Естественные независимые переменные

Из пяти термодинамический величин Р, V, Е, Т, Е, входящих в основное уравнение (2.3), любые две могут быть выбраны в качестве естественных независимых переменных. Поскольку ни одной из функции нельзя отдать предпочтения перед другими, для описания свойств вещества необходимо, вообще говоря, рассматривать все 60 частных производных. [c.36]

Подставляя в (2.10) вместо х поочередно все термодинамические потенциалы, а вместо у, z их естественные независимые переменные, получаем уравнения Максвелла [c.37]

Каждая термодинамическая функция зависит от своего набора переменных. Эти переменные называются естественными независимыми переменными. Если термодинамическая функция задана [c.142]

Этот результат не является выражением особенностей рассмотренной системы (идеального газа), он следует из законов термодинамики. Для расчета всех овойств системы, как было показано, достаточно знать одно (фундаментальное) соотношение между ними, поэтому уравнения состояния не могут быть независимыми. Связь между ними выводится наиболее естественно- при помощи уравнений Гиббса—Гельмгольца, так называют соотношения между двумя любыми термодинамическими потенциалами, которые различаются друг от друга только одной независимой переменной, т. е. получаются один из другого при однократном преобразовании Лежандра [c.93]

В релятивистской термодинамике в отличие от классической стенки влияют на систему. Таким образом, выбор давления в качестве предпочтительного независимого переменного и соответственно энтальпии в качестве естественного термодинамического потенциала связан с теорией относительности. Обобщим выражение (8.8) на движущиеся системы. [c.151]

Таким образом, при независимых переменных S, V, N основное уравнение релятивистской термодинамики определяет не U S,V,N), а S, V, N). Аналогично, при независимых переменных Т, V, N, основное уравнение определяет не f (Г, V, N), а f Это указывает на то, что для релятивистской системы энтальпия, а не внутренняя энергия, является естественным термодинамическим потенциалом. [c.153]

Естественно сначала исключить одну из переменных — например, и — при помощи дополнительного условия, выразив ее через остальные и . Тогда мы получим функцию гг — 1 переменных Wi, Un-i, которую можно уже исследовать методами свободной вариационной задачи. Этот способ вполне оправдывает себя, а иногда оказывается и наиболее простым. Однако очень часто исключение переменных является чрезвычайно обременительной задачей. Кроме того, условие (2.5.2) может быть симметричным относительно переменных и ,. .., тогда, вообще говоря, нет никаких оснований искусственно выделять одну из переменных в качестве зависимой, выражая ее через остальные как через независимые переменные. [c.66]

Аналогично показанному в настоящем разделе выводу может быть сделан вывод дифференциальных уравнений равновесия и совместности деформаций в теории упругости, в теории пластин и оболочек и т. д. Одновременно с уравнениями могут быть получены все естественные граничные условия ). Можно показать, что уравнения Эйлера инвариантны при преобразовании подынтегральной функции в функцию от новых независимых переменных. Методы вариационного исчисления удовлетворяют тому требованию, что минимум скалярной величины (функционала) не зависит от выбора координат. Это наиболее естественным образом соот- [c.448]

Графические методы расчета в термодинамике получили особенно широкое распространение после опубликования Молье в 1901 г. диаграммы i-s для водяного пара. Диаграмма i-s сразу же завоевала себе всеобщее признание. была построена для многих рабочих тел и стала теперь незаменимой в расчетах всевозможных тепловых процессов. Успешное применение диаграммы i-s для различных паров и газов, взятых раздельно, вызвало естественное стремление создать подобную диаграмму и для парогазовых смесей. Однако выполнение этой задачи встретило серьезные затруднения, связанные с тем, что состояние парогазовой смеси определяется не двумя, как для простого тела, а тремя независимыми параметрами. Это обстоятельство чрезвычайно усложняет аналитические расчеты и в то же время исключает возможность строго и просто построить такую Диаграмму на плоскости, так как уравнение с тремя независимыми переменными геометрически интерпретируется поверхностью. [c.81]

Трудность решения задач пограничного слоя, естественно, не может быть преодолена заменой независимых переменных. Поэтому вычисления Tf на стенке и и вблизи стенки требуют тщательного подхода, ибо и BTj. и в fv входят члены, содержащие и, которая на стенке стремится к нулю. [c.339]

Развивая последовательно метод осреднения уравнений движения, примененный в гл. 8, естественно применить его и в двумерных задачах, или, иначе говоря, произвести осреднение уравнений двумерного движения по некоторой координате q , пересекаю-щей канал. В результате такого осреднения уравнения предельно упрощаются, так как в них сохраняется только одна независимая переменная q , и решение двумерных задач сводится к расчету осредненных одномерных движений. [c.361]

