Метод второго порядка

Комбинированные методы и алгоритмы анализа. При решении задач анализа в САПР получило достаточно широкое распространение временное комбинирование численных методов. Наиболее известны рассмотренные выше алгоритмы ФНД для численного интегрирования ОДУ, являющиеся алгоритмами комбинирования формул Гира. Другим примером временного комбинирования методов служат циклические алгоритмы неявно-явного интегрирования ОДУ. В этих алгоритмах циклически меняется формула интегрирования — следом за шагом неявного интегрирования следует шаг явного интегрирования. В базовом алгоритме неявно-явного интегрирования используют формулы первого порядка точности — формулы Эйлера. Такой комбинированный алгоритм оказывается реализацией А-устойчивого метода второго порядка точности, повышение точности объясняется взаимной компенсацией локальных методических погрешностей, допущенных на последовательных неявном и явном шагах. Следует отметить, что в качестве результатов интегрирования принимаются только результаты неявных шагов, поэтому в алгоритме комбинированного неявно-явного интегрирования устраняются ложные колебания, присущие наиболее известному методу второго порядка точности — методу трапеций. [c.247]

Методы поиска экстремума классифицируются по следующим признакам в зависимости от характера экстремума существуют методы условной и безусловной, локальной и глобальной оптимизации по числу переменных проектирования различают методы одномерного и многомерного поиска, а по характеру информации о виде целевой функции — методы нулевого, первого и второго порядков, причем в методах первого порядка используют градиент целевой функции, поэтому эти методы называются градиентными, в методах второго порядка применяют вторые производные, а в методах нулевого порядка производные не используют. [c.281]

Так как в соотношение (2.21) разница между приближениями входит в квадрате, метод Ньютона называется методом второго порядка. Следует отметить, что оценка (2.21) практически никогда не используется, так как вычислить F и F" и исследовать на экстремум их модули — задача для сколько-нибудь сложной функции F по своей трудоемкости неадекватная той цели, ради которой ее следует решать. Вообще, метод Ньютона — это достаточно громоздкий в реализации метод, так как он требует вычисления двух функций F к F. Его можно рекомендовать для решения сравнительно простых уравнений, когда F может быть вычислена относительно просто. На практике, когда вычисление F сложно, прибегают к ее приближенному вычислению, т. е. берется Ф л MF (см. (2.20)). При этом получается сходящийся итерационный процесс первого порядка, близкий по своему геометрическому истолкованию к методу касательных. Примером может служить решение уравнения теплового баланса поверхности ЛА. Для стационарного состояния справедливо следующее уравнение [c.78]

Детерминированные методы поиска различаются подходами к моделированию гиперповерхности целевой функции. В основном эти методы используют линейную тактику и называются методами первого порядка (градиентные методы, метод касательных, метод хорд). Методы, аппроксимирующие поверхность целевой функции квадратичными формами, называются методами второго порядка (методы параболического программирования). [c.118]

По способу построения указанной последовательности точек различают методы нулевого порядка (используются только значения минимизируемой функции), методы первого порядка (используются также первые производные) и методы второго порядка (используются и вторые производные). Подробнее см. [55, с. 183—201]. [c.133]

Выбор порядка метода решения СОДУ довольно прост во-первых, более высокий порядок обеспечивает более высокую точность, во-вторых, среди неявных разностных методов кроме метода Эйлера -устойчивы также методы второго порядка и среди них — метод трапеций. Поэтому преобладающее распространение в программах анализа получили методы второго порядка — модификации метода трапеций. [c.103]

Метод Эйлера—Коши с итерациями является методом второго порядка. Методы Рунге — Кутта — наиболее распространенные среди одношаговых методов численного интегрирования и строятся по формуле [c.121]

Проверка производилась в численном эксперименте путем решения прямой задачи сопла Лаваля в спрофилированных соплах методом второго порядка точности, изложенным в, 7-10. В качестве исходных данных брались координаты спрофилированных сопел получаемое распределение скорости вдоль стенки сопла сравнивалось с тем, которое служило исходным при решении задачи профилирования. Проверка проводилась для широкой серии контуров сопел и во всех случаях было получено хорошее совпадение. [c.121]

