Уравнения Воронца

Система уравнений теоремы 7.2.1 превращается тогда в уравнения Воронца [c.530]

Уравнения Воронца. Система уравнений (1), (6) помимо функций qj (j = 1,2,..., т) содержит еще s дополнительных неизвестных — множителей связей Л/з (/9 = 1, 2,. .., s). Число уравнений в системе (1), (6) равно m + 5 = п + 2s, т. е. превышает число степеней свободы на удвоенное количество неинтегрируемых связей. [c.298]

Эти уравнения называются уравнениями Воронца. Они должны рассматриваться совместно с уравнениями связей (15). Полученная система уравнений движения неголономной системы не содержит множителей связей. Число уравнений равно п + s, т. е. совпадает с числом обобщенных координат. [c.301]

Каноническая форма уравнений Воронца. Рассмотрим движение несвободной системы материальных точек под действием сил, имеющих потенциал, в которой функция Лагранжа Е = Т- -и = Ь д, . .., [c.100]

Дается вывод уравнений Воронца в канонической форме. [c.128]

Пример 3.1.1. Исходя из уравнений (3.7), выведем уравнения Воронца [41] для системы с лагранжевыми координатами ж1,...,ж и неголономными связями [c.31]

Учитывая (3.12) и (3.13), заключаем, что уравнения (3.7) принимают вид уравнений Воронца [41 [c.32]

Каноническая форма уравнений Воронца (3.14) имеет вид [c.32]

Система (2.12) является линейной по ускорениям д1,...,дп и содержит силы, квадратичные по скоростям 1,..., д . Имеем замкнутую систему (2.12), (2.13) порядка п + I относительно переменных 1,..., д/, 1,..., которая совпадает с уравнениями Воронца. Ири выполнении условий (2.10) эта система инвариантна относительно замены ( , q, ) на (— , q, — ). [c.136]

Перейдем теперь к изложению результатов П. В. Воронца, который вместе с С. А. Чаплыгиным, П. Аппелем и др. является одним из основоположников механики неголономных систем. В своей работе [ ], написанной в 1901 г., П. В. Воронец выводит уравнения движения, не делая ограничивающих предположений, которые приводят к системе Чаплыгина. Поэтому уравнения Воронца приложимы к более широкому классу неголономных систем, чем уравнения Чаплыгина. Следуя работе П. В. Воронца, рассмотрим движение несвободной системы материальных точек под действием сил, имеющих потенциал. Обозначим через Ят+и обобщенные координаты системы и предположим, что уравнения неголономных связей имеют вид [c.115]

ГОЛОНОМНЫХ связей, уравнения Воронца (3.37) совпадают с уравнениями (3.17) Чаплыгина. Если силы, действующие на систему, не являются потенциальными, то уравнения (3.37) записываются в виде [c.117]

Отсюда и следуют уравнения Воронца (6.3). [c.182]

Впервые уравнения для неголономной системы в обобщенных координатах и не содержащие неопределенных множителей Лагранжа получил С. А. Чаплыгин ). В его уравнения, аналогично уравнениям Лагранжа 2-го рода, входит некоторая квадратичная функция от обобщенных скоростей, имеющая вид дифференциального выражения первого порядка. Развитие идей Чаплыгина было проведено П. Воронцом ). [c.848]

Другое направление механики неголономных систем связано с работами П. Аппеля ), который в 1899 г. получил уравнения, действительные как для голономных, так и неголономных связей. Однако, в отличие от уравнений Чаплыгина — Воронца, для составления уравнений Аппеля требуется предварительное нахождение некоторой квадратичной функции обобщенных ускорений (а не обобщенных скоростей) — дифференциального выражения второго порядка. [c.848]

Циклическими координатами являются все зависимые координаты не входящие в уравнения движения в них входят только их обобщенные скорости Уравнения Чаплыгина были обобщены в 1903 г. киевским профессором П. В. Воронцом выведенные им уравнения не требуют выполнения условий Чаплыгина. Уравнения Чаплыгина были опубликованы в трудах Московского общества испытателей природы. [c.4]

В общем виде данная задача была рассмотрена П. В. Воронцом, составившим методами классической дифференциальной геометрии общие уравнения движения тела с заданной поверхностью по поверхности другого тела. Данная задача не потеряла своего технического значения и в настоящее время как для машиностроения и приборостроения, так и для транспорта, в частности, для транспорта, приспособленного для уже начавшегося освоения поверхностей других планет. [c.9]

