Энергий деформаций минимум

Обозначим неизвестную реакцию через X. Тогда на основании теоремы о минимуме потенциальной энергии деформации [c.393]

Для рассматриваемой задачи виртуальная работа нагрузки имеет заданное значение С. Поэтому принцип минимума потенциальной энергии становится принципом минимума энергии деформаций. Применительно к проекту с, этот принцип приводит к неравенству [c.21]

Здесь f = f x) представляет собой некоторое поле, например поле напряжений, которое должно быть допустимым в том смысле, что оно должно удовлетворять некоторым дифференциальным уравнениям и условиям непрерывности. Через / г обозначен некоторый положительно определенный функционал от г, причем интегрирование распространяется на объем V тела В. Минимум в (3.29) достигается при г = г, где г есть действительное поле, вызванное в В заданными поверхностными нагрузками на Sj. Если, например, С представляет собой упругую податливость тела В, то г есть произвольное кинематически допустимое поле деформаций, а f (г) — соответствующая удельная энергия деформаций. [c.34]

Закон минимума потенциальной энергии деформации (принцип наименьшей работы) [c.67]

Действительное напряженное состояние равновесия упругого тела (системы) отличается от всех смежных состояний равновесия тем, что оно дает минимум потенциальной энергии деформации. [c.67]

Поэтому если потенциальная энергия деформации зависит от неизвестных величин, например усилий Хи Л г и т. д., то можно определить все эти неизвестные из условий минимума энергии [c.67]

Определяем значения усилия 3 из условия минимума потенциальной энергии деформации [c.71]

Условие минимума энергии деформации U дает [c.64]

Так как действительному напряженному состоянию в упругом теле соответствует минимум потенциальной энергии деформации, то искомую комбинацию параметров А,-, при которой удовлетворяются условия сплошности, можно найти из системы уравнений [c.61]

Наконец, из условий, вытекающих из свойства минимума потенциальной энергии деформации для действительного напряженного состояния в упругом теле [c.63]

Перечисленные вопросы представляют собой план-минимум. Можно добавить задачи, связанные с вычислением потенциальной энергии деформации при кручении, с различными случаями расчета статически неопределимых систем. [c.16]

Корректное выражение функции напряжений удовлетворяет условиям (а) и доставляет минимум энергии деформации (в). [c.269]

Коэффициенты и теперь можно определить из условия, что действительное распределение напряжений доставляет суммарной энергии деформации в полке и в стенке минимум. Подставляя [c.274]

Величины Mq, Х , У,1 должны определяться из условия минимума энергии деформации (л). Можно видеть, что момент Mq входит только в член MqI/EJ и из требования минимума для (л) следует, что Жд = 0. [c.275]

Критерий минимума плотности энергии деформации [402]. Трещина растет в том направлении (вдоль радиуса из вершины), в котором величина S принимает стационарное (минимальное) значение, т. е. [c.200]

Основным критерием устойчивости, как известно из механики твердого тела, является условие минимума потенциальной энергии системы. Например, для шарика, лежащего на дне лунки и занимающего устойчивое положение равновесия, потенциальная энергия будет наименьшей по сравнению со всеми соседними положениями. Если шарик расположен на вершине выпуклости или на седловине (рис. 435), его положение равновесия будет неустойчивым. Этот критерий применим, естественно, и к упругим системам,— конечно, с учетом потенциальной энергии деформации. [c.419]

Критерий Си [6] указывает на развитие трещины в любом локальном объеме материала в направлении минимума плотности энергии деформации. Плотность энергии зависит от сочетания видов раскрытия берегов трещины в локальной зоне у фронта трещины и в общем случае с учетом радиального расстояния от кончика трещины г характеризуется для каждого участка фронта условием [c.234]

Принцип минимума потенциальной энергии для упругой среды состоит в том, что действительная энергия деформаций в композите не превышает значения энергии, соответствующей какому-либо фиктивному деформированному состоянию, удовлетворяющему кинематическим граничным условиям. Таким образом, для любого при однородном деформированном состоянии (когда гарантировано выполнение кинематических граничных условий) этот вариационный принцип утверждает, что [c.82]

