Асимптотические разложения и последовательности

Асимптотические разложения и последовательности [c.18]

При больших значениях параметра ко1(ко1 1) интегральное уравнение (7.217) решается методом последовательных приближений с использованием асимптотических разложений для ядра и свободного члена [c.208]

Согласно (25), ИУ (24) можно решать при малых Л, как и уравнение (16), методом последовательных приближений, отбрасывая в нулевом приближении интеграл в его правой части. При этом на каждой итерации вновь будет решаться ИУ Винера-Хопфа (18). Решение третьего ИУ (20) находится применением теоремы о свертке для интегрального преобразования Фурье. Таким образом сингулярное асимптотическое разложение решения ИУ (1) при малых Л в форме (21) может быть реально построено с любой желаемой точностью. [c.14]

Третья линия решения проблемы приведения — метод непосредственного асимптотического интегрирования. Здесь заменой координат— различной при отыскании качественно различных напряженных состояний — в уравнения теории упругости искусственно вводится параметр (скажем, в), характеризующий тонкостенность оболочки. Далее каждой неизвестной функции должен быть присвоен определенный непротиворечивый показатель интенсивности, допускающий рекуррентную процедуру определения членов разложения неизвестных по степеням малого параметра 8. Отсюда ясно, что для успешного применения метода весьма желательна предварительная информация об основных свойствах определяемого напряженного состояния, иначе можно запутаться в подыскании непротиворечивых показателей интенсивности. Но если этот пусковой момент преодолен, то дальнейшее быстро приводит к изящным процедурам определения и последовательного уточнения напряженного состояния для широкого круга задач. [c.263]

Заменим теперь сумму интегралом и будем искать асимптотическое разложение для потенциала. Легче всего это сделать, последовательно интегрируя по частям, тогда каждый последующий член оказывается более высокого порядка по Мг, чем предыдущий. Переходя к интегралу, получаем [c.334]

Большинство физических задач, с которыми сталкиваются сегодня инженеры, физики и специалисты в области прикладной математики, обнаруживает ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. Такими особенностями являются, например, нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной формы и нелинейные граничные условия на известных или, в некоторых случаях, неизвестных границах. Если даже точное решение некоторой задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Примерами таких задач являются функции Бесселя большого порядка при больших значениях аргумента и двоякопериодические функции. Таким образом, для получения информации о решениях уравнений мы вынуждены прибегнуть к аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов. Среди приближенных методов прежде всего следует назвать асимптотические методы возмущений, которые и являются предметом этой книги. Согласно этим методикам, решение представляется несколькими первыми членами асимптотического разложения, число которых обычно не превышает двух. Разложения могут проводиться по большому или малому параметру, который естественно возникает в уравнениях или вводится искусственно для удобства. Такие разложения называются возмущениями по параметру. С другой стороны, разложения могут быть проведены по координатам для больших или малых значений в этом случае они называются возмущениями по координатам. Примеры разложений по параметру и координате и их существенные характеристики даны в 1.1 и 1.2. Для формализации понятий пределов, оценок погрешности в 1.3 введены определения символов порядка и другие обозначения. Параграф 1.4 содержит опреде ления асимптотического разложения, асимптотической последовательности и степенного ряда в 1.5 дается сравнение сходящегося и асимптотического рядов. Затем, в 1.6 определены равномерные и неравномерные асимптотические разложения. Краткая сводка операций над асимптотическими разложениями дана в 1.7. [c.9]

Существует много математических методов приведения трехмерных уравнений теории оболочек к некоторой последовательности систем двумерных уравнений, описывающих напряженное состояние тонких оболочек. С этой целью применялись разложения в степенные ряды по толщине (72, 159], разложения по функциям Лежандра (15, 105, 106, 140], а также энергетические подходы (88]. Метод, изложенный в этой главе, можно назвать асимптотическим. Он развивался в последние годы рядом авторов для изотропных однородных оболочек [3, 12, 20, 34, 54, 55, 75, 76, 144—147, 171, 172, 179], для анизотропных оболочек (1, 2] и, наконец, для слоистых пластин (65—68, 150]. Обзоры работ, посвященных проблеме сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек, можно найти в [34, 58, 157, 158]. [c.408]

Соотношения (5.1.39), (5.1.40) позволяют из линейных алгебраических соотношений последовательно определить Aj, коэффициенты полинома Pn и коэффициенты а разложения (5.1.36). Тем самым дана методика для получения асимптотически точного решения задачи (5.1.1) —(5.1.4). [c.207]

Xn t, e) -> ОО, n — оо. Последовательные приближения Xn t, е) вначале приближаются к x t), но для п, больших некоторого значения по е), погрешность неограниченно растет. Поэтому если (20.8) — асимптотический ряд, то для наилучшей аппроксимации следует ограничиться вычислением лишь по е) первых членов разложения. Точное и приближенное [c.185]

