Задачи теплопроводности - Аналитические методы

Аналитические решения задач теплопроводности удается получить только для простейших условий. В то же время современная вычислительная техника позволяет численными методами рассчитать распределение температуры в теле практически любой формы, даже с учетом изменения граничных условий или теплофизических свойств в зависимости от температуры или времени. [c.115]

Нестационарное уравнение теплопроводности для тел сложной формы не всегда возможно решить аналитически даже в случае одномерного поля. В тех случаях, когда задачу нельзя решить аналитически, применяют численные или графические методы и метод аналогии ( 3.4), которые дают приближенные решения. [c.83]

Во второй части приведены основные способы переноса теплоты теплопроводность, конвекция и тепловое излучение. Теплопроводность стационарная и нестационарная исследованы аналитически, методом аналогий и численно на ЭВМ. Конвективный теплообмен стационарный исследован методом теории пограничного слоя и экспериментально, а нестационарный — путем решения сопряженной задачи на ЭВМ. Рассмотрены различные методы расчета процессов аналитический, полуэмпирический, эмпирический и численный на ЭВМ. Описан теплообмен при кипении и конденсации. Рассмотрены примеры расчета теплообменных аппаратов. [c.4]

В тех случаях, когда аналитическое решение задачи теплопроводности невозможно, а численное решение оказывается очень громоздким, можно применить метод аналогии (см 20.4). [c.248]

Задание 6. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ <РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АНАЛИТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ) [c.321]

В данном разделе на примере одной задачи теплопроводности рассмотрим типичные задачи численного анализа, возникающие при реализации точных аналитических решений, и методы их решения. С вопросами построения точных решений задач теории теплопроводности и конвективного теплообмена можно познакомиться по учебным пособиям (3, 13]. [c.51]

В большинстве практически важных случаев аналитического. решения получить нельзя, поэтому применяют численные методы, которые для задач теплопроводности проработаны весьма фундаментально. [c.440]

Дифференциальное уравнение теплопроводности (2.63) совместно с условиями однозначности дает полное математическое описание конкретной задачи теплопроводности. Решение этой задачи может быть выполнено аналитически, численно с применением ЭВМ или экспериментально с использованием методов подобия и моделирования. [c.130]

Для решения задач нестационарной теплопроводности могут быть использованы различные методы. Наиболее общим, но весьма сложным даже для тел простой формы, является аналитический метод, при котором дифференциальное уравнение теплопроводности решается совместно с граничными и временными условиями. Обычно результаты решения представляются в виде графиков, удобных для использования. [c.372]

Наряду с аналитическим методом и методом регулярного режима для решения задач нестационарной теплопроводности могут быть использованы также метод конечных разностей, метод элементарных балансов и другие методы. [c.373]

На этой стадии определяющими являются условия на границах тела. Третья стадия соответствует режиму стационарной теплопроводности. Задачи нестационарной теплопроводности решаются как точными аналитическими, так и приближенными численными методами. Рассмотрим один из аналитических методов — метод разделения переменных или метод Фурье. При постоянных физических свойствах тела и = О уравнение (2.5) принимает вид [c.85]

В настоящее время существует много различных приближенных методов расчета теплопроводности которые приводят к удовлетворительным для инженерной практики результатам. Приближенные методы решения задач чаще всего применяются в случае, когда точные аналитические методы расчета затруднительны. Рассмотрим некоторые из этих методов. [c.107]

Как было сказано, если краевая задача теплопроводности является конкретно поставленной, то принципиально возможно найти ее аналитическое решение, т.е. определить вид функции, которая выражает температуру через независимые переменные х, у, г, и т, а также через параметры, входящие в условие единственности Ч На этом пути стоят только математические трудности, которые во многих случаях могут быть преодолены с помощью ставших классическими методов решения уравнений соответствующего типа. Изложение этих методов дается, например, в [30,50]. Наша ближайшая цель будет заключаться только в обосновании преимуществ той формы функциональных связей, в какой представляются для инженерного пользования готовые решения типовых задач. Речь идет о придании решениям безразмерной формы. [c.45]

Особенность предлагаемой книги состоит в последовательном изложении теоретических и прикладных аспектов расчета и оптимизации термоизоляции энергетических установок. В качестве теоретической основы постановки рассматриваемых задач теплопроводности в термоизоляции используется их вариационная формулировка, позволяющая применить приближенные аналитические и численные методы решения и оценить точность получаемых при этом результатов расчета, что имеет большое значение для инженерной практики, особенно в связи с необходимостью устанавливать пределы применения различных эмпирических формул, рекомендуемых в справочной литературе. [c.4]

