Теорема о симметрии

Теорема 1. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси. [c.139]

Пусть гироскоп вращается с угловой скоростью и вокруг оси симметрии, которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной точки (рис. 159) с угловой скоростью (О,. В соответствии с теоремой о сложении вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей, абсолютная угловая скорость (й равна векторной сумме угловых скоростей переносного и относительного вращений [c.512]

Для случая, если тело имеет ось симметрии или центр симметрии, можно доказать аналогичные теоремы. Из этих теорем можно вывести следующие следствия [c.111]

В этой формуле момент инерции Узз и расстояние от точки подвеса маятника до его центра масс с трудом поддаются непосредственному измерению. Чтобы обойти эту трудность, применяют оборотный маятник. Оборотный маятник имеет две призмы, острые ребра которых обращены друг к другу, а прямая, их соединяющая, есть ось симметрии и, следовательно, содержит центр масс. Маятник заставляют поочередно качаться на этих ребрах, а перемещением дополнительных грузов достигают того, чтобы периоды малых колебаний маятника совпали. Тогда по теореме Гюйгенса расстояние между ребрами, которое можно очень точно измерить, и будет равно длине / эквивалентного математического маятника. Отсюда [c.461]

Теорема 3. Если однородное тело имеет ось симметрии или неоднородное тело имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции [c.274]

Проверим сначала справедливость этого утверждения в случае, когда постоянная по величине и направлению сила Р действует нормально к оси Oz тела (оси симметрии). Фиктивный кинетический момент ОК ) величины Сг направлен по оси Oz (Гд предполагается положительным). Скорость точки К, по теореме о моментах, геометрически равна моменту ОН) силы Р относительно точки О и равна по величине аР (Р действует на расстоянии а от точки О). Таким образом, точка К (увлекающая в своем движении ось Oz тела) движется вокруг оси Ozj, параллельной Р, в направлении от Oz к ОН с угловой скоростью [c.162]

Из предыдущей теоремы следует, что ось гироскопа будет совершать в подвижной плоскости колебательное движение около ее положения устойчивого равновесия. Так как в действительности всегда имеются трение и пассивные сопротивления, которые гасят колебания, то ось симметрии тела остановится, [c.184]

Теоремы о сохранении свойства симметрии. До сих [c.60]

ТЕОРЕМЫ О СОХРАНЕНИИ СВОЙСТВА СИММЕТРИИ 61 [c.61]

Циклические координаты, описывающие перемещения или вращения, играют, важную роль при исследовании свойств системы. Поэтому они заслуживают того, чтобы на них остановиться несколько подробнее. Если координата, описывающая перемещение системы, является циклической, то это означает, что перемещение системы как твердого тела не отражается на ее динамических характеристиках. Вследствие этого, если система инвариантна относительно перемещения вдоль данного направления, то соответствующее количество движения сохраняется постоянным. Аналогично, если циклической координатой будет координата, описывающая поворот (и поэтому будет оставаться постоянным кинетический момент системы), то система будет инвариантна относительно вращения вокруг данной оси. Таким образом, теоремы о сохранении количества движения и кинетического момента тесно связаны со свойствами симметрии системы. Если, например, система обладает сферической симметрией, то мы можем сразу утверждать, что все составляющие ее кинетического момента будут оставаться постоянными. Если же система симметрична только относительно оси г, то неизменным будет оставаться только кинетический момент L , и аналогично для других осей. С зависимостью между постоянными, характеризующими движение, и свойствами симметрии мы еще несколько раз встретимся. [c.66]

Теоремы о сохранении и физический смысл гамильтониана. Мы видели, что циклическая координата отсутствует не только в L, но и в Я. Поэтому теоремы о сохранении обобщенных импульсов, полученные нами в 2.6, можно было бы вывести не из уравнений Лагранжа, а из уравнений Гамильтона. Это относится и к тем соображениям о симметрии системы, которые были высказаны нами в главе 2. Пусть, например, некоторая система будет симметрична относительно фиксированной оси. Тогда можно будет сказать, что функция Н инвариантна относительно вращения вокруг этой оси и поэтому не может содержать угла поворота. Следовательно, этот угол является циклической координатой, и поэтому соответствующий ему кинетический момент будет оставаться постоянным. [c.245]