Для решения поставленной задачи будем использовать метод последовательных итераций [22]. Он заключается в следующем. В качестве начального приближения для ф и используем функции тока, являющиеся решением задачи об обтекании пузырька потоком жидкости при учете инерционных эффектов (см. разд. 2.3). С помощью этих выражений для функций тока можно определить нормальные компоненты тензора напряжений в обеих фа.чах. Тогда можно решить уравнение (2. 7. 9) и тем самым определить начальное значение функции С (т]). Далее для найденной формы пузырька нужно повторить решение уравнения Навье—Стокса при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений (см. разд. 2.3) и т. д. Рассмотрим решение уравнения (2. 7. 9) в соответствии с [22], считая, что неоднородная его часть явля- [c.66]

Другой метод, использующий одновременно пространственное и асимптотическое разложения, предложили Хегемир и Найфэ [33], которые исследовали распространение плоских волн перпендикулярно слоям слоистого композита. Усечение асимптотических последовательностей приводит к цепочке моделей. Для оценки точности той или иной модели был исследован спектр фазовых скоростей. Сохранение всех членов асимптотической последовательности приводит к точному спектру (что обсуждалось в разд. III). Было установлено, что дисперсионная модель первого порядка обеспечивает точность более высокую, нежели некоторые из существующих теорий. Результаты исследования распространяющегося импульса хорошо согласуются с точной теорией. Было также показано, что уравнения теории дисперсии первого порядка могут быть приведены к стандартной форме уравнений теории бинарных смесей. [c.381]

Вскоре после статьи Ван Хова появилась работа Браута и Пригожииа, открывшая многочисленную серию работ, выполненных так называемой брюссельской школой . При этом основная идея заключалась в введении фурье-разложения функции распределения и последовательном применении переменных угол—действие (в классической механике). Такое представление продемонстрировало роль раздельного анализа различных типов корреляций (т. е. динамики корреляций). При этом также в асимптотическом пределе Я О, t оо (Я 4 — конечная величина) было получено необратимое основное кинетическое уравнение для iV-частичной функции распределения по импульсам (играющей роль вакуума в этом представлении) [c.217]

Среди приближенных методов решения задач математической физики особую роль играет теория возмуш,ений, позволяющая построить асимптотические разложения при малых и больших значениях тех или иных характерных параметров. Применению такого подхода к контактным задачам теории упругости для изотропной полосы и изотропного слоя был посвящен специальный параграф в монографии [7]. При этом в качестве малых и больших параметров принимались, как правило, относительные геометрические размеры штампа (отношение ширины штампа к ширине полосы (слоя) или обратная величина). Между тем, в случае анизотропного и, в частности, ортотропного материала появляется еще одна возможность. Обычно некоторые жесткости композитов, моделируемых анизотропными однородными средами, отличаются по порядку величины, и, следовательно, их отношения могут рассматриваться как малые параметры. В последние десятилетия был развит асимптотический метод, основанный на построении разложения по таким параметрам. Этот метод отражен, помимо статей [1, 3, 5], в монографиях [4] и [6]. Первое его применение к контактным задачам содержится в статье Л. И. Маневича и А. В. Павленко [5], где рассмотрено вдавливание в упругую ортотропную полосу жестких штампов при наличии сил трения. В этой работе было показано, что использование малого параметра, характеризующего отношение жесткостей ортотропной среды, позволяет свести смешанную краевую задачу плоской теории упругости к последовательно решаемым задачам теории потенциала. Статья С. Г. Коблика и Л. И. Маневича [3] посвящена контактной задаче для ортотропной полосы при наличии области контакта зон сцепления и скольжения. В этой сложной задаче предложенный метод оказался особенно эффективным бьши получены явные аналитические выражения для нормальных и касательных напряжений в обеих областях, а также для заранее неизвестной границы между этими областями. В работе Н. И. Воробьевой, [c.55]

В работе [11] методом сраш иваемых асимптотических разложений контактная задача о вдавливании нескольких гладких штампов в упругое полупространство свелась к решению последовательности контактных задач для изолированных штампов с полиномиальными основаниями. Взаимодействие между штампами описывается в терминах емкостных характеристик штампов. В явном виде найдена асимптотика контактного давления в системе, состоящей из круговых и эллиптических штампов. В качестве примера рассмотрена задача о поступательном вдавливании в упругое полупространство на глубину системы гладких штампов Г(е), состоящей из двух круговых штампов различных радиусов а- ж а2 (рис. 7). [c.152]