Помимо математической формулировки задачи теплопроводности в виде дифференциальных уравнений и краевых условий для неоднородного анизотропного тела произвольной формы возможна также формулировка задачи в виде интегральных соотношений, в частности с помощью интеграла взвешенной невязки [12], содержащего весовые функции. Такая формулировка задачи, называемая интегральной, позволяет выявить некоторые общие свойства температурных полей и наряду с классическими методами строгого аналитического решения построить эффективные алгоритмы приближенного аналитического или численного решения. [c.38]

Классификация методов решения тесно связана с видом математической формулировки задачи теплопроводности. Кроме того, их можно разделить по общим признакам на точные или приближенные аналитические и на численные методы. [c.42]

Для математической формулировки задачи в виде дифференциальных уравнений теплопроводности и соответствующих краевых условий [например, в виде выражений (2.36)-(2.41)] определение температурного состояния тела связано с непосредственным решением этих уравнений. Возможности точных аналитических методов в этом случае ограничены, как правило, решением линейных задач теплопроводности, когда теплофизические характеристики материала тела или его отдельных частей не зависят от температуры, а граничные условия выражаются линейной комбинацией температуры и ее градиента на поверхности. Если в теле действуют внутренние источники теплоты, мощность которых является функцией температуры, то эта функция также должна быть линейной. [c.43]

Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [7, 21]. Оно получается путем подстановок или функциональных преобразований уравнений (см. 2.1), и его целесообразно использовать как контрольное для оценки погрешности, которая получается при том или ином способе линеаризации. Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений разработаны методы последовательных приближений (простой итерации или усреднения функциональных поправок), возмущений (малого параметра), различные асимптотические методы [10]. [c.44]

В настоящее время достигнуты большие успехи в области разработки аналитических методов решения задач теплопроводности. Однако при использовании строгих аналитических методов иногда возникают существенные трудности полученные решения часто имеют сложный и громоздкий вид кроме того, в отдельных случаях строгие решения задач получить вообще невозможно. [c.3]

В книге существенное место (первая часть) уделяется численным методам решения уравнения теплопроводности, в том числе и нелинейного, при переменных граничных условиях. Одновременно с методом численного интегрирования излагается решение некоторых несимметричных тепловых задач аналитическим методом. Наибольшей простотой при достаточно хорошей точности отличаются табличные методы, которые позволяют конструктору уже на этапе проектирования определить тепловой режим машины. Поэтому первая часть книги, посвященная методам расчета нестационарных тепловых процессов, заканчивается изложением основ табличного метода расчета. Особенностью таблиц является асимметричность теплового воздействия. [c.4]

Численные методы решения, изложенные во второй главе, позволяют сравнительно просто определить нестационарное температурное поле, удельный тепловой поток в геометрически сложных элементах конструкции без ограничивающих задачу упрощений. Однако такие недостатки, как невозможность общего анализа полученного решения, большая вычислительная работа, в ряде случаев затрудняют использование этих методов в инженерной практике, особенно при проектировании тепловых машин и двигателей. Аналитические методы в отличие от численных позволяют производить общий анализ полученного интеграла, получить удобные и простые для инженерных расчетов решения. Поэтому наряду с численными следует широко применять и аналитические методы решения. Среди аналитических методов решения уравнения теплопроводности наибольшее распространение получили метод разделения переменных и операционный метод. [c.110]

Аналитические методы решения уравнения теплопроводности (8.1) первоначально были развиты в работах Фурье и в дальнейшем нашли широкое применение в самых разнообразных областях математической физики. В этом методе зависимая переменная в уравнении (8.1) выражается в виде произведения двух независимых функций, из которых одна является функцией только координат, а вторая функцией только времени. Метод Фурье применительно к фундаментальным задачам теории теплопроводности был подробно разработан и доведен до инженерного расчета Г. Гребером, X. С. Карслоу, А. Н. Тихоновым и другими исследователями. [c.101]

В работе [120] дана всесторонняя классификация методов решения нелинейных задач, приведены примеры применения того или иного метода, а также качественные и количественные показатели, которые помогают более или менее объективно провести выбор метода для исследования конкретной задачи. Поэтому, не останавливаясь на аналитических и численных методах, реализуемых на ЭЦВМ, кратко охарактеризуем возможности аналоговых вычислительных средств в плане решения нелинейных задач теплопроводности. [c.18]

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ [c.66]

Вопросы, связанные с классификацией методов решения линейных и нелинейных задач теплопроводности, так же как вопросы выбора метода решения, достаточно подробно освеш,ены в работе [120]. Это позволяет нам остановиться лишь на некоторых, необходимых для дальнейшего изложения, аспектах, разделив методы решения лишь по основным признакам, таким как возможность решения нелинейных задач, форма получения результата решения, в соответствии с которой методы делятся на аналитические и численные. а также точность решения (методы точные и приближенные). [c.66]

