Примеры параболических уравнений

Примеры "параболических" уравнений [c.52]

На примере параболического торса проиллюстрируем применение формул (1.52), (1.16) и (1.18). Сравнивая уравнения (1.101) [c.43]

Так как каждое из этих уравнений предполагает определение в трех реперных точках, то можно думать, что применение любого из них может служить вполне достаточным критерием. Ниже мы приводим четыре примера вычисления свободных членов этих уравнений на основании параболических уравнений для термопар различного происхождения (см. табл. 1). [c.70]

Пример 2. Рассмотрим с помощью параболического уравнения (8.16) распространение гауссова импульса с линейной девиацией мгновенной частоты (с квадратичной модуляцией фазы) [c.94]

НОЙ катастрофе. Классическим историческим примером здесь является явная схема Ричардсона для параболического уравнения теплопроводности, в которой использовались конечно-разностные аппроксимации производных центральными разностями как по пространственным переменным, так и по времени. О Брайен с соавторами [1950] показал, что эта схема безусловно неустойчива ). [c.18]

Многие задачи тепло- и массообмена сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Примером таких задач являются рассмотренные в данном пособии задачи о течении Куэтта (в том числе многокомпонентной среды), о расчете пограничного слоя в автомодельном случае и др. При построении численного алгоритма решения уравнений в частных производных параболического типа (алгоритм рассмотрен ниже) задача также по существу сводится к последовательному решению на каждом шаге вдоль обтекаемой поверхности обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки. [c.96]

Рассмотрим метод сеток для решения уравнения параболического типа на примере уравнения теплопроводности в одномерном случае [c.245]

В (3.1.6) функция /(z) выбирается априори и в ее выборе имеется определенный произвол. В [9 ] (на примере однослойных пластин и при использовании неклассических уравнений теории пластин, отличных от уравнений, устанавливаемых в настоящей монографии) показано, что разумный выбор таких функций, определяющих закон распределения поперечных сдвиговых деформаций и напряжений, не вносит в расчет недопустимых погрешностей. Аргументы в пользу этого заключения будут приведены также и в главах 5 и 6 настоящей монографии. Обширные числовые данные, могущие служить основой для корректного выбора функции /(z), приведены в [111, 351 ]. Отметим также работы [148, 177, 179]. В первой из них предпринята попытка исследования влияния выбора функционального параметра /(z) на характеристики напряженно-деформированного состояния слоистых композитных оболочек вращения асимптотическими методами. Во второй исследуются пределы применимости параболического закона распределения поперечных касательных напряжений по толщине пакета и, наконец, в третьей предлагается функцию/(z) (точнее, связанные с ней параметры(а = 1,2 к = 1,2,. .., т)) не задавать априори, а определять из условий минимума средних по й величин невязок для уравнений равновесия слоев в напряжениях. [c.40]

Для того, чтобы решить это уравнение, требуется знать свойства функций 5(р,р ) и р. Мы предположим, что энергия электрона р зависит только от р = р . Примером служит параболическая зона с законом дисперсии р = /2т. Кроме того, будем считать, что потенциал примеси и г) является сферически симметричным. Тогда функцию 5(р,р ) в уравнении (4Б.12) можно представить в виде [c.331]

Пример 57. Найти центр тяжести параболического сегмента АОВ, если высота этого сегмента равна h, а уравнение параболы имеет вид [c.220]

Далее дадим алгоритм построения решения интегрального уравнения (2.5) или (2.9) в случае больших с на примере задачи о вдавливании в упругую полуплоскость, покрытую винклеровским слоем, параболического штампа gix) — Ь — ж7(2Д). Вво- [c.349]

Пример 49. Рассмотреть построение эпюр О и М для шарнирно-опёртой балки на двух опорах (фиг. 167), загружённой сплошной нагрузкой, интенсивность кото- рой изменяется по параболическому за- кону, выражаемому уравнением [c.243]

