Уравнение поверхности волны

Уравнение поверхности волны [c.56]

Таким образом, уравнение поверхности равных фаз представляет собой уравнение плоскости (что и объясняет название — плоская волна). Эта плоскость с течением времени перемещается параллельно самой себе, ее удаление от начала координат равно скорость движения определяется по формуле [c.106]

Уравнение поверхности переднего фронта отраженной волны нагрузки запишем в виде [c.328]

Прежде всего подчеркнем, что нелинейная теория волновых течений энергично развивается в последние годы благодаря широкому использованию численных методов [29, 30, 43]. При использовании аналитических методов решения обычно представляются в виде бесконечных рядов, доказательство сходимости которых требует большой вычислительной работы [36]. Важные тенденции в поведении волн конечной амплитуды могут быть выявлены с помощью различных приближенных методов. В частности, если в описании гравитационных волн ограничиться третьими степенями амплитуды, то уравнение поверхности жидкости бесконечной глубины имеет вид [c.142]

В практическом плане очень важны уединенные волны [36], или солитоны — отдельные возвышения поверхности жидкости, которые распространяются с постоянной скоростью по поверхности канала конечной глубины. Уравнение уединенной волны на поверхности жидкости в канале с глубиной имеет вид [36] [c.143]

Алгоритм численного решения задачи сводится к следующему. Задавая т+1 параметров г/ , / = 0, 1,. .., т, согласно (7.14), определяем приближенно уравнение ударной волны, а с помощью соотношения (7.13)—и все газодинамические параметры за ударной волной. Решая затем задачу Коши для основной системы (7.16)—(7.18), определяем значения параметров в узлах на поверхности тела, которые, вообще говоря, не удовлетворяют граничному условию непротекания. Подбирая с помощью итераций значения г,° таким образом, чтобы во всех узлах на поверхности тела было выполнено граничное условие непротекания, получаем с заданной точностью искомое решение аппроксимирующей системы в т-м приближении. [c.187]

С другой стороны, как показывает преобразование, представляемое уравнениями (6.2), (6.4), известное как преобразование Галилея, скорость света должна быть в рассматриваемых системах различной. Пусть, например, в начале системы xyz находится источник света, от которого распространяются сферические волны, движущиеся со скоростью с. Пусть, далее, г будет радиус-вектор некоторой точки на поверхности волны. Тогда скорость этой точки в системе координат xyz будет равна г = СП, где п — единичный вектор, направленный вдоль г. Но согласно (6.2) скорость волны в системе x y z равна г = = n — v. Следовательно, в системе, движущейся относительно источника света, скорость волны в общем случае не будет уже равна с. Кроме того, она будет зависеть от направления, т. е. волна уже не будет сферической. [c.209]

На основании (34) форма поверхности волны свободного колебания определяется уравнением [c.288]

Каждому из этих потенциалов скоростей соответствует уравнение стоячей волны на поверхности жидкости [c.86]

Если для анализа используются члены с более высокими степенями амплитуды, это приводит к уточнению уравнения поверхности и выражения для скорости волны. Гравитационные волны конечной амплитуды имеют несимметричные отклонения вверх и вниз относительно нулевого уровня возвышение имеет большую высоту, чем понижение, но меньшую ширину. В прикладном отношении важным является понятие уединенной волны [75] — отдельного возвышения поверхности жидкости, которое распространяется с постоянной скоростью по поверхности канала конечной глубины. В канале глубиной Hq уравнение уединенной волны имеет вид [c.88]

На ударной волне, уравнение поверхности которой обозначим через в (( ), должны выполняться соотношения — квадрат [c.253]

Перейдем к отысканию решения уравнения (1.18). Уравнение поверхности ударной волны в области О < (р < (р2 будем искать в виде [c.267]

Поверхности, все точки которых колеблются в одинаковых фазах, носят название поверхностей волны. При распространении световых колебаний от точечного источника в однородной среде поверхности волн представляют собой сферы с радиусами, играющими роль световых лучей, вдоль которых и распространяется свет. Если на волновой поверхности отметить некоторую точку в начальный момент времени, то через промежуток времени t вся волновая поверхность переместится на расстояние х, а вместе с нею и отмеченная точка. Этот процесс перемещения точки может быть представлен математически следующим элементарным уравнением [c.8]