Переходя к методу прямых, отметим, что он занимает как бы промежуточное место между аналитическими и численными методами. При его использовании производные по одним независимым переменным (в задачах теплопроводности чаще всего — по времени) остаются неизменными, в то время как производные по другим переменным аппроксимируются конечными разностями, и дифференциальное уравнение с частными производными заменяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, уравнение (VI.3) может быть заменено системой уравнений [c.72]

Имея целый ряд преимуществ, о которых речь шла выше, специальные аналитические методы решения нелинейных задач, к сожалению, могут быть применены лишь в отдельных, сравнительно простых, в основном, одномерных случаях. Что касается численных методов, то, хотя их возможности гораздо шире, при решении нелинейных задач теплопроводности для тел сложной конфигурации эти методы оказываются достаточно громоздкими и трудоемкими. Наиболее приемлемыми для решения задач теплопроводности являются методы математического моделирования на аналоговых и гибридных машинах, однако и эти методы не вполне удовлетворяют требованиям, предъявляемым к методам решения нелинейных задач, и нуждаются в существенном усовершенствовании, включая разработку специализированных моделирующих средств. [c.74]

Далее излагаются некоторые методы решения нелинейных задач в применении к задачам стационарной теплопроводности, которые распространяются затем на другие нелинейные задачи. Общим для этих методов является сочетание метода подстановок, позволяющего линеаризовать нелинейное уравнение теплопроводности, с другими аналитическими и численными методами, такими, как метод итераций (метод последовательных приближений), метод конечных разностей (метод сеток), метод прямых, реализация которых может быть осуществлена как на цифровых, так и на аналоговых (а значит, и гибридных) вычислительных системах. [c.74]

Отметим, что использование рассмотренных аналитических методов также оказывается ограниченным рамками простейших задач. Возможности метода сеток, реализованного на ЭЦВМ, АВМ или ГВС, гораздо шире, и он с успехом используется при решении нелинейных задач теплопроводности. [c.87]

Обратными задачами теплопроводности начали заниматься сравнительно недавно, причем разработки велись преимущественно в направлении использования аналитических и численных методов. [c.166]

В работах [16, 301, 302, 305, 307, 311, 312, 318, 329, 332, 333] рассмотрены различные аналитические и численные методы решения обратных задач теплопроводности, однако применение их ограничено кругом простейших задач. Что касается исследования обратных задач для тел сложной формы или с зависящими от температуры теплофизическими характеристиками, то указанные методы оказываются неприменимыми. [c.166]

Решение системы (1) — (12) связано с большими трудностями. Поэтому были рассмотрены различные возможности численного решения задачи. Применение операционного исчисления Лапласа по переменной времени приводит к системе интегральных или (при несколько иной форме решения) интегро-дифференциальных уравнений. Ядра этих уравнений представляют собой решение уравнений теплопроводности и, строго говоря, являются бесконечными рядами по собственным значениям данной краевой задачи. В этих системах остаются две независимые переменные (время и высота в насадке), т. е. имеются двойные интегралы, причем и по Ро и по 2 как с переменным, так и с постоянным верхним пределом получается своеобразная смесь интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Поэтому известные аналитические методы, используемые для решения уравнений типа Фредгольма или Вольтерра в отдельности, в данном случае неприменимы. Конечно, полученные интегральные (интегро-дифференциальные) уравнения могут быть решены одним из известных методов численно, тем более, что численные методы для решения интегральных уравнений хорошо исследованы и их сходимость проверена. [c.338]

Современные аналитические методы решения задач нестационарной теплопроводности сложны, а для некоторых задач неприменимы. Поэтому получили широкое распространение графические, численные методы решений и методы аналогий. [c.401]

Из аналитических методов наиболее успешно используется теория, разработанная Н. Н. Рыкалиным. В его работах [1, 2] применен и развит метод элементарных источников теории теплопроводности, который в сочетании с принципом наложения позволил получить сравнительно простые и наглядные решения для ряда задач по распространению тепла в свариваемых изделиях. Однако применение указанного метода ограничено рядом допущений рассматриваются тела только такой формы, для которых применен метод отражения теплофизические свойства материала не зависят от температуры не учитываются выделение и поглощение теплот фазовых и структурных превращений. [c.411]

Сложная геометрическая форма охлаждаемых элементов исключает в больщинстве случаев аналитическое решение задачи теплопроводности. Поэтому распределение температур в охлаждаемых элементах, огнеупорной кладке горна и лещади было получено при помощи моделей методом электрической аналогии. [c.464]

