Лапласа линии тока

Метод ЭГДА был разработан акад. Н. Н. Павловским в 1922 г. Он основан на том, что движение электрического тока в электропроводящей среде и безвихревой (потенциальный) грунтовой поток описывается одними и теми же математическими уравнениями (уравнениями Лапласа). Линии тока и линии равного напора в грунтовом потоке соответствуют линиям тока и линиям равного потенциала в электропроводящей среде. Граничные условия — водонепроницаемый подземный контур и водоупор соответствуют диэлектрику (непроводнику или изоляции) в электропроводящей среде. Коэффициенту фильтрации соответствует удельная электропроводность. [c.346]

Любая линия тока может быть представлена как твердая стенка, так как течение сквозь нее невозможно. Аналитическое решение уравнения Лапласа для сложных граничных поверхностей представляет большие трудности, и В этих случаях может быть получено графическое решение путем построения сетки криволинейных квадратов. Подробнее способ применения этого метода описан в гл. 9- Заметим, что потенциал скорости существует [c.131]

В заключение сетка течения и искаженные границы области приводятся к первоначальному масштабу, что и дает искомые линии тока. На полученной таким образом сетке течения линии равного потенциала и линии тока не будут ортогональны, так как находимое в результате решение не является решением уравнения Лапласа [c.205]

Если переходный участок, изображенный на рис. 14-1, является двумерным, то картина линий тока в предположении о потенциальности течения может быть найдена в этом случае путем построения гидродинамической сетки. Такой графический метод решения уравнения Лапласа был описан в 6-6 и п. 9-3.3. Отношение скорости в любой точке к исходной скорости Ui находится из применения уравнения неразрывности к трубке тока 332 [c.332]

Аналогично обратные допущения относительно постоянства величины скорости или завихренности на линиях тока н т. д. не имеют никакого отношения к группам ). Было бы желательно определить, как это сделано для уравнений Лапласа и Гельмгольца (см. прим. 2) на стр. 188), все системы координат, в которых решения уравнений нестационарного движения жидкостей можно найти методом разделения переменных. [c.189]

Формула (30) позволяет нам с удобством разыскивать различные плоские течения и соответственные им обтекаемые контуры. Стоит только взять за I l некоторую функцию координат ж, у, производные которой по координатам обращаются в бесконечности в нули и которая удовлетворяет уравнению Лапласа, потом представить семейство. линий тока уравнением [c.419]

Наибольший интерес представляет плоское безвихревое движение, для которого, кроме потенциала скоростей, существует еще функция тока, введенная впервые Лагранжам в 1781 г. кинематическая интерпретация функции тока, связанная с понятием линии тока, была дана значительно позднее (в 1864 г.) Рэнкиным. Наличие этих двух функций— потенциала скоростей и функции тока, удовлетворяющих в отдельности уравнениям Лапласа, позволило свести решение гидродинамической задачи к разысканию одной комплексной функции — комплексного потенциала. Подробное изложение этого метода, весьма близкого к современному, можно найти в двадцать первой лекции классических Лекций по математической физике (ч. 1, Механика) Кирхгоффа (1876). Отдельные задачи плоского безвихревого потока решались и ранее самим Кирхгоффом в 1845 г. и Гельмгольцем в 1868 г. Заметим, что с математической стороны эти задачи эквивалентны аналогичным задачам электростатики. Наряду с плоским стационарным безвихревым движением были изучена некоторые простейшие задачи нестационарного дви кения (Рэлей в 1878 г., Лэмб в 1875 г. и др.). Особенно больших успехов метод комплексной переменной достиг в теории обтекания тел со срывом струй, созданной трудами Гельмгольца, Кирхгоффа и Жуковского. Подлинного своего расцвета плоская задача безвихревого стационарного и нестационарного движения достигла в первую четверть нашего столетия в замечательных работах ученых московской школы, о чем еще будет речь впереди. [c.25]