Проверка воспроизводимости решения была проведена путем решения прямой задачи сопла Лаваля численным методом второго порядка точности (см. 11). Полученное поле скоростей в таком сопле показало высокую степень равномерности потока. Средняя погрешность коэффициента скорости по контуру (исключая точки разрыва его кривизны) составила 0,67%. [c.122]

Этот метод является методом второго порядка, так как в нем используется член ряда Тейлора, содержащий к . Ошибка на каждом шаге при использовании этого метода, имеет порядок к . За повышение точности приходится расплачиваться дополнительными затратами машинного времени, необходимыми для вычисления у п+1- Более высокая точность может быть достигнута, если пользователь готов потратить дополнительное машинное время на лучшую аппроксимацию производной путем сохранения большего числа членов ряда Тейлора. Эта же идея лежит в основе методов Рунге — Кутта. [c.77]

Поэтому для вычисления тепловых потоков О, и Оз, Вт, воспользуемся, как и раньше, методом второго порядка точности [c.347]

Заметим, что (3.18) применимо и к методу наискорейшего спуска, если Hft — единичная матрица. Если принять Н/г=Я , где Я — обратная матрица вторых частных производных F ) по X, называемая матрицей Гессе, то имеем метод Ньютона, относящийся к методам второго порядка. Методы второго порядка в САПР практически не применяются из-за трудностей расчета матрицы Гессе. Поэтому вместо Я используется ее приближение, рассчитываемое в методе переменной метрики без использования вторых производных F(X) по X. [c.74]

Методы второго порядка, называемые ньютоновскими, основаны на использовании первых и вторых производных оценочной функции, т. е. вектора градиента о и матрицы Гессе Н. Направление спуска определяется из квадратичной модели (5.27) оценочной функции в окрестности исходной точки каждого шага. Эти методы имеют наибольшую сходимость. Однако их применение практически невозможно, если не вводятся понятия оптимизируемых функций Г (х), а минимизируется непосредственно зависящая от параметров оценочная функция ф (х) произвольного вида (поскольку в этом случае при внешней пробе производных для получения матрицы Гессе на каждом шаге требуется большое количество п (п + 1)/2 проб). Если же оценочная функция определена как сумма квадратов оптимизируемых функций в виде [c.217]

Рассматриваемые методы относятся к методам второго порядка. Они основаны на представлении оценочной функции в виде квадратичной формы (5.27), которая, в свою очередь, получается из линейной модели оптимизируемых функций, выраженной формулой (5.23). [c.223]

Так как использование быстросходящихся итерационных методов второго порядка требует хранения в памяти ЭВМ гессиана функций образующих систему уравнений, систему уравнений (2.28) будем решать методом простой итерации, являющимся методом первого порядка. В этом методе отсутствуют частные производные функций, составляющих систему уравнений, по- [c.66]

Для этой цели можно использовать быстросходящийся итерационный метод второго порядка — обобщенный метод Ньютона [22]. Основное затруднение при использовании метода выравнивания максимумов состоит в определении индексов, составляющих множество R xo). Однако, когда уже известно приближенное решение минимаксной задачи методом е-наискорейшего спуска, в качестве таких индексов можно взять индексы, составляющие множество Яе х). [c.215]

В тех случаях, когда можно вычислить гессиан минимизируемой- функции, весьма эффективным оказывается метод Ньютона. В этом методе, относящемся к методам второго порядка, вектор [c.147]

Краевая задача на каждом промежуточном шаге процесса установления решается численным методом второго порядка точности по координате у и первого - по х [7]. Итерации процесса установления при решении эллиптической задачи (1.2)-(2.3) проводятся до тех пор, пока максимальное различие значений локального коэффициента трения, полученное на двух последовательных итерациях, не станет меньше 0,1%. Как показали проведенные расчеты, при выбранном значении шага процесса установления А1 = 0,01 требуется 25-30 итераций для достижения указанной точности. [c.100]