Среди приближенных методов подобия и моделирования определенное место занимает также метод уменьшения числа критериев подобия с помощью введения новых независимых переменных — естественных) ) координат 138]. [c.67]

Из (4.6), (4.9) следует, что основные по величине напряжения полностью определяются шестью функциями двух независимых переменных. Для их определения естественно использовать соотношения, содержащие Ими являются уравнения (4.3) вместе [c.312]

Здесь через z обозначена любая из неизвестных функций, входящих в систему (6.1). В соответствии с заменой независимой переменной (9.10) показатель изменяемости пограничного слоя t= 1. Через as z) и а (г) обозначены показатели интенсивности [13] внутреннего решения и пограничного слоя, которые, естественно, зависят от функции Z. [c.368]

А.Ф. Сидоровым обнаружены и исследованы новые классы решений системы уравнений газовой динамики, уравнений естественной конвекции, характеризуемые линейной зависимостью от части независимых переменных (обобщения течений с линейным полем скоростей). Установлено, что новые решения имеют достаточно широкий произвол. В ряде случаев решения выписаны в квадратурах, показано, что с помощью построенных решений можно, в частности, дать описание завихренных течений в каналах, включая течения с ударными волнами. [c.9]

Следовательно, во всех задачах определения орбит необходимо использовать законы небесной механики. Динамика движения искусственных и естественных небесных тел характеризуется совокупностью координат, которые меняются в функции независимой переменной — времени. Описание этих изменений и составляет предмет науки о вычислении орбит. Для того чтобы соответствующим образом использовать измерения, необходимо преобразовать координаты к виду самих измеряемых величин. Наконец, задача определения орбиты будет решена, когда удастся параметры движения космического аппарата выбрать таким образом, чтобы они соответствовали в некотором смысле информации, полученной из наблюдений за движением аппарата. Этот процесс выполняется с помощью метода малых приращений (дифференциальных коррекций). [c.103]

Выведенное в предыдущей главе уравнение Больцмана определяет поведение функции распределения / t, х, ), являющейся функцией семи независимых переменных. Известно, что трудности решения уравнений резко возрастают с увеличением числа независимых переменных. С другой стороны, как уже отмечалось в 2. , микроскопическое описание с помощью функции распределения в большинстве задач излишне детально. Поэтому естественно попытаться перейти к менее детальному описанию с помощью макроскопических гидродинамических величин, введенных в 2.1 (см. формулы (1.4) — (1.10)). [c.94]

Необходимо отметить, что молекулярная диффузия также будет способствовать распространению тепла или любой другой неоднородности в турбулентном потоке, и если число Рейнольдса или отношение )/v мало, эта диффузия должна быть принята во внимание, так как в этом случае она достаточно велика. 06-шее отклонение, естественно, равно сумме независимых переменных, обусловленных молекулярной и турбулентной диффузией. [c.274]

Естественно, что данные об обнаружении дефекта в определенном участке контролируемого изделия не могут быть применены непосредственно как управляющие воздействия АСУ для приведения в действие исполнительного механизма. Однако их можно использовать как значения независимых переменных при вычислениях, на основании которых принимаются решения и осуществляется управление. [c.238]

Соотношения, получаемые преобразованием переменных. Термодинамические функции и получаемые из них термодинамические величины не всегда рассматриваются как функции своих естественных переменных. В термодинамике часто бывает необходимо производить ту или иную замену независимых переменных и выводить соотношения между различными производными. При этом часто используется формула (1.23) [c.149]

Рассматривав механическую систему как совокупность точек, удовлетворяющую некоторым условиям связи, можно говорить о возможных перемещениях точек этой системы в пространстве. В этом случае естественно за основные независимые переменные величины взять декартовы координаты х, у, г) и время (/). Движение системы п дискретных точек, на которых наложено г условий связи, так что. число степеней свободы будет равно / = 3/г—г, может быть описано 3/г дифференциальными уравнениями следующего вида [c.32]

Анализируя и обобщая приведенные результаты, можно сформулировать следующие условия, при которых метод начальных параметров будет давать верные результаты при любом значении независимой переменной конструкции с естественными граничными условиями. [c.63]

