Метод задач второго порядка

По-видимому, первые оценки ошибок для методов конечных элементов на приближенно заданных областях были получены советскими математиками (см., например, работу Оганесяна, 1966). Они получили оценки для кусочно-линейных аппроксимаций на треугольных сетках и рассматривали только приближенное решение для задач второго порядка с граничным условием [c.147]

Для изопараметрических элементов граница в плоскости т] прямолинейна и все граничные интегралы вычисляются непосредственно численным интегрированием. В действительности основное заключение теории для краевой задачи второго порядка, по-видимому, таково изопараметрический метод устанавливает локальное преобразование координат в направлении нормали и по касательной, точнее и удобнее того, которое достигалось конечно-разностным методом. [c.238]

Анализ свойств сходимости таких методов для задач второго порядка (включая равномерную сходимость см. гл. 3) и задач четвертого порядка (разд. 6.1). [c.8]

КОНФОРМНЫЕ МЕТОДЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧ ВТОРОГО ПОРЯДКА [c.114]

Предыдущий результат был установлен при предположениях, что решение и имеет достаточную гладкость (принадлежит Я + (й) для некоторого /г 1) и существует -интерполянт Wf,u (справедливо включение (/<) ё " (/<), выполняющееся при /г > >(п/2) — 1+s). Как будет теперь показано, если эти предположения не выполняются, то еще можно доказать сходимость метода при условии, что решение и принадлежит пространству I/П (Q), и при выполнении приводимых ниже минимальных предположений (3.2.10), использующих свойство плотности (необходимо заметить, что предположение I в следующей теореме не вводит ограничения на практике для задач второго порядка). Другой подход см. в упр. 3.2.3. [c.137]

Численное моделирование. Задача о неавтомодельной дифракции ударной волны моделировалась путем решения уравнений Эйлера методом Годунова второго порядка точности. Разностная схема основывалась на интегральной форме законов сохранения и строилась по методу конечных объемов. Граничные условия выбирались в соответствии с геометрией с учетом частичного перекрытия канала и установления преграды на определенном расстоянии от торца трубы. [c.195]

Комбинированные методы и алгоритмы анализа. При решении задач анализа в САПР получило достаточно широкое распространение временное комбинирование численных методов. Наиболее известны рассмотренные выше алгоритмы ФНД для численного интегрирования ОДУ, являющиеся алгоритмами комбинирования формул Гира. Другим примером временного комбинирования методов служат циклические алгоритмы неявно-явного интегрирования ОДУ. В этих алгоритмах циклически меняется формула интегрирования — следом за шагом неявного интегрирования следует шаг явного интегрирования. В базовом алгоритме неявно-явного интегрирования используют формулы первого порядка точности — формулы Эйлера. Такой комбинированный алгоритм оказывается реализацией А-устойчивого метода второго порядка точности, повышение точности объясняется взаимной компенсацией локальных методических погрешностей, допущенных на последовательных неявном и явном шагах. Следует отметить, что в качестве результатов интегрирования принимаются только результаты неявных шагов, поэтому в алгоритме комбинированного неявно-явного интегрирования устраняются ложные колебания, присущие наиболее известному методу второго порядка точности — методу трапеций. [c.247]

Попытка максимизировать быстродействия и КПД с помощью аналитических методов сделана в [15]. Задача быстродействия решена на основе принципа максимума для линейной зарядной системы второго порядка при пренебрежении индуктивностью в зарядной цепи. Задача о КПД решена методами классического вариационного исчисления также для системы второго порядка при пренебрежении инерционностью обмотки возбуждения и отсутствии корректного учета граничных условий. Допущения, сделанные в обоих случаях, сильно ограничивают практическую применимость полученных результатов. Поэтому в данном примере обе задачи решаются поисковыми методами, не требующими указанных выше допущений. [c.220]

Методы решения второй задачи динамики разъясняются на примерах, помещенных в следующих главах. Решение этих примеров требует интегрирования некоторых простейших дифференциальных уравнений второго порядка, для чего достаточно первоначального знакомства с дифференциальным и интегральным исчислениями. [c.38]

X, у, 2, X, у, 2. При этом решение второй задачи динамики приводится математически к задаче интегрирования трех совместных дифференциальных уравнений (6, 88) второго порядка относительно трех неизвестных функций X, у, 2, где независимым аргументом является время 1. Общие методы интегрирования этих уравнений пока не разработаны. Однако некоторые приемы построения решений системы дифференциальных уравнений (6, 88) можно указать. [c.456]