Как нам уже известно, первое сочетание звеньев и пар, т. е. два звена, входящих в три пары, представляет собой группу II класса второе сочетание из четырех звеньев, входящих в шесть пар, представляет собой группу III класса третьего порядка или группу IV класса второго порядка и т. д. Таким образом, статически определимыми являются кинематические цепи, названные выше группами (см. 12). Поэтому наиболее рациональным является рассмотрение методов определения реакций в кинематических парах по тем классам и порядкам групп, которые были нами установлены выше. [c.249]

Это дифференциальное уравнение, являющееся линейным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами, не может быть решено каким-либо известным методом ему можно придать более удобную форму следуюш,ей подстановкой [c.86]

Уравнение (196) может быть сведено к дифференциальному уравнению второго порядка. Квадратуры, к которым это дифференциальное уравнение в свою очередь сводится, не берутся, а вычисления графическим методом весьма гро- [c.91]

Неявный метод Адамса второго порядка точности называют также методом трапеций, ему соответствует формула интегрирования [c.238]

Основными методами численного интегрирования систем ОДУ в САПР стали неявные методы. Среди них имеются методы, обеспечивающие устойчивость вычислений при любом шаге /г>0. Это неявные методы первого и второго порядков точности. В САПР рекомендуется [c.54]

Будем решать систему уравнений (9. 1. 21), (9. 1. 22) с граничными условиями (9. 1. 23)—(9. 1. 25) в соответствии с [118] при помощи метода Кармана—Польгаузена (см., например, [2]). Представим продольную скорость (и , температуру 0 п концентрацию Фр в виде полинома второго порядка относительно параметра у/о., 1 = , 2, 3 ( 1 — толщина динамического, — тол- [c.336]

Многие графические способы построения точек дуг кривых второго порядка основаны на методах проективной геометрии. В авиационной промышленности кривую второго порядка часто задают тремя точками и касательными в двух точках. [c.75]

Для метода Гира второго порядка, формула которого Zk = = [(1/2)Яу1-2—2Я,1 1+(3/2)Я 1]/г, коэффициенты равны а = Ь = = = d=(3/2)/z. [c.120]

Одна из уцачных реализаций неявного метода второго порядка, которую можно считать модификацией метода трапеций, основана на комбинированном использовании явной и неявной формул Эйлера. Рассмотрим вопрос, почему такое комбинирование снижает погрешность и приводит к повьпыению порядка метода. [c.104]

Метод переменной метрики (иначе метод Девидона - Флетчера - Пауэлла) можно рассматривать как результат усовершенствования метода второго порядка - метода Ньютона. [c.164]

Уравнения интегрировались по времени конечно-разностным методом второго порядка типа ЕУО в варианте, близком к схеме [12]. Течение в сопле с внезапным сужением имеет довольно сложную структуру. Для адекватного разрегнения его деталей, критичных в плане учета вязких эффектов, был развит достаточно общий подход [13], допускающий разбиение расчетной области на блоки четырех- или треугольной формы с криволинейными границами. Внутри блока сетка строилась посредством интерполяции. Вдоль каждой из границ блока возможно заданное сгущение сетки, что обеспечивало необходимую гибкость при описании областей сложной формы. [c.335]

В работах С. С. Григоряна и Р. А. Чередниченко [24], Р. А. Чередниченко [70] рассмотрена осесимметричная задача о действии на упругий слой, покрывающий однородное полупространство, нормального давления. Последнее определяется из решения автомодельной задачи о сильном взрыве со сферической симметрией в воздухе. Используется конечноразностный метод второго порядка точности совместно с соотношениями на бихарактеристиках. По сравнению с однородным полупространством обнаружена значительная концентрация напряжений на границе раздела. [c.359]

Начальные условия для функций и, 0, со должны удовлетворять (42) —(44), а в остальном произвольны. Расчеты проводились по явной схеме конечно-разностным методом второго порядка точности, причем интегральные условия (43) выполнялись алгебраически точно с использованием формулы трапеций. Эти условия служат для вычисления граничных значений 0(0) и 0(1) по внутренним зиачепиям функции 0(г), что позволяет для уравнения (41) на [c.248]

