Разности центральные конечные

Радиус пластичности 375 Разгрузка 292, 304 Разности центральные конечные 231 Раскрытие трещины 388 [c.395]

Полученные операторы симметричны относительно их центра и соответствующие им формулы называют центральными конечными разностями. Путем соответствующего интерполирования можно получить односторонние выражения для про- [c.231]

Использование схемы центральных конечных разностей приводит в направлении х к погрешности обрыва процесса порядка (Ах) , а в направлении у — к погрешности порядка (Аг/)2, т. е. получается уравновешенная система. Поэтому применим для нашего расчета именно такую схему. Необходимые формулы для конечноразностных отношений можно найти в любом руководстве по численному анализу, см., например, р ]. [c.188]

В численной схеме используются центральные конечные разности и определяется следующая функция /С [c.185]

Рассмотрим теперь распространение возмущений в случае конечно-разностного уравнения. При использовании центральных конечных разностей любое возмущение, имеющее место в узле (г, /) сетки в п-й момент времени, распространится в узлы (/ 1, / 1) сетки в (п+1)-й момент времени неза- [c.356]

Рассмотрим простейшую конечно-разностную аппроксимацию, используя центральные разности [c.193]

Конечно-разностная схема при применении центральной разности имеет вид [c.161]

Вся поверхность лопасти системой координатных линий разбивается на участки, и в узловых точках (точках пересечения) определяются составляющие скорости у и v (рис. 41). При этом на границе сетки расчет ведется по конечным разностям, взятым либо вперед, либо назад, а в ядре сетки — по центральным разностям. Окончательные расчетные формулы имеют следующий вид [c.100]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Уточнение решения при применении любых, в том числе центральных, разностей более высоких порядков требует, как нетрудно видеть, задания в начальном сечении производных соответствующих порядков от искомых функций, и в пределе мы приходим к необходимости задания всех производных в начальном сечении, что, конечно, невозможно, так как это одно уже эквивалентно решению эллиптической системы во всей области определения неизвестных. [c.329]

В выполненных примерах расчет начинался с использованием разностей, взятых назад. Расчет производился последовательно от начального сечения I—1 вниз по потоку до конечного сечения N — Ы, причем в каждом сечении проводилось два, максимум три приближения (следующие приближения уже не изменяли полученного решения). На основе этого решения, полученного только с разностями назад, определялись все производные по аг при помощи центральных разностей, В тех сечениях, где члены, содержащие эти производные, были [c.333]

В предварительных расчетах сравнивались разные способы задания контактных условий между слоями (жесткое закрепление по вертикали и связи нулевой жесткости по горизонтали жесткое закрепление по вертикали и связи конечной жесткости по горизонтали проверка выполнения на контактах слоев условий сухого трения и др.). Так как напряжения и перемещения в центральной части плиты покрытия практически не зависят от способа задания условий па контакте, поэтому выберем наименее трудоемкий способ задания контактных условий. До рещения задачи обоснуем размеры расчетной сетки элементов, необходимые для достижения заданной точности рещения. Известно, что для используемых конечных элементов с удвоением густоты сетки разность между точным и приближенным рещениями для перемещений уменьшается примерно в 4 раза, для напряжений—в 2 раза. Точность решений оцениваем по стабилизации результатов расчетов. За оценку погрешности решения принимаем относительную разность двух значений напряжений, полученных в последовательных расчетах при сгущении сетки в два раза. Ставилось условие, чтобы эта погрешность не превосходила 1 %. В итоге пришли к неравномерной сетке элементов (рис. 9.4). [c.340]

Мы рассмотрели работу внешней силы в однородном поле Земли, при растяжении пружины и, наконец, в центральном гравитационном поле. Во всех этих случаях работа не зависит от формы пути, а значение ее определялось только разностью потенциальных энергий в конечном и начальном положениях [c.146]

В табл. 1 приведены экспериментальные и теоретические частоты колебаний для пластинки с центральным вырезом. Черными точками на рисунках табл. 1 обозначены узлы конечно-разностной сетки, в которых при теоретическом исследовании были получены максимальные амплитуды и соответствующие им формы свободных колебаний. Как видно, в случае использования улучшенной конечно-разностной схемы результаты получаются значительно более точные. Сравнение теоретических и экспериментальных данных показывает хорошее совпадение, и различия между ними не превышают 1,5% для основной формы колебаний и 3 % для более высоких. Очевидно, что для высших форм колебаний точность результатов, полученных методом конечных разностей, снижается. Общей закономерностью, как видно из схем табл. 1, является то, что максимальные амплитуды колебаний имеют место около краев выреза. [c.124]

Будем для записи дифференциальных уравнений (21) в конечно-разностной форме использовать обычную формулу центральных разностей [c.138]

