Пределы применимости приближенной теории

Только в случае круговой цилиндрической оболочки постоянной толщины дис еренциальные уравнения (5.65) представляют собой уравнения с постоянными коэффициентами. Эти уравнения могут быть выписаны в явной форме, и их решение может быть представлено в виде рядов. В данном случае можно провести анализ, показывающий пределы применимости приближенных теорий. Такой анализ приведен в 27 [29J. [c.259]

При распространении волн крутильного типа имеет место изгиб не только в полках, но и в стенке. Поэтому влияние изгибных колебаний отдельных полос на общее волновое движение стержня здесь еще больше, чем в случае рассмотренных выше изгибных волн. В частности, как показывает расчет, первая критическая частота, соответствующая А, = О, практически всегда определяется изгибным резонансом. Этот факт имеет важное значение при оценке пределов применимости приближенных теорий крутильных колебаний стержней. Поскольку ни одна из этих теорий не учитывает искажения формы поперечного сечения, а следовательно, и изгиба полос, то на частотах, где этот изгиб существен, теории перестают правильно описывать дисперсию волн в реальном стержне. [c.34]

ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ПРИБЛИЖЕННОЙ ТЕОРИИ [c.251]

Пределы применимости приближенной теории. Чтобы выяснить степень точности приближенного уравнения (116.4), сравним результат его решения с результатом решения точного уравнения (116.3) в случае, когда последнее не сложно. Пусть балка длины / нагружена на конце моментом Ж (рис. 172). Изгибающий момент всюду постоянен и равен /И. нием (116.3) или лучше (116.1), найдем, что радиус кривизны постоянен и прогиб на конце [c.251]

Вариационные методы расчета, которые позволяют получать приближенные решения задач о.б изгибе пластин, рассмотрены в 8. Краткие сведения об изгибе пластин при больших прогибах приведены в 9. На основе полученных там результатов можно оценить пределы применимости линейной теории, базирующейся на гипотезе об отсутствии деформаций в срединной плоскости. [c.52]

Инвариантность волнового сопротивления при обращении направления полета есть следствие общего результата линейной волновой теории сопротивления. Волновое сопротивление не зависит от направления полета во всех случаях, при которых распределение источников, представляющих поток, сохраняется. Так как в пределах приближения линейной теории распределение источников обращается, но не меняется при изменении направления полета на обратное, то теорема о независимости сопротивления от направления потока применима к телам произвольной формы тело может быть плоским, как например, крыло самолета, или оно может быть телом вращения. Однако необходимо иметь в виду, что это будет справедливо только в пределах применимости линейной теории с приближенными граничными условиями. [c.32]

Расчету колебаний стержней — простейших элементов многих машинных и инженерных конструкций — посвящена обширная литература [144, 191, 212, 282, 300, 325, 360]. Целью настояш ей главы является изложение наиболее важных с акустической точки зрения приближенных теорий колебаний стержней — продольных, изгибных и крутильных. Главное внимание уделено вопросам, не освещенным в литературе систематически основным допущениям этих теорий, пределам их применимости, сравнительному анализу дисперсионных зависимостей, [c.136]

Рассмотрение течения расплава вблизи излома стенки выходит за пределы применимости теории тонкого слоя. Однако приближенно сопряжение решений для двух частей слоя у точки излома стенки можно произвести из условий непрерывности расхода расплава, толщины слоя и давления в сечении ОС (см. рис. 7, соответствующий слу-чаю уо > yV)- [c.196]

Ввиду явной важности размера частиц в определении характеристической вязкости желательно изучить данные, которые могли бы оказаться уместными. Вязкость водных растворов сахарозы была точно определена в широком диапазоне концентраций. Молекула сахарозы представляет собой с точки зрения размера нижний предел, когда еще можно ожидать применимости континуальной теории. В оригинальной работе Эйнштейна фактически использовались данные по растворам сахара в качестве метода определения размера молекулы сахара. Эйнштейн заметил, что, как было установлено экспериментально, удельный объем сахара в растворе такой же, как для твердого сахара, и принял в качестве приближенной модели, что молекулы сахара образуют суспензию мелких сферических частиц. Он нашел, что характеристическая вязкость раствора равна 4,0 вместо 2,5. Это расхождение Эйнштейн объяснил, предположив, что молекула сахара, находящаяся в растворе, ограничивает подвижность непосредственна примыкающей к ней воды, так что количество воды, по объему равное примерно половине объема молекулы сахара, оказывается связанным с этой молекулой (4,0/2,5 = 1,6). Кажется также пригодным и такое объяснение, что значение 2,5 для постоянной Эйнштейна может оказаться заниженным для столь мелких частиц. [c.540]

