Соотношения, связывающие перемещения и деформации

Можно заметить, что из уравнения (5.6) параметр ах по существу исключен, и это уравнение можно записать в виде и =а2. Сокращенная форма записи обусловлена тем, что, как показано в разд. 4.3, дифференцирование перемещений с целью получения деформаций приводит к исключению членов, отвечающих движению тела как твердого целого. В данном случае такому движению соответствует член Ох. В более общем случае параметры, отвечающие движению тела как твердого целого, обозначены через аз , а остальные параметры— через Тогда сокращенная форма соотношения, связывающего перемещения и деформации для общего случая, имеет вид [c.128]

Линейные соотношения, связывающие перемещения и деформации, относятся лишь к заданию геометрических характеристик деформации и применимы как в случае плоского напряженного, так и плоского деформированного состояния. Следовательно, соответствующие соотношения содержатся в (4.7), и принципиальное различие между конечно-элементными формулировками для плосконапряженного и плоско-деформированного состояний заключается в различии законов, связывающих деформации и напряжения, т. е. законов (11.3) и (9.3). Поэтому здесь справедливы построения из гл. 9, включая использование концепции элементов высоких порядков, рассмотрение альтернативных вариантов с использованием в элементах дополнительных узлов и степеней свободы в виде производных от перемещений, а также применение изопараметрического представления геометрии элемента. [c.327]

Чтобы получить уравнение, связывающее напряжение и деформацию, необходимо лишь заменить перемещение на деформацию, т. е. на перемещение элемента единичной длины, и усилие на напряжение, т. е. на усилие, приходящееся на единичную площадь. Так как при описании вязкоупругого поведения материала основную роль играют напряжения и деформации сдвига, соотношение между напряжением и деформацией обычно записывается для случая сдвига следовательно, [c.119]

Использование полимеров, высокопрочных сплавов и резины потребовало развития нелинейной теории упругости. Так называемая физически нелинейная теория упругости, т. е. такая теория, где нелинеен лишь закон, связывающий напряжения и деформации, практически тождественна теории упруго-пластических деформаций при нагружении. Поэтому мы не будем рассматривать ее отдельно от последней и обратимся к развитию так называемой нелинейной теории упругости, в которой учитываются нелинейные эффекты, связанные с большими перемещениями и деформациями. Интерес к этой теории, возникший в связи с работами Ламе и Кирхгофа, потом надолго угас и возродился лишь в 20-х годах. В работах Н. В. Зволинского и П. М. Риза развивается квадратичная теория упругости, в которой во всех соотношениях удерживались члены второй степени относительно деформаций. При решении задач нелинейной теории упругости наиболее эффективен метод последовательных приближений, который позволяет свести их к решению линейных задач. В развитии этого метода большую роль сыграли [c.260]

Если в (3.1) и (3.2) направления Г, и последовательно совмещать с осями X, у, г, можно получить щесть соотношений, связывающих компоненты тензора деформаций с перемещениями [c.59]

При проектировании реальных конструкций учет целого ряда физических факторов приводит к появлению в расчетных схемах величин, действие которых эквивалентно действию нагрузок. Распределение температуры в конструкции может вызывать стесненное тепловое расширение. Чтобы решить эту задачу численно, необходимо преобразовать температурные деформации в фиктивные нагрузки или перемещения. В гл. 6 в определяющие соотношения, связывающие силы и перемещения для элемента, вводятся члены, учитывающие влияние тепловых и других начальных деформаций. [c.90]

Рассмотрим теперь поверхностный интеграл по 5 в (6.60а). (Здесь опять обсуждаются лишь внутренние элементы, поэтому поверхностный интеграл по 5о опускается.) Из предыдущих рассуждений следует, что этот интеграл отвечает за реализацию условий непрерывности перемещений вдоль границ элемента. Как и ранее, опишем граничные перемещения и независимо от внутренних перемещений таким образом, чтобы они были согласованы при переходе границы элемента, но выражались через узловые перемещения А . Что касается граничных усилий Т, то в нашем случае они сначала записываются через производные от перемещений. При этом используются соотношения теории упругости (4.5), соотношения, связывающие напряжения с деформациями и деформации с перемещениями. [c.186]

Построенные на базе выбранных функций соотношения, связывающие силы и перемещения, должны давать нулевую энергию деформации при движении тела как твердого целого. [c.228]