Так как в соотношение (2.21) разница между приближениями входит в квадрате, метод Ньютона называется методом второго порядка. Следует отметить, что оценка (2.21) практически никогда не используется, так как вычислить F и F" и исследовать на экстремум их модули — задача для сколько-нибудь сложной функции F по своей трудоемкости неадекватная той цели, ради которой ее следует решать. Вообще, метод Ньютона — это достаточно громоздкий в реализации метод, так как он требует вычисления двух функций F к F. Его можно рекомендовать для решения сравнительно простых уравнений, когда F может быть вычислена относительно просто. На практике, когда вычисление F сложно, прибегают к ее приближенному вычислению, т. е. берется Ф л MF (см. (2.20)). При этом получается сходящийся итерационный процесс первого порядка, близкий по своему геометрическому истолкованию к методу касательных. Примером может служить решение уравнения теплового баланса поверхности ЛА. Для стационарного состояния справедливо следующее уравнение [c.78]

Как уже отмечалось в 3.1, методы решения краевой задачи существенно зависят от того, является ли уравнение линейным или нет. Начнем с более простого линейного случая. Далее будем ограничиваться рассмотрением уравнений второго порядка — применительно к этим уравнениям можно достаточно просто продемонстрировать основные идеи, которые можно применить при решении уравнений любого порядка. [c.103]

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА [c.110]

Установив на примере алгоритм решения краевой задачи методом разделения переменных, наметим, в заключении, ход решения более общей краевой задачи, рассматриваемой на области D с i " для уравнения второго порядка [c.174]

Решение задач о форме тонкого гибкого стержня относится к числу весьма трудоемких и кропотливых. На современном уровне развития численных методов такие задачи удобнее и быстрее решать с помощью машины. Надо непосредственно интегрировать дифференциальное уравнение второго порядка (3), и надобность в табулированных функциях отпадает. Но вот на что следует обратить особое внимание— на неоднозначность форм равновесия. Если задача решается на машине, то программа должна составляться с учетом этого обстоятельства. [c.69]

В четвертом случае, когда момент инерции постоянный, а силы зависят от скорости и положения, задачу определения закона движения машины решают методами численного интегрирования или с помощью ЭВМ. Последний случай представляет собой распространенную задачу о движении технологической машины с электродвигателем. Это движение описывается согласно уравнению (11.9) нелинейным дифференциальным уравнения второго порядка [c.360]

Таким образом, задача определения пяти перечисленных выше параметров механизма имеет алгебраическое решение в общем виде. Приемлемость решения может быть проверена, как и в предыдущем случае, по геометрическому и статическому условиям существования кривошипа. Конструктивно приемлемый вариант механизма может быть найден также и путем варьирования параметра а. Заметим, что вместо решения (4.66) следует предпочесть совместное решение двух квадратных уравнений (4.64) методом последовательных приближений или графическим методом путем построения кривых второго порядка. [c.101]

Введение обобщенных импульсов полностью изменяет точку зрения. Как было установлено выше, метод Лагранжа рассматривает координаты системы как независимые величины, определяющие положение системы. Зависимость каждой из этих переменных от времени находится из решения системы дифференциальных уравнений второго порядка, известных под названием уравнений Лагранжа. Другой подход состоит в том, что в качестве независимых величин рассматриваются как. координаты, так и импульсы. Тогда конечной целью любой задачи является нахождение всех этих величин в виде явных функций времени. [c.58]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Таким образом, то, что можно было назвать общими методами, или общими решениями, относилось лишь к механизмам второго порядка первого класса (по терминологии Ассура). Решения более сложных задач были только для очень небольшого числа частных случаев. Однако, что весьма существенно, ясности в этом вопросе не было отсутствие достаточно всеобъемлющей классификации механизмов давало себя знать, и даже такой крупный ученый, как Виттенбауэр, под названием общего метода решения кинематических задач предлагал все тот же метод, относящийся исключительно к механизмам, образованным наслоением диад. [c.127]

Описание и анализ сходимости неконформных методов конечных элементов для задач второго порядка (4.2) и задач четвертого порядка (6.2). [c.8]

U) Конечный элемент должен, конечно, соответствовать решаемой задаче. Как было показа1Ю для конформных методов конечных элементов, это требует использования конечных элементов класса i или Кроме тою, мы увидим, что математическое доказательство сходимости требует (кроме всего прочего) включений P- (K) zPk, для задач второго порядка и включений Р К)с Рк , для задач четвертого порядка. Между прочим, эти условия были хорошо известны инженерам, открывшим их эмпирически задолго до получения их математиками. [c.104]

Неконформные методы для задач второго порядка. [c.206]

Анализ таких неконформных методов проводится точно таким же образом, как и в случае неконформных методов для задач второго порядка (см. разд. 4.2). В разд. 6.2 мы сосредоточиваем свое внимание на одном примере, где общин конечный элемент — прямоугольник Лдини. Для этого конечного элемента мы показываем, что (теорема 6.2.3) [c.326]

Следовательно, мы имеем в своем распоряжении метод аппроксимации решения задачи четвертого порядка, используюш,ий те же программы конечных элементов, которые нужны и для решения задач второго порядка. [c.371]

