Линейные системы с is степени свободы

Решение однородной системы х = Л(г )х должно иметь форму х( ) = ф( , п)х( о), поскольку для линейной системы степени свободы в момент времени t должны быть линейной комбинацией степеней, свободы в момент времени to- По определению ф( о, о)=/ и ф( 2, г о) = фСг г, г о), откуда следует (если положить 2 — о), что ф( ь г о) = ф ( 0, i). Подставляя [c.344]

Влияние линейного сопротивления на малые собственные колебания системы с одной степенью свободы [c.434]

Линейное сопротивление и диссипативная функция. Вели на точки системы с одной степенью свободы кроме потенциальных сил действуют еще силы сопротивления, то дифференциальное уравнение Лагранжа выразится в форме [c.434]

В случае системы с п степенями свободы выводы о влиянии линейного сопротивления на вынужденные колебания остаются прежними. [c.486]

Дело в том, что матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, к которой приводит МКЭ,— сильно разреженная матрица ленточной структуры. Ненулевые элементы такой матрицы располагаются параллельно главной диагонали (рис. 1.4). Целое число/., представляющее собой наибольшую разность между номерами ненулевых элементов в строке, называется шириной полосы. Чем меньше ширина полосы, тем меньший объем ОП требуется для хранения матрицы при реализации МКЭ в САПР и тем меньше затраты машинного времени на решение результирующей системы уравнений. Ширина полосы зависит, в свою очередь, от числа степеней свободы узлов и способа нумерации последних. [c.18]

Переменная N означает число степеней свободы системы и соответствует величине п. Предположим, что /. -- квадратичная функция относительно обобщенных скоростей. В этом случае обобщенные импульсы линейно выражаются через обобщенные скорости [c.15]

Полученная таким образом новая позиционная линейная система будет иметь п — 8 степеней свободы. Обозначим [c.588]

Механизмы, подверженные колебаниям, можно моделировать механической системой с конечным числом степеней свободы, движение которой описывается уравнениями Лагранжа второго рода. Предположение о малости колебаний приводит к линейным динамическим системам с постоянными коэффициентами. Эти уравнения интегрируются в общем )зиде, что позволяет полностью исследовать явления, которые они описывают. [c.200]

Если разделить обе части уравнения (4) на а и обозначить положительную величину = то получим дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы с одной степенью свободы в окончательной форме [c.394]

Собственные линейные колебания системы с одной степенью свободы являются гармоническими. Материальная точка под действием [c.396]

Подставляя эти значения величин в уравнения Лагранжа (56), получаем линейные дифференциальные уравнения малых собственных колебаний системы с двумя степенями свободы без сопротивления [c.435]

Итак, собственные линейные колебания системы с двумя степенями свободы состоят из суммы двух главных гармонических колебаний с частотами и к , которые содержатся в каждой обобщенной координате 91 и Заглавные координаты [c.438]

Рассмотрим вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы без учета сопротивления под действием гармонических возмущающих обобщенных сил, отнесенных к главным координатам. Гармонические возмущающие силы для других координат можно привести к гармоническим возмущающим силам для главных координат, если частоты первоначальных возмущающих сил одинаковы. Действие возмущающих сил, имеющих разные частоты, следует рассматривать по отдельности, используя свойство суперпозиции решений линейных дифференциальных уравнений. [c.443]

Интегрирование дифференциального уравнения собственных колебаний. Если разделить обе части уравнения (4) на а и обозначить положительную величину с а = к , то получим дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы с одной степенью свободы в окончательной форме [c.416]

Итак, собственные линейные колебания системы с двумя степенями свободы состоят из суммы двух главных гармонических колебаний с частотами кх и За- [c.462]

Не выполняя решения системы уравнений (101), можно сделать выводы о влиянии линейного сопротивления на вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы. Как и для случая системы с одной степенью свободы, вынужденные колебания являются незатухающими гармоническими колебаниями и происходят с частотой возмущающей силы. Они не зависят от начальных условий. При резонансе амплитуды вынужденных колебаний остаются постоянными в отличие от случая отсутствия сопротивления. [c.469]

Сначала остановимся на рассмотрении линейных колебаний системы с п степенями свободы. [c.231]

В качестве одномерной модели твердого тела рассмотрим цепочку из N одинаковых атомов с массой М н межатомным расстоянием а (рис. 5.4), которые могут перемещаться вдоль прямой линии. Каждый атом в такой системе обладает одной степенью свободы, а вся система — N степенями свободы. Модель с точки зрения атомной структуры хорошо описывается линейной примитивной ячейкой Бравэ, в которой положения атомов определяются вектором трансляции Т=па, где п — целое число, указывающее положение равновесия атомов в цепочке. [c.145]