Таким образом, теоремы о сохранении можно получить здесь тем же методом, что и в обычной теории. Между интегральными константами движения и свойствами симметрии системы также имеется известная нам связь. Однако следует подчеркнуть, что, кроме этих микроскопических констант движения, имеются еще и микроскопические теоремы о сохранении. Эти теоремы относятся не к интегральным величинам, а к дифференциальным, т. е. к плотностям. Например, можно получить теоремы, выражающие свойства неразрывности внутреннего потока энергии, количества движения и кинетического момента. К сожалению, мы не можем останавливаться на этих вопросах и отсылаем интересующихся читателей к литературе, приведенной в конце главы. [c.394]

По теореме о моменте количества движения (которая применяется в случае круговой решетки вместо теоремы о количестве движения) изменение момента количества движения жидкого объема за единицу времени должно быть равно сумме моментов всех сил, действующих на жидкость в этом объеме. Применим эту теорему к потоку через круговую решетку. Обозначим через /И результирующий момент (относительно оси симметрии) сил давления жидкости на единицу длины всех лопаток и получим [c.105]

Другое доказательство этих свойств симметрии с помощью теоремы о взаимности работ приводится в [8]. Соотношения (3.62) для разрешающей системы будут выполняться при условии, если скалярное произведение вектора обобщенных силовых факторов и вектора обобщенных перемещений пропорционально работе внутренних сил в сечении. [c.89]

По теореме о дивергенции [19] и с учетом (1.5) в силу симметрии тензора напряжений [c.75]

На рис. 6.15 показано, как определяются прогибы непризматических балок методом моментных площадей. На рис. 6.15, Ь приведена эпюра изгибающих моментов, а на рис. 6.15, с — эпюра М1(Е1). Площади и статические моменты различных участков эпюры М Е1) можно использовать для нахождения углов поворотов и прогибов. Например, найдем угол поворота на левой опоре и прогиб в середине пролета. В силу симметрии балки касательная к линии прогибов в центре балки С горизонтальна. Поэтому из первой теоремы о моментных площадях следует, что угол поворота 0 на левой опоре равен площади эпюры М1 Е1) на участке между точками Л и С. Таким образом, величина угла поворота определяется следующим выражением [c.231]

В качестве примера использования теоремы о параллельном переносе осей определим центробежный момент инерции прямоугольника относительно осей, начало которых совпадает с одним из углов (рис. А. 17). Поскольку известно, что в силу симметрии центробежный момент инерции относительно центральных осей Хс> Ус равен нулю, центробежный момент инерции относительно осей х у можно найти так [c.604]

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с основанием Ь и высотой к (рис. А. 18) и выделим в нем малый элемент, заштрихованный на рисунке. Этот элемент представляет собой узкий прямоугольник высоты йу и ширины (к—у)Ь/Н. В силу симметрии центробежный момент инерции такого элемента относительно его собственного центра тяжести равен нулю. Тогда, согласно теореме о параллельном переносе осей, получим следующее значение центробежного момента инерции [c.604]

Теорема П. Если тело имеет ось симметрии, то эта ось является его главной центральной осью инерции. [c.514]

Пусть гироскоп совершает быстрое вращение вокруг своей оси материальной симметрии с угловой скоростью (О1, а эта ось в свою очередь вращается с угловой скоростью Юа- На основании теоремы о сложении вращений тела абсолютная угловая скорость гироскопа О) равна геометрической сумме угловых скоростей щ и о)2> т. е. [c.344]

Пятая работа посвящена освоению одного из экспериментальных методов определения моментов инерции материальных тел сложной формы, имеющих плоскость симметрии, положение центра масс которых неизвестно. В процессе выполнения работы студент использует следующие вопросы программы дифференциальное уравнение вращательного движения, теория физического маятника и теорема о вычислении моментов инерции относительно параллельных осей. В качестве объекта исследования применяется натуральный шатун двигателя внутреннего сгорания. [c.79]

Теорема. Оператор симметрий отображает решение уравнения Лг = О в решение этого же уравнения. [c.252]