В целом можно заключить, что переход от уравнения (48) к уравнению (50) снижает точность отображения опытных данных, хотя и упрощает расчет термодинамических свойств. Кроме того, использование в уравнениях состояния независимых переменных р и Т менее обосновано, чем переменных р и 7". Это связано с тем, что в состоянии насыщения давление зависит от температуры, и именно температура и плотность естественным образом входят в описание свойств фаз при использовании метода Гиббса или метода коррелятивных функций. [c.29]

Анализ результатов, полученных с помощью обеих рассмотренных выше форм уравнения состояния, показывает, что целесообразно рассмотреть возможность описания свойств жидкости с помощью уравнения с независимыми переменными р и Т, форма которого аналогична вириаль-. ой. Естественно, что мы попытались использовать теоретически обоснованную форму уравнения состояния для жидкости и сжатого газа (17), уделив основное внимание определению зависимости коэффициентов уравнения от температуры, а также анализу влияния свойств вещества на значения показателей степеней удельного объема. Для такого исследования были привлечены экспериментальные данные о термических свойствах многих жидкостей. [c.29]

В заключение мы в этом параграфе рассмотрим возможность обобщения изложенной выше методики на случай системы бозе-частиц, взаимодействующих при конечной температуре. Такое обобщение естественно пытаться строить на базе общей схемы. С этой целью перейдем сразу же к термодинамическому описанию системы, в котором роль независимой переменной играет величина химического потенциала а [c.318]

Таким образом, общие критерии равновесия термодинамических систем математически формулируются в виде задачи на условный экстремум той или иной характеристической функции. Экстремум ищется при этом в обобщенном пространстве дополнительных внутренних переменных (см. с. 37), а дополнительными условиями является постоянство естественных независимых переменных характеристической функции. Выбор характеристической функции и критерия равновесия связан только с набором термодинамических величин, равновесные значения которых известны и которые могут, следовательно, использоваться в качестве параметров при расчете равновесия, т. е. при нахождении других, неизвестных свойств. С этой точки зрения вариационная запись критерия равновесия также имеет определенные преимущества перед дифференциальной записью, так как не создает ощибочных представлений, что для применения того или иного общего условия типа (11.1) необходимо [c.110]

В общем случае термодинамическая функция Ь естественных независимых переменных х, у, г,. . . имеет следующий полный дифференциал (пфаффова форма) [c.146]

Подходящей иллюстрацией этого является приведенный Олд-ройдом пример ньютоновской жидкости, поскольку ньютоновские жидкости (а также любой другой материал, для которого свободная энергия явно зависит от мгновенного значения скорости изменения независимых переменных) не удовлетворяют гипотезам гладкости теории простых жидкостей (разд. 4-4). Поэтому можно только догадываться, существуют ли реальные материалы, которые под действием напряжений с идеально разрывной предысторией ведут себя так же, как идеальные ньютоновские жидкости. Можно думать также (и мы склоняемся к этой мысли), что любой реальный материал, ведущий себя так же, как идеальная ньютоновская жидкость, представляет собой просто материал с очень коротким естественным временем, который проявляет отклонения от ньюто- [c.243]

Но эти частные производные уже не являются парциальными мольными свойствами, и для энтальпии, энергии Гельмгольца и других характеристических функций нельзя получить соотношение, аналогичное (9.35), т. е. представить характеристическую функцию в виде суммы вкладов от каждого из имеющихся в системе веш,ест1в. Причина этого, как отмечалось в 3, — наличие среди естественных аргументов функции помимо количеств веществ п и других экстенсивных величин. Можно, однако, рассматривать S, Н и другие экстенсивные свойства как функции естественных переменных энергии Гиббса. Хотя функции S(T, X, п), Н(Т, X, п) и другие не являются при таком выборе независимых переменных характеристическими, с их помощью можно непосредственно рассчитывать характеристическую функцию G (T, X, п). Так, согласно (9.26)—(9.28) [c.83]

При релятивистском обобщении термодинамики, как показали Г. Каллен и Дж. Горвиц , естественнее исходить из выражения для энтальпии. Действительно, в этом случае, как следует из теории относительности, все входящие в выражение (8.8) независимые переменные являются лоренц-инвариантами, тогда как независимые переменные других термодинамических потенциалов имеют либо разные, либо неизвестные законы преобразования. Кроме того, давление в качестве независимой переменной более подходящая величина, чем объем. В классической термодинамике систему можно было заключить в жесткие стенки, но само представление о твердом теле или абсолютно жестких стенках неприемлемо в рамках теории относительности—абсолютно твердое тело передавало бы сигналы с бесконечной скоростью, так как движение, сообщенное одной точке тела, незамедлительно вызовет движение всех остальных точек тела. [c.151]