Разрешим это уравнение относительно а и подставим полученное выражение вновь в (12.12). Продифференцируем результирующие выражения согласно (12.1) и выпишем (12.9). Также можно продифференцировать выражение (12.12) непосредственно согласно соотношениям, связывающим кривизны и перемещения (соотношения (12.1)), и подставить полученный результат в выражение для энергии деформации. Получим основную матрицу жесткости, относящуюся к параметрам а . Матрица жесткости, соответствующая узловым перемещениям, получается в результате применения к основной матрице жесткости матрицы, обратной к [В] из (12.13), подобно тому, как преобразуются координаты. Ниже, в этой главе представится возможность проиллюстрировать эту процедуру. [c.350]

Эти соотношения записываются для соседних элементов и приравниваются их перемещения на поверхностях контакта. В модели Ву [197] в результате получаются следующие соотношения, связывающие локальные деформации элементов [c.294]

Уравнения в частных производных (6.1) составляют систему второго порядка. Перемещения определяют интегрированием соотношений, связывающих деформации срединной поверхности с перемещениями и силами [c.290]

Соотношения (5.2.5) и (5.2.6) в совокупности с уравнениями равновесия или движения, а также геометрическими соотношениями, связывающими деформации с перемещениями, образуют полную систему уравнений статики или динамики тонкостенных композитных элементов конструкций. Расчет таких элементов осуществляют по следующей схеме. [c.310]

Для вывода уравнений равновесия и соотношений, связывающих компоненты деформаций с перемещениями, воспользуемся первым путем. Условия равновесия элемента с размерами Аг и /-(10 (рис. 2.7, а) в проекции на оси J i и г/i выглядят так [c.46]

Для вывода соотношений, связывающих компоненты деформаций в полярной системе координат с перемещениями, проследим за смещением трех точек А, В и С (рис. 2.7, б). Обозначив перемещения в радиальном и окружном направлениях через и nv, составим [c.47]

Таким образом, считая известными матрицу [Ф], связывающую перемещения в любой точке элемента с узловыми перемещениями (3.84), и матрицу [51, соответствующую соотношениям между деформациями и перемещениями узлов элемента по формуле (3.85), определяют матрицу жесткости [/< 1 и вектор внешних узловых сил F [c.90]

Результаты, полученные в предыдущих параграфах, основаны на геометрических и статических соображениях. Однако этих соображений недостаточно для полного построения теории оболочек. При выводе соотношений, связывающих компоненты деформаций с перемещениями и усилия и моменты с компонентами деформаций, приходится принимать некоторые упрощающие подходы. Известно два таких подхода. [c.35]

Из уравнений (7.83) и (7.84) получаем соотношение, связывающее скорости узловых перемещений со скоростями деформаций по объему конечного элемента [c.188]

Присоединим к уравнениям (5.1) соотношения, связывающие деформации и перемещения в геометрически линейных задачах теории упругости, а также физические уравнения в форме обобщенного закона Гука [c.84]

Уравнения равновесия и соотношения, связывающие деформации и перемещения и аналогичные тем, что выведены в главе 6 для произвольной оболочки, не ограничиваются случаем упругого материала и могут быть применены ко всем материалам при различных условиях их работы. Частично, кроме упоминавшихся вопросов общности, в оставшейся части этой главы будут обсуждены некоторые аспекты более общих зависимостей напряжений от деформаций, такие, как близко связанные с этими вопросами теории разрушений, коэффициенты запаса и т. п., что лежит в основе всех расчетов. [c.28]

Деформация каждого отдельно взятого резинового слоя является линейной. Данное предположение дает возможность использовать линейные соотношения жесткости для резинового слоя — формулы, связывающие главные векторы сил и главные моменты на лицевых поверхностях слоя с относительными перемещениями и поворотами этих поверхностей. [c.218]

Для определения формоизменения при конечной деформации используем ранее приведенное соотношение, связывающее скорость с перемещением и временем [c.139]

Геометрические соотношения, связывающие скорости деформаций и перемещений, записываются следующим образом [c.223]

Короче говоря, в предыдущих рассуждениях не играл никакой роли характер взаимосвязи, существующей между частицами сплошной среды, также как и все физические обстоятельства, могущие оказывать влияние на эту взаимосвязь. Однако хотя ряд важных соотношений и формул, необходимых для описания деформации сплошного тела под действием заданных внешних сил, и может быть получен без учета механических свойств его материала, полностью решить данную задачу, оперируя лишь представлениями статики и геометрическими соображениями, разумеется, нельзя. Математически это следует из того, что для описания напряженно-деформированного состояния тела надо знать в каждой его точке три компонента перемещения и, V, гю тл шесть компонентов приведенных напряжений Между тем для определения этих девяти неизвестных пока что нами получено всего лишь три дифференциальных уравнения II (7.17). Таким образом, как это уже неоднократно упоминалось, для того чтобы рассматриваемая задача могла быть математически сформулирована, необходимо установить еще шесть соотношений, связывающих между собою перечисленные выше девять неизвестных и выражающих тот физический закон, по которому объемный элемент рассматриваемой сплошной среды сопротивляется всевозможным видам деформации. [c.125]