Обтекание осесимметричных тел. Формулы для определения лобового сопротивления, подъемной силы, гидродинамического момента и угла атаки. Пусть тело обладает осью симметрии. Тогда в случае движения, в процессе которого ось симметрии не покидает заданной плоскости, согласно теоремам статики абсолютно твердого тела, система гидродинамических сил воздействия жидкости на тело может быть приведена к равнодействующей [5]. Как принято [3], точка пересечения оси симметрии с линией действия этой равнодействующей называется центром давления. Центр давления, вообще говоря, не совпадает с центром масс тела. [c.28]

Согласно теореме о выпрямлении, в ма- Юй окрестности каждой неособой точки векторного поля v система (3.1) имеет п-мер-ную абелеву группу симметрий. Таким образом, задача о существовании гладкого (или аналитического) поля симметрий является содержательной либо в окрестности равновесия, либо во всем фазовом пространстве. [c.79]

Доказательство. Согласно леммам 1 и 2, зд = оЦ), где 0 — аналитическая функция от у. Так как [г4о,г о = О, то — интеграл невозмущенной системы (1.1) (см. 3 гл. П). По лемме 1 из 1 функции 0 и Яо зависимы в точках множества Pi П ) в силу ключевого свойства этого множества они зависимы всюду. В малой области нет критических точек функции Яо, поэтому по теореме о неявной функции в этой области = Фо(Яо), где Фо — некоторая аналитическая функция (см. п. 1 1). Следовательно, векторное поле = (щ — Фо(Я)г) .)/ снова будет аналитическим полем симметрий. Аналогично шо = Ф1(По)ьо и т. д. В результате имеем Us = Ф(Я, )г ., где Ф = Фо + Ф1 +. .. Теорема доказана. [c.193]

НСАГЕРА ГИПОТЕЗА — состоит в том, что временная эволюция флуктуации данной физ, величины в равновесной термодинамич. системе происходит в среднем по тому же закону, что и макроскопич. изменение соответствующей переменной. Высказана Л. Онсагерои (L. Onsager) в 1931 и послужила ему основой для разработки термодинамики неравновесных процессов. Вывод Онсагера теоремы, о симметрии кинетич. коэффициентов опирается на эту гипотезу и симметрию ур-ний движения частиц относительно обращения времени. [c.409]

Это равенство содержит только тензор Р и, тем самым, может рассматриваться как дифференциальное условие совместности закона сохранения момента испульса с законами сохранения массы и импульса, наложенное на тензор Р. Следущая теорема о симметрии тензора напряжений раскрывает содержаЫе этого условия, [c.53]

I рода можно было бы, конечно, продолжить. Они существуют, например, и в жидкостях, где к таковым относится переход из -жидкой фазы в жидкокристаллическую. Характерные черты переходов II рода, наблюдающиеся во всех случаях, — непрерывность, -Я-образный характер температурных зависимостей вторых произ-гводных G, отсутствие температурных гистерезисов. Вследствие непрерывности этого перехода между симметрией более и менее симметричных фаз существует определенное соответствие пространственная группа одной из этих фаз должна быть подгруппой пространственной группы другой фазы (часть элементов симметрии исчезает при переходе в менее симметричную фазу). Доказана теорема о том, что фазовый переход II рода может существовать для всякого изменения структуры, связанного с уменьшением вдвое числа преобразований симметрии. При этом периоды элементарной ячейки могут меняться в несколько раз (2—4). [c.262]

Из симметрии матриц сц или вытекает еще одна теорема, а ил18нно теорема о взаимности работ Бетти. [c.152]

В силу теоремы о взаимности ТТ а = но из условия симметрии системы следует TftG = To(s-ii), поэтому [c.45]

При анализе симметрии свойств многослойных материалов, составленных из ортотропных слоев, например из древесного шпона или стеклошпона, применяется теорема В. Л. Германа (1944 г.), обобщающая принцип Неймана для случая сплошных анизотропных сред Если среда обладает осью структурной симметрии порядка п, то она аксиально изотропна относительно этой оси для всех физических свойств, характеристики которых определяются тензорами ранга г, если г меньше, чем п (г <. < п) . Так, например, для упругих свойств (г — 4) уже при наличии оси структурной симметрии пятого порядка п = 5) плоскость, перпендикулярная этой оси, будет плоскостью изотропии. Здесь ось симметрии пятого порядка — это такая ось, вокруг которой достаточно повернуть фигуру на одну пятую часть окружности, т. е. на угол а = 2я/5 = 72°, чтобы получить полное совмещение всех точек фигуры с их первоначальным положением. [c.20]