В двухмерных задачах, для которых необходимо установить общую картину потока, например, при изучении фильтрации, линии тока обычно наносятся на лист обыкновенной бумаги с помощью пантографа. Пересечение проводящих и изолирующих границ создает новую картину движения, при которой эквипотенциальные линии ортогональны свободным поверхностям. Аналогия с водным потоком основана здесь на том факте, что как потенциал скорости, так и функция тока подчиняются уравнению Лапласа. [c.129]

Жуковского (фильтрации) 268 количества движения (импульсов) 101, 253 Лапласа 107 линии тока 60 Навье—Стокса (движения вязкой жидкости) 99 неразрывности 79, 105, 288 поверхности уровня 17 потенциала скорости 108 равновесия жидкости см. Уравнение Эйлера [c.356]

Лагранжевы координаты 10, И Лапласа преобразования 346 Линейные (несшитые) полимеры 135 Линии тока при выдавливании из капиллярного вискозиметра 93 Литье под давлением 95 сл. [c.352]

Учитывая, что функции тока и потенциала скорости в потенциальном потоке одновременно удовлетворяют уравнению Лапласа, можно установить, что для любой гидродинамической сетки одно семейство линий может быть принято за линии потенциала скорости, а второе — за семейство линий тока и наоборот, т. е. каждая гидродинамическая сетка характеризует два варианта потенциального движения. Какой из вариантов имеется в данной конкретной обстановке, можно определить только при анализе граничных условий. Функции тока и потенциала скорости одной сетки движения называются сопряженными. [c.407]

Итак, непосредственное определение поля скоростей заключается в решении уравнения Лапласа (3.45) или (3.49) для определения ф(х, у) или ф(х, у), удовлетворяющих граничным условиям данной задачи . Однако в большинстве случаев это является невыполнимой задачей. Поэтому используется косвенный способ решения задач. Выбирается произвольный потенциал скорости ф(л у), который удовлетворяет уравнение Лапласа, и строится картина линий тока. Если некоторые из линий тока совпадают с твердыми поверхностями канала (при решении внутренних задач) или обтекаемого тела (при решении внешних задач), то выбранная )ункция удовлетворяет граничным словиям задачи и является ее решением. В этом случае поле скоростей определяется по формулам (3.43). Если же не будут найдены линии тока, совпадающие с твердыми поверхностями, то выбранная ф(л у) не является решением задачи. Простое угадывание решений достаточно сложных задач не выполнимо. В этом случае используются метод наложения полей и метод конформных отображений. [c.50]

Формула эта, как и многие другие, известна из теории заземлений, где допускают возможным рассчитывать сопротивления по уравнению Лапласа, а ие Максвелла, т. е. не учитывать эффект сжатия линий тока магнитным потоком. В формуле (2.66) р — удельное сопротивление расплава d — диаметр диска. [c.101]

В последние годы широкое распространение получили методы генерирования криволинейных систем координат с помощью решения систем уравнений в частных производных [16]. Если рассмотреть задачу об идеальном обтекании тела, то в двумерном случае задача о нахождении линий тока и функций тока в задаче о внешнем обтекании сводится к решению уравнения Лапласа для потенциала ф и функции тока 1]) с соответствующими граничными условиями 5 ф/(Зл + (3 ф/5г/ = 0, + = В этом случае функции ф(л , у) и г )(л , у) образуют ортогональную криволинейную систему координат, связанную с поверхностью обтекаемого тела. Функция тока принимает постоянное значение вдоль линии тока. [c.53]

Задачи второго типа возникают при рассмотрении фильтрации и противодавления под плотинами, длина которых сравнительно велика по отношению к их ширине. В этом случае соответственной динамической переменной будет потенциальная функция Ф, так как вследствие того, что течение осуществляется в вертикальной плоскости, линии тока будут нормальны скорее к эквипотенциальным поверхностям, чем к поверхностям равного напора. Однако в процессе математического решения можно применить и р и Ф, так как они оба удовлетворяют уравнению Лапласа [c.129]