Выражения (6.28) и (6.29) представляют первую и вторую производные через конечные разности. Эти выражения называются центральными. разностями, поскольку они. содержат ординаты, относящиеся к точкам, лежащим по обе стороны от точки г. Можно также получить выражения, содержащие (помимо ординаты в точке i) ординаты, относящиеся к точкам, которые расположены или только справа, или только слева от точки i, Такие выражения называются разностями для интерполирования соответственно вперед или назад. Кроме того, в конечно-разностной форме можно представить и производные порядка выше второго. Однако конечно-разностных формул, приведенных выше, будет достаточно для определения прогибов балок ). [c.234]

Принцип конечных разностей. Приближенное решение дифференциального уравнения в частных производных, как, например, уравнения Лапласа, может быть получено в числовом выражении путем принятия пространственного распределения или сетки значений в области и проверки, удовлетворяют ли принятые значения соответствующее уравнение и граничные условия. В случае, если эти значения не удовлетворяют уравнение, их корректируют. Для выполнения этих операций необходимо заменить бесконечно малые дифференциальные элементы элементами малыми, но конечными, а затем воспользоваться методами теории конечных разностей. Приближенное выражение можно получить для функции ф уравнения Лапласа, приняв значения ее величины в равномерно распределенных точках такими, как показано на рис. 40. Расстояние а принимается достаточно малым, чтобы изменение функции от точки к точке можно было считать линейным. Если Хо и г/о — координаты центральной точки, то в точках [c.131]

НО выразить через компоненты скоростей перемещений в узловых точках (й , тЬц) при помощи конечных разностей согласно (8.22) и (8.19). Диссипативная функция выражается с заменой производных от м и г левыми и правыми конечными разностями и производных от V) — центральными разностями. [c.258]

Составим конечно-разностный аналог уравнений (23.2),предварительно введя новую переменную ф=—Дф (ф имеет смысл проекции вихря скорости на направление, перпендикулярное плоскости движения). Заменяя производные по времени односторонними разностями, а производные по координатам — центральными, получим [c.161]

Здесь — значения функции в узлах, расположенных в окрестности центральной точки, которой соответствует / у. Информацию о коэффициентах при у и т в конечно-разностных выражениях очень удобно представлять с помощью вычислительных шаблонов, являющихся диаграммами, показывающими, какой вклад вносят узлы сетки в рассматриваемую производную. На рис. 5.5 представлены вычислительные шаблоны для некоторых часто встречающихся производных. Из этих элементов строятся более сложные вычислительные шаблоны для дифференциальных уравнений. Сложение производных осуществляется суперпозицией соответствующих вычислительных шаблонов. Этим методом собраны вычислительные шаблоны для Д/ и (рис. 5.6). Все приведенные вычислительные шаблоны имеют погрешность порядка Следует отметить, что можно построить и более точные (имеющие меньшую погрешность) вычислительные шаблоны, если пользователь готов включить в рассмотрение дополнительные узлы. В основе всех построенных до сих пор вычислительных шаблонов лежит центрально-разностная аппроксимация. Иногда, чтобы свести к минимуму распространение ошибок, пользуются левыми или правыми разностями. Вычислительными шаблонами следует пользоваться с осторожностью, так как построенное с их помощью разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение в частных производных, при счете может оказаться неустойчивым. Разностная схема считается неустойчивой, если погрешность, каково бы ни было ее происхождение, с течением времени не убывает. Трудности, связанные с неустойчивостью разностных схем, особенно часто возникают в эволюционных задачах [c.110]

Чтобы полностью поставить задачу, это уравнение необходимо дополнить двумя граничными и двумя начальными условиями. Перейдя к конечно-разностной форме с центральными разностями, получим [c.124]

Полученные обыкновенные нелинейные дифференциальные уравнения методом конечных разностей (с использованием центральных операторов первого приближения) преобразуем в систему нелинейных алгебраических уравнений, которая решается с использованием метода Ньютона—Канторовича. [c.91]

Интегрирование уравнений (IV.4), (IV.5) ведем методом конечных разностей. Используя центральные разности, получаем в каждом узле прямоугольной конечноразностной сетки [49] [c.96]

Для определения общей потенциальной энергии деформируемой системы, обусло1зленной действием изгибающих и крутящих моментов, введена конечно-разностная схема с пересекающейся сеткой. Использование этой схемы дозволяет уменьшить погрешность аппроксимации выражений для потенциальной энергий деформации, вызванной крутящим моментом, с помощью конечно-разностных соотношений, и, кроме того, исчезает необходимость введения фиктивных узлов в граничной области. Узловые подобласти, используемые в этом методе, дают возможность получить приближенные конечные суммы, базирующиеся на значениях функций в узлах сетки, покрывающей определенным образом рассматриваемую пластинку. Выражение потенциальной энергии деформации для граничных узловых подобластей соответственно изменяется таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия для изгибающего момента и чтобы обеспечивалась возможность применения центральных конечных "разностей в районе границ. Дополнительные граничные условия для напряжений удовлетворяются автоматически в процессе минимизации, приводящей к конечно-разностным соотношениям, подобным тем, которые получаются при прямом использовании метода конечных разностей, но без применения фиктивных узлов, лежащих за границей пластинки. [c.115]