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ [c.202]

Точные аналитические методы решения уравнения теплопроводности позволяют решать тoльFio сравнительно простые задачи. Сложные задачи теплопроводности решаются численными методами или методом аналогий. Универсальным численным методом решения дис х )еренциальных уравнений и их систем является метод конечных разностей, или метод сеток. При этом температура определяется не в любой точке тела и не в любой момент времени, а только в определенных точках и в определенные моменты времени—в [c.187]

Методы исследования внутреннего тепломассопереноса. Задачи исследования тепловой и холодильной обработки продуктов относятся к так называемым сопряженным задачам [24], когда необходимо учитывать взаимное влияние теплоносителя и продукта, иначе говоря, когда изменение температуры либо плотности теплового потока на поверхности раздела заранее неизвестно. Однако известные решения сопряженных задач даже для более простых случаев нестационарного теплообмена настолько сложны [24], что их нельзя рекомендовать для практических расчетов. Обычный путь аналитического этого исследования — это решение задачи теплопроводности либо до конца, но только для одного этапа обработки (выпечка хлеба — начальная фаза прогрева, холодильная обработка — замораживание охлажденного до криоскопиче-ской температуры продукта) [2, 10, 54, 36], либо до момента, когда из уравнений можно выделить безразмерные комплексы, характеризующие отдельные стороны процесса, с дальнейшим использованием методов теории подобия НО, 22]. [c.44]

Даже самые соверщенные аналитические методы позволяют получить точное рещение задач теплопроводности только в простых случаях. Между тем существуют приближенные численные методы, с помощью которых можно рещать практически любую задачу с учетом многих реальных особенностей явления. Трудность этих методов заключается в необходимости выполнять множество арифметических операций, причем чем точнее нужно получить рещение, тем больщий объем вычислений необходимо вы-юлнить. В настоящее время ЭВМ позволяют получить численные решения высокой точности, поэтому численные методы сейчас получают широкое распространение. [c.122]

Существующие экспериментальные методики и аналитические методы оценки теплового и напряженного состояний рабочих и сопловых лопаток газовых турбин основаны на рассмотрении, как правило, натурной лопатки или модели, геометрически ей подобной. Весьма сложная геометрическая форма лопатки не позволяет использовать методы точного аналитического решения задач нестационарной теплопроводности и термоупругости. Вследствие этого в настоящее время анализ термонапряженного состояния лопаток газовых турбин проводят на основании термометрирования их при весьма сложных, трудоемких и дорогостоящих экспериментах в натурных условиях либо в условиях, близких к натурным, на специальных стендах с использованием приближенных методик численных расчетов. [c.202]

Приближенные аналитические методы решения задач теплопроводности [2—4] не дают возможности получить достаточно точные численные результаты при математическом моделировании температурных полей в многослойных конструкциях, даже в сравнительно простых случаях (одномерная задача, постоянные теплофизические свойства материала, число слоев основного материала) [4, 5]. Трудности возрастают в том случае, когда необходим учет переменности термических сопротивлений контактов по толш,ине и вдоль поверхности конструкции. Для двухмерных и объемных задач нестацианарной теплопроводности при сложной форме сварных узлов многослойных конструкций единственным путем получения надежных данных по температурам является численное моделирование на вычислительных машинах (ВМ). На рис. 1 показана схема многослойной стенки в районе сварного шва. В [1] показано, что для значений термических сопротивлений контактов, имеюш их место для сталей, применяемых [c.145]

Методам и средствам решения этих задач и посвящена настоящая книга. В гл. 1 дана характеристика проблемно-ориентированного комплекса алгоритмов, программная реализация которого позволила получить необходимые решения краевых задач нестационарной теплопроводности, упругости, пластичности, задач оиределения ресурса на стадии возникновения и развития макротрещин, а также диагностирования дефектов по изменению электромеханических характеристик. В алгоритме сочетаются численные методы решения линейных и линеаризованных систем уравнений высокого порядка (10 и более) с приближенными аналитическими методами. -КоаеЕые словия определены экспериментально [c.17]

Вид функций П и S показан на рис. 8.2. В области Fo > 0,5 (IgFo > —0,3), т. е. где в сеточных методах действуют только более экономичные по времени вычислений неявные схемы, значения П и S практически обращаются в нуль. При малых же шагах интегрирования (Fo <С 0,5) наличие рядов, как показало сопоставление с точными аналитическими решениями отдельных задач теплопроводности, приводит к появлению погрешности, связанной с использованием приема линеаризации граничных температур конечных элементов. Поэтому целесообразно принять n = S = 0, [c.193]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...