К построению решений уравнений движения, описывающих поверхностную волну Рэлея, можно подходить различными путями. Можно, следуя работе [256], искать некоторые решения волновых уравнений (1.3), которые описывают бегущую вдоль свободной поверхности волну с убывающей вглубь амплитудой. Такой подход описывается, например, в работах [68, 104]. [c.54]

Рассмотрим покоящийся газ с щ = U2 = О и р = 1, по которому идет ударная волна. Уравнение поверхности фронта ударной волны будем брать в виде [c.50]

В работе [1] класс пространственных потенциальных двойных волн [2, 3, 5] был использован для построения течений за нестационарными пространственными ударными волнами постоянной интенсивности. Были поставлены и исследованы некоторые краевые задачи для уравнений двойных волн, в частности задача для стационарного течения типа двойной волны, соответствующего обтеканию сверхзвуковым потоком некоторых пространственных тел, являющихся линейчатыми поверхностями. Система уравнений и начальных данных для этого случая имеет вид [1 [c.134]

Далее в работах [4 - 8] была рассмотрена общая (без предположения о вырожденности движения) задача о примыкании произвольных потенциальных течений политропного газа через слабый разрыв к области покоя. Решение задачи было представлено в виде специальных рядов в пространстве временного годографа по степеням модуля вектора скорости г. Значение г = О соответствовало поверхности слабого разрыва, разделяющей область возмущенного движения и область покоя. В этих же работах исследовались некоторые приложения построенных решений, в частности, к задаче о движении выпуклого поршня и к задаче о распространении слабых криволинейных ударных волн. Сходимость в малом полученных рядов была доказана в [9]. Однако попытка построить ряды по степеням г, использованным в [4-8] для представления решений уравнений двойных волн в окрестности области покоя, к успеху не привела. [c.338]

О (г")), оказалось, что коэффициент при из уравнений двойных волн уже не определяется — уравнение для него оказывается неразрешимым. Факт этот связан с тем, что для уравнений двойных волн поверхность г = О является линией параболического вырождения и одновременно — характеристикой. [c.338]

Предположим, что Ох, Оу и Oz—главные оси эллипсоида Френеля ( 1—11) в кристалле, не подверженном напряжению, т. е. главные оси поверхности волны. Назовем их основными осями. Тогда, если а, Ь v. с —главные скорости волн в кристалле, не подверженном напряжению, уравнение первоначального эллипсоида Френеля будет [c.248]

Для записи уравнения фронта волны в форме, не зависимой от системы координат, используют векторные уравнения поверхностей. В частности, для плоской волны--уравнение плоскости в векторной форме. Пусть конец радиуса вектора г соответствует произвольной точке плоского фронта волны, распространяющейся вдоль оси ОХ (рис. VI.2.1). Обозначим п единичную нормаль плоского фронта в направлении распространения. Тогда расстояние х от начала О до фронта волны в момент времени t определится проекцией вектора г на направление нормали п, т. е. скалярным произведением векторов г и п. Следовательно, уравнение фазовой плоскости примет вид (гп) = = t — to)y а фаза волны получит выражение, не зависимое от системы координат [c.163]

Ясно, что при наличии сферы уравнение плоской волны не может удовлетворять граничным условиям на поверхности сферы, а поэтому надо допустить, что с внесением сферической неоднородности обязательно появится вторичная волна, удовлетворяющая волновому уравнению. Причем полное поле, образованное из плоской и дополнительной волн, должно полностью отвечать граничным условиям. [c.298]

Волновое уравнение для звукового поля, создаваемого сферой, совершающей пульсационные колебания, одинаковые по всей поверхности, можно получить из волнового уравнения, записанного в сферических координатах, предположив, что производные по полярному и азимутальному углам равны нулю, т. е. полную симметрию относительно центра. Однако представляет интерес вывести для этого случая уравнение распространения волн независимо, поскольку при этом выводе выявляются существенные особенности звукового поля. [c.57]

Если рассмотреть точки среды, которые совпадают с поверхностью волны, находящейся в положении А В, то в начальный момент времени (когда волна была в положении АВ) они располагались на некоторой поверхности D (рис. 2), положение которой определит скорость распространения волны в среде 77 по уравнению [c.327]

Вывод кинематического условия на свободной поверхности. Пусть уравнение свободной поверхности волны (поверхность 5) задано в форме [c.619]

