Уравнение стоячей волны

Таким образом, уравнение (58.1) описывает неподвижные в пространстве синусоидальные колебания частиц среды с различными, но постоянными для каждой точки амплитудами. В этом уравнении полностью утрачена характерная особенность волны — конечная скорость распространения фазы, поэтому его п называют уравнением стоячих, волн. [c.220]

Каждому из этих потенциалов скоростей соответствует уравнение стоячей волны на поверхности жидкости [c.86]

Уравнение стоячей волны имеет вид [c.247]

Это и есть уравнение стоячей волны. Оно показывает, что в результате наложения прямой и обратной волн точки среды колеблются так, что все они одновременно проходят положение равновесия (sin со = 0) и все они одновременно достигают своих наибольших отклонений (sin = dr 1). [c.376]

Согласно уравнению (VI 1.22) в плоскостях, координаты которых удовлетворяют условию кх = пл, где п = О, 1, 2,. .., т. е. при х — = п Л/2 (А — длина бегущей воль ы), давление колеблется с максимальной амплитудой. им координатам соответствуют пучности давления. Расстояние между соседними пучностями Дх = Л/2 — = Л принято называть длиной стоячей волны Координатам х = = (/г + 1/2) А/2 соответствуют узловые плоскости, в которых давление равно нулю. Как видно из уравнения стоячей волны (VII.22) давление во всех точках между узловыми плоскостями изменяется в одинаковой фазе. Колебания в соседних стоячих волнах происходят в противофазе. В случае неполного отражения, т. е. при р так <. Ртах, на стоячую волну накладывается бегущая, вследствие [c.148]

Это и есть уравнение стоячей волны. Ниже мы покажем, что групповая скорость равна нулю. Для этой волны соседние ато- [c.186]

Покажем, как использовать эти величины для записи уравнений стоячих волн [c.66]

Это выражение является уравнением стоячей волны. Основные ее характеристики могут быть сведены к следующим [c.74]

Важно отметить, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. В стоячей волне нет переноса энергии, т. к. она является суперпозицией двух бегущих волн, переносящих одинаковое количество энергии в противоположных направлениях. Однако, локальное движение энергии в ограниченном пространстве между соседними узлами все же происходит. В самом деле, запишем уравнение стоячей волны (4.34), опустив в нем постоянные фазовые добавки /2 и М [c.82]

Интерференция волн. В предыдущей лекции мы получили уравнение стоячей волны (4.34), описывающее колебания шнура (или иной среды), по которому навстречу друг другу распространяются две гармонические волны одинаковой частоты ю и амплитуды. В результате наложения волн происходит перераспределение в пространстве объемной плотности энергии колебаний. В узлах, где волны встречаются в противофазе, эта энергия равна нулю. В пучностях, напротив, волны складываются в фазе, и энергия максимальна. Явление наложения волн, приводящее к перераспределению в пространстве объемной плотности энергии колебаний, носит название интерференции. [c.115]

Это — уравнение стоячей волны. [c.159]

Нормальные моды колебаний. —Пока мы отвлекались от граничных условий, можно было забыть, чго частота v может принимать любое значение. Если потребовать, чтобы было = О при ж = 0, то решение в общей форме (9.4) уже не годится любое гармоническое колебание уже не будет удовлетворять решению. Выражением для у, которым ну кно теперь пользоваться, будет уравнение стоячей волны вида (9.5) с углом Q, выбранным так, чтобы узловая точка совпадала с точкой опоры ж = 0, а именно [c.103]

Подставляя это выражение во вторую формулу, находим уравнение стоячей волны, получаемое в линейной теории [c.668]

Уравнение стоячей волны в произвольный момент времени определится формулами (6), (22), (27), (37), (38) 9, в которых координата Лагранжа Ь должна быть взята равной нулю. Формулы х = = а + I а, О, го), у = г] а. О, го) представят уравнение волны в зависимости от переменного параметра а. [c.683]

Каждому значению п соответствует своя величина час ты и свое уравнение стоячей волны, причем п — число пол] волн при п = 1 балка изгибается по одной полуволне, пр /г = 2 — по двум полуволнам и т. д. Каждой такой форме лебаний соответствует своя амплитуда А . [c.112]

Можно попытаться решить уравнение (2-11) для стационарного состояния (т. е. тех энергетических состояний, которые не являются функцией времени и соответствуют стоячим волнам), используя решение в форме [c.76]