Поскольку движение систем с дифференциальными связями нередко описывают уравнениями, содержащими реакции этих связей или неопределенные множители Лагранжа, то применение теории Рауса к таким системам требует особой внимательности [14, 20]. Дело в том, что указанные выше уравнения систем с дифференциальными связями не могут быть представлены в виде (1), так как для реакций связей или неопределенных множителей Лагранжа нет соответствующих дифференциальных уравнений. Поэтому для применения теории, изложенной в предыдущих параграфах, к неголономным системам, необходимо исключить зависимые скорости из выражений всех первых интегралов указанных уравнений движения системы с помощью уравнений неголономных связей. При этом полученные функции будут представлять собой первые интегралы уравнений движения рассматриваемой системы, записанных в форме Чаплыгина (см. следующий параграф), Воронца, Больцмана-Гамеля и др., которые не содержат реакции связей и неопределенные множители Лагранжа и представимы в виде (1), а сами первые интегралы примут вид (2). [c.436]

Уравнения Эйлера — Лагранжа преимущественно применяются при рассмотрении неголономных систем они и были введены с этой целью, как видно из наименований работ Больцмана и Воронца. Однако их значение не ограничивается этими специальными задачами, так как они позволяют в значительной мере упростить форму и процесс составления уравнений движения и в голономных задачах. Мы неоднократно будем иметь случай убедиться, насколько плодотворно применение уравнений Эйлера — Лагранжа в вопросах динамики систем твердых тел. [c.368]

Динамика системы материальных точек сначала излагается для случая, когда движение стеснено произвольными дифференциальными связями. Из принципа Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики) с использованием свойств структуры виртуальных перемещений [68] выводятся общие теоремы динамики об изменении кинетической энергии (живой силы), кинетического момента (момента количеств движения), количества движения. Изучается динамика системы переменного состава [1]. На основе принципа Гаусса наи-меньщего принуждения выводятся уравнения Аппеля в квазикоординатах. Получены также уравнения Воронца и, как их следствие, уравнения Чаплыгина. Установлено, что воздействие неголономных связей включает реакции, имеющие гироскопическую природу [44]. [c.12]

Из структуры уравнений Воронца видим, что реакции неголоном-ных линейных по скоростям идеальных связей могут зависеть от обобщенных скоростей. Эта зависимость выражается с помощью гироскопических слагаемых в выражениях для обобщенных сил реакций. [c.531]

Уравнения движения для систем Чадныгина могут быть получены как следствие уравнений Воронца. Действительно, пользуясь обозначениями предыдущего параграфа, найдем, что для систем Чаплыгина справедливы следующие соотнощения [c.531]

Сообразно тому, можно ли при наличии данных связей говорить об идеальном движении или нет, Делассю делит связи на два класса (первый и второй) и показывает, что для связей первого класса применимы принципы Гаусса и Аппеля — Майера и что всякое конкретное движение системы с любой связью можно осуществить, рассматривая его как идеальное движение, полученное в результате идеальной реализации этой связи (реализации первого класса). Исходя из принципа Аппеля — Майера, Делассю обобщил динамические уравнения Воронца — Гамеля на механические системы первого класса. [c.97]

Л. Йонсен и Г. Гамель обобщили уравнения Воронца — Гамеля для движения неголономных механических систем с нелинейными связями первого порядка, выразив их в нелинейных квазикоординатах. [c.99]

Из (4) очевидно, что коэффициенты 1г кососимметричны, а это, как известно [3, с. 60, 61], есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы приложенные к склерономной системе непотенциальные силы были гироскопическими. Следовательно, члены неголономности Вз в уравнениях Воронца эквивалентны гироскопическим силам и их мощность равна нулю [c.102]

Эквивалентность уравнений Пуанкаре различным видам уравнений движения. Ранее [14-16] прямыми вычислениями была показана эквивалентность уравнений Пуанкаре движения неголономных систем уравнениям Чаплыгина, Аппеля, Гамеля, Воль-терры, Ферреса и некоторым другим уравнениям. Эквивалентность уравнений движения в квазикоординатах уравнениям Аппеля, а также уравнениям Чаплыгина была доказана в [40] выводом этих групп уравнений из принципа Даламбера-Лагранжа. Уравнения Воронца выведены из уравнений Пуанкаре (5.6) в [21] (см. пример 3.1.1). [c.35]

Тяжелое твердое тело на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Уравнения движения в этой задаче можно вывести, например, в форме уравнений Воронца. Наряду с этим используются уравнения, выводимые из обгцих теорем динамики. Так в работе [29] A.B. Карапетян получил замкнутую систему уравнений [c.140]

Наиболее существенные успехи в развитии механики неголономных систем связаны с именами С. А. Чаплыгина, В. Вольтерра, П. В. Воронца и П. Аппеля. В этой главе будут рассмотрены лишь некоторые методы составления дифференциальных уравнений движения неголономных систем. Достаточно полное изложение механики неголономных систем содержится в монографиях А. И. Лурье ) и Ю. И. Ненмарка и Н. А. Фуфаева ). [c.177]