В данном параграфе будут рассмотрены условия равновесия простейших систем, состояние которых определяется лишь двумя независимыми переменными, при различных условиях сопряжения с окружающей средой. Естественно, что условия сопряжения с окружающей i e-дой должны налагать ограничения на какие-то две величины, характеризующие состояние системы, в противном случае это состояние будет определено неоднозначно. В 1-4 мы рассмотрели условия равновесия изолированной системы. Изолированная система — частный случай сопряжения системы с окружающей средой, налагающий ограничения f/= onst и V= onst. Теперь рассмотрим другие распространенные виды условий сопряжения с окружающей средой и получим для них критерии равновесия. Пользуясь уравнением (1-25), можем записать [c.19]

Полюс, радиус-вектор которого численно и по направлению равен Гд, всего естественнее назвать производным полюсом от полюса А, определяемого радиусом-вектором Тогда формулу (4.32) словами можно будет выразить так главный вектор производной системы равен Производной от главного вектора основной системч главный момент производной системы равен сумме производной от главного момента основной системы (относительно полюса А) и момента относительно начала координат главного вектора системы, приложенного к производному полюсу от полюса А. Указанный поправочный член обращается в нуль, если производный полюс для данного значения независимой переменной [c.39]

Как правило, для пространственных координат х, у, г, являющихся независимыми переменными, может быть выбран тот или иной естественный масштаб L. Примером, свидетельствующим о противном, служит задача о продольном натекании неограниченного потока на тонкую неограниченную пластину. Очевидно, развитие пограничного слоя у поверхности пластины определяется расстоянием х от ее передней кромки. Однако возникает вопрос, в долях какого отрезка уместно выражать эту координату Здесь неизбежно прибегнуть к искусственному масштабу длин, который прямо или косвенно выражался бы через фиксированные параметры задачи. Такого рода масштаб подсказывается либо структурой подходящего безразмерного комплекса, вытекающего из уравнений процесса, либо он конструируется с помощью интуитивных качественных рассуждений. В примере с неограниченной пластиной расстояние х целесообразно выражать сообразно структуре числа Рейнольдса, в долях от = где w — скорость [c.98]

Если исследованию подлежат интегралы с большой изменяемостью, то изменение масштаба должно заключаться в его растяжении, а если изменяемость интегралов мала, lO масштаб надо сжимать. При этом в первом случае изменяемость коэффициентов уравнения уменьшится, а во втором случае увеличится. Вместе с тем, как уже говорилось, надо требовать, чтобы в новых независимых переменных решения имели среднюю изменяемость. Существование таких решений при пониженной изменяемости коэффициентов (когда они мало отличаются от констант) представляется вполне естественным, но при весьма быстро меняющихся коэффициентах это становится совсем не очевидным, а это значит, что для исследования интегралов с весьма малой изменяемостью метод изменеиня нельзя считать обоснованным. [c.487]

Изменяемость была введена в 9.13, 12.30 как свойство функции с большей илн меньшей быстротой менять свои значения при переходе от точки к точке в плоскости независимых переменных. Поэтому, если речь идет о функции двух (для конкретности) переменных g (а,, aj), то под мерой изменяемости по некоторой переменной Р = Oiai + естественно понимать величину [c.499]

В заключение подчеркнем, что современная теория разрушения не выходит за рамки классической механики сплошной среды, испытывающей обычные деформации и силовые нацряжейия. Однако реальные вещества наряду с трансляционным скольжением испытывают мощные упругопластические повороты в отдельных частях, и многие их свойства естественнее укладываются в систему представлений континуума сред с микроструктурой. В таком попимаиии независимых переменных в пространстве напряжений и деформаций оказывается больше. К тому же эти многомерные поля становятся неевклидовыми со всеми вытекающими последствиями. Переход к подобным пространствам открывает многообещающие перспективы дальнейшего развития теории разрушения. Хотя для континуумов с моментными напряжениями и свободными поворотами она еще только создается, этот шаг чрезвычайно важен и принципиален для [c.76]

Весьма естественно принять за независимую переменную-скорее энергию, чем температуру, поскольку обычная механика дает нам вполне определенное понятие энергии, в то время как идея чего-то, относящегося к механической системе и соответствующего температуре, представляет собой лишь неясно определенное представление. Но если состояние системы задано ее энергией и внешними координатами, то оно определено лишь неполно, хотя его частичное определение, в пределах его содержания, совершенно ясно. Микроканоническю распределенный фазовый ансамбль с заданными значениями энергии и внешних координат будет лучше представлять несовершенно определенную систему, чем любой другой ансамбль, или отдельная фаза. Если мы подходим к предмету с этой стороны, то наши теоремы будут естественно относигься к средним значениям или наиболее вероятным значениям в подобных ансамблях. [c.178]

