Методы преобразования переменных

Замечание 1. В приведенном выше методе используются якобианы. Это часто применяемый метод преобразования переменных, который очень важно хорошо усвоить. Эквивалентность соотношений (6) и (7) легко показать с помощью равенств [c.165]

Б. Косвенный способ. Большинство случайных процессов (i), исследуемых в радиофизических и технических задачах, представляют собой результат различных (линейных и нелинейных) преобразований некоторого исходного случайного процесса "п (i). Если при этом известны все необходимые вероятностные характеристики процесса ц (t) и характеристики преобразования ц t) -> ( )1 = I (i), то иногда на основе общих методов преобразования переменных удается сравнительно просто получить нужную совместную плотность вероятности р ( , t) для значений (t) и Г(/). [c.26]

Рассматриваются общие методы преобразования переменных в термодинамических уравнениях. Выводятся соотношения Максвелла и термодинамические уравнения состояния. Рассматривается вопрос [c.85]

Классификация методов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Методы численного интегрирования ОДУ являются методами преобразования дифференциальных уравнений в алгебраические. После дискретизации независимой переменной t система ОДУ [c.235]

Если используются преобразованные переменные, что обычно помогает линеаризовать соотношение между Я к Т [например, уравнения (5.36) и (5.37)], то следует обратить внимание на то, чтобы экспериментальные точки располагались равномерно по отношению к новой переменной иначе в отдельных участках диапазона могут возникнуть неожиданные осцилляции. Другими словами, если германиевый термометр градуируется в диапазоне от 1 до 20 К, то между 1 и 2 К должно быть столько же экспериментальных точек, сколько их между 10 и 20 К, и в качестве аналитического выражения должен использоваться указанный полином. По возможности следует также брать несколько точек за пределами аппроксимируемого интервала, чтобы среднеквадратичное отклонение на краях интервала было не хуже, чем внутри его. Если это невозможно, то у краев интервала следует брать больше точек, чем в середине. Для хорошей подгонки полинома методом наименьших квадратов требуется, чтобы дисперсия новой зависимой переменной была постоянной по всему интервалу. На практике осуществить это удается обычно лишь в том случае, когда интервал аппроксимирования очень узок. Поэтому для обеспечения постоянства дисперсии приходится придавать экспериментальным данным статистические веса. Поскольку в случае германиевого термометра как Я, так и Т имеют дисперсию, которая непостоянна в пределах интервала аппроксимации, весовой множитель зависимой переменной должен быть обратно пропорционален полной дисперсии которая дается выражением [c.241]

При =0 определим нулевое приближение функции распределения Vд(.r, т). Используя метод преобразования Лапласа по переменной х, как и в предыдущем разделе, находим [c.173]

Наиболее мощные методы преобразования уравнений с периодическими коэффициентами в теории вращающихся электрических цепей объединены под названием преобразование координат. Смысл преобразования координат заключается в замене переменных и переходе от исходных уравнений к новым уравнениям, которые сравнительно просто решаются стандартными методами. При этом модель ЭМП в виде системы взаимодействия цепей преобразуется к модели в виде системы условно неподвижных цепей. Принципиальная возможность преобразования координат устанавливается известной в теории дифференциальных уравнений и устойчивости теоремой Ляпунова. По этой теореме система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами эквивалентна некоторой системе дифференциальных уравнений с постоянными [c.82]

Следовательно, при постоянной частоте вращения и пренебрежении насыщением уравнения ЭМП с периодическими коэффициентами можно преобразовать к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, которые легко решаются хорошо известными методами. При переменной частоте и учете насыщения преобразования не исключают нелинейные члены в уравнениях. Однако и в этом случае переход от периодических коэффициентов к постоянным часто оказывается выгодным. Таким образом, хотя преобразования уравнений не всегда приводят к общим правилам их решения, все же оказываются весьма полезными при решении многих конкретных задач. [c.83]