Многие течения могут изменять свою макроструктуру при изменении некоторого параметра процесса, переходя из категории сплошной среды в категорию разрывной среды и обратно. Примером таких течений является вращающаяся жидкость, которая при изменении некоторых параметров может принять форму воронки или опять стать сплощным потоком с параболической формой свободной поверхности. Такое же свойство характерно и при возникновении/исчезновении скачка уплотнения. Наличие такого физического свойства указывает на то, что корректное математическое описание течений должно обеспечивать учет данного явления с помощью соответствующих уравнений и условий. На рис. 1.6 приведены варианты потоков различной макроструктуры и примеры некоторых частных физических процессов. [c.37]

Точное решение уравнения (3.8) возможно лишь для некоторых законов изменения к (г), например для линейного, параболического, экспоненциального и т. д. Однако если свойства среды меняются достаточно плавно, то точное решение уравнения достаточно исследовать в области к (z) 0. В этой области к (z) можно разложить в ряд по степеням z и ограничиться линейным членом в разложении, т. е. аппроксимировать закон изменения (г) — линейным. Если отражение происходит от области, где к z) имеет минимум, то разложение по z будет содержать квадратичный член. Ограничимся случаем линейного закона изменения к (z) и рассмотрим в качестве примера отражение волны от неоднородной среды, диэлектрическая проницаемость которой [c.237]

Это линейное дифференциальное уравнение параболического типа, дополненное условием нормировки, начальными и граничными условиями, полностью определяет решение для искомой функции p(i, г). Это решение определяет эволюцию системы на временах < > 1/Г, которая имеет релаксационный характер (к распределению Больцмана) с некоторым временем релаксации т ояп, зависящим уже не только от индивидуальных свойств среды и брауновских частиц, но и от формы сосуда, типа его фаниц, начального распределения и т.д. Некоторые простейшие примеры, допускающие точное решение этой задачи математической физики, отнесены в раздел задач. Рассмотрим здесь только одну — ту, которая соответствует случаю свободного одномерного брауновского движения, и убедимся на этом примере, что схема уравнение Фоккера—Планка плюс соответствующие дополнительные условия дает все требуемые для t > 1/Г результаты. [c.96]

Это параболическое дифференциальное уравнение описывает процесс передачи тепла в стержне и = и х,1)—температура в точке X в момент времени / > 0 х,()—член источника тепла. Как и в предыдущих наших примерах, мы налагаем крае- [c.279]

В зависимости от типа дифференциального уравнения в частных производных для корректной постановки задачи требуются те или иные граничные и начальные условия. Если исходное уравнение при нулевом значении малого параметра меняет свой тип, становясь, скажем, из эллиптического параболическим или гиперболическим, то могут возникнуть трудности. Этот класс задач можно рассматривать как подкласс задач, которые обсуждались в п. 2.2.1—2.2.4. Ниже мы опишем два примера, а также трудности, которые возникают при разложении в одном из них. [c.48]

С ростом температуры металла срорость окисления возрастает и не может более описываться простым параболическим уравнением. Приведем несколько примеров, иллюстрирующих некоторые более быстрые зависимости роста. [c.26]

Анализ самовоздействия частично когерентного пучка с установлением границ применимости различных физических приближений становится возможным при решении параболического уравнения для начальных случайных реализаций волнового поля с заданными статистическими свойствами и последующем усреднении решений по ансамблю их реализаций, т. е. методом статистических испытаний. Такие исследования осуществлены в ряде работ [2, 3, 9]. В [3] проведено решение задачи самовоздействия пространственно-некогерентных двумерных световых пучков с произвольной шириной частотного спектра на примере среды с локальной кубичной флуктуирующей нелинейностью Керровского типа с учетом инерционности последней. [c.56]

Обсудим теперь одно возможное и в некоторых случаях существенное обобщение астигматичного эрмит-гауссова нучка (1.88). В 1.12 показывается, что пучок (1.88) удовлетворяет параболическому уравнению и, следовательно, приближенно — волновому уравнению, при этом нетрудно видеть, и там это подчеркнуто, что все выкладки в доказательстве остаются справедливыми и в том случае, когда параметры 2 1,2 и bi 2 являются комплексными. При комплексных значениях параметров х 2 и 61,2 существеппо изменяется распределение полей высших мод. Для примера отметим, что масштабные множители wi 2 [c.59]