До сих пор мы всегда предполагали, что напряжения во всех поперечных сеченлях стержня, работающего на кручение, одинаковы и что все сечения деформируются (искривляются) беспрепятственно, как это получается по теории Сен-Вгнана. Но нередко бывают случаи, когда искривление поперечного сечения затруднено, а при иных условиях возможность его даже совсем исключена. Последнее мы имеем, например, у среднего поперечного сечения стержня, к обоим концам которого приложены два одинаковых, вращающих в одном направлении, крутящих момента М, уравновешивающихся удвоенным крутящим моментом 2М, приложенным в среднем сечении. Вследствие симметрии среднее поперечное сечение искривляться не может. Очевидно, что в таком сечении кроме касательных напряжений и должны еще действовать нормальные напряжения (3 , перпендикулярные к поперечному сечению. Такие нормальные напряжения будут действовать также и в сечениях, близких к среднему, но они будут постепенно уменьшаться по мере того, как будет ослабляться влияние причин, препятствующих искривлению поперечного сечения. На обоих же концах стержня, на которых нормальные напряжения равны нулю, препятствовать искривлению поперечного сечения ничто не будет. На основании теоремы о минимуме энергии деформации можно вывести заключение, что влияние среднего поперечного сечения, препятствующего искривлению других поперечных сечений, очень быстро уменьшается то же относится и к нормальным напряжениям (з . Этими соображениями мы воспользуемся впоследствии, чтобы подобрать подходящее выражение для напряжений. В случаях стержня, концы которого переходят в толстые плиты, также можно считать, что толстые плиты препятствуют искривлению концевых сечений при кручении стержня ). [c.123]

Кроме меридионального сечения мы через точку х, г проведем еще второе сечение, перпендикулярное к оси х, и третье сечение, перпендикулярное к двум первым. Следы новых секущих плоскостей на меридиональной плоскости будут параллельны осям г к х. Вследствие симметрии, в обеих секущих плоскостях в точке х,г могут действовать лишь такие касательные напряжения, которые параллельны меридиональной плоскости. По теореме о равенстве касательных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам эти оба касательных напр5]> ения должны иметь одинаковую величину. Поэтому, не боясь недоразумений, мы оба напряжения можем обозначить буквой т без добавления значков. Нормальные напряжения, действующие в секущих плоскос1ях, мы, как обычно, обозначим через jj. и Их, как и т, нужно считать функциями от д и г, Знаки всех напряжений определяются по правилам, установленным в начале книги. [c.144]

Теория И. Пригожина необратимых процессов, рассматривающая самоорганизацию диссипативных структур в открытых системах на основе теоремы о минимуме производства энтропии. И. Пригожин представлял эволюцию открытых систем в виде бифуркационных диаграмм, отражающих переходы устойчивость-неустойчивость-устойчи-вость , обусловленные нарушением устойчивости симметрии системы, что позволяет представить эволюцию системы при изменяющихся внешних условиях в виде последовательности бифуркаций взаимосвязанных между собой информационным полем, т.к. в открытых системах энтропия выступает в роли как управления, так и информации. [c.198]

Для решения задачи воапользуемся способом сложения тепловых потоков, который является следствием теоремы о сложении температурных полей, описываемых линейными дифференциальным ур авнениями. Для этого рассмотрим сначала линии тепловых потоков сквозь массив, разделенный на позерхности тонкой перегородкой неограниченной длины (рис. 33). По одну сторону перегородки вся поверхность масоива имеет темпера-туру р, а по другую fp. Вследств ие симметрии линии тепловых потоков от нагретой поверхности массива к холодной будут представлять собой окружности с центром в точке Оь Изотер-М1ические линии при этом представят собой пучок лучей, исходящих из точки 0. Для теплового потока элементарной полосы поверхности шириной йх и длиной 1 м, взятой на расстоянии (а —х) от перегородки, можно написать [c.66]

Теоремы о необратимости и симметрии в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Если в какой-то области пространства движение спутника двух притягивающих центров Ai, т ) и (Лз, апз) nii <С щ) возможно, то, разумеется, он может двигаться не по любой кривой из этой области и не в любом направлении. На следующие любопытные элементарные факты обратил внимание американский ученый А. Миеле (Miele). [c.259]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...