Функцию V Гамильтон назвал характеристической. Прин цип Гюйгенса заключается в том, что каждая точка, до которой доходит световое возбуждение, является, в свою очередь, центром вторичных волн. Поверхность, огибающая эти вторичные волны, указывает положение фронта действительно распространяющейся волны. Поэтому, если 2 является фронтом световой волны в момент t, то огибающая Zi вторичных волн, центрами которых являются точки, расположенные на S, представляет собой фронт волны в момент ti (рис. 257). В изотропной среде световой луч распространяется по нормали к волновому фронту. Обозначая через (а, , у) направляющие косинусы нормали п к поверхности волнового фронта 2 в точке Р, а через (аь i, yi) —направляющие косинусы нормали П] в точке Pi волнового фронта 2 , запишем уравнение поверхности 2 в виде [c.514]

Если очень большое число источников волн, расположенных на одной прямой близко один от другого, создает волны одинаковой амплитуды и фазы, то во всех плоскостях, перпендикулярных к этой прямой, будут распространяться круговые волны также одинаковой амплитуды и фазы. Поверхностями равной фазы будут служить бесконечные коаксиальные цилиндры, на осях которых лежат источники волны. Такая волна называется цилиндрической. Уравнение цилиндрической волны имеет такой же вид, как и уравнение круговой волны (19.21), и справедливо для любой плос-K0 1W, пер.[1енднкуляр41ой к прямой, на которой лежат источники волн. [c.706]

Это соотношение обычно и называют уравнением плоской волны. Так как для плоских волн любая плоскость, перпендикулярная направлению оси абсцисс, представляет собой поверхность одинаковых фаз, т. е. во.дновую поверхность, то все ее точки имеют в один и тот же момент t одинаковые смещения . [c.206]

Совпадение точки К с точкой В означает, что отражение волны нагрузки произошло на всей внешней поверхности конуса. Это происходит в момент (/ 2 — / х)о/йо- Отрал1енная волна нагрузки отрывается от внешней поверхности и в дальнейшем распространяется внутри объема конуса (рис. 98, в). Уравнение поверхности переднего фронта отраженной волны имеет вид [c.328]

Отражение плоской ударной волны от гладкого тела произвольной формы. При падении плоской ударной волны на гладкое выпуклое тело угол падения непрерывно возрастает. Поместим начало координат в точку касания падающей ударной волны с поверхностью тела. Ось направим в сторону, противоположную направлению потока за падающей волной. Уравнение поверхности тела зададим в виде Хо =—Хо )-В качестве внутренних координат точек фронта отраясенной волны удобно взять координаты их проекций на плоскость х х . Время отсчитывается от момента встречи ударной волны с поверхностью тела. Координаты отраженной ударной волны равны [c.78]

Характеристическое уравнение для имеет еще одну пару корней [18]. Если коэффициент Пуассона материала больше 0,26, то один из этих корней комплексный с положительными действительной и мнимой частями + /к". В результате уравнение плоской волны запишется в виде Таким образом,. действительная часть kg характеризует фазовую скорость, а мнимая — затухание волны вдоль поверхности. Фазовая Kopo ib близка к скорости продольной волны, но несколько отличается от нее, например для железа фазовая скорость равна 1,035с , т. е, больше скорости продольной волны. Мнимая часть корня k" для железа равна 0,09ki, в результате амплитуда волны ослабляется в е раз на расстоянии 1,75Х. Ослабление связано с тем, что в каждой точке [c.12]

Если в анализе Офаничиться третьими степенями амплитуды гравитационной волны а, то уравнение поверхности жидкости бесконечной глубины имеет вид [c.87]

Хотя при выводе соотношения (1.6) ДОЭ предполагались плоскими, это свойство, как легко убедиться, нигде не использовалось. Поэтому все полученные соотношения и все сделанные выводы справедливы и для ДОЭ, расположенных на поверхностях произвольной формы. При этом функции Т)), Фо( , Т)), ФтСЕ.т)) задаются на криволинейной поверхности элемента, т. е. они в неявном виде включают в себя уравнение поверхности z = z l,y]), которое предполагается однозначным. Отметим, что для того, чтобы дифракционный элемент на криволинейной поверхности сформировал волну, эйконал которой был бы равен эйконалу записи, требуется, чтобы фронт падающей волны совпал с поверхностью элемента только в этом случае в соотношении (1.7) можно положить Ф = 0. [c.14]