Существуют разнообразные приближенные подходы к изучению колебаний прямоугольных 1ел, В их основе лежат различные гипотезы физического или математического плана В данной работе мы не будем подробно рассматривать вопросы оценки возможностей и пределов применимости простейших и уточненных приближенных теорий. Обзор исследований в этой области и основные результаты можно найти, например, в работах [35, 182]. Мы здесь остановимся на следующем вопросе, глубже вскрывающем особенности динамического поведения тел конечных размеров. [c.182]

Частота ро = nb/h = 9,85 10 рад/с, которая соответствует пределу применимости теории слоя, является низшей собственной частотой колебаний. Для частот р < ро совпадение динамических жесткостей по приближенному и точному решениям удовлетворительное. [c.256]

Результаты, даваемые строгой теорией, позволяют установить пределы применимости различных приближенных методов, в ча-13 195 [c.195]

При микроскопическом описании никаких соотношений вводить не нужно единственная неизвестная / уже содержит всю информацию о плотности, скорости, температуре, напряжениях и тепловом потоке Разумеется, это возможно потому, что / зависит от 7 переменных, а не от 4. Макроскопический подход (5 функций от 4 переменных) проще микроскопического (1 функция от 7 переменных), и, если только он возможен, его следует предпочесть. Таким образом, одна из задач теории, основанной на уравнении Больцмана, состоит в выводе для газа при обычных условиях некоторой приближенной макроскопической модели и в отыскании пределов применимости этой модели. Эту часть теории мы изучим в гл. 5. [c.63]

Чтобы более подробно изучить процесс восстановления, будет полезно начать с простого случая освещения точечным источником. Такое освещение может быть в первом приближении осуществлено с помощью достаточно малого отверстия, используемого в качестве источника света. Вначале будет удобно ограничить обсуждение двумерными предметами, занимающими часть замкнутой поверхности Е, которая включает точечный источник О. Предмет в точке Р поверхности Е может быть охарактеризован коэффициентом пропускания амплитуды t P), который равен отношению комплексных амплитуд по обе стороны от Е в окрестности точки Р. Коэффициент t, вообще говоря, комплексный он действителен лишь в случае чисто поглощающих предметов. Вполне очевидно, что понятие коэффициента пропускания (действительного или комплексного) не применимо к предмету, который является двумерным в математическом смысле. Что же касается физического предмета, к которому это понятие применимо, то мы должны предположить, что его толщина равна по крайней мере нескольким длинам волн. Более того, мы должны предположить, что вдоль поверхности Е функция t P) не изменяется заметно в пределах длины волны. Таковы условия применимости теории дифракции Френеля — Кирхгофа. В электронной оптике при использовании быстрых электронов с длиной волны около 0,05 А эти условия всегда выполняются, так как не существует предметов (исключая атомные ядра), чьи физические свойства изменялись бы значительно в пределах расстояния около десяти длин волн, [c.226]

Теория деформаций относится к чистой геометрии, а теория напряжений—к чистой статике. Для установления связи между ними потребуются некоторые физические допущения. Обычное допущение—так называемый закон Гука ) он заключается в предположении линейной зависимости напряжений от деформаций. Этот закон перестает соблюдаться даже приближенно, когда деформации превосходят некоторые величины, получившие название пределов упругости однако для целей акустики в применимости закона Гука можно не сомневаться ввиду [c.145]

Параллельно этим исследованиям Келлер с успехом обобщил понятие луча, включив в рассмотрение и лучи, дифрагированные на границе апертуры. Келлер вывел свои результаты, исходя из обобщенного принципа Ферма, применимого для лучей, попадающих в точку наблюдения с границы апертуры, и, подчеркивая геометрическую основу такого подхода, назвал его геометрической теорией дифракции (см. гл. 6). Эта теория оказала значительное влияние на современную теорию дифракции, позволив, в частности, выйти за пределы скалярной теории и отказаться от приближения Кирхгофа, состоящего в предположении о том, что поле на апертуре равно своему значению в отсутствие экрана при наличии тех же источников. Кроме того, геометрическая теория дифракции позволяет учесть различные возможные формы и электрические свойства клиньев (кромок), ограничивающих апертуру. Эта теория применима также для описания дифракции на гладких препятствиях, освещаемых скользящим пучком, т. е. она применима в случаях, когда возбуждаются поверхностные волны. [c.315]