Этот результат подобен тому, который был бы получен на основе обычной центральной конечной разности [1, 4, 8]. Однако вывод уравнения (16.49) является иным, и при этом вЬзникают интересные возможности использования других интерполяционных функций. [c.359]

Рис. 3.26. Точное решение уравнения О = —и (б /бх) + а (б /бл ). Решение с центральными конечными разностями, Ax = /io, i=0, tii==l. и = onst. а a/u=l, Re=l, Re = 0.1 6 a/u = 0.01, Re =100, Re . = 10.

Рис. 3.27. Аналитические п конечно-разностные решения стационарного линейного модельного уравнения Q =—и(дудх)a d% dx ), включаюш,его конвективный и диффузионный члены g (0) = О, g(l)=l, и = onst. Решение с центральными конечными разностями, Дл = Vio- Сеточное число Рейнольдса R = и Ах/а. а — аналитические решения б — конечно-разностные решения при Re <2 в — конечно-разностные решения при Re > 2.

Рис. 3.27. Аналитические п коиечно-разностные решения стационарного линейного модельного уравнения О = — и (д дх) + а (d Udx% включаюш,его конвективный и диффузионный члены J (0) = О, J(l)=l, == onst. Решение с центральными конечными разностями, Лд = 7ю- Сеточное число Рейнольдса Re . = II Лд /а. а — аналитические решения б — конечно-разностные решения при R 2 в — конечно-разностные решения при Re 2.

Интегрирование системы конечно-элементных уравнений (1.35) можно осуществить различными способами [55, 177, 178], наибольшее применение среди которых получили методы центральных разностей, Вилсона, Галеркина, Ньюмарка. Нельзя формально подходить к использованию того или иного метода,, так как каждый из них имеет свои сильные и слабые стороны, которыми и определяется область их рационального применения. Так, применение центральных разностей имеет несомненное преимущество при использовании сосредоточенной (диагональной) матрицы масс, однако устойчивость его зависит от выбора шага интегрирования во времени Ат. Выбирая безусловно устойчивые и более точные двухпараметрические методы интегрирования Ньюмарка и Галеркина, мы значительно увеличиваем время счета. Оптимально и достаточно просто реализуемое интегрирование уравнения (1.35) можно провести с помощью модифицированной одношаговой процедуры Вилсона по двум схемам, отличающимся числом членов разложения в ряд Тейлора функций (т) , (й т) , ы(т) в момент времени т [7]. [c.25]

Граничные условия задачи выражаются в конечно-разностной форме. Для казкдой точки контура можно записать два граничных условия. В эти уравнения помимо значений прогибов внутри контура п па контуре входят значения прогибов в законтурных точках. В итоге получается система линейных алгебраических уравнений, пз которых определяются значения прогибов во всех узловых точках. Зная величины прогибов в каждой точке, можно определить, далее, через них вторые производные д и>1дх и д юЮу и, следовательно, величины изгибающих моментов Мх и Му. Точность полученных результатов решения задачи зависит от размера шага к. По мере уменьшения шага точность возрастает, но одновременно возрастает и число уравнений, которые нужно решать для определения прогибов в узловых точках. При замене производных конечными центральными разностями ошибка пропорциональна Поэтому точность вычисления быстро возрастает с уменыненпем шага. Вместе с тем примерно пропорционально 1/к возрастает число уравнений. [c.211]

Для численного решения уравнения движения известно большое число шаговых численных методов. Конечно-разностные операторы по времени, представляющие ускорение разделяются на две группы условно устойчивые и безусловно устойчивые. Условно устойчивые методы (например, метод центральных разностей) становятся неустойчивыми, если шаг интегрирования Ат больше некоторого критического значения. Безусловно устойчивые методы (например, метод Хубольта), устойчивы вне зависимости от выбора величины шага по времени, однако при этом усложняется процесс интегрирования и возникает влияние фиктивного затухания, вносимого в модель конечно-разностными операторами. При решении методом Хубольта вектор узловых обобщенных ускорений q в момент времени т + уАт (/ — номер временного шага) аппроксимируется в разностном виде с интерполированием назад [c.110]