В теории упругости имеются три системы соотношений (1) дифференциальные уравнения равновесия (2) соотношения, связывающие деформации с перемещениями, и условия совместности (3) уравнения состояния материала. Для любого тела, имеющего конечные размеры, системы (1) и (2) дополняются граничными условиями. В данной главе выводится каждое из этих соотношений, а затем в общих чертах показано, как нз совокупности указанных соотношений получить определяющую систему уравнений. В заключение приводятся некоторые замечания, касающиеся вопроса единственности решения задач упругости и его значимости для метода конечных элементов. [c.107]

Соотношения, связывающие деформации с перемещениями, и условия совместности [c.113]

Уравнения (4.7а, Ь, с) являются соотношениями, связывающими деформации и перемещения в плоском случае. В трехмерных зада чах остается лишь добавить следующие соотношения, обозначив через компоненту перемещения в направлении оси г [c.114]

Выведем сначала дифференциальные уравнения равновесия, так как подход, использующий при построении конечно-элементной модели метод жесткостей (или метод перемещений), одновременно люжет служить подходом, позволяющим получить приближенное решение этих уравнений. Для простоты исключим из рассмотрения объемные силы и начальные деформации (Х = К=0, e " =0). Вывод искомых уравнений заключается в построении соотношений, связывающих напряжения с перемещениями, с последующей подстановкой этих соотношений в дифференциальные уравнения равновесия. Например, подставляя соотношения, связывающие деформации с перемещениями, в уравнение состояния для получим [c.119]

Ниже в полярных координатах приводятся уравнения равновесия и соотношения, связывающие деформации и перемещения при плоском напряженном состоянии. Уравнения состояния идентичны соотношениям, записанным в прямо- [c.123]

Варьируя выражение (6.81) и интегрируя его по частям, можно показать, что уравнения Эйлера для функционала П представляют собой уравнения равновесия (4.3) и дифференциальные соотношения, связывающие напряжения с перемещениями, т. е. уравнения, получаемые подстановкой соотношений между деформациями и перемещениями (4.7) в уравнения состояния (4.15). Обратное утверждение было доказано в разд. 5.5 методом взвешенных невязок. [c.195]

Чтобы построить матрицу жесткости, рассмотрим функции перемещений и и V, соответствующие соотношениям (9.15). Это можно сделать, выражая деформации через напряжения с помощью уравнений состояния в виде 8=[Е] о и затем интегрируя уравнения, связывающие деформации и перемещения. Таким образом, получаем [c.295]

В главах 4—6 были выведены основные уравнения теории упругости, устанавливающие законы изменения напряжений и деформаций в деформируемом твердом теле, а также соотношения, связывающие напряжения с деформациями и де-формащ1и с перемещениями. Приведем полную систему уравнений теории упругости в декартовых координатах. [c.329]

Плош ади под кривыми, изображенными на рис. 1.8 сплошными линиями, относятся-к областям упругой деформации, где соотношения между нагрузками, напряжениями, деформациями и перемеш ениями формулируются в рамках теории упругости или приближенными теориями, подобными классической теории оболочек. Область, расположенная выше линий хрупкого разрушения, как уже отмечалось, не представляет практического интереса. Штрихованные области, расположенные между горизонтальной линией начала пластического течения и пунктирными линиями xg ynKoro разрушения, представляют собой ьбласти пластического течения, где соотношения между нагрузками, напряжениями, деформациями и перемеш ениями формулируются в рамках теории пластичности. Как уже констатировалось выше, никакие приложения ни этой теории, ни теорий более сложной структуры, учитывающих зависимость свойств от времени, здесь обсуждаться не будут,.но общее условие равновесия оболочек и связывающие де-, формации с. перемещениями соотношения, которые будут выводить ся ниже, применимы ко всем подобным случаям. Что касается соотношений, связывающих напряжения с деформациями, которые и отделяют эту область от упругой, то приведем здесь только некоторые соображения общего характера. Если направление пластического деформирования не меняется на противоположное, то [c.41]