При выводе уравнения (7.1) для или Пo(v) было сделано несколько важных допущений, главное из которых состояло в том, что длины стоячих волн должны быть пренебрежимо малы по сравнению с размерами полости. Второе допущение состояло в том, что на стенках полости не происходит никаких потерь, т. е. что стенки являются полностью отражающими. И последнее допущение — что полость является прямоугольным параллелепипедом. [c.315]

Получили стоячую волну. Условие qn+ — 0 приводит к уравнению [c.582]

Электрон движется в поле стояче волны с вектором напряженности электрического поля Е(г, =Ео os/гг os oj/. Найти уравнение движения, описывающее плавную составляющую траектории. [c.185]

Стоячая волна сопровождается образованием стоячих волн скоростей частиц среды и относительной деформации. Продифференцировав уравнение (58.1) по t, определим закон, описывающий стоячую волну скоростей [c.222]

Продифференцировав уравнение (58.1) по х, найдем уравнение, описывающее стоячие волны относительной деформации [c.222]

Из уравнений (58.7) и (58.8) следует, что узлы и пучности стоячей волны скоростей совпадают с узлами и пучностями в волне смещений. Наибольшего значения относительная деформация достигает в узлах смещений и обращается в нуль в пучностях. Таким образом, узлы стоячей волны относительной деформации совпадают с пучностями смещений и скоростей, а пучности относительной деформации — с узлами в волнах смещений и скоростей. [c.222]

Легко убедиться в том, что уравнению Шредингера (3.20) и граничным условиям (3.21) отвечает набор функций типа стоячих волн [c.46]

Прогрессивная волна может распространяться как слева направо (соотношение (3.1а)), так и справа налево. В физическом отношении эти случаи совершенно эквивалентны (ибо процесс не должен зависеть от того, в какую сторону мы условимся считать направление оси X положительным). Для прогрессивной волны, бегущей справа налево, уравнение имеет вид h = asm (kx + со/). Теперь очевидно, что стоячую волну можно получить просто как суперпозицию (наложение) двух встречных прогрессивных волн. Поэтому далее будем рассматривать лишь прогрессивные волны. [c.128]

Стоячие волны определенной длины образуют моды свободных колебаний ограниченного упругого тела. Если мы рассмотрим, например, полубесконечную среду и потребуем, чтобы перемещения точек границы х = О были равны нулю, то возможные гармонические движения среды не будут произвольными. Для описания движения среды используем уравнение (45), в котором углы y+ и y- выберем так, чтобы одна из узловых точек совпадала с границей д = О, т. е. [c.391]

Оно представляет стоячие волны. При таком движении на некоторых сферических поверхностях сгущение всегда равно нулю радиусы их определяются из уравнения [c.277]

Возникновение вихревых течений в колеблющихся потоках формально учтено нелинейными конвективными членами в уравнениях Навье-Стокса, значение которых может быть вычислено посредством определения функции F (х, у) в уравнении (197). Как следует из выражения (198), возникновение вихревых течений в значительной степени зависит от градиента скорости внешнего потока. Градиент скорости внешнего потока может быть обусловлен стоячей волной, например резонансными колебаниями или обтеканием криволинейных поверхностей шара, цилиндра и т. д. Влияние градиента скорости на структуру колеблющегося пограничного слоя определим методом последовательных приближений. В этом случае для анализа удобно внести функции тока для пульсационных составляющих [c.102]

Рассмотрим течение в плоском канале между двумя параллельными плоскостями шириной 2го, вызываемое стоячей волной (фронт волны перпендикулярен к плоскости). Распределение скоростей в первом приближении определяется согласно выражениям (250) и (251) для гармонической стоячей волны уравнением [c.107]

Это объясняется особенностью стоячих волн. Поскольку амплитуда колебания скорости изменяется пр длине стоячей волны от нуля в узлах до максимума в пучностях, то теплоотдача в пучностях скорости стоячей волны будет максимальной, а в узлах — минимальной. Если не вдаваться детально в механизм передачи тепла в высокочастотных колеблющихся потоках, то критериальное уравнение для относительного коэффициента теплоотдачи можно представить в виде [c.227]

Следует отметить, что это уравнение ограничено областью исследованных параметров сравнительно малыми амплитудами колебания скорости, числами Мо, уровнем давления и формой акустического сигнала. При колебаниях сложной формы стоячая волна искажается, и уменьшение теплоотдачи может не наблюдаться. [c.233]

