Спектральная теорема

Математическая формулировка основной спектральной теоремы Гильберта для эрмитовых операторов использует ортогональную проектирующую операторную функцию ) Р к), определенную при всех действительных X так, что для любых и Я.2 [c.196]

Такая проектирующая операторная функция Р(Я.) называется спектральным разложением единицы, или спектральной функцией. Спектральная теорема ([824], стр. 349) утверждает, что такая функция существует и она обладает следующим свойством для любой непрерывной функции f имеет место соотношение [c.196]

Выражение спектра через нули функции А. Тот факт, что полюсы резольвенты К — ос) совпадают с нулями функции А (у) при у = 1/а, позволяет исследовать спектр оператора К, рассматривая нули функции А. Каков смысл появления кратного нуля функции А при у = Появление кратного нуля может указывать либо на то, что имеет место вырождение либо на то, что полюс оператора [К — t) не является простым. В случае операторов конечной размерности доказательство спектральной теоремы состоит как раз в доказательстве того, что для эрмитовых операторов алгебраическая кратность (кратность нулей функции А) совпадает с геометрической кратностью (с вырождением). То же самое справедливо и для случая операторов бесконечной размерности. Для эрмитовых операторов нуль функции А порядка п указывает на п-кратное вырождение соответствующего собственного значения (или характеристического значения). Числитель резольвенты в той же самой точке имеет нуль порядка п — 1, так что результирующий полюс является простым. В более общем случае алгебраическая кратность может отличаться от геометрической. При этом п-кратный нуль функции А может указывать либо на вырождение, либо на то, что верхний индекс оператора К — et больше единицы [т. е. полюс оператора К — a) i имеет порядок больше единицы), либо на то и на другое. [c.245]

Теперь у нас имеется все необходимое для доказательства полноты системы волновых функций связанных состояний и состояний рассеяния. Такое доказательство можно выполнить в рамках математического аппарата абстрактного векторного пространства. Именно в этой теории (в гл. 7, 3, п. 3) нами была сформулирована без доказательства спектральная теорема. Приведем здесь ее доказательство с использованием методов теории функций комплексного переменного. Очень поучительно проследить, как аналитические свойства, обсуждавшиеся нами ранее, можно использовать в данном случае. Единственными предположениями относительно потенциала будут условия (12.9) и (12.21). [c.343]

Основная спектральная теорема Гильберта 196 [c.599]

Подчеркнем, однако, что фактически эта идея обосновывается в той мере, в какой она вообще справедлива, спектральными теоремами 4, 5. Уравнения типа (9.18), (9Л 9) имеют лишь преимущество большей наглядности. [c.82]

Имеет место важное утверждение, обратное к теореме 4.2, известное под названием "спектральной теоремы". [c.30]

Лля самосопряженного оператора Я спектральная теорема позволяет строить его функцию (р Н), если ср измерима и п.в. конечна по спектральной мере Е = Ен- Область определения Т> р Н)) состоит из элементов / Н, для которых [c.41]

Одна из формулировок спектральной теоремы дается в терминах разложений в прямой интеграл. Именно, для любого самосопряженного оператора Н в И существует разложение (1), в котором оператор ТНТ действует как умножение на А. При этом FE X) сводится к умножению на индикатор хх множества X, так что в согласии с (2) [c.46]

По спектральной теореме резольвента R () = Ru(0 унитарного оператора U допускает представление [c.82]

Здесь мы приведем исчерпывающий результат о сохранении суммарной кратности спектра в теории возмущений унитарных операторов. Теорема 8 и следствие 9 обобщают утверждения предыдущего пункта, но прямо в книге не используются. Наряду со спектральной теоремой нам теперь понадобится элементарное утверждение геометрического характера. [c.86]

Обозначим через = arg г G (0,тг], через 7 arg/i G [0,тг). В силу спектральной теоремы из первого соотношения (20) следует, что [c.87]

Получим прежде всего удобное представление для Ku(t)g . При произвольном X Е Ti из спектральной теоремы вытекает, что [c.142]

О Выведем сначала существование предела (1) из условия (4). В силу спектральной теоремы при любых /, 5 Е 0 [c.194]

Проверим при этом А неравенство (6). По спектральной теореме для любого б > 8 [c.195]

Пусть (рр)—ортонормированный базис в 6. В силу спектральной теоремы и соотношений (1.3.13), (1.4.11) при д Е D [c.205]

В силу спектральной теоремы сопряженный (относительно скалярного произведения в 62) к (1) оператор (трансформатор) равен [c.280]

Таким образом, I—сумма отрицательного и конечномерного операторов. По спектральной теореме кратность положительного спектра оператора I конечна. [c.318]

Ввиду спектральной теоремы формально ФСС может быть найдена из равенства [c.336]