При расчетах равновесий в сложных системах для задания химического и фазового составов вводятся десятки, а иногда и сотни дополнительных внутренних переменных. Такие большие массивы переменных и соответствующих им входных данных делают мало пригодными обычные, рассмотренные выше методы их преобразования и даже способы записи. Для решения задачи с помощью ЭВМ требуются иные, строго систематизированные, формализованные способы представления и обработки термодинамических величин. Эффективным оказывается использование для этих целей методов линейной алгебры (см., например, [17]). Ниже рассматривается применение таких методов для преобразования переменных, описывающих состав системы. [c.175]

К преобразованному уравнению применим метод медленно меняющихся- амплитуд (ММА). Таким образом, формально этим методом можно воспользоваться н для анализа систем с большой нелинейностью (при малой диссипации) при соответствующем нелинейном преобразовании переменных ). [c.47]

Решение неоднородных дифференциальных уравнений типа (2.177) методом разделения переменных оказывается малоэффективным. Решение может быть получено проще методом интегрального преобразования (операционным методом), например методом интегрального [c.156]

Применяя метод разделения переменных, можно получить выражения для рассеянного поля в виде суммы собственных функций, которая хорошо сходится лишь для рассеивателей небольших по сравнению с X размеров. Однако, применяя преобразование Ватсона для превращения суммы в контурный интеграл, из этих рядов можно получить асимптотическое разложение. Решение, как правило, получается в виде суммы двух членов, первый из которых представляет собой геометрооптический член, а второй —дифракционный, отвечающий за образование дифракционных полей одного из четырех типов. [c.35]

Модель узла трения была построена в соответствии с теорией подобия по методу обобщенных переменных [7]. С помощью я-тео-ремы и способов преобразования аналитических выражений к безразмерному виду были получены критерии перехода С от натурного соединения к его модели [c.129]

Для тел, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной из ортогональных систем координат [8], с однотипными в пределах каждой отдельной координатной поверхности граничными условиями точное аналитическое решение линейной задачи можно получить методом разделения переменных (методом Фурье) [7] или математически эквивалентным ему, но более универсальным методом интегральных преобразований [10, 13, 20]. Основная идея этих методов связана с разложением искомого решения в ряд по собственным функциям соответствующей однородной задачи. Собственные функции и формулы интегральных преобразований для тел простой геометрической формы табулированы [13]. [c.43]

Одним из методов изучения турбулентных потоков жидкости в элементах турбомашин является изучение одномерного спектра турбулентных гидроупругих колебаний жидкости. Однако полученный экспериментально спектр [1] не дает полной и обобщенной информации о его характеристиках. Кроме того, из-за наличия периодических срывов вихрей с ограждающих поток стенок происходит наложение низкочастотных колебаний на показания измерительных приборов во всех полосах частотного фильтра, что придает случайный характер измеренным интенсивностям турбулентных пульсаций. Таким образом, возникает необходимость в статистическом сглаживании показаний приборов и в расчете обобщающих параметров, характеризующих спектр. В статье дается метод расчета одномерного спектра турбулентных гидроупругих колебаний жидкости в элементах турбомашин преобразованием переменных и статистического сглаживания спектра по характерным диапазонам [2]. [c.88]

Если все упомянутые методы в одинаковой степени применимы для решения как нелинейных, так и линейных задач, то этого нельзя сказать о следующих методах, которые могут быть использованы только для решения линейных задач. К ним относятся метод разделения переменных, метод конформных отображений, метод интегральных преобразований, методы теории потенциалов и др. [c.66]

Поскольку методы решения линейных задач разработаны достаточно хорошо, естественным путем решения нелинейных задач является линеаризация, т. е. сведение к линейным с последующим применением известных методов разделения переменных (метод Фурье), интегральных преобразований и т. п. [c.68]

Добавление дифференциального уравнения (4-22) к системе (4-14) — (4-16) повышает ее порядок на единицу. Интегрировать дифференциальные уравнения, т. е. отыскивать зависимость Api(t) удобней методом преобразования Лапласа. Преобразование уравнений (4-18), (4-19) и (4-22) по переменной t и исключение Al/ (s) и A0(s) для решения в области изображений приводит [c.85]