Во-вторых, как показывает опыт [5], приосевой обратный ток возникает лишь при достаточно сильной закрутке потока, поэтому естественно ограничиться рассмотрением сильно закрученных струй. В нашей пеавтомодельной постановке это означает, что члены асимптотического разложения (33), зависяш пе от враш е-ния, в области возвратного течения будут доминировать. Так, в первом приближении на расстояниях R Ro можпо пренебречь членами последовательности с 1п/ , поскольку расход задается независимо от вращения и, следовательно, постановка задачи с пренебрежимо малым расходом, но сильным вращением вполне правомерна. В общем Hie случае расход необходимо учитывать, так как при R оо выброшенные члены становятся главными по сравнению с оставленными. Учет их принципиально не меняет рассуноде-ний II может быть осуществлен, хотя значительно усложнит анализ. [c.305]

Ранее были приведены и исследованы формулы для первых членов асимптотического разложения краевой волны для задачи дифракции произвольного лучевого поля на теле с искривленными гранями и криволинейным ребром. При столь общей постановке задачи лучевая структура падающей волны отличается от лучевой структуры отраженной и краевой волн. Существует, однако, ряд важных с практической точки зрения задач, в которых первичная волна и последовательно возникающие в процессе решения краевые волны имеют одну и ту же лучевую структуру цилиндрических, сферических или тороидальных волн. Так, при дифракции па нескольких телах, расположенных друг относительно друга в зоне Фраунгофера, все волны, образующиеся в результате взаимных дифракций, можно считать сферическими, В плоской задаче при днфракции цилиндрической волны на многоугольнике (частные случаи лента, призма, щель в экране, уголковая антенна) все последовательно возникающие волны также цилиндрические. В осесимметрическом аналоге последней задачи все краевые волны тороидальные. Для таких задач можно найти и последующие члены асимптотики модельных задач, что позволяет проанализировать влияние ряда более топких факторов, в частности, влияние изменения закона амплитуды по фронту падающей волны. Поэтому в этом случае необходимо расширить понятие модельной задачи, понимая под ней задачу, в которой учтено влияние не только локальной геометрии тела и фронта падающей волны, но н более тонкой характеристики —распределения амплитуды по фронту волны. Введем новое понятие эталонные волны [6, 78]. [c.121]

Заметим, что ф-ла (6,6) была получена в гл. 1 другим способом суммированием геометрической прогрессии краевых волн, образовавшихся при последовательных дифракциях. Это не случайно. Существует тесная связь между МПД (в том его варианте, когда иа каждом этапе учитывается одно и то же количество членов асимптотического разложения вновь возникающих волн) и МСП. Она состоит в том, что суммирование всех последовательных ди-( уракций дает то же решение, что и МСП, а решение самосогласованной системы уравнений для амплитуд методом итераций дает то же решение, что и МПД, Например, если в ур-ниях (6.4), (6.5) коэффициенты при аг в правой части [c.183]

Весьма полное исследование звукового поля с гармонической зависимостью от горизонтальных координат и времени удается провести в среде, параметры которой являются гладкими функциями координаты z и мало изменяются на расстояниях порядка длины волны. В этом случае эффективны асимптотические методы приближение ВКБ и обобщающий его метод эталонного уравнения, излагаемые в 8 и 9. В 10 результаты распространены на среды, сочетающие плавные и скачкообразные изменения параметров. Для понимания материала этой и последующих глав достаточно элементарных представлений об асимптотических оценках и асимптотических разложениях. Ясное изложение этих вопросов можно найти, например, в книгах [232. гл. 7). (145) и др. Напомним три определения. Последовательность функций (w). S = О, 1, 2.....называется асимтотической при w а, если для любого s [c.162]

Окончательные формулы, которые выведены в данной Книге и применены для расчетов, е являются асимптотическими в строгом смысле этого слова. Поэтому естественно поставить вопрос чем будут отличаться от них последовательные асим,птотичеокие формулы, когда их, наконец, получат в математической теории дифракции Можно сказать заранее, что главный член асимптотического разложения не будет в общем случае совпадать с решением, полученным на основе физических соображений в главном члене будут фигурировать другие (как правило, более сложные) медленно меняющиеся функции, определяющие спадание [c.5]

Миллар [58] рассмотрел задачу о дифракции элект ро-.магнитных волн на щели в плоском экране. Полученная им система интегральных уравнений для тока решается методом последовательных приближений По найденным токам вычислено поле в отверстии, а затем по полю в отверстии рассчитано поле в дальней зоне и коэффициент прохождения. Все указанные величины представлены в виде асимптотического разложения по обратным степеням параметра]/ а.Получено также решение в случае скользящего падения плоской волны. [c.180]