Гауссов пучок как решение параболического уравнеиня. Выражение (2.7.21) описывает поле основной моды. Имея в виду последующее обобщение результатов на моды высоких порядков, покажем на примере основной моды, что гауссов пучок является решением параболического уравнения. [c.169]

В гл. Змы привели пример нелинейного уравнения А(и)=1, которое может быть решено методом Галеркина. В то же время нужно помнить, что преимущества метода Галеркина не могут быть полностью реализованы, если невозможно применить интегрирование по частям для упрощения скалярных произведений. Это верно и в том случае, когда мы применяем полудискретный метод Галеркина для решения нелинейного параболического уравнения [c.168]

Построение аналитических и даже числовых решений полной системы уравнений газовой динамики связано со значительными трудностями не только из-за сложности физико-химических процессов, но и потому, что в общем случае течение содержит дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат. При этом приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие качественные закономерности. В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые аналитические решения, позволяющие выявить ряд важных закономерностей движения газа и являющиеся необходимыми тестовыми примерами при численных расчетах. К числу таких решений относятся одномерная теория сопла, теория простой волны (течение Прандт-ля — Майера, волна Римана), обтекание клина, распад произвольного разрыва, точечный взрыв, решение методом источников и стоков, решение уравнения для потенциала. [c.54]

Пример 24. Определить изгибающие моменты, поперечные и продольные силы в сечениях, соотвегствующих точкам А, D, С, Е, В (рнс. 41) аркн параболического очертания. Уравнение параболы [c.124]

Известно, что в математической теории упругости большое внимание уделяется вопросам существования и единственности решения [67, 100], весьма сложным с математической точки зрения. Вместе с тем в случае неоднородного тела необходимость их решения не менее, а, по-видимому, более важна, чем в классической теории упругости, ввиду возможности возникновения особенностей, связанных с характером исходных уравнений. Достаточно в качестве примера указать на задачу Бусси-неска для неоднородного полупространства, когда обобщенная система уравнений Ламе на границе области вырождается из эллиптической в параболическую [142]. [c.38]

Подобная методика использована, к примеру, три изучении СР сплава SnO,lZn. Цинк метили изотопом Zn . Поскольку измеряемая в опыте радиоактивность Izn (t) пропорциональна Qzn(t), полученные уравнения для интегрального потока справедливы и для I n- В начальный период растворения н1аклон Iz ,t-кривых изменяется за счет СР цинка, а в дальнейшем остается постоянным (рис. 2.9, кривые 2 и 3). Когда же лотенциал растворения сплава обеспечивал рас-tBopenne только цинка, переход к линейному участку ЦкД-зависимости вообще отсутствовал (рис. 2.9, кривая Радиоактивность раствора нарастала по параболическому закону в соответствии с теорией. Найденные по указанной методике значения Dzn для разных условий поляризации сведены в табл. 2.5. [c.75]

В заключение следует указать, что возможности использования произвола, содержащегося в общем решении уравнений безмомент-ной теории, зависят от формы оболочки. Объясняется это тем, что дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, к решению которых сводится определение усилий и смещений в безмоментных оболочках, принадлежат к разным классам для оболочек положительной, отрицательной и нулевой гауссовой кривизны, а именно они являются эллиптическими для первых, гиперболическими для вторых и параболическими для третьих оболочек. Это вносит специфику в постановку граничных условий в каждом частном случае, что будет показано на примерах ниже. [c.89]

ТКВБ нанесены на рис. 6.26 в зависимости от нормализованного параметра т] = У 10с/а. Параболическая зависимость Гк от Т1, вытекающая из уравнения Девоншира — Гинзбурга (гл. 2, [1]), становится более очевидной на примере этих трех систем. [c.266]

Подходящим примером может служить реакция взаимодействия серебра с расплавленной серой. В начальный кратковременный период скорость реакции взаимодействия с серой подчиняется линейной зависимости [408], тогда как для более продолжительного времени взаимодействие этих двух компонентов можно охарактеризовать уравнением параболического роста [409]. По наблюдениям Моора [391], этот процесс сопровождается образованием пористого сульфидного слоя на поверхности металла и когерентного плотного слоя поверх первого слоя. Кроме того, [c.143]

