Линейные системы с большим числом степеней свободы

Линейные системы с большим числом степеней свободы [c.143]

В фундаментальной работе Пуассона 1829 г. содержится, помимо указанного выше, немало других важных результатов из общих уравнений теории упругости вновь выведено уравнение для продольных колебаний тонких стержней, раньше полученное Навье (1824 г.), и для их поперечных (изгибных) колебаний, а также впервые дано уравнение для их крутильных колебаний. Там же решена задача о свободных радиальных колебаниях упругой сферы. Эти результаты стали отправными для многочисленных работ, сколько-ни-будь подробное освещение которых возможно лишь в специальном исследовании по истории теории упругости. Здесь достаточно сказать, что этими работами был подготовлен новый этап в развитии теории колебаний, обобщение основных положений, относящихся к линейным колебательным системам с конечным числом степеней свободы, на линейные колебательные системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Один из общих результатов такого рода был установлен Стоксом в работе О динамической теории дифракции название которой напоминает о том, что в эту эпоху — эпоху торжества теории упругого светоносного эфира Юнга — Френеля оптика снова содействовала развитию теории колебаний, как и во времена Гюйгенса. Для свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы, вводя нормальные координаты , для изменения каждой из них, получают уравнение вида [c.277]

Следует иметь в виду, что системы с одной степенью свободы представляют собой объект, наиболее доступный для исследования возможных колебательных движений при самых разных их нелинейных свойствах. Нелинейные же системы с двумя и большим числом степеней свободы и распределенные системы поддаются последовательному анализу лишь в отдельных частных случаях. Их рассмотрение даже в линейном приближении значительно более сложно, громоздко и не допускает ряда качественных и наглядных приемов, которые возможны для систем с одной степенью свободы. Поэтому изложение материала в гл. 6—12 имеет несколько другой характер, чем в первых главах оно несколько более конспективно, в целях выделения основных физических результатов опускается ряд промежуточных выкладок, особенно при применении изложенных ранее методов анализа. Однако эти различия в изложении отдельных разделов, по нашему мнению, вполне оправдываются спецификой рассматриваемых вопросов, тем более, что значительная часть материала, приведенного в книге, ранее не излагалась в учебных пособиях по теории колебаний. [c.13]

Линейные колебания системы с бесконечно большим числом степеней свободы [c.177]

Все эти задачи, как и многие другие частично решенные или только поставленные перед прикладной механикой другими дисциплинами, требуют решения новых вопросов, не имевших, как казалось, ни большого теоретического, ни практического интереса. К таким вопросам относятся и чисто механические, как, например, теория механизмов с очень большим числом степеней свободы изучение незамкнутых кинематических цепей изучение новых видов связей в механических системах, состоящих из машины и человека уточнение и улучшение методов измерения сил, линейных и угловых перемещений и их первых, вторых и третьих производных по времени. [c.25]

Замкнутый контур ремня представляет собой систему с бесконечно большим числом степеней свободы. Движение любой точки ремня описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, которые могут быть заменены системой обыкновенных дифференциальных уравнений, причем допустимая степень приближения определяется сравнением разностей решений систем двух смежных порядков. При замене уравнений в частных производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений предполагается линейно-кусочная аппроксимация искомой функции и ее первой производной. [c.37]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

Нелинейное волновое поле является наиболее удобным и наиболее изученным в настоящее время объектом для анализа условий перехода от регулярного двпжеппя к перемешивающемуся (стохастическому) в системе с большим числом степеней свободы. В этой главе будет рассмотрено поле со слабой нелпнейностью, под которой подразумевается, что нулевое приближение в виде линейного волнового поля является достаточно хорошим приближением. [c.123]

Линейно независимых решений указанного вида имеется ровно 2п. Общее решение позиционной линейной системы можно построить, найдя все такие линейно независимые решения. Следствие 8.8.5 может окс1заться полезным для исследования систем с большим числом степеней свободы. Чтобы проиллюстрировать сказанное, рассмотрим следующий пример. [c.581]

Однако, как мы увидим ниже, линейная связь тензора напряжений и потока тепла с градиентами от гидродинамических величин является весьма частной и справедлива лишь для течений при малых числах Кнудсена, т. е. для течений, близких к локально-равновесным. В общем же случае течение не может быть описано с помощью одних только гидродинамических величин и система уравнений (1.8)—(1.10) не может быть замкнута. Поэтому необходимо вводить новые описывающие течение функции и строить уравнения, которым они должны удовлетворять при заданных условиях. Вообще говоря, для любого течения можно найти конечную или бесконечную совокупность макроскопических функций, с большей или меньшей точностью описывающих течение, и построить управляющие ими уравнения или, другими словами, построить соответствующую макроскопическую модель некоторой сплошной среды, которая в тех или иных отношениях ведет себя подобно газу, состоящему из молекул. (Так как молекулярный газ является системой с бесконечным числом степеней свободы, то соответствуюш ая ему сплошная среда, которая моделировала бы поведение газа во всех отношениях, должна определяться бесконечным числом параметров.) [c.96]