Найфэ и Неммат-Нассер [1971] первыми исследовали эту задачу с помощью метода сращивания асимптотических разложений. Результаты этого пункта показывают, что внешнее и внутреннее разложения, вообще говоря, не могут быть представлены в виде одинаковых асимптотических последовательностей, скажем, по степеням е. В этом примере внешние разложения строились по целым степеням е, в то время как внутреннее разложение по дробным степеням е. Кроме того, этот пример служит демонстрацией того, что неоднородность может возникать внутри области, а не только на границе, как это было в ранее рассмотренных примерах. [c.151]

Как следует из рис. 4.27, в некотором диапазоне безразмерных частот напряжение Ow больше напряжения в статическом случае. При со = 0,4 (avv)max = 4,106, что на 10,8% больше статического значения, равного 3,720. С ростом со концентрация напряжений уменьшается. Если в выражении для Ow устремить со к нулю и юспользоваться асимптотическим представлением цилиндрических функций малого аргумента, получим формулу, совпадающую с разложением по 8 точного решения статической задачи. Сходимость последовательных приближений (а ) max иллюстрируется результата-ми, приведенными в табл. 4.2 для 8=0,2 0 = л/2. [c.99]

Другой Способ построения полной асимптотики решения смешанных задач с кольцевой областью раздела граничных условий развит в работах В. С. Губенко, В. И. Моссаковского, Н. М. Бородачева, В. М. Александрова и др. [19, 47, 52, 53, 106, 107, 110, 160—163, 254—256, 292, 322, 414, 417]. Общий метод построения полной асимптотики решения при малых л широкого класса плоских смешанных задач предложен в работе В. А. Бабешко [58]. Здесь основные параметры задачи, по сути дела, представлены в виде асимптотических рядов по ехр (—где ця — корни некоторого трансцендентного уравнения. Построение таких разложений связано с необходимостью решения последовательными приближениями бесконечной алгебраической системы. Главная часть этой системы точно обращается путем решения соответствующего интегрального уравнения Винера — Хопфа. [c.98]

В том же случае, когда тела p и рг обращаются около О по эллипсам, кривые параболических начальных данных и друг с другом не совпадают. Если эллипсы мало отличаются от окружностей, то удастся доказать типичность уравнения. Используя разложения по эксцентриситету эллипсов как по малому параметру, можно убедиться в том, что кривые и, асимптотические близкие к окружности г> = 2, имеют ровно две трансверсальные точки пересечения (как на рис. 3). Одной точке пересечения, близкой к (0,2), соответствуют моменты наибольшего сближения тел pi и рг. Другой, близкой к (2, тг), — моменты наибольшего удаления. Следуя рассуждениям предыдущего параграфа, можно определить окрестности точек псрсссчспия, хорошие с точки зрения возможности использования символической динамики. В фазовом пространстве этим окрестностям отвечает некоторое открытое подмножество V многообразия прямолинейных конфигурации. Оно зависит от двух параметров N и формулируемая ниже теорема справедлива, если достаточно мало, а N достаточно велико. Теорема 3. Множество Му решений рассматриваемого частного случая задачи трех тел, когда моменты прямолинейных конфигураций их состояния принадлежат V, находится во взаимно однозначном соответствии со множеством всех символических последовательностей вида [c.101]

Построение асимптотики для больших А. Основная идея, лежаш ая в основе предлагаемого асимптотического подхода состоит в том, чтобы свести решение исходной задачи для области сложной геометрической конфигурации к решению последовательности задач в областях, имеющих более простые формы границ. Таким образом, поочередно рассматриваются две краевые задачи в областях С и О случай /г = °° и задача для ограниченного бассейна при отсутствии тела. При этом каждый раз ликвидируются невязки, возникающие на неподвижной границе 5з и смоченной поверхности тела 5]. После разложения полученных приближений в ряды по степеням и удержания необходимого количества членов, приходим к асимптотике для больших значений / . [c.115]

ТОГО, неясно, каков математический смысл этих рядов, я вляюгся ли они регулярным-и, или асимптотическими, или еще какими-либо (и вообще сходятся ли они к тем величинам, которые они аппроксимируют в первых своих членах). Когда исследуется несколько членов разложения — это не так важно, так как эти вопросы еще не возникают. Но мы хотим дойти до особенностей исследуемых величин. Предположим теперь, что, отбирая члены этого разложения по какому-либо принципу, нам удается отсуммировать бесконечную последовательность та иих членов. Частичные суммы могут содержать особенности, но при этом остается открытым вопрос, те лн это особенности, что н у исходной функции, и не изменит ли характер полученной таким образом особенности включение в рассмотрение неучтенных (тоже бесконечных) последовательностей отброшенных слагаемых. К уже упомянутым выше проблемам добавим еще, что величина радиуса сходимости исследуемого ряда или ряда отобранных его членов не сигнализирует о наступлении критического состояния или начале фазового пеое-хода, так как критическая точка может лежать и не на границе сходимости. [c.618]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...