Как следует из уравнения (529), максимум теплоотдачи вследствие ослабления энергии колебаний смещается в сторону входного сечения канала (рис. 125). Из графика рис. 125 видно, что максимумы теплоотдачи смещены относительно пучности скорости идеальной стоячей волны (ф = 0). Распределение относительной теплоотдачи К между узлом и скоростью стоячей волны качественно подобно распределению функций Ф (т) с/т ), т. е. [c.239]

Следовательно, главные колебания диска, определяемые уравнением (22) и представляющие собой стоячую волну с неподвижными в пространстве узлами, формально можно рассматривать как наложение двух одинаковых синусоидальных цепей волн (23), бегущих по диску в противоположные стороны с угловыми скоростями Каждая из бегущих волн имеет амплитуду, равную [c.10]

В стоячей волне энергия электромагнитного поля периодически переходит из электрической формы в магнитную. В момент времени t — Q, когда она имеет электрическую форму, мы можем написать такое уравнение [c.18]

Выведенные выше формулы для амплитуды сигнала фотонного эха описывают амплитуду свечения образца, проинтегрированную по всем направлениям распространения света. Пока мы не затрагивали вопрос об анизотропии свечения эхо-сигнала. Воспользуемся формулой (15.97), которая описывает поляризацию, наведенную в образце светом трех лазерных импульсов. При ее выводе мы использовали оптические уравнения Блоха, электрическое поле в которых бралось в точке г = 0. Поле стоячей волны описывается формулами (1.33) 1.35) причем при выводе сначала уравнений для амплитуд вероятности, а потом и уравнений Блоха мы полагали, что рассматриваемая молекула находится в пучности электрического поля, т. е. os фк = os кг = 1. Поскольку размер образца обычно заметно превышает длину световой волны, очевидно, что будет существовать огромное число примесных молекул, не попавших в пучность стоячего электрического поля. Их взаимодействие с электрическим полем будет слабее. Чтобы учесть это обстоятельство, мы должны принять во внимание косинусоидальный характер распределения электрического поля по образцу. Это легко сделать во всех выведенных ранее формулах с помощью замен [c.223]

В работах [5, 14] с помощью описанного выше подхода установлено, что поступательное движение пузырьков в плоской стоячей волне в нерезонансном случае приближенно может быть описано следующими уравнениями (в предположении, что гравитационными силами можно пренебречь по сравнению с вибрационными) [c.112]

Уравнению Лапласа (1.180) и условиям (1.189) для жидкости в бесконечно глубоком канале удовлетворяет стоячая волна с потенциалами ф = [c.87]

Уравнение (8.13.19) имеет множество частных решений вида y x,t) = X(x)sin( o/ +v), т.е. колебаний типа стоячей волны с частотой ш. Для функции Х х) формы колебаний согласно (8.13.19) [c.100]

Со времени зарождения квантовой теории излучения черного тела вопрос о том, насколько хорощо уравнения Планка и Стефана — Больцмана описывают плотность энергии внутри реальных, конечных полостей, имеющих полуотражающие стенки, был предметом неоднократных обсуждений. Больщин-ство из них имели место в первые два десятилетия нащего века, однако вопрос закрыт полностью не был, и в последние годы интерес к этой и некоторым другим родственным проблемам возродился. Среди причин возрождения интереса к этому старейшему предмету современной физики можно назвать развитие квантовой оптики, теории частичной когерентности и ее применение к изучению статистических свойств излучения недостаточное понимание процессов теплообмена излучением между близкорасположенными телами при низких температурах и проблему эталонов далекого инфракрасного излучения, для которого длина волны не может считаться малой, а также ряд теоретических проблем, относящихся к статистической механике конечных систем. Хорошим введением к современному обзору в этой области являются работы [2, 3, 5]. Еще в 1911 г. Вейль показал, что требованием о том, чтобы полость являлась прямоугольным параллелепипедом, можно пренебречь при условии, что (У /с)- оо. Он показал также, что в пределе больших объемов или высоких температур число Джинса справедливо для полости любой формы. Позднее на основании результатов работы Вейля были получены асимптотические приближения, где Do(v) являлся просто первым членом ряда, полная сумма которого 0 ) представляла собой среднюю плотность мод. Современные вычисления величины 0 ) [2, 4] с использованием численных методов суммирования первых 10 стоячих волн в полостях простой формы показали, что прежние асим- [c.315]