Если же начальное возмущение не локализовано в пространстве, а, например, периодическое, характер его эволюции будет совершенно иной — нарастающие в результате модуляционной неустойчивости синусоидальные волны модуляции будут нелинейным образом искажаться на периоде волны образуются одни или несколько солитонов, но затем солитоны сглаживаются, и волна вновь приходит в начальное состояние, потом все повторяется и т. д. Явление возвращаемости наблюдалось экспериментально и для обсуждаемого нами примера — гравитационных волн на глубокой воде [11, 17, 45]. Соответствующие численные результаты представлены на рис. 20.3 [11, 18, 19, 45]. На рис. 20.4 показаны результаты физических экспериментов с нелинейными ЬС-цепочками, которые приближенно описываются уравнениями типа КдВ с кубичной нелинейностью. При синусоидальном возбуждении цепочки на границе наблюдалась почти полная возвращаемость вдоль цепочки синусоида трансформировалась в периодическую последовательность солитонов, т. е. возбуждалось большое число осцилляторов-гармоник, затем солитоны вновь превращались в синусоиду — все гармоники возвращали энергию первой гармонике. Впервые этот эффект в численном эксперименте наблюдали Ферми, Паста и Улам [20]. Они пытались подтвердить гипотезу о том, что в системах с очень большим числом степеней свободы наличия даже слабой нелинейности достаточно, чтобы энергия, запасенная в отдельных степенях свободы (модах), равнораспределилась по всем модам (перемешивание) и таким образом установилось бы термодинамическое равновесие (тер-мализация). Ферми, Паста и Улам экспериментировали с моделями нелинейных линейных цепочек из большого числа частиц и термализации [c.420]

Основная цель этой книги состоит в изучении резких макроскопических изменений систем. Как было показано во введении, такие изменения могут наступить, когда система теряет устойчивость по линейному приближению, В точке, где происходит потеря устойчивости, становится возможным исключить очень большое число степеней свободы, поэтому макроскопическое поведение системы зависит лишь от весьма небольшого числа степеней свободы. В этой главе мы хотим показать в явном виде, каким образом вблизи точки, в которой происходит потеря устойчивости по линейному приближению, можно исключить большинство переменных. Такие точки потери устойчивости называются критическими. Предлагаемый вниманию читателя метод прост и охватывает большинство практически важных случаев. Основные идеи метода мы покажем на простом примере (разд. 7.1), после чего изложим наш метод для нелинейных уравнений в общем случае (разд. 7.2—7.5) Основные предположения и допущения перечислены в разд. 7.2, окончательные результаты приведены в разд. 7.4 (до формулы (7.4.5) включительно). Разд. 7.3 и конец разд. 7.4 посвящены вопросам, носящим более технический характер. Остальную часть этой главы мы отводим обобщению принципа подчинения на случай дискретных отображений с шумом и на стохастические дифференциальные уравнения типа Ито (и Стратоновича) (разд. 7.6—7.9). [c.224]

Если выйти за рамки модели одноатомного идеального газа и рассматривать многоатомные молекулы, то следует принять, что каждый атом обладает тремя степенями свободы (как материальная точка) следовательно, в общем случае число степеней свободы для молекулы, составленной из п атомов, равно 3 . Молекулу теперь следует считать системой материальных точек с центром масс, обладающим тремя степенями свободы поступательного движения. Кроме того, система может вращаться вокруг центра масс, а вектор угловой скорости, произвольно расположенный в пространстве, будет иметь три проекции на оси координат — три вращательных степени свободы. Атомы в молекуле подвижны по отнощению одни к другим и испытывают колебания относительно положения равновесия. На колебательные степени свободы приходится, таким образом, число, равное в общем случае для многоатомной молекулы 3 —6 для линейных молекул (атомы расположены вдоль прямой) это число равно Зп—5, поскольку вращательная степень свободы для линии, соединяющей атомы, отсутствует. Каждая колебательная степень свободы требует в среднем вдвое больше энергии, чем степень свободы поступательного или вращательного движения. Так происходит потому, что система из двух колеблющихся атомов обладает не только кинетической, но и потенциальной энергией колебания расчеты покаэывают, что на долю каждой приходится Т, следовательно, на [c.35]

В качестве введения в раздел нестационарных случайных колебаний линейных систем рассмотрим систему с тремя степенями свободы (рис. 6.11, а), где массы тjсчитаем точечными. На рис. 6.11, а число внешних сил равно числу степеней свободы, но возможны случаи, когда число возмущений меньше числа степеней свободы или больше, как показано на рис. 6.11, б, когда возмущения приложены в безмассовые точки. Возможны и механические системы (системы амортизации), когда элементы, реализующие сосредоточенные силы вязкого трения (схуУу), связаны с безмассовыми точками (рис. 6.11, б). [c.259]

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]

Благодаря тому, что в рассматриваемом нами случае связанных линейных систем принцип суперпозиции имеет место, рассмотрение явления Р. в связанных системах при действии негармонич. внешней силы м. б. произведено таким же образом, как и в системе с одной степенью свободы, т. е. разложением внешней силы в ряд Фурье. При увеличении числа связанных систем явление Р. еще более усложняется. Практически важный случай применения большого числа связанных контуров представляют собой т. н. многоячеечные резонансные фильтры (см. Избирательность). Происходящие в них резонансные явления принципиально не отличаются от рассмотренных выше, с тою лишь разницей, что в многоячеечном фильтре с п степенями свободы существует п нормальных частот, и Р. наступает всякий раз при приближении гармонической частоты внешней силы к одной из нормальных частот. [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...