Возникает вопрос, сколько колебательных степеней свободы имеет молекула, состоящая из Л/ атомов. Из самых общих соображений известно, что любая свободная частица обладает тремя степенями свободы при перемещении в пространстве трех измерений. Таким образом, система из N свободных частиц имеет 3// степеней свободы. Однако в молекуле все атомы связаны в единую систему, которая имеет три поступательные и три вращательные степени свободы. Отсюда следует, что число независимых колебательных степеней свободы для нелинейной молекулы составляет ЗЛ/—6, а для линейной молекулы равно ЗЛ/—5. [c.240]

Был рассмотрен наиболее простой случай (одно уравнение), соответствующий системе с одной степенью свободы или одночленному приближению при решении уравнений малых колебаний стержня с использованием принципа возможных перемещений. Для систем с несколькими степенями свободы выкладки становятся громоздкими. Более подробно решение систем линейных дифференциальных уравнений изложено в работах [6, 10, 14]. Дополнительные сведения о методах решения задач статистической динамики приведены в разделе, посвященном прикладным задачам. [c.148]

Если эти параметры могут принимать любые значения, то уравнение (17.19) охватывает всевозможные линейные системы с одной степенью свободы. Как было показано в 140, выражение (17.20), в котором значения X к ц> удовлетворяют соответственно (17.22) и (17.23), превращает уравнение (17.19) в тождество при любых значениях т, Ь, k. Следовательно, в любой линейной системе, на которую действует [c.620]

Поэтому мы ограничимся описанием только некоторых простейших типов колебаний молекул, характер которых может быть определен при помощи простых соображений, и при этом ограничимся только одной моделью молекулы, именно трехатомной линейной молекулы, в которой все три атома в недеформированной молекуле лежат на одной прямой и на равном расстоянии друг от друга (рис. 423). Прежде всего определим число типов колебаний, которые могут происходить в такой молекуле. Общее число степеней свободы системы, состояш,ей из п атомов, если эти атомы не связаны жестко между собой, равно 3/г (так как каждый атом обладает тремя степенями свободы). Но если атомы связаны между собой упругими силами, то часть этих степеней свободы превращается в колебательные степени свободы. А так как [c.648]

В настоящем параграфе рассматриваются только линейные колебания систем с одной степенью свободы. Механическая система имеет одну степень свободы, если ее геометрическое положение определяется одной координатой. При рещении инженер- [c.340]

Следует иметь в виду, что системы с одной степенью свободы представляют собой объект, наиболее доступный для исследования возможных колебательных движений при самых разных их нелинейных свойствах. Нелинейные же системы с двумя и большим числом степеней свободы и распределенные системы поддаются последовательному анализу лишь в отдельных частных случаях. Их рассмотрение даже в линейном приближении значительно более сложно, громоздко и не допускает ряда качественных и наглядных приемов, которые возможны для систем с одной степенью свободы. Поэтому изложение материала в гл. 6—12 имеет несколько другой характер, чем в первых главах оно несколько более конспективно, в целях выделения основных физических результатов опускается ряд промежуточных выкладок, особенно при применении изложенных ранее методов анализа. Однако эти различия в изложении отдельных разделов, по нашему мнению, вполне оправдываются спецификой рассматриваемых вопросов, тем более, что значительная часть материала, приведенного в книге, ранее не излагалась в учебных пособиях по теории колебаний. [c.13]

Наличие квадратичного трения при линейности консервативных параметров колебательной системы с одной степенью свободы приводит к следующему дифференциальному уравнению [c.53]

Выражения для сил и моментов у комля в предыдущих разделах были получены в виде линейных функций степени свободы лопасти во вращающейся системе кординат. На режиме висения, для которого аэродинамические коэффициенты в этих выражениях постоянны, операторы суммирования при определении полных реакций втулки применяются только к степеням свободы лопасти. Для этого случая суммирование легко выполняется с использованием выражений для степеней свободы в невращающей-ся системе координат. Отсюда следует, что на режиме висения сила тяги и крутящий момент зависят только от общих степеней свободы лопастей (угла конусности и среднего угла качания лопастей). В результате имеем [c.535]

Собсгвенные линейные колебания системы с одной степенью свободы являются гармоническими. Материальная точка под действием линейной восстанавливаюн1ей силы гоже совершаег гармонические колебания. [c.431]

