальных игровых систем, опирающийся на вспомогательные конфликтные задачи о программном управлении, обладает тем преимуществом, что он не связан явно с интегрированием уравнений в частных производных, а использует соотношения принципа максимума или уравнения Эйлера — Лагранжа и т. д., т. е. базируется на аппарате обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако взамен этого здесь возникает трудность обоснования и осуществления перехода от решений вспомогательных программных задач к исходной проблеме игрового синтеза. Поясним сказанное. Пусть для системы (20.1)—(20.3) требуется решить задачу о преследовании при условии минимакса времени Т до встречи, т. е, требуется найти-управления и [у, z], v [y, z], обеспечивающие седловую точку для показателя г(т>] = [у (т), г(т)] м ,г при каждом возможном [c.225]

При тех же самых условиях должны суи ествовать. по крайней мере, две -геодезические линии, встречающие данную геодезическую линию типа минимакса талька в двух точках. [c.191]

Независимо от знаков второго и высших дифференциалов все точки, в которых выполняется условие (2), называются стационарными точками, а значения функции в них — стационарными значениями. В стационарной точке второй дифференциал может оказаться ни положительно, ни отрицательно определенным в такой стационарной точке функция не имеет ни минимума, ни максимума. Это так называемая точка минимакса. [c.382]

Необходимым условием наличия экстремума функционала F в точке и° является его стационарность в этой точке. Следовательно, стационарность—более общее свойство функционала в данной точке, чем экстремальность. Функционал может иметь стационарное значение в точке перегиба, минимакса, макси-мина, в седловои точке (см. гл. 2, 2). Задачи об отыскании точек стационарности функционалов вида [c.16]

Левая часть равенства (18) означает производную функционала Fn на подпространстве i при фиксированных U2, X. Так как в (10) отыскивается минимум по и при фиксированном X, то при дополнительном условии (18) равенство (10) сохраняется. В равен- стве (8) минимакс по данным переменным может быть нарушен, так как при отыскании максимума по X при фиксированном и (18) накладывает ограничения на X, и минимакс может быть найден неверно. Равенство (8) сохраняется, если (18) не содержит X тогда в (8) просто сужается область поиска минимума по и. [c.47]

Эту задачу трактуем как дифференциальную игру на минимакс времени, подобную рассмотренной в разделе 4.2. Ее решение, при ограничениях типа (4.2.2), сводится к задаче оптимального быстродействия (с теми же краевыми условиями) для системы типа (4.3.2). [c.225]

Задано условие оптимальности процесса, выражающееся в условии минимума, максимума, минимакса и т. д. некоторого показателя I [и ( )], который является функционалом от переменных х [Ь, и]тя.и 1), описывающих процесс на отрезке времени где он протекает. Например, часто встречаются условия минимума показателя 1, выражающего величину расходуемой энергии или максимум управляющей силы и и т. п. [c.182]

Обсудим теперь некоторые обобщения, связанные с усложнениями постановки задачи и с модификациями методов исследования для проблем об оптимальном управлении. Почти везде выше речь шла о задачах, содержащих условия минимума (или максимума) величин I, являющихся интегралами от функций, заданных на движениях х (i) и управлениях и (t), или являющихся функциями от конечных (или промежуточных) величин X (t) и и (i). Между тем в прикладных задачах об управлении нередко возникают проблемы типа минимакса. Примером такой математической проблемы может служить следующая задача на движениях системы, описываемой уравнением [c.213]

Если речь идет о линейных системах (16.1) и область U и функция Ф в (16.2) обладают подходящими свойствами выпуклости (или вогнутости), то многие такие задачи о минимаксе укладываются в схемы, обсужденные в 10 (см. стр. 193—197). В нелинейных случаях, а также в некоторых линейных нерегулярных случаях приложение описанных выше способов исследования (в частности, принципа максимума или классических критериев вариационного исчисления) потребовало их усовершенствования. Весьма общий подход к выводу необходимых условий экстремума для проблем вариационного исчисления, охватывающий, в частности, широкий круг задач об оптимальном управлении, описан в работах А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина (1963—1965). В этих работах были выведены необходимые условия минимума F (w ) для функционала F (w), заданного на элементах w из некоторого нормированного пространства ly . Допустимые значения предполагаются стесненными условием типа равенств или неравенств. При широких предположениях о геометрических свойствах этих ограничений, которые вместе с условием экстремума порождают в пространстве гг некоторые выпуклые конусы и линейные подпространства вариаций, выводятся искомые необходимые условия минимума. Эти условия сводятся к отсутствию общих точек у открытых частей упомянутых конусов и подпространств. Формулировка этого геометрического факта в терминах линейных функционалов и составляет содержание [c.213]