При решении представленных здесь задач использовались допущения классической теории пластин, и, следовательно, точность приближенных решений должна проверяться на известных задачах теории пластин. Пределы их применимости будут такими же, как и теории пластин. [c.186]

В настоящее время не совсем ясны пределы интенсивностей звука, где теория стационарного течения вблизи границы, основывающаяся на решении уравнений пограничного слоя, остается еще применимой. Как уже отмечалось, использование этих уравнений возможно при акустическом числе Рейнольдса, большем числе Маха это никак не ограничивает амплитуд звука. Использование метода последовательного приближения требует только сходимости ряда (55) в той области звукового поля, где применяется теория, т. е. в этой области скорость постоянного потока должна быть много меньше амплитуды скорости первого приближения. Вблизи границы как скорость первого приближения, так и скорость второго приближения стремятся к нулю. Метод последовательных при- [c.107]

Это обстоятельство играет большую роль при оценке пределов применимости приближенных теорий. Игнорирование изгибных ветвей дисперсии ведет к большим ошибкам в расчетах, поэтому в качестве верхней границы применимости двухволновых приближенных теорий естественно считать первую критическую частоту, соответствующую первому максимуму мнимой ветви дисперсии. Она расположена несколько ниже изгибной частоты среза Шь Но поскольку в Н-стержне она меньше частоты продольно-сдвигового резонанса, то пределы применимости уравнений Тимошенко и Аггарвала — Крэнча оказываются примерно одинаковыми. Отсюда следует, что в практических расчетах предпочтительнее использовать более простое уравнение Тимошенко. Уравнение Аггарвала — Крэнча целесообразно ирименять при расчете двутавров с повышенной изгибной жесткостью составляющих его полос, например, сделанных из композитных материалов, пли Н-стержней с поперечными ребрами жесткости. [c.166]

Поскольку игнорирование пропущенных изгибных ветвей дисперсии недопустимо из-за больших ошибок в расчетах, пределом применимости приближенных двухволновых теорий следует считать первую критическую частоту, которая соответствует максимуму первой мнимой ветви. Обычно она расположена немного ниже первого изгибного резонанса стенки и полок. На рис. 5 она соответствует частоте jxj = 0,12 Jt. Приближенные уравнения крутильных колебаний Тимошенко (8) и Аггарвала — Крэнча (9) имеют здесь один и тот же предел применимости и дают одинаковые приближения к точным дисперсионным кривым. Можно показать, что это верно и для стержней, у которых п 0,25, т. е. практически для большинства тонкостенных конструкций двутаврового сечения. Но так как уравнение Тимошенко проще, то его использование для расчетов в этих случаях предпочтительнее. Уравнение Аггарвала — Крэнча целесообразно применять при [c.36]

Система основных уравнений общей теории оболочек, которая замыкается уравнениями равновесия (ем. 24), является веаьма громоздкой. Анализ структуры этих уравнений и возможных способов их решения дан в 25. Наиболее полно могут быть проанализированы уравнения для круговой цилиндрической оболочКи. Такой анализ (см. 27) позволяет оценить пределы применимости различных приближенных теорий, рассмотренных далее в гл. 7. [c.233]