Уравнение (5-89) удобно решать методом преобразования Лапласа по переменной 2, так как известно значение A/i(0, s)=iA/i(s). Применив преобразование Лапласа, выделим At,[и, s) и, совершив обратное преобразование относительно комплексной переменной и, найдем изображение М г, s) [c.177]

Уравнение (5-123) можно решать методом преобразования Лапласа по переменной поскольку F(О, г])=0. [c.218]

Для решения уравнений теплопроводности применяют методы разделения переменных, интегральные преобразования, численные методы и др. [c.403]

Квазистатические уравнения Стокса и предыдущая форма уравнений медленного течения значительно отличаются тем, что член с локальным ускорением d dt не обязательно должен быть малым. Конечно, если / о)р/ л также мало, предыдущая форма уравнений будет идентичной квазистатическим уравнениям. В любом случае уравнения (2.10.6) линейны и могут быть решены относительно прямыми методами. Методы преобразования Лапласа, устраняющие временную переменную, широко применяются для решения нестационарной формы уравнений Стокса. [c.73]

В настоящей главе мы рассмотрим различные задачи, которые нельзя отнести ни к одной из изученных ранее они объединены лишь тем, что для их исследования хорошо подходит метод преобразования Лапласа, который в большинстве случаев приводит к изображениям более сложным, чем рассматривавшиеся ранее. Мы вкратце покажем применение этого метода к задачам теплопроводности в движущихся твердых телах, к теории теплообменников, при наличии в твердых телах источников тепла, при расчете установившихся периодических температур, к задачам о тепловом потоке в неоднородных материалах и к ряду других задач. В дополнение к уже использовавшимся методам мы рассмотрим также прямое применение преобразования Лапласа к задачам с несколькими пространственными переменными. [c.381]

Изложенный путь нахождения точных решений и их дальнейшего анализа (как правило, приближенного) эффективен лишь для некоторых частных законов движения границ, когда задачу удается решить методом разделения переменных. Более общий подход к поиску приближенных решений свободных колебаний мембраны при произвольном, но медленном движении границ основан на использовании инвариантных преобразований волнового уравнения (см. 5.7). [c.218]

Для нестационарных задач дифракции метод разделения переменных в полном виде неприменим, поскольку отделить временную переменную прямо не удается. Большое распространение получил метод неполного разделения переменных [81], когда время исключается при помощи интегрального преобразования (в некоторых случаях интегральному преобразованию подвергается и пространственная координата), а затем в полученных уравнениях проводится разделение переменных. Как правило, используется интегральное преобразование Лапласа или Фурье [3]. Преобразование Лапласа функции f(t), интегрируемой в смысле Лебега на любом открытом интервале, задается с помощью интегральной формулы [c.68]

М. Ф. Шульгин предложил преобразование канонических переменных, выраженных в голономных и неголономных координатах, позволяющие установить соответствие между теоремами аналитической голономной динамики. Он показал также, что метод преобразования уравнений Лагранжа второго рода, установленный Э. Раусом, можно обобщить на неголономные системы с линейными связями. [c.102]

Уравнения (9)—(11) представляют собой уравнение колебаний, граничные условия и соотношения непрерывности для пластинки, показанной на рис. 1(b), изгибные цилиндрические жесткости которой Pxi, H i, D yi и Dll определяются из уравнения (12). Жесткость единицы длины упругой сопротивляющейся среды на сторонах л = Оил =аи у = О п у = Ь также находится из уравнения (13). Таким образом, можно заключить, что собственная частота колебаний пластинки, показанной на рис. 1(a), совпадает с собственной частотой колебаний пластинки, показанной на рис. 1(b), при условии существования соотношений между обеими пластинками, определяемых уравнениями (12) и (13). Вывод показывает, что обобщенный метод преобразования, предложенный для пластинки постоянной толщины [6, 7], также может быть применен для пластинки переменной толщины, показанной на рис. 1. Из этого метода непосредственно вытекают три следующих факта. [c.160]

Таким образом, метод преобразования Лапласа позволяет уменьшить число независимых переменных на единицу. Дифференциальное уравнение (2.1) для оригинала в частных производных с помощью преобразования Лапласа преобразовано в обыкновенное дифференциальное уравнение (2.7) для изображения. [c.308]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