Линейно независимых решений указанного вида имеется ровно 2п. Общее решение позиционной линейной системы можно построить, найдя все такие линейно независимые решения. Следствие 8.8.5 может окс1заться полезным для исследования систем с большим числом степеней свободы. Чтобы проиллюстрировать сказанное, рассмотрим следующий пример. [c.581]

После рассмотрения теории малых, линейных колебаний системы с N степенями свободы, коснемся необъятной области теории нелинейных колебаний. Эти вопросы являются неиосредст-венным развитием содержания предыдущих параграфов настоящей книги, а также 191 —198 и 206, 217—219 первого тома. [c.275]

Прямолинейные колебательные движения материальной точки иод действием линейной восстанавливающей силы, силы сопротивления, проно1)циональной первой степени скорости, и постоянной силы трения были рассмотрены в гл. XXI. Полученные там результаты обобщаются в настоящей главе на случай системы материальных точек, подчиненной стационарным связям и имеющей одну степень свободы. Вместе с тем дается представление о колебаниях, развивающихся под действием нелинейных восстанавливающих сил и силы сопротивления, пропорциональной квадрату скорости. Содержание этой и двух следующих глав курса можно рассматривать как введение в теорию колебаний, представляющую собой одну из наиболее важных областей приложений теоретической механики к вопросам техники. [c.479]

Хотя в этом примере речь идет о системе с четырьмя степенями свободы, он здесь уместен, так как задача фактически сводится к решению системы двух линейных неоднородных дифференциальных уравнений второга порядка. [c.588]

В предыдущем разделе были определены моды нормальных колебаний одномерной моноатомной решетки Бравэ. Рассмотрим теперь продольные колебания атомов одномерной решетки с базисом, когда на линейную элементарную ячейку Бравэ с параметром 2а приходится два атома. Предположим, что вдоль пря-Moi i линии располагается /V ячеек. Такая система обладает 2.V степенями свободы. При решении задачи о колебаниях атомов В такой системе возможны две модели цепочки, использование каждой из которых, в конечном итоге, приводит к с)дним и тем же результатам. Первая модель — двухатомная линейная цепочка [c.151]

Нормальные колебания. Рассмотрим сначала возбуждения, связанные с колебаниями решетки, которые встречаются во всех твердых телах. Точно оннсать состояния всех атомов очень трудно, так как нотенциальная энергия такой системы зависит от разно( ти координат каждой нары атомов. Однако для малых амплитуд колебаний около положений равновесия силы, действующие между атомами, можно ириближенно рассматривать как гармонические. Тогда координаты отдельных атомов можно заменить их линейными комбинациями (называемыми нормальными координатами), подобранными таким образом, чтобы выражения для кинетической и потенциальной энергий содержали только квадраты нормальных координат и их производных по времени. Поскольку в этом случае выражения для энергпп уже не будут содержать произведений координат разных атомов, такую систему можно рассматривать как совокупность независимых гармонических осцилляторов. Число таких осцилляторов для кристалла, содержащего N атомов, будет равно 37V, что соответствует трем степеням свободы каждого атома. [c.317]

Интересно отметить, что не только частота единственного неисчезнувшего нормального колебания, но и распределение амплитуд этого колебания не очень отличается от распределения амплитуд наиниз-шего нормального колебания исходной системы с п степенями свободы. В исходной системе с п степенями свободы амплитуды смещений распределены по закону синуса, причем на длине системы укладывается половина длины волны наинизшего нормального колебания в системе же с одной степенью свободы амплитуды отклонений точек пружин по мере удаления от закрепленных концов пружин растут по линейному закону, и если предположить, что размеры груза очень малы по сравнению с длиной самих пружин, то амплитуды смещений распределены по закону треугольника (рис. 451, б) ). [c.701]

В качестве примера нелинейной консервативной колебательной системы с одной степенью свободы рассмотрим электрический колебательный контур без затухания с конденсатором, в котором нет линейной зависимости напряжения от заряда. Подобными нелинейными свойствами обладают конденсаторы, в которых в качестве диэлектрика используются материалы, имеющие сег-нетоэлектрические свойства, и емкости, возникающие в р п-переходах (например, в полупроводниковых диодах) при обратном напряжении смещения. [c.29]

Начнем со случая, когда в системе, обладающей линейными реактивными элементами, трение описывается идеализированным законом сухого трения. В этом случае, как указывалось выще, функция диссипации имеет вид Р у)—ау й> 0 приу>0 и а< 0 при /-<0. Зависимость силы трения от скорости была показана на рис. 2.1. Для простейщей системы с одной степенью свободы при линейности инерционных и упругих сил мы можем записать уравнение, описывающее движение в подобной системе, в виде [c.47]

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...