Менее совершенной методикой решения задач течения, которое с трудом подвергается точному анализу, является построение графическим путем распределения потенциала и линии тока. Сетки такого распределения могут быть получены с последовательно возрастающей точностью, следуя определенным правилам их построения, вытекающим из решения диференциальных уравнений. Когда такое графическое интегрирование уравнения Лапласа будет представлено в виде квадратной сетки эквипотенциальных линий и линий тока, то расход в системе на единицу падения величины потенциала будет представлен отношением числа квадратов, лежащих между двумя соседними эквипотенциальными линиями, простирающимися от одной граничной поверхности линии тока к другой, к числу квадратов, лежащих между двумя соседними линиями тока, простирающимися между контурами высокого и низкого потенциала [уравнение (9), гл. IV п. 17]. [c.213]

Закон Био-Савара-Лапласа. При протекании тока по проводнику, находящемуся в магнитном поле, в результате взаимодействия между силовыми линиями магнитного поля и силовыми линиями, возникшими вокруг проводника с током, образуется результирующее искажённое магнитное поле (фиг. [c.519]

Среди многочисленных методов приближенного, пеаиалитического решения уравнения Лапласа большим распространением в гидротехнических расчетах пользуется метод графического решения, заключаюгцш шя в геометрическом построении ортогональной сетки линий равных напоров и линий тока, удовлетворяющих заданным граничным условиям задачи. [c.325]

Причем Фл, так же как и р, удов-летворяет уравнению Лапласа и, следовательно, может рассматриваться как потенциал скорости усредненного по толщине слоя течения. Поэтому, если для функции Фл (т. е. для давления р) создать граничные условия такие же, как для исследуемого потенциального потока идеальной жидкости, то мы должны получить при течении в щели распределение скоростей и сетку течения такими же, как для идеальной жидкости. Опыт полностью подтверждает этот вывод. Течение описанного типа было исследовано Хил-Шоу (1898 г.) и применено им для визуального изучения потенциальных потоков. Схема прибора Хил-Шоу показана на рис. 153. На таком приборе путем подкращивания струек легко воспроизвести линии тока, которые затем графически могут быть дополнены эквипотенциалями. [c.300]

Линии, для которых 1 = onst, называют линиями тока. Гармоническая сопряженная с а[з функция ф называется потенциалом скоростей потока. Линии тока и линии, вдоль которых потенциалы скоростей постоянны, взаимно ортогональны. Обе функции (тока и потенциала скоростей) удовлетворяют уравнению Лапласа [ср. например, (21.48) и (23,27)]. Поэтому линии теплового потока и температурного потенциала при двумерной стационарной теплопроводности аналогичны соответственно линиям тока и потенциалу скоростей идеального потока жидкости. [c.249]

Таким образом, линии равных прогибов мембраны 2 = onst изображают линии токов, а углы i наклона ее поверхности пропорциональны скорости жидкости. В частном случае р = 0 (ненагру-женная мембрана ) ее отклонение удовлетворяет уравнению Лапласа [c.264]

Линии тока F= onst и линии равного потенциала Ф= onst образуют сетку взаимно ортогональных линий. Для несжимаемой жидкости функции Ф и F удовлетворяют уравнению Лапласа [c.16]

Ясно, что линии тока не могут выходить из области течения в которой вихрь скорости отличен от нуля, т. е. из области турбулентного следа (но они могут входить в след из области потенциального течения). В то же время турбулентные пульсации скорости могут проникать из следа в область потенциального движения, но со значительным ослаблением. Действительно, в случае потенциального движения несжимаемой жидкости уравнения движения в форме (1.7) будут удовлетворяться тождественно поэтому течение будет описываться одним лишь условием несжимаемости (1.5), эквивалентным уравнению Лапласа Дф = 0 относительно потенциала скорости ф (определяющего скорость соотношением йф/ Хг). Пусть г обозначает координату поперек следа тогда поле ф(х, (/, г) удобно разложить на компоненты вида ф = фо(г) X кхх- кчу) Из уравнения Аф=0 следует, что с1 (р1с1г = к о, где [c.72]