Кесаван, Ваннинатхан [1] математически исследовали эффект численного интегрирования в сочетании с использованием изопараметрических конечных элементов для дискретных задач второго порядка, получающихся с помощью метода, описанного в разд. 7.2. Заметим, что этот метод (с использованием численного интегрирования и изопараметрических конечных элементов) был реализован также Бурга [1]. Оказывается, что получаемые результаты предпочтительны по сравнению с результатами, которые дают обычные методы конечных элементов. С практической точки зрения ясно, что такой подход существенно проще, чем прямое применение численного интегрирования и изопараметрических конечных элементов к более стандартной дискретизации бигармонической задачи. [c.394]

В частности, для задач второго порядка изучение таких методов может основываться на общем подходе Бреззи [2] (заметим, что этот подход непосредственно не применяется к описанному в разд. 7.2 методу, хотя оба анализа имеют ряд общих характерных особенностей). [c.402]

Таким образом, смешанные методы дают одновременную аппроксимацию решений обеих основной и Двойственной задач. Так как на практике решение двойственной задачи состоит в получении производных от решения основной задачи (например, V для модельной задачи второго порядка), то терлшнология смешанный метод может быть также более общо использована для всякой процедуры аппроксимации, когда одновременно аппроксимируются неизвестное и некоторые из его производных независимо от того, делается ли это с помощью техники двойственности или нет. Такое определение, в частности, дается Дж, Оденом, подробно изучивншм такие методы. См. Оден [1, 41, Оден, Ли [1], Оден, Редди [2], [3, разд. 8.10], [5], Редди [1], Редди, Оден [1], Бабушка, Оден, Ли [1]. [c.404]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Полученная система дифс[5еренциальных уравнений (14-22) и (14-24) и должна дать аналитическое решение задачи о колебаниях масс воды в системе туннель — уравнительный резервуар. Однако после исключения из них скорости V мы придем к дифференциальному уравнению второго порядка относительно у, которое в общем случае не решается в квадратурах. Поэтому относящиеся сюда задачи решаются приближенно графическим или численным (в конечных разностях) методом. [c.146]

Для численного пптегрировагсия полученной системы уравнений разобьем выделенный объем среды точками г = (г=1, 2,. ... ... п) на и материальных частиц значения всех искомых функций будем определять в точках = г (i=l, 2,. .., п). Тогда четыре последних дифференциальных уравнения в частных производных по времени от иеремеп ых а,, а, w, р2 перейдут в Ап обыкновенных дифференциальны уравнения по времени, для численного интегрирования которых удобно использовать модифицированный метод Эйлера — Коши. Для определения значений давления р i в точках г = г. в к шдый фиксированный момент времени необходимо решать лине пую (для pi ) краевую задачу для первого дифференциального (по / ) уравнения второго порядка с краевыми условиями (6 7.17). [c.53]

Основные работы В. Г. Имшенецкого охватывают вопросы интегрирования уравнений с частными производными первого и второго порядков, а также интегрирование линейных дифференциальных уравнений высших порядков с одним независимым переменным. Предложенный им метод отделения переменных для интегрирования уравнений с частными производными первого порядка имеет тем большее значение для аналитической механики, что доведение задачи до конца вне рамок применения этого метода является счастливой случайностью. [c.346]

Второй пример —это маятиик, обладающий дву. 1я степенями свободы. Наиболее строгий метод решения этой задачи — рассмотрение сферического маятника и решение уравнений Лагранжа для этого случая. Однако из геометрии задачи видно, что производная z должна быть величиной второго порядка малости, если пользоваться приближением малых колебаний (z будет отличаться от своего равновесного значения только на величину, содер-жаш,ую квадрат амплитуды). Кроме того, из теории простого маятника можно ожидать, что величины FJm и FJm будут равны соответстпеино — gx/l и —gy/I, где через I обозначена длина маятника. Если пренебречь z во втором из уравнений (4.304), первые два уравнения той же системы дадут [c.117]

Вот при решении задачи об определении скоростей точек механизма для его мгновенного положения и вводится методика Ассура. Перефразируя одно известное выражение, можно сказать, что построение планов (или картин, как их обычно называет Ассур) скоростей является пробным камнем для его теоретических изысканий. В самом деле, механизмы первого класса второго порядка, по классификации Ассура, для которых фактически был разработан этот метод и которые составляют абсолютное большинство всех известных до настояш,его времени механизмов, образуются наслоением на кривошип сильвестровых диад, т. е. двухповодковых групп. Следовательно, положение каждой новой точки механизма зависит от положения тех двух звеньев, которые соединяются в искомой точке. Сами же звенья определяются в своих положениях своими связями с известными точками механизма, в том числе с точками неподвижного основания. [c.126]

Метод, предложенный Ассуром для решения той же задачи, основан на поисках некоторой аналогии с методом, примененным при построении плана скоростей механизмов первого класса второго порядка. В то Hte самое время он удачно использовал способ Риттера, применя- [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...