Наиболее важная микроструктурная- перестройка, которая происходит в процессе ползучести, заключается в образовании разориентированных субзерен (полигонизация), разделенных стенками дислокаций. Стенки образу ются от перераспределения геометрически необходимых дислокаций, которые согласовывают пластические несовместимости между зернами или между образцом из монокристалла и наковальнями. Субзерновая структура находится в состоянии динамического развития. Образующиеся стенки дислокаций мигрирует под действием напряжения и разрушаются. Резо-риентация стенок увеличивается с ростом деформации до тех пор, пока в результате их вращения без миграции не установится рекристаллизован-ная зерновая структура. При более высоких значениях напряжения и температуры увеличиваются силы, вызывающие миграцию границ, а также их подвижность, и границы могут мигрировать. Размер как субзерен, так и рекристаллизованных зерен зависит от приложенного напряжения и уменьшается по мере его возрастания. Эмпирические соотношения между размером зерен или субзерен и напряжением устанавливаются экспериментально и используются для того, чтобы восстановить напряжение, которое вызвало естественное деформирование горных пород. Однако представление о том, что размер субзерен или зерен равновесен при Данном напряжении, не обосновано. Размер субзерен не является независимой переменной и не оказывает существенного влияния на скорость ползучести, если только он не зафиксирован каким-либо образом. Преобразования зерен в результате динамической рекристаллизации, по-видимому, недостаточно, чтобы вызвать изменение механизма ползучести от описываемого степенной зависимостью до диффузионной ползучести. [c.190]

Итак, согласно (3), независимая переменная, а значит, и само пространство, наделяются иерархией структурных (масштабных) уровней. Уровень переменной ж естественно назвать вещественным, уровни переменных С1П, щоо — первым микро-и мегауровнями соответственно и т. д. Обычной вещественной прямой соответствует только один (вещественный) уровень на указанной неархимедовой прямой (3). Тем не менее вещественная прямая является сплошной , непрерывной, в то время как прямая (3), которая неизмеримо богаче обычной прямой, заведомо сплошной не является. Как уже отмечалось, это связано только с тем обстоятельством, что обычные вещественные числа являются достаточно размытыми объектами. Стоит заменить их на идеальные вещественные числа, как на оси обнаруживается множество вакансий самых различных уровней. [c.689]

Выбор подходящих координатных функций и удовлетворение граничным условиям, естественно, в рассматриваемом случае значительно сложнее, чем в одномерном. Нужно вообще заметить, что сходимость метода Ритца с увеличением числа независимых переменных ухудшается. [c.131]

Конечно, если это окажется удобным, величину в(Х, ф) можно рассматривать как независимую переменную, а величину Nu или 0зависимые переменные. В таком случае мы приходим к системе безразмерных величин (4-47). Естественно, что вид функций в случае 7с = onst и 9с = onst, вообще говоря, будет разным. [c.45]

В зависимостн от конкретного внда термодинамич. системы дл [ полной характеристики ее равновесных состояний оказывается необходимы.м введение, наряду с перечисленными выше основными нере.мен-ными, еще нек-рых 1шраметров. Так, во многих случаях удобно мысленно фиксировать объем определенной части системы и рассматривать число частиц в этом объеме как независимую переменную. Тогда к полным дифференциалам всех термодинамич. потенциалов необходимо добавить член idN, где величина (X наз. химическим потенциалом, является производной термодинамич. потенциалов по числу частиц при постоянных значениях соответствующих естественных неременных. [c.159]

Может показаться, что в обоих рассмотренных случаях приведение формул к безразмерному виду представляет собой некий искусственный прием. Однако, обративнл1Сь к третьему примеру — решению задачи о стержне, легко увидеть, что речь идет об органическом свойстве количественных соотноше1шй, вытекающих из физико-математического анализа. Действительно, в расчетную фор.мулу (2-24) для избыточной температуры входит в качестве параметра безразмерная величина ml. Другим параметром служит избыточная температура у основания стержня (, При таких обстоятельствах представляется совершенно естественным за искомую переменную принять отношение / о- На этот шаг пас толкает сама структура аналитического решения задачи. Она же демонстрирует, что независимой переменной служит относительная координата хИ. Итак, решение, записанное в неявной форме, получает вид [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...