Стокс первый указал, что волны на поверхности тяжелой несжимаемой жидкости в случае установивгаегося движения могут иметь предельную форму, когда гребень волны дает угловую точку с касательными, пересекаюгцимися под углом 120°. Частный вид таких волн был найден Митчелом. А.И. Некрасов в первой из перечисленных выгае работ показывает, как можно разыскать их обгций вид. Пользуясь методом теории функций комплексного переменного, он приходит к доказательству теоремы Стокса (что угол при гребне равен 120°) и далее выводит в виде бесконечных рядов уравнения профиля волны вблизи гребня и формулы для вычисления скорости волны и высоты. [c.139]

В высп1ей степени суш,ественные результаты удалось получить Н.Е. Кочину в работе Определение точного вида волн конечной амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины , доложенной Всероссийскому съезду математиков в Москве в 1927 г. (см. Труды съезда ). Здесь речь идет о движении двух тяжелых несжимаемых жидкостей различной плотности, наложенных одна на другую, причем сверху и снизу эти жидкости ограничены горизонтальными плоскостями. Рассматривается безвихревое движение, в котором линия раздела жидкостей обладает некоторым периодом в горизонтальном направлении и перемегцается без изменения формы с постоянной горизонтальной скоростью. Н.Е. Кочин вводит комплексное переменное и сводит вопрос к нахождению двух функций, голоморфных в некоторых областях и удовлетворяюгцих определенным условиям. Действительные и мнимые части этих двух функций определяются в форме бесконечных рядов, сходимость которых доказывается методом мажорантных функций. Уравнения профиля волны автор дает также в виде бесконечного ряда. Регаение для бесконечных глубин обеих жидкостей получается как частный случай. [c.140]

Замечание. В случае примыкания автомодельной тройной волны к плоской автомодельной двойной волне с Ф = onst уравнение характеристической поверхности для уравнения тройных волн просто совпадает с уравнением двойных волн. [c.143]

Лучевой вариант теории трехмерной голограммы также основан на уравнении изофазного слоя (4), используя которое нетрудно определить соотношение, связывающее нормаль п к поверхности этого слоя и лучевые векторы волн, падающих на слой и отраженных им. В соответствии с законами аналитической геометрии единичный вектор нормали к поверхности, заданной уравнением (4), определяется градиентом левой части этого уравнения, нормированным к единице. Если при этом учесть, что эйконалы L (r) и Lo r), приравненные константам, также являются уравнениями поверхностей волновых фронтов, а их градиенты определяют нормали к этим фронтам, т. е. лучевые векторы Ig и 1о, то можно записать [c.696]

Мы предлагаем здесь простой анализ, позволяющий разъяснить действие волнующейся тяжелой лсидкости на тела, плавающие на ее поверхности, для случая, когда жидкость заключена в резервуаре с горизонтальным дном весьма незначительно глубины Л сравнительно с горизонтальными размерами резервуара и напряжением тяжести д (единица времени 1"). Припомним уравнения волнообразного движения тяжелой жидкости малой глубины. Пусть плоскость координат OxгJ падает со свободной поверхностью покоящейся жидкости, а ось Ог направлена по вертикали вниз. Представим уравнение свободной поверхности волнующейся жидкости в виде [c.726]

Первые исследования, связанные с приближенной теорией длинных волн на поверхности тяжелой жидкости, принадлежат Лагранжу и относятся к 1781 г. имя Лагранжа носит основное дифференциальное уравнение распространения волн и первая формула скорости их распространения. Классическим мемуаром, содержащим строгую гсорию волн малой амплитуды, является появившийся в ]815 г. мемуар Коши. Среди лиц, способствовавших развитию теории волн малой амплитуды, мы находим имена Лапласа, Пуассона, Эри, Стокса. Рэнкина и др. Теорию волнового сопротивления дал Митчелл и, независимо от него. нескол1>ко позднее — Н. Гг. Жуковский. [c.26]

Аргумент косинуса в (1.22) называется фазой волны. Уравнение поверхности пo foяннoй фазы (или волновой поверхности) [c.16]

Для изучения движения таких волн деформации МДНРО вводятся подвижная 0 x y z и неподвижная Oxyz системы координат. Поверхность волны задается уравнением в подвижных координатах [c.214]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...