И, следовательно, по спектральной теореме [c.344]

При рассмотрении дробных степеней положительных операторов часто используется интегральное представление, вытекающее (подробности см. в [4]) из спектральной теоремы.Именно, для Л = Л > О при любом в Е (0,1) [c.379]

Функционалы е являются функциями запаздывания в соответствии со спектральной теоремой смещения Наконец, [c.8]

В этой вводной главе прежде всего необходимо ввести основные определения и охарактеризовать свойства рассматриваемых волн оптического диапазона. Изложение начинается с анализа уравнений Максвелла и вытекающего из них волнового уравнения. При этом отмечается, что система уравнений Максвелла является следствием законов электрического и магнитного полей, обобщенных и дополненных гениальным создателем этой теории. Таким образом, сразу вводится понятие электромагнитной волны, возникающей в качестве решения волнового уравнения, и проводится рассмотрение ее свойств. При этом выявляется кажущееся противоречие между результатами экспериментальных исследований и решением волнового уравнения в виде монохроматических плоских волн. Данная ситуация может быть понята с привлечением принципа суперпозиции и спектрального разложения, базирующегося на теореме Фурье. В рамках этих представлений можно истолковать особенности распространения свободных волн в различных средах и определить понятия энергии и импульса электромагнитной волны, формулируя соответствующие законы сохранения. Рассмотрение излучения гармонического осциллятора, которым заканчивается глава, позволяет принять механизм возникновения излучения, облегчает модельные представления о законах его распространения и открывает возможность рассмотрения более сложных условий эксперимента, которое проводится в последующих главах. [c.15]

Действительно, данные о распределении энергии импульса по частотам, доставленные такой идеальной спектрограммой, позволили бы воспроизвести только коэффициенты отдельных элементов ряда (интеграла), на которые согласно теореме Фурье можно разложить импульс, ибо интенсивность отдельной спектральной линии определяется соответствующим коэффициентом разложения. Однако форма импульса зависит не только от значения этих коэффициентов, но также и от соотношения фаз отдельных его компонент. Поэтому импульсы самой разнообразной формы могут соответствовать одним и тем же значениям коэффициентов Фурье и, следовательно, давать одно и то же спектральное разложение. Таким образом, задача о разложении данного волнового импульса в спектр при помощи заданного аппарата решается однозначно. Воспроизведение же исходного импульса по его спектру, даже полученному с помощью прибора бесконечной разрешающей силы, остается неопределенной задачей. [c.220]

По этой причине в спектральном представлении (5.67) — (5.69), которое называют теоремой Винера—Хинчина для спектральной плотности, вместо /(т) часто используют формальное обозначение шр. Разумеется, его не следует понимать буквально — это не средний квадрат модуля фурье-компоненты, поскольку в формуле (5.71) стоит дельта-функция, а не символ Кронекера. [c.77]

Очевидно, что класс функций -Bi(x) и i i(a), для которых верна теорема, определяется условием (3.15) функция спектральной плотности мощности определена для тех случайных процессов, функции автокорреляции которых достаточно быстро убывают при стремлении задержки времени к бесконечности. Исключением являются периодические процессы, функции автокорреляции которых также являются периодическими функциями и поэтому не убывают при больших задержках т. Для них понятие спектральной плотности мощности определено благодаря использованию б-функции Дирака [329]. Заметим также, что для сигналов с конечной полной энергией спектральная плотность мощности равна нулю. Это является следствием соотношения [c.89]

Результаты, представленные в п. б и 6, говорят о том, что, если бы мы могли рассматривать (на феноменологической основе) наблюдаемые как самосопряженные элементы И -алгебры, это дало бы нам определенные математические преимущества. Действительно, требование, чтобы С -алгебра Ш была И -алге-брой и, следовательно, допускала точное представление как алгебра фон Неймана, позволило бы ввести в рамках 3 такое мощное средство, как спектральная теорема, на которой зиждется использование традиционного функционального анализа. Если бы подобное требование было подкреплено физическими аргументами, то связь между алгебраическим и другими аксиоматическими подходами к физическим теориям, например подходом, использующим исчисление высказываний, было бы гораздо легче установить. [c.185]

Применение метода функций Грина к задачам нерелятивистской теории многих тел (при 7"= 0) было впервые дано в 1954 г. в работе [5], выполненной по инициативе и по предложению Н. Н. Боголюбова. В дальнейшем развитии важную роль сыграли полученные в связи с задачами квантовой теории поля спектральные теоремы Челлена — Лемана [6, 7], перенос которых на случай нерелятивистской задачи многих тел [8] позволил в общем виде установить связь особых точек функций Грина с характеристиками энергетического спектра системы. В дальнейшем метод функций Грина [c.15]

В то же время по спектральной теореме на ортогональном дополнении к Eu [TQ l,TQfi])li [c.84]