Для исследования гармонических упругих волн в композиционной среде Кон с соавторами [37] использовали методы, основанные на теории Флоке и Блоха. Этот подход весьма подробно рассмотрен также в статье Ли [40]. Основная идея всех этих работ состоит в применении вариационных принципов в интегральной форме к отдельной ячейке композита. Эти вариационные принципы дают способ определения фазовых скоростей и распределения напряжений в волнах Флоке, распространяющихся в композиционной среде без изменения формы при переходе от ячейки к ячейке. Различные авторы использовали как принцип минимума потенциальной энергии деформации, так и принцип максимума дополнительной работы. [c.382]

Несмотря на то что элементы системы (конструкции в целом, ее частей или материала) делают все, чтобы выдержать нагрузку, их поведение не соответствует предсказаниям наиболее благоприятных экстремальных теорем, если наступает местная или общая неустойчивость. Явное предположение о неограниченной податливости прн достижении предела текучести, которое составляет сущность предельных теорем, Так же как и неограниченный диапазон упругой связи между возрастающими напряжениями и деформациями, который лежит в основе теорем минимума потенциальной энергии и минимума [c.25]

Перейдем теперь к определению нижней границы модуля упругости. С этой целью воспользуемся принципом минимума дополнительной энергии. Согласно этому принципу, в каждой точке рассматриваемого тела удовлетворяются условия равновесия. При этом энергия деформации, полученная из распределения напряжений, уравновешивающих внешние силы, и соответствующая истинному распределению напряжений, является минимальной. Для составляющих напряжений а°, ... и энергии деформации для одноосного напряженного состояния можно положить, что =а, а другие составляющие равны нулю. Для этого случая можно записать следующее [c.37]

Значение Я для большинства реальных случаев таково, что практически исключает возможность получить нужные перемещения одним только цилиндром. Если учесть все факторы, т. е. энергию деформации всех остальных элементов пресса, то необходимо свести к минимуму потери на сжатие жидкости, так как затраты энергии на деформацию стола, траверсы, колонны (или станины) и изделия достаточно велики и могут быть близки к значению энергии одного хода. [c.138]

В этом капитальном труде ставится цель построить единую, основанную на минимуме исходных предпосылок (принципы инвариантности, детерминизма, локального действия), теорию поведения сплошной среды. Выделен класс простых материалов , для них тензор напряжений зависит от истории изменения градиента вектора перемещения (но не от градиентов более высокого порядка). К числу таких материалов относятся упругое и гиперупругое тела. Дан исчерпывающий обзор решений частных задач, большое место уделено установлению приемлемых форм задания законов состояния и критериям выбора зависимости удельной потенциальной энергии деформации гиперупругого тела от инвариантов деформации. Книга снабжена исчерпывающей библиографией по нелинейной теории упругости доведенной до 1965 г. [c.926]

В этих точках потенциальная энергия деформации U = F (и) du достигает относительных минимумов (рис. 3.7). [c.75]

Равновесное положение манометрической пружины, нагруженной давлением, соответствует минимуму полной потенциальной энергии, которая равна сумме потенциальной энергии деформаций и энергии положения внешних сил. [c.313]

ИЗ п различных материалов, а функция энергии деформации г-го материала обозначена через At, то принцип минимума потенциальной энергии можно переформулировать, заменив j Л dV на [c.61]

Выражение (7.6ж) для энергии деформации содержит величины UR/h, г/ ги и пять неизвестных параметров а, Ь, с, К ж к. Простейший способ использования принципа возможной работы для определения этих пяти неизвестных состоит в задании отношения е/бс как постоянной величины, что соответствует случаю, когда цилиндрическая оболочка нагружается сжимающей силой в жесткой испытательной машине. Тогда для данной цилиндрической оболочки оказываются заданными оба параметра в/гы и UR/h, а отсюда, так как длина оболочки остается неизменной, следует, что внешняя осевая сжимающая сила не будет совершать работу на возможных перемещениях таких, которые обусловлены малыми изменениями пяти неизвестных. Отсюда, согласно принципу возможной работы, частные производные от выражения д т энергии деформации и, следовательно, от правой части выражения П.вщ . по каждой из неизвестных а, Ь, с, К и к можно положить равными нулю, что дает пять уравнений, из совместного решения которых определяются пять неизвестных (сказанное, разумеется, эквивалентно выбору таких значений этих неизвестных, которые доставляли бы минимум энергии деформации). [c.505]