Полное решение проблемы выбора надлежащей модели материала даже в такой упрощенной форме далеко от завершения, однако имеются примеры удачных частных решений. Так, при сверхвысоких (порядка модуля упругости) давлениях, развивающихся при гиперскоростных соударениях, успешно используется модель идеальной жидкости (М. А. Лаврентьев, 1949). Для материалов типа полимеров, для которых существенны эффекты несовершенной упругости, иногда используется модель вязкоупругого тела (см., например, А. Ю. Ишлинский, 1940). Что касается материалов типа металлов, находящихся под действием умеренно высоких напряжений порядка предела текучести (которым, в основном, и посвящен данный обзор), то для их изучения могут использоваться два подхода. В основе первого из них лежит допущение, что за пределами упругости материал переходит в вязко-пластическое состояние и его определяющее уравнение зависит от времени. Начало этому направлению подолбили работы А. А. Ильюшина (1940, 1941), в которых в качестве определяющих уравнений использованы уравнения вязко-пластического течения, не учитывающие упругих деформаций. В этих работах дано решение нескольких теоретических задач (удар по цилиндрическому образцу твердым телом, деформирование полого цилиндра под действием внутреннего давления) и описан сконструированный автором первый пневматический копер, позволявший достигать скоростей деформаций порядка 10 Исек (с помощью его были определены коэффициенты вязкости некоторых металлов). Сразу вслед за тем учениками А. А. Ильюшина были решены задачи о вращении цилиндра в вязко-пластической среде (П. М. Огибалов, 1941) и об ударе цилиндра по вязко-пластической пластинке (Ф. А. Бахшиян, 1948 — опубликование этой работы задержалось на ряд лет). С математической точки зрения уравнения динамики одноосного вязко-пластического тела принадлежат к классу уравнений параболического типа. [c.303]

Книга известных американских математиков Р. Беллмана и Э. Энджела посвящена одной из важнейших задач современной вычислительной математики — созданию устойчивых численных методов решения уравнений в частных производных. Авторы убедительно показывают, что известные методы динамического программирования и инвариантного погружения приводят к эффектным и эффективным методам решения уравнений эллиптического и параболического типов. Удачно подобранные примеры и упражнения увеличивают педагогическую ценность книги. [c.310]

Решение задачи о распространении тепла от мгаовенного источника энергии о для случая плоской симметрии рассматривалось в работе [45]. В этой же работе было впервые отмечено существование температурных волн конечной скорости (см. также [46]). В работах [7, 49, 64, 81] для уравнений параболического типа были доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши и краевых задач, а также теоремы сравнения, которые с помощью автомодельных решений позволили получить достаточно общие условия конечной скорости распространения температурных волн. В работе [74] был построен пример так называемой остановившейся температурной волны, обладающей тем свойством, что тепло не проникает с течением времени в холодную среду, несмотря на неограниченный рост температуры, заданной на границе. В дальнейшем явление локализации тепла было подробно исследовано во многих работах (см., например, [40, 43, 47, 55, 69—71] и библиографию в [55, 70]). Было показано, что причиной локализации может быть так называемый граничный режим с обострением, при котором функция, заданная на границе, обращается в бесконечность в конечный момент времени. Причиной может быть также энерговыделение в режиме с обострением в среде с нелинейными объемными источниками. [c.47]

Этот пример показывает, что итерационная схема Ричардсона в точности эквивалентна нестационарной схеме и является ограниченной. Другие итерационные схемы для уравнений эллиптического типа эквивалентны или по меньшей мере аналогичны нестационарным схемагл для уравнений параболического типа. Впервые на такую аналогию указал Франкел [1950]. [c.162]

Типичным примером профиля турбинной решетки с параболической средней линией (точка максимальной кривизны расположена на 40% длины хорды от входной кромки) является профиль Тб, координаты которого приведены в табл. 11.1. Характерны в этом отношении и профили турбинных решеток, разработанные в NA A [11.30]. Один из методов профилирования турбинных лопаток, распространенный в СССР, основан на использовании лемнискат, определяемых уравнением [c.329]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...