По спектральной теореме оба зависящие от е сомножителя в правой части не превосходят 1. Тем самым правая, а потому и левая части (2) при А Е Л оцениваются через СЦуЦ . Остается воспользоваться теоремой 3.10. [c.172]

Лалее, по спектральной теореме оператор V можно представить в виде и = ехр(гС), где [c.264]

ФСС единственна и удовлетворяет к тому же неравенству (7). Соотношения (6), (7) можно записать и в форме, аналогичной (2.7), (2.6). Определим (например, по спектральной теореме) ветвь 1пМ = argM унитарного оператора М условием arg fl G (—7г,7г]. Тогда в терминах мультипликативного возмущения М — соотношения (6), (7) перепишутся в виде [c.358]

В соответствии со спектральной теоремой свертывания, пронзведеиню Фурье-трансформакт одного типа соответствует свертка соответствующих Фурье-трансформант другого типа [c.6]

Выше неоднократно обсуждались многообразные физические причины, обусловливающие немонохроматичность света, испускаемого атомами и молекулами (см. 4, 14, 22, 158, 210). В результате нерегулярных, статистических возмущений, испытываемых излучающим атомом со стороны остальных частиц среды, излучение представляет собой последовательность волновых цугов, некогерентных между собой и отличающихся по амплитуде, фазе и частоте. Анализ волновых цугов, основанный на теореме Фурье, позволяет вычислить контур линии (см. 22), т. е. выяснить в каждом конкретном случае вид зависимости спектральной плотности коэффициентов Эйнштейна от частоты. [c.740]

Заметим, что формулы Найквиста (5.84), (5.91) являются простейшими примерами флуктуационно-диссипационной теоремы (см. ниже), связывающей флуктуационные характеристики (спектральную интенсивность или корреляционную функцию) с диссипативными (в данном случае — коэффициент трения (вязкость) у и электрическое сопротивление R). [c.80]

Флуктуационно-диссипационная теорема может быть представлена в различной эквивалентной форме. Например, формулу (5.113) можно преобразовать, используя спектральное представление (5.67) [c.84]

В гл. V при рассмотрении временных корреляционных функций и их спектральных представлений (для брауновского движения и, в частности, на примере гармонического осциллятора) мы уже вводили функции Грина (запаздывающие) и их спектральные (частотные) представления (Фурье). Там же были получены для этого случая дисперсионные соотношения (Крамерса—Кронига), соотношения Грина—Кубо и флуктуационно-диссипационная теорема Кэллена—Вельтона. [c.164]

Если математическое ожидание сигнала на входе системы гпц = О, то, вычтя из Kg(r) квадрат математического ожидания и выполнив преобразование Фурье для полученного выражения, после преобразований с использованием теоремы запаздьтания и фильтрующего свойства 5-функции, найдем выражение спектральной плотности мощности центрированного случайного процесса на выходе полиномиальной системы второго порядка в виде [c.112]

Кирхгофа закон 43, 159 Классификация одномерных звеньев тракта ОЭП 69 Коте.шннкова теорема 76 Коэффициент излучения спектральный 43,44 [c.213]

Перейдем теперь к рассмотрению спектральных свойств уравнений (2.2) и (2.3), а равным образом и (2.5). Положим Я = 1 и допустим, что эти уравнения имеют нетривиальные собственные функции (ввиду равенства нулю индекса, число этих функций одинаково). Обозначим через фо собственную функцию уравнения (2.3), а через У(р, фо) — потенциал, имеющий функцию фо своей плотностью. Этот потенциал является реще-нием задачи И при нулевых значениях напряжений на поверхности. Уместно при этом отметить, что в любом случае смещения, представимые потенциалом простого слоя, убывают на бесконечности как l/R, а напряжения — как 1// . Поэтому можно воспользоваться теоремой единственности внешней задачи теории упругости. Тогда получаем, что потенциал V тождественно равен нулю в области 0 . С другой стороны, потенциал простого слоя является функцией, непрерывной всюду, включая поверхность 5. Поэтому потенциал V р, фо) будет тождественно равен нулю в области 0+, поскольку он обращается в нуль на поверхности 5. Возвращаясь же к формуле (1.24), получаем, что функция фо тождественно равна нулю. Следовательно, точка Я = I не является собственным значением для уравнений (2.3), (2.4) и (2.5). Поэтому перечисленные уравнения разрешимы при произвольной правой части, а получаемые решения единственны, [c.559]

Наиболее фундаментальный результат, относящийся к спектру мощности случайных процессов, представляет собой теорема Винера — Хинчнна. Она гласит функция автокорреляции Bi (т) случайного сигнала i (t) и его спектральная плотность мощности Fi( o) связаны друг с другом с помощью обычного преобра- [c.88]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...