V / Сг, согласно формуле (46.27) в предельном случае А=0 при различных значениях параметра а (т.е. в атучае отсутствия стоячих волн). Если динамическая трещиностойкость. G , известна, то действительная скорость распространения 1решины может быть определена из уравнения (46.21), после чего угол между вектором скорости и осью трубопровода определяется по [c.346]

В заключение отметим, что, если при выводе уравнения движения учитывать не короткодействующие, а дальнодействующие силы, то окончательный результат, в общих чертах, останется без изменений. При этом, хотя зависимость со = (х)(/г) будет иметь более сложный вид, но число нормальных колебанпй типа (5.21) по-прежнему останется равным N, т. е. числу допустимых значений волновых чисел k в интервале (5.34). При малых k зависимость f) = o(fe) остается линейной, а при k = nla групповая скорость обращается в нуль и решение в этом случае также описывается стоячими волнами типа (5.30). [c.151]

Полученное выражение для вибрационной силы практически совпадает с выражением для средней силы, действующей на частицу в плоской стоячей волне, полученным в статье (L. King, 1934) на основе решения уравнений гидродинамики идеальной сжимаемой жидкости. [c.369]

Движение пузырьков в стоячей иолпе. В стоячей волне типа (4.6.17), (4.6.19) в несущей жпдк(1стн )тн уравнения аналогично (4.6.23) после усреднения приводятся к вид , 1 оторый выявляет вибрацпонпую силу [c.161]

Если считать, что глубина стоячей волны в направлении потока является бесконечно малой величиной, то площадь поперечного сечения струи, протекающей через волну, можно принять неизменной. Поскольку это ограничение и энергетические требования учитываются уравнением линии Фанно, состояние жидкости (газа) по обеим сторонам волны должно лежать на одной и той >йе линии Фанно. [c.183]

Согласно главам 3 и 4 определение частот собственных колебаний и критических сил упругой системы выполняется после формрфования матрицы А. В отличии от других методов (см. [47, 262]) здесь предполагается, что граничные статические и кинематические параметры пластршы будут отличны от нуля (при бифуркации или при стоячих волнах), если отличны от нуля обобщенные статические и кинематические параметры одномерной модели. Тогда трансцендентное уравнение собственных значений пластинчатой системы примет вид [c.435]

Отметим в заключение, что существует широкий круг задач, в которых задаются не смещения стенки, а приложенные к ней силы или же степень ее активности. Тогда к уравнениям (3.1) и (3.2) добавляется еще реологическое уравнение для стенки. Форма перистальтических волн, вырабатывающихся в таких системах, зависит от условий на концах трубки, что служит источником новых интересных эффектов. В частности, как следует из результатов работ [3, 9], несим-метрия условий на концах может обеспечить направленный средний поток даже тогда, когда внешнее воздействие на трубку имеет характер стоячей волны. [c.651]

Обратимся теперь к продольному фазовому множителю в выражении (4.95). Вначале сделаем замечание относительно того, что, как и в интеграл Френеля — Кирхгофа (4.73), в выражение (4.95) не входит временная зависимость электромагнитного поля. Интеграл Френеля — Кирхгофа можно рассматривать как интегральное представление дифференциального уравнения Гельмгольца [см. (2.5а)]. Следовательно, как и в последнем случае, зависящая от времени и пространственных координат напряженность поля получается простым умножением части выражения (4.95), которая зависит от пространственных координат, на зависящий от времени множитель ехр [ (t2nv0]. в котором величина v дается выражением (4.94). Выбор знака + или — в экспоненте отвечает, как это следует из (4.95), волне, распространяющейся соответственно в положительном или отрицательном направлении оси z. Поэтому стоячую волну внутри резонатора можно рассматривать как суперпозицию двух этих волн. Таким образом очевидно, что входящая в (4.95) функция т з (г) = kz — (1 + т + I) ф г) = Аг — (1 + от + /) ar tg (2z/L) описывает изменение фазы волнового фронта в зависимости от координаты Z. Следовательно, с помощью этой величины можно найти, например, набег фазы, который приобретает волна при ее распространении в положительном направлении оси z от левого до правого зеркала на рис. 4.31. Заметим, что этот набег фазы не равен точно набегу фазы плоской волны, который равен kz. Данное обстоятельство приводит к двум взаимо.связан- [c.204]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...