Первое систематическое рассмотрение устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Дж. Брайану Он выяснил пределы применимости теоремы Кирхгофа и показал, что при условии малых деформаций она отпадает, если только один или два размера тела можно считать малыми. При этом явление неустойчивости может иметь место в пределах упругости, если произведение модуля упругости Е на квадрат отношения малого размера к конечному будет того же порядка, что и предел упругости материала. Дальнейшая разработка общей теории устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Р. Саусвеллу Он устраняет ограничение относительно малости деформаций и оперирует с идеальным телом бесконечно большой прочности. При этих условиях и тела, у которых все размеры одного порядка, могут оказаться в состоянии неустойчивого равновесия. Исходя из однородного напряженного состояния тела, Р. Саусвелл дает точкам тела весьма малые перемещения и, v, w ) и для этой отклоненной формы пишет дифференциальные уравнения нейтрального равновесия, причем считает начальные деформации конечными. То соотношение между внешними силами и размерами тела, при котором полученные уравнения дают для и, у и w решения, удовлетворяющие условиям на поверхности, определяет критическое значение нагрузки в рассматриваемом случае. Применяя свой общий метод к тонким стержням и пластинкам, Р. Саусвелл нашел, что имеющееся решения задач устойчивости являются лишь первыми приближениями, хотя и вполне достаточными для практических приложений. Мы в дальнейшем ограничимся этими приближенными решениями, отсылая интересующихся теорией вопроса к работе Р. Саусвелла. [c.258]

Пределы применимости теории. Приведенная выше теория первого приближения полностью подтвердилась на опыте в достаточно широких пределах диаметров зарядов, форм и толщин оболочек, в материалах различных плотностей й прочностных свойств. На рис. 98 приведено сравнение гидродинамической теории с экспериментом для различных значений скорости V кумулятивной струи. В этом эксперименте струя и мищень имели одинаковую плотность (обе из стали), так что = 1 и по [c.268]

Построение волновой теории распространения упругих волн при наличии границ раздела представляет собой задачу Чрезвычайной сложности. Существование нескольких типов упругих волн продольных, поперечных и поверхностных, а также трансформация волн крайне осложняют задачу даже для изотропных и однородных сред. Достаточно сказать, что задача о дифракции упругих волн, падающих из твердого тела на твердый шар другой жесткости, в теории упругих волн решения пока не получила, в то время как подобная задача для звуковых волн в воздухе и жидкости и для электромагнитных волн имеет точное решение. Поэтому одна из основных задач в теории распространения упругих волн при наличии слоев раздела — это задача построения приближенной теории, базирующейся на волновых представлениях, и обоснование пределов применимости геометрической (лучевой) трактовки, т. е. геометрической сейсмики. [c.555]

С. Большие деформации пластинок и оболочек. Теория тонких пластинок и оболочек была развита по преимуществу для целей изучения колебаний этих тел и затем уж применялась к вопросам статическим. Соответствующие смещения при колебаниях всюду крайне незначительны. Обычная приближенная теория изгиба пластинок под действием давления основывается на распространении на более общие случаи результатов некоторых точных нли приближенных решений уравнений равновесия упругого тела ). В этих решениях предполагается, что смещение, если не считать того, которое соответствует движениям тела как абсолютно твердого, всюду весьма мало по сравнению с линейными его размерами. Таким образом теория будет применима до тех пор, пока прогиб будет составлять весьма малую долю от толщины пластинки. Теории Кирхгофа и Клебша и теория гл. XXIV имели своей целью указать пределы возможных смещений средней поверхности, при которых оболочка не будет еще перенапряжена. Условие этого заключается в том, что при больших деформациях оболочки средняя поверхность должна либо точно налагаться на недоформированную среднюю поверхность оболочки, либо должна быть близка к поверхности, налагающейся на нее. [c.580]

Уточненная теория Тимошенко существенно улучшила классическую теорию изгиба. Однако вопрос о пределах применимости и значимости этой улучшенной теории долгое время оставался открытым. В связи с этим были предприняты попытки сопоставить результаты этой теории с возможными точными решениями динамической теории упругости. Одна из первых попыток принадлежит С. П. Тимошенко 11.326] (1922). Были построены решения, описывающие гармонические колебания бесконечного стержня прямоугольного тюперёчного сечения, в приближениях плоской деформации или плоского напряженного состояния. [c.29]