Численное решение на ЭВМ всей системы дифференциальных уравнений в частных производных для газовой и жидкостной фаз включает пошаговое интегрирование в направлении г от начальных значений, заданных в плоскости 2о вычислительной программой L1SP. В каждой последующей плоскости 2 вычисляется совместное решение для всех переменных во всех узловых точках расчетной сетки (г, 0) с использованием комбинированной схемы прогноза с коррекцией. Для большинства уравнений применяется конечно-разностный метод переменных направлений с использованием центральных разностей по г и 9. На этапе прогноза используются линеаризованные конечно-разностные аналоги этих уравнений — явные по г и неявные по 9. Отдельные подпрограммы решают каждое из конечно-разностных уравнений, а также вычисляют связи уравнений и физические свойства газа в зависимости от соотношения компонентов. Использование отдельных подпрограмм обеспечивает удобство при введении требуемых изменений в модели различных физических процессов. Из-за практических ограничений в отношении объема памяти ЭВМ и времени счета программа 3-D OMBUST содержит не более 15 круговых и 7 радиальных линий расчетной сетки и не более 12 диаметров капель. [c.158]

Вязкие напряжения на старом временном слое аппроксимируются с помощью обобщения центральных разностей на произвольные сетки. Вклад вязких членов в конечно-разностный оператор на новом временном слое оценивается приближенно, поскольку вклад некоторых точек опускается, с тем чтобы сохранить блочную пятидиагональную структуру матрицы коэффициентов разностной системы линейных алгебраических уравнений для приращений по времени упомянутых выше переменных. [c.393]

Рассмотрим пример расчета оболочки при следующих данных i = 0,20 м 2й.=0,02 м длина оболочки 1=0,40 м мате-риа.ч—сталь ( = 1,15-10 Н/м , ц = 7,7-10 Н/м ). Считаем, что нагрузка = — 1 Н/м распределена по кольцевой зоне шириной Ь = 2/г/4 в центральной части оболочки. На краях удовлетворяются условия жесткой заделки. Задачу решаем методом конечных разностей на ЭВМ БЭСМ.-6. Количество узлов сетки по образующей принимаем равным 83 (с двумя законтурными узлами). [c.70]

Расчеты осуществлялись с помощью метода конечных разностей. Использовалась равномерная прямоугольная сетка. Все пространственные производные аппроксимировались центральными разностями, производные по времени — односторонними разностями (явная схема). Уравнения Пуассона для функций тока решались методом последовательной верхней релаксации. В [17] для вычисления плотности р на новом временном слое по найденному полю средней скорости определялись координаты точки, из которой переместилась жидкая частица, и из которой, следовательно, должна быть перенесена информация о плотности с предыдущего временного слоя. При использовании метода Level Set решалось уравнение переноса для маркерной функции, а истинные значения плотности восстанавливались по маркерной функции (детальное описание алгоритма см. в [21]). [c.128]

Измерение давлений или напоров и скоростей вовдуха. Для определения статич. давления применяются барометры — ртутные и диафрагмовые. В вентиляционной практике приходится почти всегда замерять не абсолютное давление, а их разность. Для этой цели применяется обычный и-образный манометр из стеклянной трубки с внутренним 0 4—5 мм и миллиметровой шкалой. Жидкость м. б.г 1) легкая — вода, спирт, подкрашенные фуксином, для малых разностей давлений в мм вод. столба, и 2) тяжелая — ртуть для давлений в значительных долях атмосферы. Иногда нужно знать разность давлений в двух сосудах или разных концах трубопровода тогда с ними соединяют соответственные отводы манометра. Для более точных замеров применяют диференциальные микроманометры с поворотной наклеенной трубкой, позволяющие отсчитывать доли мм вод. столба. Эти же микроманометры служат для определения скоростных и полных напоров в воздуховодах. Инструментом для проведения таких замеров служит трубка Прандтля или Пито. Обе трубки в центре (торце) отогнутого конца имеют канал, проходящий до конечной вилки, изолированной от другого канала, идущего рядом. Второй канал в трубке Прандтля в отогнутом конце имеет кольцевой канал, сообщающий его с измеряемой средой. В трубке Пито роль кольцевого канала играют малые отверстия в боковой части отогнутого конца. Трубка вводится в трубу или воздуховод через отверстие в их стенке и устанавливается концом против движения воздуха. Оба канала, выходящие в вилку, соединяются с отводами микроманометра. Соединяя центральный канал с одним ив отводов манометра и оставляя второй отвод открытым в атмосферу, получаем полный напор, т. е. алгебраич. сумму статического и скоростного напоров. Трубками же Пито или Прандтля замеряется разность полных напоров вентилятора или потеря давления в цилиндрических трубах на трение. Для непосредственного измерения скоростей воздуха употребляются анемометры разных систе.м, напр, крыльча-тый Казелли или чашечный Робинзона. Уста- [c.275]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...