Необходимо в заключение подчеркнуть, что ни одна из перечисленных трех систем не является достаточной для определения перемещений и напряжений, поскольку число неизвестных в этих системах превосходит число уравнений налицо шесть уравнений (три —выражающих равенство нулю главного вектора и три — выражающих равенство нулю главного момента всех сил, действующих на бесконечно малый объемный элемент сплошного тела), в которые входят 12 неизвестных — девять компонентов напряжения и три компонента перемещения. Поэтому, для того чтобы задача о равновесии сплошного тела под действием заданных внешних сил и при заданн(,1х условиях закрепления стала вполне определенной, необходимо дополнить полученные выше уравнения еще шестью соотношениями, связывающими напряжения с деформациями и выражающими тот закон, по которому материал рассматриваемого тела сопротивляется всевозможным видам деформации. Общие формы такого рода соотношений для идеально упругих тел будут даны в следующей главе. [c.91]

Итак, на этом этапе имеем десять неиэвестных (два перемещения, четыре деформации и четыре напряжения) и девять уравнений (четыре физических соотношения, два уравнения равновесия и три геометрических соотношения, связывающие деформации с перемещениями), т. е. одно лишнее неизвестное. Учитывая аналогию в записи разрешающих уравнений для плоского напряженного состояния и плоской деформации, естественно предположить, что [c.47]

Будем считать, что в физических соотношениях (3.89), связывающих приращення напряжений и деформаций, матрица касательных модулей [Gtl, вычисленная для равновесной конфигурации т, сохраняет неизменными свои компоненты на итерациях в пределах этапа нагружения. Кроме того, будем считать деформации малыми, поэтому при использовании соотношений (3.89) не будем делать различия в матрицах [Gi] для двух указанных выше вариантов интегрирования. Эти варианты вычислений соответствуют записи принципа возможных перемещений в форме Лагранжа. Более подробно с вычислительными и теоретическими аспектами решения нелинейных задач можно ознакомиться в работе [59]. Такой метод решения нелинейных задач можно назвать шаговым с промежуточной итерационной коррекцией модифицированным методом Ньютона. На рис. 3.7 условно показан процесс вычиааений. Здесь р vi и обозначают нагрузку и перемещения. Как видно из рисунка, жесткость системы на интервале нагружения (т, т + Ат) сохраняется постоянной. [c.100]

Закон Рука. Приведенные выше уравнения равновесия и -соотношения между деформациями и перемещениями, которые будут приведены ниже в 3.6, не ограничяваются случаем упругого материала и. могут быть применены к пластическим (или с другим типом поведения) материалам. В теории упругости используется, естественно, закон Гука, связывающий упругие напряжения и деформации. Для изотропных материалов, как было найдено из экспериментов, это дает [c.114]

Обоще методы и условия получения решений. Соотвошения (6.18) связывают мембранные и изгибные деформации при перемещениях м, г и W. Соотношения (6.23) связывают деформации с силами Fa, Ff, и F , а также моменуами М , и Л/ар возни-каюпщми в поперечных сечениях. И наконец, в таблице 6.6 приводятся шесть уравнений равновесия, связывающие эти силы [c.438]

При бесконечно малой деформации материальной частицы все тензоры деформаций превращаются в тензор деформаций Коши е, который связан линейными соотношениями (1.56) с тензором градиента перемещений Н, а все тензоры напряжений превращаются в тензор напряжений Коши сг. Предположим, что условие бесконечно малой деформации выполнено для всех материальных частиц тела В. Деформацию тела при выполнении этого условия назовем геометрически линейной или бесконечно малой . Подход к формулировке уравнений с использованием тензоров деформаций е и напряжений сг назовем геометрически линейным или MNO (material nonlinear only) подходом. При этом наряду с геометрически линейным деформированием тела допускается физическая нелинейность деформирования, которая может присутствовать в определяющих соотношениях, связывающих тензоры напряжений и деформаций и/или их скорости. [c.65]

НИИ ничто не препятствует, поэтому предположение, что 6 =0, не выполняется. В этих случаях обычно полагают 8г=сопз1 (случай обобщенного плоского деформированного состояния). Чтобы построить конечно-элементное представление для этого случая, можно использовать соотношения трехмерной теории упругости (10 3), связывающие напряжения с деформациями, полагая Ухх=Уцх=0 и Бг=соп51. Деформации Ех, Ву и Уху выражаются через предполагаемые поля перемещений ы и и обычным образом. Результирующие глобальные уравнения жесткости формулируются затем в терминах узловых значений величин ы и и и одной константы е . [c.328]

Следует также отметить, что в областях равномерного напряженного состояния распределение деформаций остается неизвестным. Тем не менее, в центрированной зоне из кинематических соотношений, связывающих деформации и перемещения, и условий гг = = О может быть найдена структура ноля перемещений, а имеппо [c.232]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...