Г. Брелль доказал, что при рассмотрении движения несвободной механической системы с идеальными удерживающими линейными неголономными связями принципы Гаусса и Гельдера — Фосса эквивалентны. Исходя из центрального уравнения Лагранжа, Г. Гамель показал, как принцип Гамильтона— Остроградского в смысле Гельдера — Фосса может быть выражен в квазикоординатах. Он показал также, что из установленного им принципа как частный случай вытекает принцип Воронца — Суслова. [c.92]

Горак и А. Вундхейлер составили в инвариантной форме для линейных неголономных систем первого порядка со склерономными и реономными связями в голономных и неголономных, склерономных и реономных координатах различные варианты уравнений Ньютона, Лагранжа — Эйлера, Аппеля— Гиббса, Больцмана, Чаплыгина — Воронца, Ценова, уравнения в естественной форме. Составление обобщенных уравнений Ньютона в инвариантной форме, представляющих собой частный случай уравнений Го-96 рака, принадлежит Г. Вранчеану, Дж. Сингу и И. Схоутену . [c.96]

А. Пшеборский для нелинейного случая, но при линейных относительно ускорений неголономных связях второго порядка вывел уравнения типа Маджи, выраженные в декартовых координатах. Последнее обстоятельство создает определенные неудобства и в известном смысле ограничивает общность его метода. Для рассматриваемого общего случая дифференциальные уравнения движения системы в лагранжевых координатах в форме Воронца — Гамеля, Аппеля — Гиббса и Ценова установил М. Ф. Шульгин 2. Р. Казанину принадлежит любопытная идея преобразования уравнений нелинейных реономных неголономных связей любого порядка в уравнения линейных склерономных связей первого порядка путем введения надлежащих новых параметров. Эта идея, как показывает Казанин, оказывается плодотворной, например, при составлении динамических уравнений движения системы и решении задачи об определении реакций связей. [c.99]

В 1906 г. П. В. Воронец рассмотрел преобразование уравнений Лангран-жа второго рода для консервативных систем при помощи линейных относительно скоростей интегралов, рассматриваемых как уравнения неголономных связей системы (идея трактовки интегралов дифференциальных уравнений движения материальной системы как связей, на нее налагаемых, впервые была высказана Г. К. Сусловым) . Преобразование Воронца имеет значение не только как преобразование уравнений динамики,— оно как бы перебрасывает мост от голономных систем к неголономным и позволяет, следовательно, глубже проникнуть в сущность движения неголономных систем. Оказывается, что дифференциальные уравнения движения неголономной системы можно рассматривать как преобразованные дифференциальные [c.100]

А. Д. Билимович показал, что с помощью интеграла энергии из уравнений Чаплыгина — Воронца можно исключить время и понизить порядок этой системы на единицу. Если при этом потенциальная энергия и коэффициенты при лагранжевых скоростях в выражении кинетической энергии системы являются рациональными функциями кординат, то преобразованные уравнения не содержат иррациональностей. В случае голономной системы они принимают вид уравнений Якоби. [c.101]

Идея об интерпретации первых интегралов дифференциальных уравнений 102 движения системы как уравнений неголономных связей, высказанная в начале XX в. Г. К. Сусловым и П. В. Воронцом и использованная в дальнейшем в ряде исследований отечественных и зарубежных ученых позже была поставлена под сомнение. В. В. Добронравов указал, что интегралы динамических уравнений движения системы характеризуют это движение при фиксированных силах, между тем как связи, стесняющие систему, характеризуют его п гюбых приложенных силах. Поэтому, по его мнению, первые интегралы системы по существу нельзя трактовать как наложенные на нее связи . [c.102]

Горак выводит для склерономной и реономной неголономных систем в голономных и неголономных координатах, а также в склерономных параметрах обобщенные уравнения Ньютона, Лагранжа — Эйлера и Аппеля — Гиббса. Из этих уравнений получаются как частные случаи уравнения Больцмана, Чаплыгина — Воронца, Ценова и др. Из уравнений Горака можно получить также обобщенный принцип Гамильтона — Остроградского и обобщенные уравнения неголономной динамики в канонической и естественной формах. С целью упрощения установленных им уравнений 3. Горак строит неголономное многообразие со специальной метрикой — вселенную системы. Во вселенной системы, как оказывается, уравнения Лагранжа—Эйлера и Аппеля — Гиббса получают весьма простой вид. Во вселенной обобщаются также вариационные принципы механики — принципы Гаусса — Герца наименьшей кривизны и Гамильтона — Остроградского наименьшего действия. 3. Горак показывает, что принцип Гамильтона — Остроградского эквивалентен уравнениям линии вселенной . Рассматривая время как временной параметр и вводя понятие пространственно-временной силы , 3. Го-раку удалось значительно упростить выражения дифференциальных урав- 105 нений движения неголономной системы. [c.105]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...