Этот принцип является в известной степени аналогом принципа минимума потенциальной энергии деформаций, широко используемого в теории упругости. Принцип Гельмгольца в гидродинамике вязкой жидкости, так же как принцип минимума потенциальной энергии в теории упругости, может быть положен в основу применения прямых методов вариационного исчисления для решения задач о медленном движении, в частности для задач гидродинамической теории смазки. [c.430]

Следовательно, надо говорить о минимуме энергии деформации в положении равновесия, что позволяет трактовать начало Лагранжа как принцип минимума для обобщенных смешений. [c.84]

Если удовлетворяются условия равновесия и краевые условия, то действительное напряженное состояние обращает в минимум потенциальную энергию деформации [c.45]

В предыдущем параграфе мы заметили, что уравнения (12) являются условиями возможности существования деформации, вызванной данным напряженным состоянием, в теле без начальных напряжений. С точки зрения, принятой в 88—92, уравнениям (12) можно дать другое истолкование. Напряженное состояние, удовлетворяющее условиям равновесия и возникающее в теле без начальных напряжений, вызывает меиьшую упругую энергию, чем какое-либо другое напряженное состояние, удовлетворяющее условиям равновесия. Следовательно, уравнения (1) являются условиями минимума упругой энергии деформации, выраженной, как функция компонентов деформации. [c.395]

Выражение в левой части (1.27) называется потенциальной энергией упругой конструкции, находящейся под действием заданных нагрузок Р , для кинематически допустимых смещений р и соответствующих деформаций q. Она получается путем вычитания из энергии деформаций для деформаций q виртуальной работы нагрузок на смещениях р. Неравенство (1.27) показывает, что смещения и деформации, дающие реще-ние нашей задачи для конструкции, минимизируют потенциальную энергию принцип минимума потенциальной энергии). [c.16]

Как указали Прагер и Тэйлор [6], процедура, с помощью которой были получены условия оптимальности (2.14) и (2.34), может быть использована всякий раз, когда ограничения относятся к величине, например податливости, которая характеризуется минимальным принципом (например, использованным выше принципом минимума энергии деформации). Условие, полученное таким путем, является необходимым и достаточным для глобальной оптимальности при условии, что минимальная характеризация каждой ограниченной величины имеет глобальный характер. Проиллюстрируем эти замечания следующими примерами. [c.31]

В работе Девиджа и Грина [14] сконцентрировано внимание как на подтверждении наблюдений, отмеченных Биннсом, так и на объяснении этих результатор в терминах общей энергии деформации, которая накапливается внутри и вокруг частиц вследствие различия в термическом расширении. Они установили, что, хотя величины напряжений и не зависят от размера частицы, общая накопленная энергия деформации зависит от объема материала, находящегося под влиянием указанных концентраций напряжений и зависящего в свою очередь от размера частицы. Другими словами, чем больше размер частицы, тем больше напряженный объем как внутри частиц, так и вокруг нее и, таким образом, больше накопленная энергия деформации, связанная с частицей. Согласно концепции минимума свободной энергии по Гриффитсу, они предположили, что трещина образуется только в том случае, когда накопленная энергия деформации связанная с частицей, равна либо больше энергии, необходимой для образования новой площади поверхности трещины Vт. е. [c.37]

Решение осуществляется методом Ритца, сущность которого пояснена в главе XV. Вследствие однородности полей напряжений, деформаций, перемещений по координате, измеряемой в плоскости оси трубы, достаточно рассмотреть задачу о минимуме потенциальной энергии деформации, накапливаемой в трубчатом секторе. [c.419]

В принципе минимума дополнительной работы приравнивается нулю выражение разности вариаций потенциальной энергии деформации, выраженной через напряжения, и работы вариаций поверхностных сил J ubfj + vbfy + wbf do. [c.437]

Вариационные методы наиболее плодотворно применяются в теории малых деформаций упругого тела. В случае когда существует функция энергии деформации и при вариациях перемещений внешние силы остаются неизменными, принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума потенциальной энергии. Этот вариационный принцип с помощью введения множителей Лагранжа дает семейство вариационных принципов, включающее принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. д. [c.18]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...