В дальнейшем, если речь пойдет о минимаксе, будет предполагаться выполнение условий седловой точки противные случаи будут оговариваться. Итак, проблема состоит в определении функций и и , обеспечивающих минимакс величины I и, и) Т. [c.223]

Заметим, чтр указанное условие (существование /о с координатами отличными от нуля) легко проверяемо при п = т. В этом случае числа (/=1, 2,...,т), для которых достигается минимакс, определяются из (17) однозначно. [c.182]

Включение OeL( < >) является строгим условием определения точки минимакса Хо, которая практически никогда не может быть найдена точно приближенными численными методами. Поэтому поиск точки Хо необходимо прекратить, когда достаточно близко приблизится к Хо, т. е. когда Цу (л ) Ц станет меньше заданной малой величины е . [c.211]

Трудно указать те теоретические работы, в которых на деле было начато исследование проблем оптимального преследования. Основные публикации появились в конце пятидесятых годов, а большая часть литературы по дифференциальным играм относится к шестидесятым годам. Следует заметить также, что по крайней мере в теории синтеза игровых оптимальных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, советские публикации занимают пока в мировой литературе, пожалуй, сравнительно меньший объем, нежели в других основных разделах теории оптимального управления. Условия минимакса, характерные для игровых задач, фигурируют во многих проблемах, разрабатываемых в рамках теории динамического программирования. Широкому кругу конкретных задач из теории дифференциальных игр посвящена специальная монография Р. Айзекса Дифференциальные игры (1965 русский перевод М., 1967). [c.221]

Дискретную аппроксимацию условия минимакса можно строить на функциях, лежащих за пределами Sifi. [c.13]

Уравиеиие (7.1) [или, в альтернативной форме, (7.2)] представляет собой необходимое условие существования минимума функции 1 х) в точке Хо, хотя выражения (7.3) показывают, что оно ие является достаточным условием. Уравнение (7.2) является, однако, необходимым и достаточным условием стационарности функции х) в точке х = хо. Говорят, что функция х) стационарна в точке x= o если она в этой точке либо достигает своего минимума нлн максимума, либо удовлетворяет условию минимакса. [c.154]

Наконец, следует еще упомянуть вычислительные процедуры, которые строились на основании прямых методов вариационного исчисления, подобных методу Ритца, а также специальные вычислительные процедуры, использующие идеи выпуклого нелинейного программирования и в том числе условия оптимальности, включающие соотношения типа минимакса. [c.200]

Второй способ — положить числитель равным 1. Это означает, что рюмка разрезается горизонтальной плоскостью, лежащей на 1 выше основания. Поперечное сечение будет эллипсом a v,v)=, или точнее, бесконечномерным эллипсоидом Его главная ось расположена в направлении первой собственной функции u, так как именно по этой оси эллипсоид наиболее вытянут. Другими словами, при фиксированном числителе, равном 1, отношение Рэлея минимально, когда знаменатель максимален. Если затем рассмотреть эллипс, перпендикулярный к этой главной оси, т. е. фиксировать i = О и получить пространство на единицу меньшей размерности, то длина главной оси этого эллипса будет равна. VlA2- (И вообще длина главной оси любого другого поперечного сечения исходного эллипсоида будет меньше длины главной оси эллипсоида = но больше л/1А2 соответствует принципу минимакса, описанному ниже в (13) наименьшее собственное значение Xi при любом дополнительном условии удовлетворяет соотношению [c.254]

Результаты, приведенные в табл. 5.1. .. 5.3, дают возможность сделать следующие выводы а) наиболее эффективные алгоритмы нелинейного минимакса принадлежат ко второй и четвертой группам методов минимизации б) алгоритм (5.46), (5.47) (при условии оптимального выбора параметра у) показывает один из лучших результатов в смысле наименьшего числа оценок функции максимума для получения решения с требуемой точностью в) алгоритмы (5.46). .. (5.51) путем выбора у могут быть настроены на заданный класс задач для оптимизации вычислительного процесса г) алгоритм (5.50), (5.51) отличается простотой и показывает высокую эффективность на определенных классах задач. Алгоритмы (5.42). .. (5.51) были реализованы в виде АЛГОЛ-процедур и успешао использованы прн оптимизации устройств СВЧ. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...