Установившиеся фильтрационные течения газированной жидкости были рассмотрены впервые С. А. Христиановичем (1941), который показал, что вдоль линии тока выполняется условие постоянства газонефтяного фактора — отношения потоков масс компонент (газа и нефти). Это условие однозначным образом связывает насыщенность с давлением и сводит задачу к уравнению Лапласа относительно некоторой функции Н р), которая получила позднее наименование функции Христиановича, Б. Б. Лапук (1941), воспользовавшись методом Христиановича, рассмбтрел задачу о стационарном режиме работы скважины. Впоследствии были выполнены дальнейшие упрощения расчетов и метод был распространен на случай [c.641]

Этот потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа и возрастает при каждом полном обходе замкнутой нестягиваемой в точку кривой на величину 2лС, так как а2—щ- -2п. Это значение 2яС и является циркуляцией Ц. При этом линиями тока являются окружности, а эквипотенциалями (поверхностями равного потенциала) — плоскости, проходящие через начало координат. Скорость такого движения в соответствии со свойствами потенциала скорости равна [c.422]

Пример 7.3. Используя приведенную выше формулировку, Ченг получил численные результаты для циркуляции, вызванной ветром в озере Эри (рис. 7.17) [3]. Сетка содержаля 516 трехузловых треугольных элемента и 308 узловых точек. В качестве первого расчетного примера Ченг определил линии тока для потока, втекающего в озеро и вытекающего из него при отсутствии ветрового воздействия, приняп = О для южного берега озера и 11 = 1 для северного (рис. 7.18). В этом случае основное уравнение переходит в уравнение Лапласа. [c.222]

Так, первоначальная задача состояла из нахождения распределения потенциала (удовлетворяющего уравнению Лапласа), которое предполагало бы постоянное значение его по оси х-ов для х< — С, отличное постоянное значение его для х>С, и искомое значение распределения потенциала было таково для х <с, чтобы ось х-ов соответствовала бы линии тока, где W == onst = Oj. Однако трудно [c.165]

Следующей характерной особенностью плоских задач движения жидкости в пористой среде, о которой стоит упомянуть, является взаимозаменяемость эквипотенциальных линий и линий тока[уравнение (4), гл. IV, п. 8], представленных кривыми, вдоль которых происходит перемещение частиц жидкости [уравнение (7), гл. IV, п. 8]. Это взаимоотношение вытекает из того обстоятельства, что эквипотенциальные линии и линии тока образуют взаимно ортогональную сетку [уравнение (5), гл. IV, п. 8], где функции тока также удовлетворяют уравнению Лапласа [уравнение (4), гл. IV, п. 8]. Отсюда каждое решение уравнения Лапласа в двух измерениях представляет собой решения для двух отличных физических задач, где роли функции потенциала и тока взаимозаменяются. [c.212]