Следует отметить, что, систематизируя курс теории упругости по математическим методам, авторы не ставили перед собой цель добиться единообразия в изложении материала различных глав. В тех случаях, когда имеется полноценная теория, она излагалась с небольшим количеством иллюстрирующих примеров (таковы, например, главы, связанные с теорией аналитических функций и потенциалов). В других же случаях, наоборот, в основном приводились решения конкретных задач. Пр ичиной этого (например, в главе Метод разделения переменных ) явилось то обстоятельство, что достаточно полная ясность этого сранительно простого метода достигается раньше (уже в гл. I), а интерес представляют отдельные специфические задачи теории упругости, в которых удается получить важные и конструктивные результаты. В главе VI Интегральные представления и интегральные преобразования создается такая же ситуация,но в силу совершенно других причин. Ввиду отсутствия универсальных методов решения задач такого класса изложение математического аппарата возможно лишь на отдельных примерах. При их подборе авторы руководствовались не только указанными выше общими критериями, но и обращали внимание на новизну и оригинальность математических результатов, степень важности предлагаемых задач для тех или иных, родственных теории упругости наук (в частности, механики разрушения), воз- [c.8]

Использованное здесь преобразование переменных, соответствующее переходу от переменных к переменным применяется обычно в теории квадратичных форм для приведения (по методу Лагранжа) квадрати ной формы к сумме квадратов. Действительно, применив несколько раз подобные преобразования, мы представим квадратичную форму от п переменных в виде суммы п квадратичных форм, каждая из которых зависит только от одной переменной, т. е. равна произведению квадрата этой переменной на некоторый вещественный коэффициент. [c.275]

Основными общими методами, используемыми при расчете коррозионного потенциала и тока, являются методы собственных функций (метод разделения переменных и метод интегральныу преобразований), метод изображений и метод Грина. Эти методы допускают использование стандартных схем расчета с применением справочных материалов, приведенных в разд. 1.2.2-1.2.5. [c.31]

Преобразование спектра к плоскостям логарифмических и нормированных переменных. Теоретический спектр из плоскости преобразованных переменных путем обратных преобразований формул (4) и (5) переносится на плоскость логарифмических переменных. Для этого по каждому реальному спектру, используя соотношение (6), уточняются для сглаженных МКН-методом участков спектра значения ординат преобразования и Y ,-соответствующих абсциссам и Zoa- В плоскости логарифмических переменных теоретический спектр описывается уравнением (1). [c.96]

Уравнения в частных (производных i(6-2) можно привести к обыкновенным дифференциальным уравнениям, используя метод преобразования Лапласа ino переменной т, поскольку оэффицийнты уравнений от времени не за висят, являясь, однако, функциями пространственной Координаты, как это следует из соотношений (6-3). Преобразование дает следующий результат (при нулевых начальных значениях переменных) [c.226]

Общепринятым методом определения козффициентов кит уравнений (32) и (64) является метод наименьишх квадратов, в котором используются преобразованные переменные [c.44]

Эта трудность не возникает при использовании метода преобразования Лапласа, рассматриваемого в гл. XIII, так как в этом случае члены, которые имеются в решении, определяются особыми точками функции комплексного переменного (см. также [24] ). В работе [45] постоянный член, соответствующий первому члену, опущен и, таким образом, приведенное в ней решение некорректно. [c.201]

Интегриров ан ие преобразованного уравнения производим методом разделения переменных [c.155]

Вообще разделение движений, т. е. расщепление системы на две или большее число подсистем, возможно тогда, когда частоты и и Q не зависят от угловых переменных (именно такими си-стемамй являются вращательные, рассмотренные в 1.9). После иостросчшя усредненных уравнений первого или любого прибли-ження (171), (172) можно в принципе к (151) применять метод преобразований Крылова — Боголюбова, изло1кеппый в нредыду-нщх параграфах. Здесь мы не будем в явном виде выписывать уравнение Крылова — Боголюбова (4) для преобразований (151)->(171) и (151)->(172), поскольку в следующей главе >тому вопросу будет уделено достаточно много внимания. [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...