В рамках уравнений Эйлера рассмотрена проблема нерегулярного отражения слабых скачков, известная как парадокс Неймана. Решение осуществлено численным методом второго порядка аппроксимации по пространству и времени с применением процедур, позволяющих достичь высокой точности расчетов в окрестности точки расщепления падающего скачка ( тройной точки ). Установлена причина несоответствия трехударной теории экспериментальным и численным результатам в случаях, когда трехударная теория либо дает существенно отличные результаты, либо не имеет решения с расщеплением падающего скачка. Показано, что во втором случае реализуется не трехударная, а четырехволновая структура с тремя скачками и с пучком волн разрежения. Результаты расчетов позволяют сделать вывод, что парадокс Неймана обусловлен исключительно недостаточной разрешающей способностью экспериментальных измерений и проводившихся до сих пор расчетов. [c.235]

Численное решение задачи проводилось монотонным методом второго порядка аппроксимации по пространству и времени [16, 17], который представляет собой одну из модификаций (И -модификацию) метода Годунова [18]. Расчеты выполнялись на подвижной криволинейной сетке, границы которой изображены на рис. 1, а. Граница АВСТ представляет собой фронт отраженного скачка г,ТО - фронт стебля Маха ш, ВО и О А - участки поверхности клина и плоскости симметрии. Длину Ь отрезка ОЕ, где Е - точка пересечения линии фронта падающего скачка г с клином, примем за линейный масштаб. [c.238]

Этот интеграл можно легко записать в конечно-разностной форме в виде суммы, связывая при этом Р с площадью ячейки, взвешенной с учетом применяемого конечно-разностного метода. Для методов второго порядка соответствующая взвешенная площадь имеет величину АхАу. Для точки, лежащей на стенке, как, например, точка (1,/) (в случае сетки первого типа прп расчете течения внутри замкнутой прямоугольной области), соответствующая площадь ячейки равна АхАу12. Для угловой точки, такой, как точка (1,1), площадь равна АхАу/А. Вводя обозначения Х = 1— )Ах и У = (/—1)Лг/, сумму можно записать в следующем виде [c.283]

В работе [8.134] рассматриваются эффекты изогнутости профиля путем частичного учета связи между углом атаки и не-стационарностью потока. Разработан метод второго порядка, который учитывает все эффекты взаимосвязей [8.135]. Однако эти методы в настоящее время имеют ограниченное применение при расчетах течений в турбомашинах, поскольку они базируются на изолированных профилях. В работе [8.136] рассматривается решетка тонких, слабоизогнутых профилей, движущихся через синусоидальное возмущение в несжимаемой жид- [c.250]

Это II без того сложное нелинейное урапнение второго порядка еще усложняется наличием переменных масс, поэтому решать такие уравнения наиболее целесообразно численным методом с 11споль зоваиием ЭВМ. [c.371]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Это уравнение, справедливое для веществ, теплофизнческие характеристики которых не зависят от температуры, устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в теле под действием источника тепла. Поскольку температурное поле тела зависит от его тепловых свойств, то по найденному изменению температуры в одной или в нескольких точках исследуемого тела -можно вычислить коэффициенты тепло- или температуропроводности. Но эти решения дифференциальных уравнений теплопроводности второго порядка сложны, и при разработке методов исследования стремятся использовать закономерности для одномерных тепловых потоков, которые можно реализовать в теплофизическом экоперимеите при определенных начальных и граничных условиях. Под начальными условиями понимается известное распределение температуры в теле в начальный момент времени, а под граничными условиями — закон взаимодействия тела с окружающей средой. Совокупность начального и граничногс, условий называют краевыми условиями [76, 78]. [c.123]

Для определения коэффициентов теплопроводности тонкослойных материалов может быть применен стационарный метод с использованием датчиков теплового потока (тепломеров). Формальное преимущество теплометрического подхода состоит в том, что он позволяет в правой части уравнения теплопроводности использовать вместо дифференциального оператора второго порядка по температуре (6-3) оператор первого порядка по тепловому потоку. Пер- [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...