При рассмотрении тг (i-рассеяния основная цель состояла в изучении сходимости данной итерационной схемы для вычисления длины рассеяния к ее точному значению, рассчитанному в [5] на основе уравнений Фаддеева. При расчете первой итерации (диаграмма рис. 1 а) была установлена применимость статического предела теории ио = = /i/(/i + m) —) 0. Оказалось, что в первом приближении длина тг (i-рассеяния в отличие от рассмотренного ранее [12, 13] случая ггб/-рассеяния существенно меньше точных значений [5]. Причина этого, как было показано в конце п. 4, лежит в специфике изоспиновой структуры данной задачи. На случайность малости первого приближения указывает также то, что сумма первых двух итераций (см. табл. 2) практически совпадает с точным значением a d- Из табл. 2 следует, что рассматриваемый ряд сходится к точным результатам [5] точнее, чем соответствующий ряд в ТМР. Это можно рассматривать как следствие выполнения условия унитарности на каждой итерации. Для уточнения полученных здесь значений для длины тг (i-рассеяния нужно учесть р-волновое тгЛ -взаимодействие, рассчитать диаграмму рис. 1 в, а также оценить вклад от высших итераций. Полученные результаты (см. рис. 3) для фаз тг (i-рассеяния свидетельствуют о их сильной чувствительности к параметрам тгЛ -взаимодействия. Отметим, что все основные соотношения п. 4 с поправками на спин-изоспиновую зависимость применимы для описания рассеяния пиона на более тяжелых ядрах, таких как Li [22], которые допускают двухкластерное представление. [c.297]

Как известно, классическая линейная теория упругости имеет ограниченные рамки применимости, за пределами которых линейные модели следует заменить на нелинейные, приближениями которых они являются. Задачи линейной,теории упругости рассматриваются в книге лишь в главе 6 ( 6.2 и 6.3) в той мере, в какой это необходимо для исследования нелинейных задач. С результатами линейной математической теории упругости читатель может подробнее познакомиться, в частности, по монографии Г. Фикеры Теоремы существования в теории упругости (М. Мир, 1974). [c.5]

Во-первых, рассмотрим лучи. На рис. 46 (стр. 282) изображены лучи, падающие на расстояниях от оси, определяемых следующим образом созт = 0,78 0,82 0,86 0,90 и 0,94. Луч 3 является лучом наименьшего отклонения лучи 2 я 4 отклоняются на 24 и 30, лучи 1 я 5 — на 1°20 и 2°50 соответственно. Наблюдаемая разница в отклонении показывает, что лучи 1 я 5 оказываются далеко за пределами области симметричного приближения третьего порядка. То же следует из разности коэффициентов 1, которая для лучей 1 я 5 равна соответственно 0,134 и 0,062. Мы. можем с уверенностью сказать, что приближение Эри применимо в качестве количественной теории радуги лишь в том случае, когда лучи с отклонением больше чем примерно полградуса от геометрической радуги отсутствуют. Кроме того, это означает, что ее применение ограничивается только такими значениями X, для которых главный максимум сдвинут, скажем, меньше чем на 20 от геометрического положения. [c.288]

В гл. VI, VII подробно анализируется большая гамма методов, широко используемых в настоящее время для численного решения краевых задач нелинейной теории пологих оболочек. В первую очередь изучены локальные методы (малого параметра, последовательных приближений, Ньютона — Канторовича), установлены пределы их применимости, приведены рекомендации по усилению эффективности. В гл. VII дано полное обоснование методов Бубнова — Галеркина и Ритца в формах, которые наиболее широко используются П. Ф. Папковича, X. М. Муштари, В. 3. Власова. При этом анализе также не применяются какие-либо соображения локальности, базирующиеся на предположениях о малости определяющих факторов. [c.7]

Задача о потоках, возникающих под действием хорошо коллимированного пучка бегущей волны, была впервые рассмотрена Эккартом [4]. Предполагая, что поле скоростей первого приближения является безвихревым (потенциальным), решение этой задачи можно получить из (18). Следует остановиться на возможности представления ограниченного звукового пучка в виде потенциального поля. Легко видеть, что для плоской волны Уху существенно зависит от распределения колебательной скорости по сечению пучка. В случае хорошо коллимированного звукового пучка с резкой границей У X у обращается в бесконечность на границе и равен нулю во всем остальном пространстве при плавном распределении колебательной скорости по сечению пучка V х у отлпчен от нуля во всей области, занятой полем. В области частот порядка нескольких мегагерц при размерах источника ультразвука, много больших длины волны, по-видимому, можно считать, что объем вихревой области на границе звукового пучка мал по сравнению с объемом, занятым звуковым полем, и эти поверхностные источники вихрей вносят значительно меньший вклад в стационарный поток, чем объемные. Теория Эккарта в пределах ее применимости, как это будет видно ниже, вполне удовлетворительно согласуется с экспериментальными результатами. [c.95]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...