Эксперименты на песчаных моделях с трехразмерными гравитационными течениями. Теперь становится ясным, что в свете рассмотрения, проведенного в гл. VI, п. 17, уравнения (5) и (9) гл. VI, п. 17, базирующиеся на теории Дюпюи-Форхгеймера, дающие форму свободной поверхности и величину расхода при гравитационном радиальном течении, едва ли могут считаться в какой-либо степени справедливыми без прямого эмпирического или точного аналитического подтверждения. Однако эти уравнения были поставлены под сомнение только в 1927 г., когда Козени опубликовал свою первую попытку решить проблему течения прямыми методами потенциальной теории . Так, начав с уравнения Лапласа [(2), гл. VI, п. 1], он сделал попытку синтезировать решение, удовлетворяющее граничным условиям гравитационного течения с помощью элементарных решений того типа, который был применен нами для исследования проблемы несовершенных скважин [уравнение (7), гл. V, п. 3]. К сожалению, точные граничные условия не были приложены им к решению этой задачи. Так, расход через систему был принят соответствующим линии тока, входящей в колодец на уровне жидкости в последнем. Однако в колодце, как уже было отмечено, будет иметь место определенный разрыв непрерывности, так что свободная поверхность системы будет входить в колодец над уровнем жидкости в последнем, давая толчок к образованию поверхности фильтрации. Тогда решение будет состоять только из постоянных членов и ряда функций Ганкеля, и радиальные скорости на значительных расстояниях от колодца станут экспоненциально исчезающе малыми. Однако с физической стороны ясно, что в точках, удаленных от поверхности колодца, радиальные скорости должны асимптотически приближаться к соответствующим значениям в строго двухразмерном радиальном течении. Поэтому потенциальная функция в таких точках асимптотически приближается к логарифмическому изменению или содержит, очевидно, логарифмический член, как это имеет место, например, в уравнении (5), гл. VII, п. 20 (vide infra). Наконец, потенциальная функция Козени не обладает характеристикой, требуемой каждым точным решением проблемы гравитационного течения, а именно, чтобы наивысшая линия тока была линией тока свободной поверхности с потенциалом, пропорцио- [c.302]

Из чего следует, что если функция тока течения известна, то можно определить компоненты скорости в любой точке пространства. Сопоставляя (6.10) и (6.12) приходим к выводу, что если частица движется вдоль линии тока, то функция тока остается постоянной (при у/ - onst, dy/-Ov (6.12) превращается в (6.10)). Проверим теперь, является ли функция тока гармонической функцией, т.е. удовлетворяет ли она уравнению Лапласа. [c.47]

Остановимся далее на выводе уравнений движения вихревых частиц для моделирования плоских течений в односвязных областях с возможностью отрыва на острых кромках. Следуя работе П.А. Куйбина [1993], рассмотрим плоское течение несжимаемой невязкой жидкости в области D, граница которой дО имеет точку излома. Локально граница вблизи точки излома представляется в виде клина с углом раствора р. Введем в D декартовы координаты 2, 22, выбрав начало координат на кромке клина, и соответствующую комплексную переменную z = Z] + iz2 (i - мнимая единица). Пусть известно конформгюе отображение (2) области D на полуплоскость = + i 2 (Q > 0). Граница 3D переходит при этом в линию < 2 = 0. Без потери общности предположим, что (0) = 0. Отрыв течения будем моделировать сходом бесконечно тонкого вихревого слоя (вихревой пелены) с острой кромки. Представим поле завихренности со в виде суммы внешней завихренности og (external), присутствующей в общем случае в потоке в начальный момент времени, и завихренности, генерируемой в результате отрыва со,,, (separated). Зная поле завихренности и функцию Грина оператора Лапласа для полуплоскости [Владимиров, 1976], известным образом находим функцию тока [c.328]

В книге [13]. Уравнение Лапласк описывает распределение элект рического заряда или электрического потенциала в пространстве по координатам х. Картины эти статические, они не зависят ни от каких магнитных полей. Таким образом, статические лапласов-ские распределения силовых взаимодействий для движения и действия электрических токов принципиально не отвечают реальной действительности. Для электромагнитных полей действительны уравнения (2.3) и (2.4). Тем не менее решения уравнений Лапласа, если не учитывать для каких-то отдельных областей действие магнитных сил, позволяют отождествлять статические эквипотенциальные линии взаимодействия зарядов с силовыми линиями электрического тока, когда в исследуемых моделях действует электродвижущая сила, равная электрическому потенциалу зарядов. На основании такого допущения в теоретической электротехнике установлена такая взаимосвязь между электрической емкостью промежутка С и его электрическим сопротивлением К. [c.190]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...